Mathematik: Mehrfachintegrale Teil III
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Analysis

\(\begingroup\) Bild In diesem nun dritten und letzten Artikel dieser Serie möchte ich euch ein paar Anwendungen zur Mehrfachintegration zeigen. Dabei gehe ich auf Massen, Gewichtskräfte und Schwerpunkte ein und am Ende folgen noch einige Beispiele. Schaut euch aber zunächst meine ersten beiden Teile Doppelintegrale und Dreifachintegrale an. Das Trägheitsmoment ist ebenfalls eine Anwendung für die Mehrfachintegration doch dazu ist KingGeorge schon in seinem Artikel "Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente" eingegangen.

pdf-Version des Artikels Inhaltsverzeichnis: 1. Flächen, Volumen 2. Masse 3. Gewichtskraft 4. Schwerpunkt 5. Beispiele (Viviani-Fenster, Stehaufmännchen u.a.)
\big\blue Flächen, Volumen: Ist der Integrand bei einem Doppelintegral gleich Eins, so kann man mit einem Doppelintegral die Fläche des Grundbereichs berechnen. Es ist als Fläche von \Omega=int(int(1,x,\Omega),y) aber dies kann auch das Volumen eine Scheibe sein, die die Form von \Omega und die Höhe auf dem gesamten Bereich Eins hat. Ist der Integrand bei einem Dreifachintegral gleich Eins so lässt sich mit int(int(int(1,x),y,K),z) das Volumen des Körpers K berechnen. Man kann dieses Dreifachintegral auch als Doppelintegral auffassen, denn nehmen wir an, dass K durch a<=x<=b, r(x)<=y<=s(x), u(x,y)<=z<=v(x,y) beschrieben werden kann dann ist int(int(int(1,z,u(x,y),v(x,y)),y,r(x),s(x)),x,a,b) =int(int(v(x,y)-u(x,y),y,r(x),s(x)),x,a,b) Setzen wir nun h(x,y)=v(x,y)-u(x,y) und \Omega: a<=x<=b, r(x)<=y<=s(x), dann ist int(int(h(x,y),x,\Omega),y) ebenfalls das Volumen von K für den Fall dass h(x,y) für alle (x,y)\el\ \Omega das Vorzeichen nicht wechselt. Aber für mehr Details schaut in die Vorgängerartikel.
\big\blue Masse: Massen lassen sich sowohl mit Doppelintegralen als auch mit Dreifachintegralen berechnen. Schauen wir und zunächst die Masse einer Scheibe an. Hat die Scheibe eine Form \Omega und eine variable Dichte von p(x,y). p(x,y) gibt uns die Dichte in Gewicht pro Flächeneinheit an. Natürlich muss die Dichtefunktion p(x,y) in jedem Punkt (x,y)\el\ \Omega stetig sein. Dann lässt sich die Masse m berechnen mit m=int(1,m,\Omega)=int(int(p(x,y),x,\Omega),y). Hierbei ist dm die Masse zum infinitesimal kleinem Flächenelement dx*dy. Auf diese Thematik bin ich im ersten Teil der Mehrfachintegral Artikelserie eingegangen. Gibt p(x,y,z) (Gewicht pro Volumeneinheit) die Dichte in jedem Punkt (x,y,z) eines Körpers K an, so ist die Gesamtmasse von K m=int(1,m,K)=int(int(int(p(x,y,z),x),y,K),z) Auch hier schaut euch den Artikel zum zweiten Teil der Serie an.
\big\blue Gewichtskraft: Nachfolgend differenziere ich nicht mehr zwischen Doppel und Dreifachintegral, da beide Fälle analog verlaufen. Befindet sich unser Körper K nun in einem inhomogenen Schwerefeld, also mit einer variablen Schwerebeschleunigung, dann erhält man die Gewichtskraft eines Körpers mittels Integration. Nach Newton gilt bekanntlich Kraft=Masse mal Beschleunigung. Gibt uns g(x,y,z) die Schwerebeschleunigung in jedem Punkt (x,y,z)\el\ K an, dann ist dG=g(x,y,z)*dm. Hier ist dm unser Massenelement. Die Gewichtskraft lässt sich also mit G=int(1,G,K)=int(g(x,y,z),m,K) berechnen.
\big\blue Schwerpunkt: Der Schwerpunkt ist derjenige körperfeste Punkt, durch den stets, d.h. für alle Körperlagen, die resultierende Gewichtskraft G geht. Das bedeutet einfach, das es egal ist wie wir den Körper drehen er bleibt stets im Gleichgewicht. Schauen wir uns zwei Körper K_1 und K_2 an mit den Massen m_1 und m_2 an. Diese beiden Körper sind durch massefreie Stäbe verbunden. Bild Wenn g die Erdbeschleunigung ist, ist m_1*g=G_1 unsere Gewichtskraft des Körpers K_1 und m_2*g=G_2 die Gewichtskraft unseres Körpers K_2. Durch den Schwerpunkt geht also die Gesamtgewichtsgraft G=G_1+G_2. Damit unser Gesamtkörper im Gleichgewicht ist, muss die Summe der Momente der Teilkörper K_1 und K_2 gleich Null sein. Für die Momente gilt Kraft mal Hebelarm, also muss \lr(1) G_1*(SK_1)^-+G_2*(SK_2)^-=vec(0) Hat S die Koordinaten (x_s, y_s, z_s), K_1 die Koordinaten (x_1, y_1, z_1) und K_2 die Koordinaten (x_2, y_2, z_2) dann erhält man mit (1) G_1*(x_1-x_s)+G_2*(x_2-x_s)=0 G_1*(y_1-y_s)+G_2*(y_2-y_s)=0 G_1*(z_1-z_s)+G_2*(z_2-z_s)=0 Also ist x_s=(G_1*x_1+G_2*x_2)/(G_1+G_2) y_s=(G_1*y_1+G_2*y_2)/(G_1+G_2) z_s=(G_1*z_1+G_2*z_2)/(G_1+G_2) Also ist x_s*G=G_1*x_1+G_2*x_2 y_s*G=G_1*y_1+G_2*y_2 z_s*G=G_1*z_1+G_2*z_2 Wählen wir nun n Massepunkte K_1, ..., K_n mit den Koordinaten K_1=(x_1, y_1, z_1) . . . K_n=(x_n, y_n, z_n) und S=(x_s, y_s, z_s) Bild Nach der Gleichgewichtsbedingung G_1*(SK_1)^-+...+G_n*(SK_n)^-=vec(0) erhalten wir x_s=(G_1*x_1+...+G_n*x_n)/(G_1+...+G_n)=sum(G_i*x_i,i=1,n)/sum(G_i,i=1,n) y_s=(G_1*y_1+...+G_n*y_n)/(G_1+...+G_n)=sum(G_i*y_i,i=1,n)/sum(G_i,i=1,n) z_s=(G_1*z_1+...+G_n*z_n)/(G_1+...+G_n)=sum(G_i*z_i,i=1,n)/sum(G_i,i=1,n) Haben wir also einen Körper K der aus unendlich vielen Teilkörpern K_i besteht mit den infinitesimalkleinen Gewichtskräften dG, dann gehen unsere Summen in Integrale über, dann ist x_s=int(x,G,K)/int(1,G,K) y_s=int(y,G,K)/int(1,G,K) z_s=int(z,G,K)/int(1,G,K) bzw. in Vektorschreibweise S^>*G=int(x^>,G,K) wobei G=int(1,G,K) und x^>=(x;y;z) ist
Nun gibt es auch einige Spezielfälle: 1) In einem homogenen Schwerefeld also g=const ist G=g*m, z.B. g die Erdbeschleunigung und m die Gesamtmasse. Dann entspricht der Schwerpunkt S dem Massenmittelpunkt C. Mit dG=g*dm folgt x_s*g*m=int(x*g,m,K) und y_s*g*m=int(y*g,m,K) Hier lässt sich g rauskürzen und man erhält C^>=m*(x_s;y_s)=int(1,m,K)*(x_s;y_s)=(int(x,m,K);int(y,m,K)) 2) Haben wir einen homogenen Körper also wo sowohl g als auch p (Dichte) konstant ist, ist der Schwerpunkt S gleich dem Volumenmittelpunkt V. Mit G=g*p*V und dG=g*p*dV ist x_s*g*p*V=int(x*g*p,V,K) und y_s*g*p*V=int(y*g*p,V,K) hier lässt sich g und p rauskürzen Bei homogenen Körpern gibt es die Besonderheit, dass falls der Körper K eine Symmetrieachse besitzt, der Schwerpunkt bzw der Volumenmittelpunkt auf dieser Achse liegt. \big Beispiel 1: Nun betrachten wir einen homogenen Körper, der wie unten im Bild aussieht. Bild Aus drei Teilen, einen kleinen Quader, einen großen Quader und in diesem ist eine Aussparung. Die Aussparung hat ein negatives Volumen. Betrachten wir zuerst den kleinen Quader, dieser hat ein Volumen von V_1=a*b*c. Der Mittelpunkt liegt bei M_1=(x_s1;y_s1;z_s1)=(3/2*a;1/2*b;1/2*c) Dann ist V_1*M_1=(3/2*a^2*b*c;1/2*a*b^2*c;1/2*a*b*c^2) Der zweite Quader wird mit Aussparung berechnet. Der zweite Quader hat ein Volumen von V_2=6*a*b*c und den Mittelpunkt M_2=(x_s2;y_s2;z_s2)=(1/2*a;b;3/2*c) und V_2*M_2=(3a^2*b*c;6*a*b^2*c;9*a*b*c^2) Für die Aussparung gilt V_3=-a*b*c und M_3=(x_s3;y_s3;z_s3)=(1/2*a;3/2*b;5/2*c) und V_3*M_3=(-1/2*a^2*b*c;-3/2*a*b^2*c;-5/2*a*b*c^2) Die Lage des Schwerpunktes ist demnach (x_s;y_s;z_s)=sum(V_i*M_1,i=1,3)/sum(V_i,i=1,3)=1/(6*a*b*c)*(4*a^2*b*c;5*a*b^2*c;7*a*b*c^2) =(2/3*a;5/6*b;7/6*c) \big Beispiel 2: Wir möchten den Schwerpunkt der Scheibe \Omega: (x-1)^2+y^2<=1 mit der Dichte p(x,y)=2-sqrt(x^2+y^2) berechnen. Das Schwerefeld soll homogen sein, also g soll konstant sein. Zunächst sollten wir die Gesamtmasse berechnen, diese lässt sich durch m=int(int(2-sqrt(x^2+y^2),x,\Omega),y) Hier bietet es sich an den Bereich \Omega in Polarkoordinaten darzustellen. Die Darstellung des Bereichs sieht in Polarkoordinaten wie folgt aus -\pi/2<=\phi<=\pi/2, 0<=r<=2*cos(\phi) Somit ist M=int(int((2-r)*r,r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) =2*int(int(r,r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2)-int(int(r^2,r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) \small Das erste Integral ist die Fläche des Grundbereichs =2*\pi-int(stammf(1/3*r^3,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) =2*\pi-32/9 Für die Koordinaten gilt dann x_s*M=int(int(r*cos(\phi)*(2-r)*r,r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) \small=2*int(int(r^2*cos(\phi),r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2)-int(int(r^3*cos(\phi),r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) =2*\pi-64/15 => x_s=(2*\pi-64/15)/(2*\pi-32/9)~=0.74 y_s*M=int(int(r*sin(\phi)*(2-r)*r,r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) \small=2*int(int(r^2*sin(\phi),r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2)-int(int(r^3*sin(\phi),r,0,2*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) =0 => y_s=0
\big Beispiel 3: Wir wollen das Volumen des Vivianischen Fensters berechnen Bild Das ist der Schnitt der Kugel x^2+y^2+z^2<=R^2 und des Zylinders (x-R/2)^2+y^2<=(R/2) Bild Die Projektion des Fenster auf die xy-Ebene ist der Kreis K={(x,y);(x-R/2)^2+y^2<=(R/2)^2}. Das Viviani Fenster wird oben durch z=u(x,y)=sqrt(R^2-x^2-y^2) und unten von z=u(x,y)=-sqrt(R^2-x^2-y^2) begrenzt. Das Volumen oberhalb von K ist gleich dem unterhalb von K. Also ergibt sich für das Volumen V=2*int(int(sqrt(R^2-x^2-y^2),x,K),y) Da es sich bei K um einen Kreis handelt, wären hier Polarkoordinaten sinnvoll. In Polarkoordinaten wird der Kreis durch 0<=r<=R*cos(\phi) und -\pi/2<=\phi<=\pi/2 beschrieben. Ausserdem ist sqrt(R^2-x^2-y^2) in Polarkoordinaten sqrt(R^2-r^2) und dx*dy=r*d\phi*dr Also ist V=2*int(int(r*sqrt(R^2-r^2),r,0,R*cos(\phi)),\phi,-\pi/2,\pi/2) =4/3*R^3*(\pi/2-2/3)
\big Beispiel 4: Wir haben ein Stehaufmännchen aus einem eisernen Kugelabschnitt mit der Dichte p_E=7 und einen hölzernen Kegel mit der unbekannten Dichte p_H. Die Schnittkante hat einen glatten Übergang. Die Gesamthöhe ist das Dreifache des Kugelradius. Man soll p_H nun so bestimmen, dass das Stehaufmännchen auch wieder aufsteht. Bild Nun müssen wir zunächst a bestimmen. Legen wir unseren Ursprung in den Mittelpunkt der Kugel, dann kann die obere Hälfte der Kugel durch f(x)=sqrt(R-x^2) beschrieben werden. Zunächst bestimme ich b=a-R. Das ist der Abstand des Kegelbodens vom Ursprung. Ich suche das x mit f(x)=b => x=+-sqrt(R^2-b^2) In diesem Punkt nimmt der Kreis den Wert b an. Nun soll die Steigung in diesem Punkt gleich der von der linken Kante des Kegels sein, da wir einen glatten Übergang erzielen wollen. Die steigun des Kreises in diesem Punkt ist f'(-sqrt(R^2-b^2))=sqrt(R^2-b^2)/b Die Steigung der Kegelkante ist (2R-b)/sqrt(R^2-b^2). Das setzen wir gleich und erhalten für b=R/2. Damit ist a=3/2*R. Also haben Kegel und Kugelabschnitt die gleiche Höhe. Da die Dichten der Stoffe konstant sind handelt es sich hier um einen homogenen Körper sodass der Schwerpunkt auf der Symmetriachse liegt. Die Symmetrie Achse ist die y-achse. Also sind die Schwerpunktkoordintane x_s=z_s=0 Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kugelabschnittes Bild Wir schauen uns zunächst den Kegel an. Der Kegel hat eine Höhe h und einen Grundkreisradíus R_1 Bild Wir berechnen zuerst den Schwerpunkt eines allgemeinen Kegels. Dieser hat die Höhe h und den Grundkreisradius a. Ein Kegel dessen Grundkreis in der xy-Ebene liegt und die z-Achse die Symmetrieachse des Kegels ist, kann durch K: -a<=x<=a, -sqrt(a^2-x^2)<=y<=sqrt(a^2-x^2), 0<=z<=h-h/a*sqrt(x^2+y^2) beschrieben werden. Das Volumen Element ist dV=dx*dy*dz. Das Volumen ist V=int(1,V,K) Transformieren wir den Kegel in Zylinderkoordinaten, dann hat der Kegel mit x=r*cos\phi, y=r*sin\phi und z=z die folgende Darstellung K_Zylinder: 0<=r<=a, 0<=\phi<=2*\pi, 0<=z<=h-h/a*r Das Volumenelement ist dann dV=r*dz*dr*d\phi Das Integral geht dann über in V=int(int(int(r,z,0,h-h/a*r),r,0,a),\phi,0,2*\pi) =1/3*h*a^2*\pi Da wir hier eine Symmetrieachse haben, die z-Achse, sind die x und y-Koordinaten gleich null. Brauchen wir nur z_s zu berechnen. Wie oben gesehen gilt allgemein für einen Körper K z_s=int(z,G,K)/int(1,G) Hier handelt es sich aber um einen homogenen Körper sodass z_s sich auf z_s=int(z,V,K)/int(1,V,K) reduziert. V=int(1,V,K) kennen wir bereits bleibt also nur int(z,V,K) zu berechnen. int(z,V,K)=int(int(int(z*r,z,0,h-h/a*r),r,0,a),\phi,0,2*\pi) =int(int(stammf(1/2*z^2,0,h-h/a*r)*r,r,0,a),\phi,0,2*\pi) =int(int(1/2*(h-h/a*r)^2*r,r,0,a),\phi,0,2*\pi) =int(stammf(h^2*(a+3*r)*(r-a)^3/(24*a^2),0,a),\phi,0,2*\pi) =int(a^2*h^2/24,\phi,0,2*\pi) =a^2*h^2*\pi/12 Damit ist z_s=(a^2*h^2*\pi/12)/(h*a^2*\pi/3)=h/4 In unserem Kegel ist h=3/2*R und a=R_1=sqrt(3)/2*R. Da wir auch ein anderes Koordinatensystem gewählt haben, ist y_s zu berechnen, denn bei uns ist die y-Achse die Symmetrieachse. => V_Kegel=3/2*R*(sqrt(3)/2*R)^2*\pi/3=3/8*R^3*\pi => M_Kegel=3/8*p_H*R^3*\pi => y_s=7/8*R Doch warum 7/9*R? Nunja würde unser Kegel in der xz-Ebene liegen wäre der Schwerpunkt bei y=3/8*R, aber da der Kegel um b nach oben verschoben ist, gilt y_s=3/8*R+b=3/8*R+1/2*R=7/8*R Schauen wir uns nun den Kugelabschnitt an. Dieser hat bekanntlich den Radius R. Die kugel ist praktisch bei y=R/2 abgeschnitten. Bild Den Kugelabschnitt könnte man wie folgt beschreiben: Kugel: -R<=y=R/2, -sqrt(R^2-y^2)<=x<=sqrt(R^2-y^2), -sqrt(R^2-x^2-y^2)<=z<=sqrt(R^2-x^2-y^2) Doch wir transformieren wieder auf Zylinderkoordinaten. Der y-Wert läuft von -R bis R/2, die horizontalen Schnitte haben haben einen von y abhängigen Radius nämlich sqrt(R^2-y^2), da es sich um Vollkreise handelt läuft hi wieder von Null bis 2\pi Also hat der Kugelabschnitt in Zylinderkoordinaten folgende Darstellung KugelZ: -R<=y<=R/2, 0<=r<=sqrt(R^2-y^2), 0<=\phi<=2\pi Damit ergibt sich für das Volumen V_kugel=int(int(int(r,r,0,sqrt(R^2-y^2)),y,-R,R/2),\phi,0,2*\pi) =int(int(1/2*(R^2-y^2),y,-R,R/2),\phi,0,2*\pi) =int(9/16*R^3,\phi,0,2*\pi) =9/8*R^3*\pi Kommen wir nun zum Schwerpunkt des Kugelabschnittes, der ist y_s=int(z,V,KugelZ)/V_kugel =int(int(int(r*y,r,0,sqrt(R^2-y^2)),y,-R,R/2),\phi,0,2*\pi)/V_kugel =int(int(1/2*(R^2-y^2)*y,y,-R,R/2),\phi,0,2*\pi)/V_kugel =int(-9/128*R^4,\phi,0,2*\pi)/V_kugel =(-9/64*R^4*\pi)/V_kugel =-R/8 Die Masse der Kugel ist M_Kugel=p_E*9/8*R^3*\pi=63/8*R^3*\pi Jetzt haben wir alles was wir benötigen um den Schwerpunkt unseres Stehaufmännchen zu berechnen. Masse Kegel: M_kegel=3/8*p_H*R^3*\pi Schwerpunkt Kegel: y_kegel=7/8*R Masse Kugel: M_kugel=63/8*R^3*\pi Schwerpunkt Kugel: y_kugel=-R/8 Nun gilt für den Schwerpunkt des Stehaufmännchens y_s=(M_kegel*y_kegel+M_kugel*y_kugel)/(M_kegel+M_kugel) =7/8*R*(p_H-3)/(p_H+21) Der Schwerpunkt liegt also bei (x_s;y_s;z_s)=(0;7/8*R*(p_H-3)/(p_H+21);0) Doch wie groß darf nun p_H maximal sein? Dazu stellen wir uns den "worst case" vor, nämlich dass unser Stehaufmännchen so gekippt wird, dass Kante des Zylinders den Boden berührt. Bild Die Gewichtskraft des Männchens wirkt immer senkrecht zum Boden. Wir suchen also den Punkt, den die Normale im Übergang von Kegel und Kugel mit der y-Achse gemeinsam hat. Die Kante des Kegels hat die Steigung m_1=(3/2*R)/(sqrt(3)/2*R)=sqrt(3) Die Normale an diese Gerade hat also die Steigung m_2=-1/sqrt(3) Die Normale soll also durch den Punkt (-sqrt(3)/2*R, R/2) gehen. Dies erfüllt die Gerade g=-1/sqrt(3)*x. Also schneidet die Normale die y-Achse im Ursprung. Damit muss die Schwerpunktskoordinate y_s kleiner als Null sein => y_s=7/8*R*(p_H-3)/(p_H+21)<0 Nun ist gewiss p_H+21>0 demnach muss p_H-3<0 also p_H<3 sein
\big Beispiel 5: Es soll das Dirichlet-Integral I=int(x^(\a-1)*y^(\b-1)*z^(\g-1),(x,y,z),M) mit M=menge((x;y;z)\el \IR^3|x,y,z>=0, (x/a)^m+(y/b)^n+(z/c)^p<=1) und \a,\b,\g,a,b,c,m,n,p>0 berechnet werden. Zunächst machen wir eine Koordinatentransformation g^(-1)(x,y,z)=(u;v;w)=((x/a)^m;(y/b)^n;(z/c)^p) => g(u,v,w)=(x;y;z)=(a*u^(1/m);b*v^(1/n);c*w^(1/p)) Das Integrationgebiet ist dann u+v+w=1, da x,y,z>=0 sind sind es auch u,v,w. Mit dieser Transformation geht unser Integrationsbereich M über in den Tetraeder T mit den Ecken 0^>, e^>_1, e^>_2, e^>_3 Das Volumenelement dV=d(x,y,z)=dx*dy*dz geht über in dV=det(g_u,g_v,g_w)*du*dv*dw Es sind g_u=(a/m*u^(1/m-1);0;0), g_v=(0;b/n*v^(1/n-1);0), g_u=(0;0;c/p*w^(1/p-1)) also ist det(g_u,g_v,g_w)=(a*b*c)/(m*n*p)*u^(1/m-1)*v^(1/n-1)*w^(1/p-1)>0 Also ist I=(a*b*c)/(m*n*p)*I_k mit \small I_k=int((a*u^(1/m))^(\a-1)*(b*v^(1/n))^(\b-1)*(c*w^(1/p))^(\g-1)*u^(1/m-1)*v^(1/n-1)*w^(1/p-1),(u,v,w),T) =>I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*int(u^(\a/m-1)*v^(\b/n-1)*w^(\g/p-1),(u,v,w),T) Bild Im obigen Bild sehen wir den Tetraeder T und die Schnittfläche T_w in der Höhe w. Der Tetraeder ist also alle T_w wobei w von Null bis Eins läuft. In der uv-Ebene wir T_w durch die Geraden u=0, v=0 und u+v=1-w begrenzt. Mit Fubini^(1) lässt sich unser Integral mit I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*int((int(u^(\a/m-1)*v^(\b/n-1),(u,v),T_w))*w^(\g/p-1),w,0,1) beschreiben. Wir transformieren T_w mit der Substitution h(s,t)=(u;v)=((1-w)*s;(1-w)*t) Es ist det(h_s,h_t)=(1-w)^2>0 Mit der Substitution erhalten aus (1-w)*s+(1-w)*t=1-w s+t=1. Also haben wir T_w auf das Dreieck D mit den Ecken 0^>, e^>_1, e^>_2 überführt. Somit wird I zu I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*I_ks mit \small I_ks=int((int(((1-w)*s)^(\a/m-1)*((1-w)*t)^(\b/n-1)*(1-w)^2,(s,v),D))*w^(\g/p-1),w,0,1) =(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*int((int(s^(\a/m-1)*t^(\b/n-1)*(1-w)^(\a/m+\b/n),(s,t),D))*w^(\g/p-1),w,0,1) =(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*((int(s^(\a/m-1)*t^(\b/n-1),(s,t),D)))*((int((1-w)^(\a/m+\b/n)*w^(\g/p-1),w,0,1))) Wir berechnen die Integrale I_1=int(s^(\a/m-1)*t^(\b/n-1),(s,t),D) und I_2=int((1-w)^(\a/m+\b/n)*w^(\g/p-1),w,0,1) einzeln. Erstmal zu I_1. D lässt sich beschreiben durch 0<=t<=1, 0<=s<=1-t. Also ist I_1=int(int(s^(\a/m-1)*t^(\b/n-1),s,0,1-t),t,0,1) =int(stammf(1/(\a/m)*s^(\a/m),0,1-t)*t^(\b/n-1),t,0,1) =m/\a*int((1-t)^(\a/m)*t^(\b/n-1),t,0,1) Darauf können wir die Beta-Funktion B(p,q)=int(t^(p-1)*(1-t)^(q-1),t,0,1) anwenden, damit erhalten wir I_1=m/\a*B(\b/n,\a/m+1) Das Integral I_2 ist mithilfe der Beta-Funktion I_2=B(\g/p,\a/m+\b/n+1) Also ist I=(a^\a*b\b*c^\g)/(m*n*p)*m/\a*B(\b/n,\a/m+1)*B(\g/p,\a/m+\b/n+1) Nun benötigen wir die Beziehung zwischen der Gamma-Funktion und der Beta-Funktion, nämlich B(p,q)=(\G(p)*\G(q))/\G(p+q) Daraus folgt I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*m/\a*(\G(\b/n)*\G(\a/m+1)*\G(\g/p)*\G(\a/m+\b/n+1))/(\G(\a/m+\b/n+1)*\G(\a/m+\b/n+\g/p+1)) Nun gilt für die Gamma-Funktion \G(x+1)=x*\G(x) => I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*m/\a*(\G(\b/n)*\a/m*\G(\a/m)*\G(\g/p))/\G(\a/m+\b/n+\g/p+1) => I=(a^\a*b^\b*c^\g)/(m*n*p)*(\G(\b/n)*\G(\a/m)*\G(\g/p))/\G(\a/m+\b/n+\g/p+1) Mit dieser Formel lässt sich ziemlich angenehm und schnell der Schwerpunkt und Volumen eines Achtelellipsoiden wenn man ein paar Werte der Gamma-Funktion kennt. E=menge((x,y,z)|x,y,z>=0, (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2<=1) V=int(1,(x,y,z),E)=(a*b*c)/8*(\G(1/2))^3/\G(5/2)=(a*b*c)/8*sqrt(\pi)^3/(3/4*sqrt(\pi))=1/6*\pi*abc \small es war \a=\b=\g=1 Um die x-Koordinate des Schwerpunktes zu berechnen muss \a=2 analog für die y bzw. z Koordinate Es ist (x_s;y_s;z_s)=(3/8*a;3/8*b;3/8*c)
Dies ist nun der Abschluss der Reihe über Mehrfachintegrale, hoffe ich konnte euch die mehrdimensionale Integration etwas näher bringen. Es gibt sicher noch viele andere Verwendungszwecke für Mehrfachintegrale, dies sollte nur ein kleiner Vorgeschmack sein. Man kann sogar Weg und Oberflächenintegrale durch Mehrfachintegrale ausdrücken, aber dazu irgendwann mehr. Gruß Artur Koehler (alias pendragon302)
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :: Integration :: Grundstudium Mathematik :
Mehrfachintegrale Teil III [von pendragon302]  
In diesem nun dritten und letzten Artikel dieser Serie möchte ich euch ein paar Anwendungen zur Mehrfachintegration zeigen. Dabei gehe ich auf Massen, Gewichtskräfte und Schwerpunkte ein und am Ende folgen noch einige Beispiele.
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"Mathematik: Mehrfachintegrale Teil III" | 4 Comments
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Re: Mehrfachintegrale Teil III
von: Spock am: Mi. 28. Dezember 2005 18:34:27
\(\begingroup\)Hallo Artur, drei wirklich schöne "Bände" über Integralrechnung von Dir, zum Einsteigen und Vertiefen ein "Muß"! Eine kleine Frage: hat es einen tieferen Grund, daß Du bei den ersten beiden Bildchen hier im dritten Teil ein x-y-z Koordinatensystem zeigst, welches nicht rechtshändig ist? Hannover hat ja eine alte britische Tradition (bzw umgekehrt), vielleicht liegt es daran? Liebe Grüße Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Mehrfachintegrale Teil III
von: pendragon302 am: Mi. 28. Dezember 2005 19:12:51
\(\begingroup\)Hi Juergen, erstmal danke schön für die netten Worte. Als Begründung für mein linkshändiges Koordinatensystem kann ich dir viele nennen -Ich habe eine Rechts-Linksschwäche -Ich bin ein Rebell -Ich stelle mir meine eigenen Regeln auf -die X-achse zeigt doch nach vorn aber nach oben nicht nach unten Suche dir eine Begründung aus 😄 Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Mehrfachintegrale Teil III
von: Spock am: Mi. 28. Dezember 2005 19:22:27
\(\begingroup\)Artur, einverstanden mit allen Begründungen, wenn Du auch den Umlaufsinn bei geschlossenen Kurven-, bzw. Flächenintegralen entsprechend anpasst, 😄 Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Mehrfachintegrale Teil III
von: pendragon302 am: Mi. 28. Dezember 2005 19:59:36
\(\begingroup\)Ich wollte erst nächstes Jahr über diese beiden Themen schrieben, also hab cih dank dir schonmal einen guten Vorsatz fürs nächste Jahr, nämlich mich an ein rechtshändiges Koordinatensystem zu gewöhnen und zu benutzen 😄 Gruß\(\endgroup\)
 

 
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