Mathematik: Schwache Konvergenz
Released by matroid on Fr. 23. Dezember 2005 08:34:34 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Da Matroid mir nun ein paar neue Pfeile im FED zur Verfügung gestellt hat, werde ich sie mal zur Anwendung bringen. Das Thema ist nun eines aus der Funktionalanalysis, nämlich die schwache Konvergenz. Hierbei betrachtet man nicht die Konvergenz in der Norm, sondern nennt eine Folge konvergent, wenn sie für alle linearen Funktionale konvergiert.

Grundlegende Definitionen

\ Sei im folgendem X eine Banachraum über \IC. Der Dualraum X^\* ist definiert als die Menge aller stetigen linearen Funktionale l: X -> \IC. Dieser ist zusammen mit der Norm norm(l) := sup( norm(x) = 1, abs(l(x))), der Operatornorm, wieder ein Banachraum. Der Bidualraum X^\*\* = (X^\*)^\* ist der Dualraum des Dualraums. Mittels \iota: X -> X^\*\*, x \mapsto (l \mapsto l(x)) also der Abbildung, die ein lineares Funktional an der Stelle x auswertet, erhält man eine Einbettung X \hookrightarrow X^\*\*. Wenn diese Einbettung surjektiv ist, nennt man den Banachraum reflexiv, also X^\*\* ~= X ist. Wenn der Banachraum X eine abzählbare Basis enthält, nennt man ihn separabel, \exists menge(e_n)_(n \in \IN) mit X = span(e_n)^- . Eine Folge x_n \in X, n \in \IN heisst konvergent gegen x, wenn gilt norm(x_n - x) -> 0 für n-> \inf, dann schreiben wir x_n -> x Die gleiche Folge heisst schwach konvergent gegen x, wenn gilt: \forall l \in X^\* l(x_n - x) -> 0 für n-> \inf, dann schreiben wir x_n \rightharpoonup x. Die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie wird als schwache Topologie bezeichnet.

Eigenschaften der schwachen Konvergenz

\ \big Lemma 1: \normal Die Norm-Topologie ist stärker als die schwache Topologie. Das heisst, dass eine Folge, die in Norm konvergiert, auch schwach konvergiert. Beweis: Sei x_n -> x, also norm(x_n - x) -> 0, und l \in X^\*. Somit gilt: abs(l(x_n -x)) <= norm(l) * norm(x_n - x) -> 0, also x_n \rightharpoonup x. \bigbox \big Beispiel 2: \normal Die schwache Konvergenz ist wirklich schwächer als die Normkonvergenz: Sei H ein seperabler Hilbertraum, und u_n, n \in \IN eine Orthonormalbasis. Dann ist u_n \rightharpoonup 0, da für jedes lineares Funktional l \in H^\* ein g \in H existiert, so dass \forall v \in H: l(v) = braket(g,v), und dann l(u_n) = braket(g,u_n) -> 0 für n->\inf, da dies die Entwicklungkoeffizienten sind. Allerdings gilt norm(u_n) = 1, also können die u_n in Norm nicht gegen 0 konvergieren. \big Lemma 3: \normal Die schwache Topologie ist Hausdorff. Beweis: Dies ist eine unmittelbare Konsequenz des Satzes von Hahn-Banach nach dem die linearen Funktionale punkttrennend sind. \bigbox

Eigenschaften von reflexiven Banachräumen

\ Ich möchte hier 2 Resultate über reflexivier Banachräume notieren, die ich danach noch brauchen werde. Ich werde sie in diesem Artikel nicht beweisen, da sie Anwendungen des Satzes von Hahn-Banach darstellen. Allerdings kann ihre Gültigkeit zum Beispiel an einem separablen Hilbertraum eingesehen werden. Diese bilden ja eines der wichtigsten Beispiele. \big Lemma 4: \normal Für X ein reflexiver Banachraum, und Y ein abgeschlossener Teilraum, ist Y ein reflexiver Banachraum. ohne Beweis. \big Lemma 5: \normal Ist X^\* separabel, so ist auch X separabel ohne Beweis. \big Korollar: \normal Ist X separabel und reflexiv, so ist auch X^\* separabel. Beweis: Da X^\*\* = (X^\*)^\* sowie X^\*\* ~= X also separabel ist, folgt die Behauptung aus Lemma 5. \bigbox Als Beispiel sei hier noch erwähnt, dass für p,q \in (1,\inf) mit 1/p + 1/q = 1 also dualen Indizes gilt, dass: L^p, l^p reflexiv sind, so wie (L^p)^\* ~= L^q und (l^p)^\* ~= l^q.

Der Einheitsball

\ Eine Orthonormalbasis liefert ein Beispiel für eine Folge, die keine normkonvergente Teilfolge besitzt. In der schwachen Topologie ist sie aber konvergent. Jetzt ist die Idee, die Kompaktheit des Einheitsball für die schwache Konvergenz zu zeigen, naheliegend. \big Theorem 6: \normal Für X ein reflexiver Banachraum, ist der Einheitsball folgenkompakt. Beweis: Sei x_n \in X mit norm(x_n) <= 1 1.) Reduktion auf den seperablen Fall: Der Unteraum Y := span(x_n, n \in \IN)^- ist seperabel und nach Lemma 4 wieder reflexiv. Es genügend außerdem nur die Konvergenz in Funktionalen aus Y^\* zu betrachten, da für l \in X^\*, man dieses auf Y einschränken kann, und so ein Funktional in Y^\* erhält. Jetzt ist Y^\* nach Lemma 5 auch wieder seperabel und wir haben deswegen eine Basis l_n, so dass Y^\* = span(l_n, n \in \IN)^-. 2.) Konstruktion der Konvergenten Teilfolge Sei nun l_n die Basis von Y^\*. Dann kann man für l_1 eine Teilfolge von x_n finden, so dass l_1 (x_(n_1)) in \IC konvergent ist, da l_1 (x_n) eine Folge in \IC ist. Jetzt kann man für l_2 eine Teilfolge x_(n_2) von x_(n_1) finden, so dass diese in \IC konvergiert. Wir können diesen Prozess jetzt für jedes l_n machen, um immer neue Teilfolgen zu erhalten. Leider erhalten wir so nur folgen, die bis zu einem bestimmen n für alle l_k k <= n konvergent sind. Wir bekommen wir nun eins, dass für alle l_n konvergent ist. Hierfür basteln wir eine sogenannte Diagonalfolge, also: x_n' := x_(n_n) Also wir wählen als ntes Glied, das n-te Glied der n-ten oben konstruierten Folge. Es sollte nun klar, sein, dass x_n' für jedes l_n irgendwann konvergiert. 3.) Der Schwache Grenzwert Wir haben nun für jedes der Funktionale l_n einen Grenzwert y_n := lim(k->\inf, l_n (x_k')) dadurch können wir ein Element y' \in Y^\*\* angeben. Diesem entspricht ein Element y \in Y, da unser Banachraum reflexiv ist. Also haben wir: x_n' \rightharpoonup y \bigbox Es sei erwähnt, dass man für Banachräume sogar folgendes Resultat zeigen kann: \big Theorem 7: \normal Der Einheitsball ist genau dann folgenkompakt in der Normtopologie, wenn der Banachraum endlich dimensional ist. ohne Beweis.

Ein Beispiel aus den partiellen Differentialgleichungen

\ DieKrabbe hat mir dankenswerterweise ein sehr schönes Beispiel genannt. Deswegen wird dieses jetzt noch nachgereicht. Die 1 dimensionale Wellengleichung ist gegeben durch: \ll(1)(\pd^2 u)/(\pd t^2) - (\pd^2 u)/(\pd x^2) = 0. Durch Variablentransformation (\xi = x + t, \eta = x - t) sieht man, dass die allgemeine Lösung gegeben ist durch: \ll(2) u(t,x) = f(x - t) + g(x + t), wobei ich hier verlangen werde, dass f,g \in C^2(\IR) \cut L^2(\IR) sind. Um die Sache zu vereinfachen, werden wir nur f,g \in L^2(\IR) betrachten, und die Differentiationsfragen ausser acht lassen. Eine saubere Behandlung würde Sobolevräume verlangen. Weiters haben wir, da H:= L^2(\IR) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt braket(f,g) = int(f(x) * g(x),x,-\inf,\inf) ist. Also gilt H ~= H^\*. Da f,g \in L^2 sind, haben wir, dass u(t, .) \in L^2 ist, und weiters, dass gilt: \ll(3) \forall t \in \IR : norm(u(t, .)) = norm(u(0, .)) Aber wenn man sich die Situation bildlich vorstellt hat, man eine nach rechts und links wandernde Welle hat. Man erwartet, deswegen irgendwie, dass u gegen 0 konvergieren soll. Dies kann nach (3) nicht der Fall sein. Die Hoffnung, dass es aber im schwachen Sinn stimmt, ist berechtigt: \big Behauptung: \normal u \rightharpoonup 0 für t -> \inf Beweis: Sei l \in H^\*, dann existiert ein h \in L^2, so dass l = braket(h, .). Weiters gilt mit dominierter Konvergenz, dass f_n := f * \chi_([-n,n]), g_n := g * \chi_([-n,n]) und h_n := h * \chi_([-n,n]) jeweils gegen f,g,h in L^2 konvergieren. Sei nun \epsilon > 0, dann \exists N \forall n > N norm(f - f_n) < \epsilon, norm(g - g_n) < \epsilon und norm(h - h_n) < \epsilon Jetzt gilt für t > 2 N, dass: l(u(t, .)) = int(h(x) * f(x - t),x) + int(h(x) * g(x + t),x) = = int(h(x) * f(x - t),x,-n,n) + int(h(x) * g(x + t),x,-n,n) + int(h(x) * f(x - t),x, \IR \\ [-n\,n]) + int(h(x) * g(x + t),x, \IR \\ [n\,n]) <= \epsilon * (2 * norm(h) + norm(f) + norm(g)) Wobei beim letzten Schritt Cauchy-Schwarz verwendet wurde. Somit gilt u(t, .) \rightharpoonup 0 für t -> \inf \bigbox

Abschluss

Dieser Artikel hat im Moment eine grosse Schwachstelle. Es fehlt eindeutig ein Anwendungsbeispiel, wo man nur mit schwacher Konvergenz weiter kommt. Ich möchte als für mich das wichtige Beispiel die Zeitevolution eines quantenmechanischen Systems nennen. Bei dieser ist es allerdings nicht direkt die schwache Konvergenz, die man verlangt, sondern schwache Stetigkeit. Also Stetigkeit in der schwachen Topologie. Man braucht hier diesen schwächeren Begriff, da es in der Normtopologie nicht mehr gelten würde. Weitere Beispiele würden dadraus kommen, dass man für partielle Differentialgleichungen den Lösungsbegriff erweitern kann, in dem man für eine Lösung nur verlangt, dass sie der schwache Limes ist. Falls mir irgendwann ein halbwegs elementares Beispiel unter kommt, werde ich es selbstverständlich nachreichen. Aber jetzt sind zumindest Matroids neue FED-Zeichen in mehr als der Nachtwache verwendet worden.
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: Analysis :: Funktionalanalysis :: Topologie :: Reine Mathematik :
Schwache Konvergenz [von cow_gone_mad]  
Ein Artikel über die so genannte schwache Konvergenz von Folgen und die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie.
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"Mathematik: Schwache Konvergenz" | 8 Comments
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Re: Schwache Konvergenz
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. Dezember 2005 10:55:26
\(\begingroup\)Schöner Artikel cow_gone_mad! Die schwache Konvergenz war mir bis jetzt ein Dorn im Auge, doch nun mag ich sie :) Beim Beweis von Theorem 6, müssen aber bei der Definition vom Unterraum Y x_n's stehen... Gruß Ascoli\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: cow_gone_mad am: Fr. 23. Dezember 2005 13:58:28
\(\begingroup\)Hallo Ascoli 😄 Ja, das ist falsch. Sollte bald geändert werden. Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: diekrabbe am: Fr. 23. Dezember 2005 15:03:42
\(\begingroup\)Hallo cow_ Falls Du ein schönes Beispiel für schwache Konvergenz suchst, kann ich Dir eines (ich glaube es steht im Reed, Simon - Band 1) empfehlen. Hier geht es um das AWP der eindimensionalen Wellengleichung. Man betrachtet dabei eine Anfangsauslenkung, die jeweils zur Hälfte nach links und nach rechts wandert. Dabei werden die Wellen breiter und flacher, je weiter sie sich von ihrem Ursprung wegbewegen. Ein wie ich finde sehr anschauliches Beispiel, was mir gut geholfen hat, diesen Begriff zu verstehen. Du kannst ja mal nachschauen, ob das was für dich ist. Frohes Fest und schöne Feiertage an alle Planetarier wünscht DieKrabbe\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: cow_gone_mad am: Fr. 23. Dezember 2005 15:42:28
\(\begingroup\)Hallo Krabbe 😄 Ja, das ist wirklich ein schönes Beispiel. Allerdings habe ich im Moment keinen Reed & Simon zur Hand. *heul* Ich kann mir so viele Bücher nicht leisten. \ Aber was du meinst, ist doch, wenn man u_xx + u_tt = 0 hat, und ein AWP betrachtet mit einer L^2 Funktion, dann gilt: u \rightharpoonup 0 Da man ja hat, dass u(x,t) = f(x - t) + g(x + t) für L^2 Funktionen f,g und da für ein h \in L^2 gilt, dass h * \chi_[n,n] -> h in L^2 also man für f ab t gross genug, f * h < \epsilon ist. Ich glaube, dass sollte ich so weit hinbekommen, dass ich es noch in den Artikel oben reinstellen kann. Dir auch ein frohes Fest und schöne Feiertage, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: diekrabbe am: Fr. 23. Dezember 2005 22:13:06
\(\begingroup\)Genau das mein ich. ;) ich kann das beispiel bei gelegenheit (nicht vor dem 26.) mal posten, bzw deines ergänzen. Bis dennchen Krabbe\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: cow_gone_mad am: Fr. 23. Dezember 2005 23:57:57
\(\begingroup\)Hallo Krabbe 😄 Das wäre nett. Das oben sieht zwar vernünftig aus, ich glaube aber trotzdem die Abschätzung ist nicht optimal, und das es durchaus deutlich geschickter und schöner gehen sollte. Also wäre das super!!! Auf jeden Fall im Vorraus mal Danke! cow_\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 28. April 2007 16:51:51
\(\begingroup\)Schöner Artikel. Ich hab da noch eine Farage. Ich hoffe, ich kann sie hier stellen. |l(x_n -x)| <= ||(l)|| * ||(x_n - x)|| -> 0 Warum gilt diese Ungleichung? Ich meine links werte ich ein Funktional an einer stelle aus und rechts stehen zwei Normen. Wie hängt das zusammen?\(\endgroup\)
 

Re: Schwache Konvergenz
von: Martin_Infinite am: Sa. 28. April 2007 16:56:07
\(\begingroup\)das folgt unmittelbar aus der definition der operatornorm (von l).\(\endgroup\)
 

 
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