Mathematik: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
Released by matroid on So. 01. Januar 2006 23:52:29 [Statistics]
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Mathematik

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Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!


Herzlich Willkommen zum finalen Teil der Ana[rchie]-Artikelreihe.
Dieses Mal soll es uns um die Anwendungen der im letzten Teil eingeführten Integralrechnung gehen. Insbesondere wollen wir dabei auf 3 wesentliche Anwendungen eingehen: Die Berechnung von Volumina rotationssymmetrischer Körper, die Berechnung von Bogenlängen von Funktionen sowie die Verwendung von Integralen und Ableitungsfunktionen innerhalb der Physik.


Rotationskörper



Für die erste Anwendung müssen wir zuerst klären, wie wir rotationssymmetrische Körper betrachten wollen. Vorraussetzung, um die Mittel der Integralrechnung anwenden zu können, ist, dass wir unserem Rotationskörper eine Funktion zuordnen können.
Idealerweise ist das eine Funktion, die einen "Querschnitt" durch den Rotationskörper darstellt.

So hat z.B. dieser Kegel hier:
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diesen Querschnitt:

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Entscheidend ist die Darstellbarkeit durch eine "Randfunktion". Wir wollen uns in diesem Artikel auf solche Rotationskörper beschränken, zu denen wir eine stetige Randfunktion angegeben können, also eine Funktion, die durch Rotation um x- oder y-Achse wieder den Rotationskörper ergibt. Die Forderung nach der Stetigkeit ist sinnvoll, da wir so garantieren können, dass wir die Integralrechnung auch wirklich einsetzen können.

Volumina von Rotationskörpern



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(siehe dazu auch Teil IV)


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Wir können diesen Sachverhalt auf den vorherigen zurückführen, indem wir den Körper und die Funktion an der Geraden y=x spiegeln:

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Formal bedeutet dies, dass wir die Umkehrfunktion g der Randfunktion f betrachten. Wir setzen wie in der Skizze a=g(c) und b=g(d).
Damit überhaupt eine Umkehrfunktion existiert, muss f im Intervall [a;b] bzw. [b;a] injektiv sein (oder eineindeutig, wie es auch oft genannt wird). Die Funktion g muss also insbesondere g(f(x))=x und f(g(x))=x für alle x im Intervall [a;b] bzw. [b;a] erfüllen. (In der Tat würde die erste Bedingung ausreichen. Aus ihr folgt bereits die zweite)
Daraus ergibt sich dann die Formel:
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Brotscheiben-Grenzwerte



Bevor wir mit der zweiten Anwendung - den Bogenlängen - anfangen, wollen wir noch einen kleinen, aber feinen Hilfssatz (ein so genanntes Lemma) beweisen, dass uns die Berechnung der Grenzwerte erleichtern wird.
Es handelt sich um das sogenannte "Sandwich-Lemma".


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Bevor wir das beweisen, möchte ich nochmal auf Teil 1 der Reihe verweisen, um die Erinnerungen an Grenzwerte aufzufrischen.

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(Graumsam, oder? )

Bogenlängen



Es ist oftmals interessant zu wissen, wie lang die Kurve ist, die der Graph einer Funktion beschreibt.

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Nun benutzen wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, den wir aus dem letzten Artikel kennen, um dies noch etwas weiter zu vereinfachen:

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Als kleine Anmerkung sei vielleicht noch gesagt, dass man die Forderung, dass f'(x) stetig sein soll, abschwächen kann und stattdessen die Integrierbarkeit von f'(x) im Intervall [a;b] fordern kann. Das würde dasselbe Ergebnis liefern, aber mehr Beweisarbeit erfordern, da das Hantieren mit allgemeinen integrierbaren Funktion sehr viel umständlicher als mit stetigen Funktion ist, da man z.B. nicht mehr allgemein sagen kann, dass die Verkettung integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist. Ganz abgesehen davon sind nichtstetige Funktionen eher selten bis überhaupt nicht in der Schulmathematik von Belang.

Das hier verwendete Prinzip kann man - sofern man die dazu notwendigen Mittel hat - verallgemeinern, um nicht nur Bogenlinien in der Ebene berechnen, so wie wir das getan haben, sondern auch in höher-dimensionalen Räumen. Die Bahn eines Flugzeugs z.B. ist eine Kurve im Raum, deren Länge wir mit der verallgemeinerten Formel berechnen könnten.

Infinitesimalrechnung in der Physik



Neben der innermathematischen Anwendung der Infinitesimalrechnung ist vor allem auch die Anwendung der hier vorgestellten Techniken in anderen Disziplinen wie der Physik zu betonen.

In der Tat ist es so, dass viele physikalische Größen über Integrale und Ableitungen erst definiert werden.

Mechanik



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Elektrizitätslehre



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Auf diese und viele andere Weisen, tritt die Infinitesimalrechnung bei einer Unzahl von Größen und Gleichungen der Mechanik, der Elektrizitätslehre und anderen Gebieten der Physik auf.

So lassen sich das Trägheitsmoment, der (Dreh)Impuls, die Leistung, die (magnetische und elektrische) Spannung und viele, viele mehr über Integrale und Ableitungen definieren, wodurch sich viele Formeln und Zusammenhänge ähnlich wie oben demonstriert als einfache Spezialfälle dieser Definitionen ergeben.

Hat man etwas mehr Mathematik zur Verfügung, so kann man diese Größen auch im Raum mit Integralen definieren, statt wie jetzt allein im Eindimensionalen.

Abschluss



Ja, das war sie... die Ana[rchie]-Artikelreihe. Ich hoffe sie hat euch gefallen und euch vielleicht sogar ein wenig Wissen gebracht.
Ich möchte nochmals allen Helfer(inne)n, Tippsgeber(inne)n und Testleser(inne)n danken, die diese Artikel mitzuverantworten haben , als da wären:
Kiddycat, totedichterin, SchuBi, asterisque, Irrlicht, Wauzi, Kleine_Meerjungfrau, AimpliesB als Mitglieder der AG sowie Buri als Lieferant eines genialen Beweises. Vielen Dank euch.

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Die Ana[rchie]-Reihe



Teil I: Folgen Sie mir!
Teil II: Der Blitzableiter
Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
Teil IV: Extremsport
Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten
Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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: Analysis :: Bogenlängen :: Volumen :: Leicht verständlich :: Integration :
Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus! [von Gockel]  
Letzter Teil der Reihe, der sich mit Bogenlängen und Volumina von Rotationskörpern beschäftigt.
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"Mathematik: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!" | 4 Comments
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Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: murmelbaerchen am: Mo. 02. Januar 2006 08:50:21
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Hallo Gockel,

mein Glückwunsch zu einem weiteren Artikel in Deiner Reihe zur Analysis.
Vieles ist mir zwar bekannt, jedoch lerne auch ich immer noch dazu durch die Form und den Blickwinkel, wie man mir Bekanntes präsentiert.
Sehr gelungen finde ich den Exkurs in die Physik und deren Anwendungen.
Auf ein artikelreiches Jahr 2006 :-)

Viele Grüße
Murmelbärchen

P.S. Von welcher AG redest Du in Deinem Artikel?\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: Gockel am: Mo. 02. Januar 2006 17:17:57
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Hi bärchen.

Vielen Dank für das Lob. :)

Ich sprach/schrieb von der (inzwischen nicht mehr existenten) stillen AG 'Ana für Schüler', die ich gegründet hatte, um die Ana[rchie]-Artikel und meine Testleser-Schar besser verwalten zu können. :)

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: weserus am: Mo. 02. Januar 2006 19:48:11
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Hallo Gockel,

danke für diesen weiteren Artikel und die gute Aufarbeitung.
Sehr gut finde ich die zusätzliche Darstellung des sog.
"Sandwich-Lemma", weil oft danach gefragt und nun auch auf
Deinen Artikel verwiesen werden kann. Wie Murmelbärchen finde
auch ich den Exkurs auf die Anwendungen in der Physik gut.

Grüsse Peter\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 01. Februar 2007 12:51:05
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Habe einen Fehler entdeckt: Bei Anwendungen für Physik hast du die Federspannarbeit als W=1/2 * D *s , was natürlich 1/2*D*s^2 heißen sollte! Aber sonst guter Artikel\(\endgroup\)
 

 
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