Mathematik: Uneigentliche Integrale
Released by matroid on Mi. 08. Februar 2006 19:39:24 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Uneigentliche Integrale Gelegentlich gibt es Flächen, die "ins Unendliche" reichen. So spielt zum Beispiel in der Stochastik die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x)=e^(-x^2) eine Rolle. Sie reicht nach zwei Seiten ins Unendliche. Mit solchen, liebe Schüler und Schülerinnen, ins Unendliche reichende Flächen, ihrem Flächeninhalt und einer entsprechenden Erweiterung des Integralsbegriffs wollen wir uns hier beschäftigen. Es ist nun mein vierter Teil von "Einführung in die Integralrechnung". Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Ein fünfter Teil wird demnach auf jeden Fall noch folgen. Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem kleinen Einblick in die Integralrechnung, genauer in das Gebiet der Uneigentlichen Integrale. Teil 1: Einführung in die Integralrechnung Teil 2: Stammfunktionen & Co Teil 4: Uneigentliche Integrale Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

Inhalt 1 Ein paar Beispiele mit Lösungen 2 Definition des uneigentlichen Integrals 3 Abschluss
1 Ein paar Beispiele mit Lösungen
Schauen wir uns am Anfang die Funktion f mit f(x)=1/x^2 an . Und zwar nur den Teil im 1. Quadranten. 1. Funktion Wenn wir nun die Fläche über dem Intervall [0; 1] berechnen wollen, stellen wir fest, dass die y-Achse eine Asymptote ist und es somit keinen Schnittpunkt mit der y-Achse gibt. Dies sieht man sehr schön am Graphen. Die grau markierte Fläche soll berechnet werden. Grau markierte Fläche Die Fläche "reicht ins Unendliche". Zu ihrer Berechnung kann man das Integral int(f(x),x,0,1) nicht verwenden. Denn dieses Integral ist nicht definiert, weil f nicht im ganzen Intervall [0; 1] definiert ist. Außerdem ist f unbeschränkt. Zur Berechnung der Fläche verspricht folgender Gedanke Aussicht auf Erfolg. Wir berechnen int(f(x),x,a,1) (für 00,int(f(x),x,a,1)) (a>0). Wollen wir dies also anwenden. Zur Berechnung benötigen wir die Stammfunktion der Funktion f. f(x)=1/x^2 =x^(-2) ; F(x)=1/(-2+1)*x^(-2+1)=-1/x Somit erhalten wir, wenn wir unsere Idee fortsetzen: lim(a->0,int(1/x^2,x,a,1))=lim(a->0,stammf(-1/x,a,1))=lim(a->0,-1+1/a) Der Grenzwert existiert nicht, da lim(a->0,1/a) nicht existiert. Gibt es also doch keinen Grenzwert? Ist unsere Idee doch nicht so aussichtsreich, wie wir uns das gedacht haben? Wir halten fest: \black\frame\black\big\ Satz: Für a->0 übersteigt der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f mit f(x)=1/x^2 von a bis 1 jede Schranke. Nicht verzweifeln, nehmen wir einfach ein weiteres Beispiel. Wir wollen von dieser Funktion f mit f(x)=1/x^2 die Fläche über dem Intervall [1; \inf ] berechnen. Die zu berechnende Fläche sieht wie folgt aus: Zu berechnende Fläche Wir gehen zur Berechnung dieser Fläche wie oben vor: int(1/x^2,x,1,\inf )=lim(b->\inf ,int(1/x^2,x,1,b))=lim(b->\inf ,stammf(-1/x,1,b)) =lim(b->\inf ,(-1/b +1))=lim(b->\inf ,-1/b)+lim(b->\inf ,1)=0+1=1 Die Fläche von f über diesem Intervall beträgt also 1. Wir sehen, dass unsere Idee doch nicht so schlecht ist. Halten wir erst einmal unser Ergebnis fest: \black\frame\black\big\ Satz: Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f mit f(x)=1/x^2 von 1 bis Unendlich hat den Flächeninhalt 1. Weil es so gut geklappt hat, nehmen wir uns nun eine zweite Funktion. Und zwar g mit g(x)=1/sqrt(x) . Die über dem Intervall [0; 1] zu berechnende Fläche sieht wie folgt aus: Zu berechnende Fläche Auch hier wollen wir die Fläche über dem Intervall [0; 1] berechnen. Auch hier stoßen wir auf das gleiche Problem wie oben. Die Fläche "reicht ins Unendliche". Zu ihrer Berechnung kann man das Integral int(g(x),x,0,1) nicht verwenden. Denn dieses Integral ist nicht definiert, weil g nicht im ganzen Intervall [0; 1] definiert ist. Außerdem ist g unbeschränkt. Zur Berechnung der Fläche gehen wir mit derselben Methode wie oben vor. Wir berechnen int(g(x),x,a,1) (für 00,int(g(x),x,a,1)) (a>0). Wollen wir dies also mal tun. Zur Berechnung benötigen wir die Stammfunktion der Funktion g. g(x)=1/sqrt(x)=x^(-1/2) ; G(x)=1/(-1/2+1)*x^(-1/2+1)=2*sqrt(x) Wir berechnen den Flächeninhalt: int(1/sqrt(x),x,0,1)=lim(a->0,int(1/sqrt(x),x,a,1))=lim(a->0,stammf(2*sqrt(x),a,1)) =lim(a->0,(2-2*sqrt(a))=lim(a->0,2)-lim(a->0,2*sqrt(a))=2-0=2 \black\frame\black\big\ Satz: Der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion g mit g(x)=1/sqrt(x) von 0 bis 1 beträgt 2. Berechnet auch hier die Fläche über dem Intervall [1; \inf ]: int(1/sqrt(x),x,1,\inf )=lim(b->\inf ,int(1/sqrt(x),x,1,b))=lim(b->\inf ,stammf(2*sqrt(x),1,b)) =lim(b->\inf ,(2*sqrt(b)-2)=lim(b->\inf ,2*sqrt(b))-lim(b->\inf ,2) Der Grenzwert existiert nicht, da lim(b->\inf ,2*sqrt(b)) beliebig groß wird. \black\frame\black\big\ Satz: Für b->\inf übersteigt der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion g mit g(x)=1/sqrt(x) von 1 bis b jede Schranke.
2 Definition des uneigentlichen Integrals
Meine Beispiele haben gezeigt, dass Flächen, die "ins Unendliche reichen", einen endlichen Flächeninhalt haben können. Hierbei kann einmal der Fall vorliegen, dass das "Intervall ins Unendliche reicht" oder zum anderen, dass die Funktion nicht im ganzen Intervall definiert ist (und dort unbeschränkt ist). Es ist daher nahe liegend, den Integralbegriff aus meinem ersten Teil der Serie zu erweitern. Der Einfachheit halber setzen wir die Stetigkeit der Integrandenfunktion f voraus. \black\frame\black\big\ Definition: (1) Die Funktion f sei stetig für alle x>a bzw. für alle x\inf ,int(f(x),x,a,c)) int(f(x),x,-\inf ,b)=lim(c->-\inf ,int(f(x),x,c,b)) (2) Die Funktion f sei stetig für ]a; b] bzw. [a; b[. Dann sei: int(f(x),x,a,b)=lim(c->a,int(f(x),x,c,b)) , falls f definiert ist für ]a; b]; int(f(x),x,a,b)=lim(c->b,int(f(x),x,a,c)) , falls f definiert ist für [a; b[ . Die Integrale links vom Gleichheitszeichen nennt man uneigentliche Integrale. Existiert der Grenzwert rechts vom Gleichheitszeichen nicht, existiert das uneigentliche Integral nicht.
3 Abschluss
Ich hoffe, ihr wisst nun, was man unter uneigentlichen Integralen versteht. Es freut mich, dass wir unsere Erkenntnisse aus dem 1. Teil meiner Serie mit einer Erweiterung des Integralbegriffs erweitern konnten. Seid gespannt auf den fünften Teil der Serie "Einführung in die Integralrechnung". Euer Florian Modler
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: Analysis :: Schule :: Schüler aufwärts :
Uneingentliche Integrale [von FlorianM]  
Gelegentlich gibt es Flächen, die ins Unendliche reichen. So spielt zum Beispiel in der Stochastik die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x)=e^(-x^2) eine Rolle. Sie reicht nach zwei Seiten ins Unendliche. Mit solchen, liebe Schüler und Schülerin, ins Unendliche reichende Flächen handelt der 4. Teil der Serie "Einführung in die Integralrechnung".
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"Mathematik: Uneigentliche Integrale" | 19 Comments
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Re: Uneigentliche Integrale
von: Holibert am: Mi. 08. Februar 2006 20:11:36
\(\begingroup\)Hallo, danke für den Artikel :) Schön erklärt wie man auf den Begriff des uneigentlichen Integrals kommt. Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Hans-im-Pech am: Mi. 08. Februar 2006 20:43:34
\(\begingroup\)Hallo Florian, schöner Artikel, ist Dir gut gelungen! Viele Grüße, HiP \(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Wally am: Do. 09. Februar 2006 08:53:34
\(\begingroup\)Gut gewählte Beispiele, kompetent und didaktisch gut erklärt. Wally\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: AlexP am: Do. 09. Februar 2006 17:11:17
\(\begingroup\)Hi Florian! Einen schönen Artikel hast du da geschrieben. Gruß Alex\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: FlorianM am: Fr. 10. Februar 2006 14:43:20
\(\begingroup\)Hallo, danke für die netten Kommentare. Habe mich sehr gefreut. Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Slider am: Fr. 10. Februar 2006 21:43:39
\(\begingroup\)Hallo, mir gefällt dieser Artikel ebenfalls gut. Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: FlorianM am: Fr. 07. April 2006 15:35:36
\(\begingroup\)Danke Slider. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. April 2006 21:47:57
\(\begingroup\)Lieber Florian, wie immer: bestens; vielen Dank! Leider finde ich - anders als bei den ersten drei Artikeln der Serie - keine doc-Datei zum Download (pdf-Format wäre auch prima)? Gruß Dirk Schlei\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: FlorianM am: Do. 27. April 2006 18:14:51
\(\begingroup\)Hi Dirk Schlei, danke für deinen netten Kommentar und dein Lob. Habe jetzt eine pdf-Version angefügt. :) Ist zwar nicht die beste Qualität, werde das, wenn ich wieder mehr Zeit habe, überarbeiten. Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 17. Januar 2007 20:49:05
\(\begingroup\)danke hast mir den hintern gerettet Wäre eigentlich ganz einfach wenn das einem so klar erklärt wird Auf jeden Fall Dankeschön\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: FlorianM am: Mi. 17. Januar 2007 20:50:52
\(\begingroup\)Kein Problem. Dann hat der Artikel sein Ziel erreicht... :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 04. Februar 2007 17:49:11
\(\begingroup\)Super, jetzt versteh ich langsam was unser Matheprof von uns erwartet. Vielen Dank für deine super einfachen Erklärungen. Nur ein Problem habe ich mit deiner Erklärung. Als wir gesehen haben,dass 1/x^2 dx im Intervall [0,1] Probleme macht, da bei der Stammfunktion 1/x an der stelle x=0 1/0 ein Problem darstellt, hast du einfach gesagt, geht nicht.. schade machen wir ein anderes Beispiel. Nun, aber genau in so einem Dilemma stecke ich mit meiner Stammfunktion -2/(x-1)^0.5 gerade und deine Antwort wird wohl nicht hinreichend für meinen Prof sein :-/ Könntest du das noch etwas erläutern? Ansonsten super Arbeit!! Gruss Christoph\(\endgroup\)
 

Dilemma mit uneigentlichem Integral!
von: SchuBi am: So. 04. Februar 2007 18:00:44
\(\begingroup\)Hallo, Christoph! Melde dich doch auf dem MP an und poste dein Problem. Dann findet sich bestimmt eine zufriedenstellende Antwort.\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 15. Oktober 2007 10:03:38
\(\begingroup\)Danke schön! Muss das für di Uni lernen :)\(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 10. Dezember 2007 09:08:20
\(\begingroup\)Hallo FloriTori, du hast uns mit diesen Artikel unsere süßen Hintern gerettet ;) 3 Engel für uneigentliche Integrale 😁 \(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 15. April 2008 13:36:00
\(\begingroup\)danke, sehr anschaulich 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 09. September 2012 23:08:57
\(\begingroup\)Danke, die Erklärung hat mir echt geholfen 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. März 2013 14:01:50
\(\begingroup\)Danke für diesen Artikel, er hat mir sehr beim Lernen für meine Klausur geholfen ! 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Uneigentliche Integrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 14. Januar 2015 21:11:05
\(\begingroup\)Hallo, Vielen Dank für diese schöne Erklärung mit anschaulichen Beispielen! In meiner Mathe-Klausur morgen wird diesem Thema jetzt mit Sicherheit keine Herausforderung mehr sein. 😄 \(\endgroup\)
 

 
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