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Mathematik: Stammfunktionen & Co. Released by matroid on Mi. 26. Oktober 2005 22:55:34 [Statistics] [Comments] Written by FlorianM - 105326 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Stammfunktionen & Co. Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“ Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten. Ich hoffe mir ist dieses gelungen. Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums (12. Klasse) kennen lernt. Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Hier will ich aber an dieser Stelle nicht weiter eingehen. Vielleicht kommt ja noch ein dritter Teil. Das kann man nie ausschließen. Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem zweiten kleinen Einblick in die Einführung in die Integralrechnung. Teil 1: Einführung in die Integralrechnung Teil 2: Stammfunktionen & Co Teil 4: Uneigentliche Integrale Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion? [Edit] [To the bottom] Download des Artikels im doc-Format [Edit] Inhalt 1 Integralfunktion 2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung 3 Stammfunktion 3.1 Der Begriff „Aufleiten“ 3.2 Die Stammfunktion 3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion 4 Erste Anwendungsgebiete 5 Zusammenfassung Teil II 6 Abschluss 7 Quellenangabe [Edit] 1 Integralfunktion Die Berechnungen von einigen Integralen mit Hilfe der Obersumme und Untersumme bzw. mit den Grundintegralen kann sehr langwierig und umständlich sein. Deshalb suchen wir in diesem Artikel, wie versprochen, ein einfaches Berechnungsverfahren. Dazu benötigen wir mehr Wissen über das Integral int(f(x),x,a,b) . Ein Weg hierzu ergibt sich durch das systematische Verändern der im Integral auftretenden unteren Grenze a, der oberen Grenze b und der Integrandenfunktion f. Bei der Fülle möglicher Integrandenfunktionen erscheint es aussichtslos, die Abhängigkeit des Integrals von der Integrandenfunktion zu untersuchen. Auch wird man bei fester Integrandenfunktion f nicht beide Grenzen gleichzeitig variieren. Wegen int(f,x,a,b) = - int(f,x,b,a) genügt es, die untere Grenze festzuhalten und die obere Grenze zu verändern. Wir erhalten so eine Funktion x-> int(f,x,a,x) . Diese wollen wir nun untersuchen. Dazu folgende Aufgabe: Es gilt int(x^2,x,0,b) =b^3/3 mit b>0. a) Berechne den Wert des Integrals int(x^2,x,0,b) für die ganzzahligen Werte b=1, b=2, ..., b=10. b) Diese Werte können als Funktionswerte angesehen werden. Die zugehörige Funktion heißt \big\ Integralfunktion von f zur unteren Grenze 0. Gib diese durch eine Zuordnungsvorschrift an. Gib die allgemeine Definition der Integralfunktion sowie ein weitere Beispiel an. c) Gib die Integralfunktion von f(x)=2x^3-4 mit der unteren Grenze 1 an. Lösung: b) Die Integralfunktion von f(x)=x^2 mit der unteren Grenze 0 hat die Zuordnungsvorschrift f(x)=1/3 x^3. Die allgemeine Definition muss das Funktionszeichen f verwenden. Außerdem muss die untere Grenze angegeben werden. \black\frame\black\big\ Definition: Gegeben sei die Funktion f. Die Funktion x-> int(f,x,a,x) , welche jeder Stelle x den Wert des Integrals int(f,x,a,x) zuordnet, heißt \big\ Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion x-> int(f,x,a,x) ist die Menge aller Zahlen, für die das Integral int(f,x,a,x) existiert. c) Für das Integral int((2x^3-4),x,1,b) gilt: int((2x^3-4),x,1,b)=2*int(x^3,x,1,b) - 4*int(1,x,1,b)= 2(b^4/4 - 1^4/4)-4(b-1)=1/2 b^4 - 4b + 7/2 Die Integralfunktion von f(x)=2x^3-4 mit der unteren Grenze 1 hat also die Zuordnungsvorschrift f(x)=1/2 x^4 - 4x + 7/2 Informationen. int(f,x,a,x) ist der Term der Integralfunktion, f ist die Integrandenfunktion- - Die Schreibweise int(x^2,x,a,x) bzw. allgemeiner int(f(x),x,a,x) kann zur Verwirrung führen, da x in zweierlei Bedeutung auftritt. Man schreibt daher: int(t^2,t,a,x). - Als Abkürzung für die Integralfunktion einer gegebenen Funktion mit der unteren Grenze a schreibt man : I_a . I_a (x)=int(f,x,a,x)=int(f(z),z,a,x) - Der Term int(f,x,a,x) der Integralfunktion gibt die Summe der orientierten Flächeninhalte an. Um diesen Sachverhalt etwas zu üben, bitte löst folgende Aufgaben: 1. Gib den Term int(f,x,1,x) der Integralfunktion zu f an, skizziere den Graphen der Integralfunktion x-> int(f,x,1,x) und der Funktion f. Markiere alle Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Schreibe alle Paare sich entsprechender Punkte auf. Begründe jeweils den Zusammenhang. a) f(t)=-t(t-2) 2. Gib zur Funktion f allgemein die Integralfunktion int(f,x,a,x) an. a) f(t)=3 b) f(t)=-3t-1 c) f(t)=3t^2 -1 d)n 2t^3 +2t-0,5. Lösungen: 1. a) f(t)=-t(t-2) I_1 (x)=1/3 (-x^3 +3x^2 -2) Einfach ausgedrückt kann man es so formulieren: Die Nullstelle der Integrandenfunktion wird zur Extremstelle der Integralfunktion und die Extremstelle der Integrandenfunktion wird zur Wendestelle der Integralfunktion . 2. a) f(t)=3 -> I_a (x)=3x -3a b) f(t)=-3t+1 -> I_a (x)=-3/2 x^2 +x+3/2 a^2 -a c) f(t)=3t^2 -1 -> I_a (x)=x^3 -x -a^3 +a d) f(t)=2t^3 +2t -1/2 -> I_a (x)=1/2 x^4+x^2-1/2 x -1/2 a^4 -a^2 +1/2 a [Edit] 2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung Schaut euch bitte folgendes mal an: I_0 (x)=int((4t-5),t,0,x)=4*int(t,t,0,x) - 5*int(1,t,0,x)=4 *x^2/2 -5x=2x^2-5x I_-2 (x)=int(4z,z,-2,x)=4*int(t,t,-2,x)=4 *(x^2/2 - 2^2/2)=2x^2-8 I_-2 (x)=int(4z^2,z,-2,x)=4*int(z^2,z,-2,x)=4 *(x^3/3 + 2^3/3)=4/3 x^3 + 32/3 Was fällt euch auf? Kleiner Hinweis. Leitet doch mal die Integralfunktion wieder ab. GENAU! Ihr erhaltet wieder die Integrandenfunktion. Daraus folgt: Die Ableitung der Integralfunktion ist die Integrandenfunktion. \black\frame\black\big\ Satz: Bildet man die Ableitung der Integralfunktion I_a mit I_a (x)=int(f,x,a,x) , so erhält man die Integrandenfunktion f, das heißt es gilt: I'_a (x)=f(x). Dieser Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung stellt den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren her: Integriert man nämlich f: int(f,x,a,x) und differenziert man anschließend, (int(f,x,a,x))' , so erhält man wieder die Funktion f. Das Differenzieren macht das Integrieren wieder rückgängig. Beweis: Der Beweis des Hauptsatzes der Differential –und Integralrechnung erfolgt unter wesentlicher Verwendung der geometrischen Definition des Integrals. Zum Beweis muss die Ableitung der Integralfunktion I_a bestimmt werden. Die Ableitung ist definiert als Grenzwert der Differenzenquotienten. In unserem Fall: I'_a(x)=lim(h->0,(I_a(x+h)-I_a(x))/h) 1. Berechnen des Differenzenquotienten Es ist I_a(x)int(f,x,a,x). Also folgt: (I_a(x+h)-I_a(x))/h =(int(f,x,a,x+h)-int(f,x,a,x))/h Aus der Regel über die Intervalladditivität folgt: int(f,x,a,x+h)-int(f,x,a,x)=int(f,x,a,x)+int(f,x,x,x+h)-int(f,x,a,x)=int(f,x,x,x+h) Wir versuchen, int(f,x,x,x+h) weiter umzuformen. Ist die Funktion f stetig, hat sie also einen „durchgehenden Graphen“, so ist das Integral int(f,x,x,x+h) so groß wie ein geeignetes Rechteck mit den Seitenlängen f(z) und h. Es gilt also: int(f,x,x,x+h)=f(z)*h, wobei x<=z<=x+h 2. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten Wir müssen berechnen: lim(h->0,(I_a(x+h)-I_a(x))/h)=lim(h->0,f(z)), das heißt wir müssen herausfinden, was aus z und f(z) wird, wenn h gegen 0 strebt. Da x<=z<=x+h, wird dann z gegen x streben (siehe Bild unten). Was aber geschieht mit f(z) ? Wie man an dem Bild anschaulich sieht, strebt f(z) gegen f(x), falls h gegen 0 strebt, das heißt es gilt: lim(h->0,f(z))=f(x) ; das bedeutet aber: f ist an der Stelle z stetig. Insgesamt erhalten wir: I'_a(x)=lim(h->0,(I_a(x+h)-I_a(x))/h) = lim(h->0,f(z))=f(x) Damit haben wir den Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung für solche Funktionen bewiesen, die stetig sind. q.e.d Am Ende des Beweises wurde erkannt: Der Hauptsatz gilt, falls lim(h->0,f(z))=f(x) ist. Tatsächlich wird dabei über die Funktion f die zusätzliche Information angenommen, dass f an der Stelle x stetig ist. \black\frame\black\big\ Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung: Ist die Funktion f stetig, so ist die Integralfunktion x-> int(f,x,a,x) differenzierbar und die Ableitung ist gleich der Integrandenfunktion f, das heißt es ist I'_a (x)=f(x). [Edit] 3 Die Stammfunktion 3.1 Der Begriff „Aufleiten“ Unser Ziel ist langfristig, ein einfacheres Berechnungsverfahren für Integrale zu entwickeln. Dabei haben wir nun die Entdeckung gemacht, dass die Ableitung der Integralfunktion gleich der Integrandenfunktion ist. Umgekehrt müsste man also zu einer vorgegebenen Integrandenfunktion f eine Integralfunktion I_a mit I_a (x)=int(f,x,a,x) finden, indem man den Prozess des Ableitens in umgekehrter Richtung vollzieht. Sprachlich folgerichtig wird dieser Prozess gelegentlich auch \big\ Aufleiten genannt. 3.2 Die Stammfunktion \black\frame\black\big\ Definition: Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f über dem Intervall [a; b] bzw. über dem ganzen Definitionsbereich von f, falls ist: F'(x)=f(x) für alle x aus dem Intervall [a; b] bzw. aus dem Definitionsbereich von f. Der Begriff des Aufleitens einer Funktion f führt zu einer Stammfunktion der Funktion f. Beim Aufsuchen einer Stammfunktion (Aufleiten) wendet man die Faktorregel und die Summenregel der Differentialrechnung in umgekehrter Richtung an. Man bildet also eine Stammfunktion einer Summe (einer Differenz) gliedweise und lässt beim Aufsuchen einer Stammfunktion einen konstanten Faktor unberücksichtigt. x-> x^n; x->1/(n+1) x^(n+1) (2) Die Gesamtheit der Stammfunktionen einer Funktion f Wenn man eine Stammfunktion F von f gefunden hat, dann kann man sofort unendlich viele angeben. Man braucht nur eine beliebige Zahl c addieren: F(x)+c und erhält wieder eine Stammfunktion von f. Der Prozess des Aufleitens ist also im Gegensatz zum Ableiten nicht eindeutig bestimmt. \black\frame\black\big\ Satz : Zwei Stammfunktionen F1 und F2 von f über demselben Intervall [a; b] unterscheiden sich nur um eine additive Konstante, das heißt es gibt eine Zahl c, so dass ist: F1(x)=F2(x)+c 3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion: int(x^2,x,1,3)=3^3/3 - 1/3 =9 -1/3 =8 2/3 (alter Weg) f(x)=x^2 ; F(x)=1/3 x^3 +C I_1 (x)=int(t^2,t,1,x)=1/3 x^3 +C 1. Zuerst bildet man also eine Stammfunktion der Funktion f. 2. Danach setzt man die Integralfunktion mit der Stammfunktion F(x) gleich. Dieser Zusammenhang muss für jede beliebige obere Grenze sein, also auch für x=1: int(t^2,t,1,1)=0=1/3 * 1^3 +C o=1/3 +C c=-1/3 Daraus ergibt sich für unsere Integral am Anfang: I_1 (x)=int(t^2,t,1,3)=1/3 *3^3 - 1/3 =8 2/3 (neuer Weg) Allgemeiner Weg: Gegeben ist f(x) und F(x)+c ist irgendeine Stammfunktion von f. Unter diesen Stammfunktonen wird diejenige gesucht, die gleich der Integralfunktion ist: I_a (x)=int(f,x,a,x)=F(x)+C Setzen von x=a liefert: int(f,x,a,a)=0=F(a)+C C=-F(a) Hier setzt man nun x=b: int(f,x,a,a)=F(b)-F(a)=stammf(F(x),a,b) Beispiel: int(x^2,x,1,3)=(1/3 *3^3 +C)-(1/3 +1^3+C)= 1/3*3^3 - 1/3 *1^3=8 2/3 Vorgehensweise: 1. Zuerst berechnet man die Stammfunktion der Funktion f. 2. Danach wendet man entsprechend nach den Integralen die Formel an: int(f,x,a,a)=F(b)-F(a)=stammf(F(x),a,b) Grundintegrale und weitere spezielle unbestimmte Integrale [Edit] 4 Erste Anwendungsgebiete Wie ich schon erwähnt habe, kann man auch die Integralrechnung mit der Differentialrechnung verknüpfen. Dazu ein paar Aufgaben mit Lösungen: 1. Aufgabe: Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=k(-x³+3x+4). Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt von 45 einschließt. Lösungen: Hier benötigt man Kenntnisse aus der Differentialrechnung, im Bereich „Funktionsuntersuchung“. Auch bei solchen Aufgaben kann man Schritt für Schritt vorgehen: 1. Bestimmung des Hochpunktes f(x)=k*(-x^3+3x+4); f'(x)=k*(-3x^2+3);f''(x)=-6kx Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes: f'(x)=0 0=k*(-3x^2+3) 0=-3x^2+3 x_1=1 und x_2=-1 Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes: f'(x)=0 und f''(x)!=0 f''(1)=-6k <0: Hochpunkt f''(-1)=6k >0: Tiefpunkt An der Stelle x=1 liegt ein Hochpunkt vor. H(1, 6k) 2. Bestimmung der Tangente im Hochpunkt Dazu kann man sich erst mal für ein bestimmtes k eine Skizze anfertigen: Wie man leicht sieht, verläuft die Tangente parallel zur x-Achse durch den Hochpunkt. Also ist die Tangentengleichung t(x)=6k. 3. Bestimmung von k Nun geht man ganz normal vor, wie ihr es in meinem ersten Artikel unter Abschnitt 5 gelernt habt. 3.1 Gleichsetzen der beiden Gleichungen, um die Schnittpunkte zu bestimmen: 6k=k(-x^3+3x+4) 6=-x^3+3x+4 |-6 0=-x^3+3x-2 Nun bestimmt man mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellen dieser Gleichung bzw. die Lösungsmenge dieser Gleichung. So erhält man x_1=1 und x_2=-2 3.2 Aufstellen des Integrals int((t(x)-f(x)),x,1,-2)=45 int((6k+kx^3-3kx-4k),x,1,-2)=45 int((kx^3-3kx+2k),x,1,-2)=45 k(1/4 + 2^4/4)-3k(1/2 - 2^2/2)+2k(1-(-2))=45 6,75k=45 k=6 2/3 Für k=6 2/3 schließt die Tangente im Hochpunkt von f(x) eine Fläche mit dem Flächeninhalt 45 ein. 2. Aufgabe: Der Graph einer Funktion f mit f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d hat den Punkt P(0, 1) als Sattelpunkt. Der Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente durch diesen Punkt und der Graph von f einschließen, beträgt 5000. Wie heißt die Funktion. Lösungen: Diese Aufgabe erfordert weitere Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Ihr kennt bestimmt eine Aufgabe, bei der man eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften bestimmen sollte. Dieses eventuell vorhandene Wissen müsst ihr bei dieser Aufgabe mit einfließen lassen. 1. Bestimmung der Ableitungen f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d; f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c; f''(x)=12x^2+6ax+2b 2. Bedingungen aufstellen Aus der Information, dass P(0, 1) ein Sattelpunkt ist, können wir drei Bedingungen aufstellen: 1. f'(0)=0 2. f''(0)=0 3. f(0)=1 Daraus folgt: 1. f'(0)=0->c=0 2. f''(0)=0->b=0 3. f(0)=1->d=1 Somit bleibt folgende Funktion übrig: f(x)=x^4+ax^3+1 Nun fehlt uns eine 4. Bedingung, um den Parameter a zu bestimmen und diese Bestimmung steht im Aufgabentext „Der Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente durch diesen Punkt und der Graph von f einschließen, beträgt 5000. Wie heißt die Funktion.“ 3. Berechnung der Tangente f’(0)=m=0 m=0; P(0, 1) t(x)=1 4. Berechnung der Schnittpunkte von f(x) und t(x): f(x)=t(x) x^4+ax^3+1=1 x^4+ax^3=0 x^3(x+a)=0 x_1=0 und x_2=-a 5. Aufstellen einer Skizze Die schwarze Fläche hat den Flächeninhalt 5000 FE. 6. Aufstellen des entsprechenden Integrals abs(int((t(x)-f(x)),x,-a,0))=5000 abs(int((1-x^4-ax^3-1),x,-a,0))=5000 abs(int((-x^4-ax^3),x,-a,0))=5000 abs(-(0- (-a)^5/5) -a(0- a^4/4))=5000 abs(-1/5 a^5 +1/4 a^5)=5000 abs(a^5)*0,05=5000 |:0,05 abs(a^5)=100000 a_1=10 und a_2=-10 Es gibt zwei Lösungen, da wir nicht wissen, ob a negativ oder positiv ist. Bei den Funktion f(x)=x^4+10x^3+1 und f(x)=x^4-10x^3+1 wird mit der Tangente im Punkt P(0, 1) eine Fläche von 5000 FE eingeschlossen. [Edit] 5 Zusammenfassung Teil II \black\frame\black\big\ Definition: Gegeben sei die Funktion f. Die Funktion x-> int(f,x,a,x) , welche jeder Stelle x den Wert des Integrals int(f,x,a,x) zuordnet, heißt \big\ Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion x-> int(f,x,a,x) ist die Menge aller Zahlen, für die das Integral int(f,x,a,x) existiert. \black\frame\black\big\ Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung: Ist die Funktion f stetig, so ist die Integralfunktion x-> int(f,x,a,x) differenzierbar und die Ableitung ist gleich der Integrandenfunktion f, das heißt es ist I'_a (x)=f(x). \black\frame\black\big\ Definition: Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f über dem Intervall [a; b] bzw. über dem ganzen Definitionsbereich von f, falls ist: F'(x)=f(x) für alle x aus dem Intervall [a; b] bzw. aus dem Definitionsbereich von f. \big\ Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion, sofern die Integrandenfunktion stetig ist. Neuer Berechnungsweg von Integralen mit Hilfe der Stammfunktion: int(f,x,a,b)=F(b)-F(a)=stammf(F(x),a,b) [Edit] 6 Abschluss /Weitere Links So das war nun der zweite Teil. Ich hoffe ich konnte euch das Verfahren, um Integrale mit Hilfe der Stammfunktion zu berechnen, ausführlich und verständlich erklären. Es gibt noch viel mehr, dass man mit Integralrechnung machen kann. Zum Beispiel eine Anwendung, mit der man Rotationskörper berechnen kann. Und genau um dieses Thema handelt der dritte Teil, aber bis dieser fertig ist, kann es noch etwas dauern, da die Schule jetzt wieder los geht. Weitere Links: Weitere interessante Links zur Integralrechnung: Integralsammlung Doppelintegrale Ein paar Integrale ... Weitere interessante Links zur Analysis: Die Ana[rchie]-Reihe Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten [Edit] 7 Quellenangabe Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständliches Schulbuch gehalten. Hier zu kaufen: Teil 1: Einstieg in die Integralrechnung Teil 2: Stammfunktionen & Co. Teil 3: Rotationskörper Teil 4: Uneigentliche Integrale Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion? Euer Florian Modler [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   pdf-Datei zum Artikel öffnen, 89 KB, vom 04.07.2006 16:02:26, bisher 29257 Downloads Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Analysis :: Leicht verständlich :: Schule :: Schüler aufwärts :: Integralrechnung : Stammfunktionen & Co. [von FlorianM]   Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“ Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten Ich hoffe mir ist dieses gelungen. Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Was ist bei unstetigen Funktionen? von: SchuBi am: Mi. 26. Oktober 2005 23:35:00

\(\begingroup\)Du solltest schon zu Beginn schreiben, daß du dich auf stetige Funktionen beschränkst. Wenn du schon den Begriff Aufleiten erwähnst, dann fehlt mir der explizite Zusammenhang deiner Stammfunktionen mit dem Ableiten. Noch ein Kritikpunkt (es liegt wahrscheinlich an der Schulbuchvorlage) Was fällt euch auf? Kleiner Hinweis. Leitet doch mal die Integralfunktion wieder ab. GENAU! Ihr erhaltet wieder die Integrandenfunktion. Daraus folgt: Die Ableitung der Integralfunktion ist die Integrandenfunktion. So funktioniert Mathematik nur in Schulbüchern. Zumindestens eine Beweisskizze wäre an dieser Stelle angebracht.\(\endgroup\)