Mathematik: Die hyperbolische Scheibe
Released by matroid on Sa. 21. Januar 2006 00:25:58 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Ich habe gestern (27.12.'05) im Schwätz gewitzelt, dass ich noch dringend einen Artikel: "Berücksichtigt mich beim MP-Award." brauche, mit dem ich mich bei euch allen einschleime (jemand hat mich auf die Idee gebracht), und mein erster Themenvorschlag war "Die hyperbolische Scheibe". Leider ist die Idee dann doch in meinem Kopf vor dem Einschlafen herumgekreist, und mir ist gekommen, dass es gar nicht einmal so blöde wäre, etwas zu dem Thema zu schreiben. Allerdings nicht aus dem obigem Grund, sondern weil man an diesem Beispiel versuchen kann zu erklären, was die Riemannsche Geometrie, die man in der Allgemeinen Relativitätstheorie braucht, darstellt. Dieser Artikel ist deswegen nicht als alleinstehend zu denken, sondern eher als Vorbereitung auf einen zweiten, in dem ich versuchen will zu erklären, was ein schwarzes Loch ist. Aber ich kann nicht versprechen, dass ich diesen auch schreiben werde. Ihr seht schon hier, der Artikel liegt seit fast einem Monat in meinem Profil und war bis eben am Verstauben.

Rückblick auf die Ebene

\ Wenn wir die Ebene mathematisch realisieren wollen, ist das nahe liegendste, den E := \IR^2 zu nehmen. Punkte im \IR^2 können wir durch zwei Koordinaten (x,y) beschreiben. Wir wollen nun das Verhalten von Kurven zueinander untersuchen. Als Erstes wollen wir Winkel zwischen Kurven untersuchen. Hierfür brauchen wir noch zusätzliche Strukur auf E, nämlich ein Skalarprodukt g: E \times E -> \IR. Damit können wir nun für zwei Kurven c: I -> E und d: E -> E mit c(0) = d(0) einem Schnittpunkt, den Winkel zwischen den beiden Kurven definieren als: \ll(1) W(c,d,0) = g(c'(0), d'(0)) Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man nun auch Längen von Vektoren messen, in dem man einem Vektor durch: \ll(2) abs(v) = sqrt(g(v,v)) eine Länge zu ordnet. Jetzt können wir auch, die Länge einer Kurve beschreiben, in dem wir sagen, dass für c: [a,b] -> \IR^2 ihre Länge gegeben ist durch: \ll(3) L(c) = int(sqrt(g(c'(t),c'(t))),t,a,b) Ich nehme jetzt an, dass die Konzepte bis hier, jedem halbwegs vertraut waren. Jetzt starten wir los, in die nicht mehr euklidische Geometrie. Hierbei wird der wesentliche Gedanke sein, dass die Geometrie des \IR^2 von unserem Skalarprodukt b herkommt, und dieses werden wir nun verallgemeinern.

Die Metrik

\ Der Gedanke hinter der von mir vorgeschlagenen Verallgemeinerung des Skalarproduktes ist, dass ich es vom Punkt abhängig machen will. Dies macht Sinn, da wir in obigen Gleichungen immer nur die Ableitungen von Kurven an ein und demselben Punkt eingesetzt haben. Dies wollen wir auch etwas formaler fassen, in dem wir hier den "Tangentialraum an einem Punkt p" einführen. Dieser ist für E die Grundmenge, durch: \ll(4) T_p E := menge(c: \IR -> E, c(0) = p) gegeben. Allerdings, dies ist noch nicht die ganze Wahrheit. Wenn zwei Kurven die gleiche Ableitung haben, wollen wir sie miteinander identifizieren. Also wir nennen c, d \in T_p E gleich, falls c'(0) = d'(0) ist. Es ist jetzt ausserdem leicht zu sehen, dass wir auf T_p E eine Vektorraumstruktur erhalten. Jetzt wollen, wir jedem Punkt eine Art Skalarprodukt zuordnen. Das Skalarprodukt ist dann, eine Funktion g_p: T_p E \times T_p E -> \IR, die vom Punkt p abhängt. Ausserdem sollte das Skalarprodukt wieder die Eigenschaften von oben haben. Dies ist aber nicht problematisch, da T_p E eine Vektorraumstruktur hat. Wir haben nun eine Funktion: \ll(5) g: E -> (T_p E \times T_p E -> \IR) Eine solche Funktion bezeichnet man dann als Metrik. Man schreibt nun für g an der Stelle p, g_p : T_p E \times T_p E -> \IR Wir können die Definition der Länge unmittelbar von oben übertragen, wobei wir nur beachten, müssen das wir immer die Metrik immer an der richtigen Stelle nehmen, also: \ll(6) L(c)= int(sqrt(g_c(t) (c'(t), c'(t))),t,0,1) Im Fall \IR^2 können wir nun T_p E wieder mit dem \IR^2 identifizieren. Ausserdem können wir da, die Skalarprodukte mit 2 mal 2 Matrizen identifizieren. Damit erhalten wir eine Funktion: \ll(7) g: \IR^2 -> \IR^(2 \times 2) Rückblickend auf die Ebene, können wir g also schreiben als: \ll(8) g: p \mapsto (1,0;0,1) Also einer konstanten Abbildung. Aber das Interessante wird dann kommen, wenn wir g nicht konstant wählen. Es seien nun noch folgende Schreibweisen, die in der Physik üblich sind, erwähnt, wenn man die Metrik wie oben mit ihrer Matrix g_ij identifiziert, und diese dann auf zwei Vektoren v_i, w_j anwendet, kann man dies schreiben als g(u,v) = sum(g_ij v_i w_j,i\,j = 1, n) ,wobei n die Raumdimension hat. Es ist es jetzt ausserdem noch üblich, die Metrik mit den infinitesimalen Änderungen dx_i in Zusammenhang zu setzen. Wobei man jetzt für die infinitesimale Strecke ds dann schreibt: ds^2 = sum(g_ij dx_i dx_j,i\,j = 1, n) wobei dies bei dem obigen Beispiel: ds^2 = dx^2 + dy^2 wäre. Es sei vielleicht auch noch erwähnt, dass, falls wir anstelle von kartesischen Koordinaten, Polarkoordinaten wählen würden, die Metrik die Gestalt: g_(r,\phi) = (1,0;0,r^2) erhalten würde, oder ds^2 = dr^2 + r^2 d\phi^2

Die hyperbolische Scheibe

\ Dies wird nun das Beispiel, an dem wir einige Eigenheiten besprechen werden, die jetzt auftreten können. Als Grundmenge betrachten wir diesmal den offenen Einheitskreis: \ll(9) \ID := menge((x,y) \in \IR^2, x^2 + y^2 < 1) und als Metrix die Funktion: \ll(10) g_(x,y) = 1/(1 - x^2 - y^2)^2 (1,0;0,1) Es wird also die gewöhnliche Metrik mit einem etwas komischen Vorfaktor versehen, oder auch in der anderen Schreibweise: \ll(10b) ds^2 = 1/(1 - x^2 - y^2)^2 (dx^2 + dy^2) Die erste interessante Eigenschaft ist, dass eine Kurve, die vom Mittelpunkt zum Rand gehen würde unendlich lang wäre. Wenn wir die Kurve: c:[0,1] -> \ID, t \mapsto t betrachten und ihre Länge berechnen erhalten wir: \ll(11) L(c,0,a) = int(sqrt(g_c(t) (c'(t), c'(t))),t,0,a) = int(1/(1 - t^2),t,0,a) = 1/2 (ln(abs((a+1)/(a-1))) welches für a -> 1, gegen \inf geht. Die zweite wichtige Eigenschaft, die man an diesem Beispiel verdeutlichen kann, ist dass die Formel, die wir in der Schule gelernt haben, nämlich, dass der Durchmesser D und der Umfang U eines Kreises in folgender Relation stehen, nicht mehr gilt: \ll(12) U = \pi * D Hierfür nehmen wir uns einen "Kreis" von Radius r mit Mittelpunkt 0 auf der gewöhnlichen Kreisscheibe, und schauen was wir für Umfang und Durchmesser in der Geometrie der hyperbolischen Scheibe erhalten. Den Kreis parametrisieren wir hierfür durch: c: [0,2\pi] -> \ID, t \mapsto (r cos(t), r sin(t), mit c'(t) = (-r sin(t), rcos(t)), somit haben wir: g_c(t) (c'(t), c'(t)) = 1/(1 - r^2)^2 (-r sin(t), r cos(t)) * (1,0;0,1) *(-r sin(t); r cos(t)) = r^2/(1 - r^2)^2 Und für den Umfang: U = int(sqrt(g),t,0,2\pi) = 2 \pi r/(1 -r^2) Jetzt verbleibt es uns noch, den Durchmesser zu berechnen. Dieser entspricht aber zwei Mal obige Formel (11) aus der Abstand zum Rand Berechnung. Wir haben also: D = ln(abs((r+1)/(r-1)) Für den konkreten Wert von r = 1/2 erhalten wir somit beispielsweise: U = 3/4 \pi, D = ln(3) Und somit numerisch ein Verhältnis (2 \pi D) /U = 2.93... Was nicht mit der Schulformel übereinstimmt, wie wir uns vielleicht erwartet hätten.

Abschluss

Ich hoffe, trotz der eher humorvollen Einleitung, konnte ein bisschen seriöseren Inhalt erkannt werden. Hoffentlich werde ich mich dazu aufraffen können, eine Fortsetzung zu schreiben, in der ich es angehe, mal wieder über Physik zu schreiben. Ich hoffe auf jeden Fall, dass man gesehen hat, wie man durch Einführen einer punktabhängigen Metrik neue, interessante geometrische Konzepte erhält. In der Relativitätstheorie wird diese Methode eingesetzt, um die gekrümmte Raumzeit zu beschreiben. Die oben beschriebene hyperbolische Scheibe ist schon eine gekrümmte Fläche, allerdings fehlen uns hier die Hilfsmittel, um die Krümmung wirklich zu beschreiben - zumindest denke ich das im Moment. Ausserdem braucht man in der Relativitätstheorie noch indefinite Metriken. Wer schon Lust auf ein schwarzes Loch hat, kann mal hier schauen (Formel 20).
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Die hyperbolische Scheibe [von cow_gone_mad]  
Erklärungsversuch, was die Riemannsche Geometrie, die man in der Allgemeinen Relativitätstheorie braucht, darstellt.
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"Mathematik: Die hyperbolische Scheibe" | 3 Comments
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Re: Die hyperbolische Scheibe
von: Stefan_K am: So. 22. Januar 2006 22:16:50
\(\begingroup\)Diesen Artikel habe ich gern gelesen, und ich freue mich auf einen nachfolgenden. Die angesprochene Metrik nennt man auch Poincaré-Metrik, und das beschriebene Modell der hyperbolischen Ebene das Poincaré-Scheibenmodell. Dies sollte erwähnt werden, damit ein Leser das Thema bei Interesse weiter nachschlagen kann. Ein anderes Modell ist nämlich das Kleinsche, zwar isomorph dazu, doch bildlich anders: die Punktmenge gleicht sich zwar, doch während im Kleinschen Modell die offenen Sehnen der Scheibe die hyperbolischen Geraden repräsentieren, werden die Poincaré-Geraden durch Kreisbögen dargestellt, welche senkrecht zum Scheibenrand verlaufen (auch "entartet" als Durchmesser). Stefan_K \(\endgroup\)
 

Re: Die hyperbolische Scheibe
von: Hans-im-Pech am: Mo. 23. Januar 2006 12:36:21
\(\begingroup\)Hi cow, danke für den schönen Artikel! Ich werde bei der nächsten Abstimmung an Dich denken. 😄 :-) Viele Grüße, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Die hyperbolische Scheibe
von: cow_gone_mad am: Mo. 23. Januar 2006 22:57:53
\(\begingroup\)Hallo Stefan 😄 Danke für die Zusatzinformation. Habe ich alles noch nicht gewusst, so lerne ich auch noch was dazu. So sollte es auch sein!!! 😄 Das Thema des Artikels kam nur daher, dass in dem Chatmoment dieses Wort in dem Buch, das ich las fiel. Leider weiss ich nicht, welches es war 😉 Die Historiker des MPs werden mir es hoffentlich nicht auf alle Ewigkeit verübeln. @H-i-P: An mich denken ist ein erstes Schritt, für mich abstimmen ein Zweiter 😉 Allerdings solltest du es nur machen, wenn ich meinen inneren Schweinehund überwinde, und auch den angekündigten zweiten Teil schreibe... Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

 
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