Mathematik: Distributionen
Released by matroid on Di. 21. Februar 2006 21:51:30 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Einführung in die Theorie der Distributionen. Diese stellen in einem Sinne eine Verallgemeinerung von Funktionen dar. Ich möchte als erstes klären, was eine Distribution überhaupt ist, und danach darauf eingehen, in welchem Sinn dies den Funktionsbegriff verallgemeinert. Danach möchte ich noch darauf eingehen, wie man die wichtigen Operationen des Differenzierens und des Fouriertransformierens auf Distributionen ausdehnt. Für die Wissenden sei hier erwähnt, dass ich in diesem Artikel sogenannte temperierte Distributionen behandele.

Motivation

\ Man beschreibt in der Elektrostatik Ladungsverteilungen, durch eine Dichtefunktion \rho: \IR^3 -> \IR. Die Gesamtladung ist dann gegeben durch das Integral Q = \int(\rho(x),x). Wenn man nun in diesem Formalismus eine Punktladung an der Stelle r mit Ladung 1 beschreiben wollte, hätte man das Problem: i.) \rho(x) = 0 für x != r ii.) Q = int(\rho(x),x) = 1 Dies ist mit klassichen Funktionen nicht möglich. Deswegen benötigt man eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes, den ich im Folgendem darstellen möchte.

Grundlegende Definitionen

\ Für eine Funktion f \in C^\inf (\IR) und k,l \in \IN ist p_k,l definiert durch: \ll(1) p_k,l (f) := sup(x \in \IR, abs(x^k D^l f(x))) Hierbei ist D der Ableitungsoperator, also D = d/dx. Meine Funktionen sind hier alle komplexwertig, also f: \IR -> \IC. Die \stress Schwartzklasse \normal \calS ist definiert durch: \ll(2) \calS(\IR) := menge(f \in C^\inf (\IR) \forall l,k \in \IN : p_l,k (f) < \inf) Man kann sagen, daß dies die Eigenschaft beschreibt, in allen Ableitungen beliebig schnell fallend zu sein. Dies zeigt auch folgende äquivalente Charakterisierung sehr gut: \ll(2') f \in \calS(\IR) <=> \forall k,l \exists C > 0 \in \IN: abs(D^l f(x)) <= C/(1 + abs(x))^k Hierbei kann C <= max(j <= k,menge((k;j) p_(j\,l) (f))) gewählt werden. Die p_k,l sind nun Seminormen auf \calS(\IR). Es macht also durchaus Sinn, von der von ihnen erzeugten Topologie zu reden. Allerdings ist es deutlich anschaulicher, und für meine Zwecke vollkommen ausreichend, die Topologie durch folgenden Konvergenzbegriff zu charakterisieren. Für eine Folge \phi_k \in \calS und \phi \in \calS ist: \ll(3) \phi_k -> \phi :<=> \forall k,l \in \IN : p_k,l (\phi_k - \phi) -> 0 Die \stress temperierten Distributionen \normal sind nun definiert als: \ll(4) \calS ' (\IR) := menge(u: \calS -> \IC, \forall \phi_k \in \calS : \phi_k -> 0 => -> 0) Ich verwende hier aus Analogiegründen die Schreibweise = u(\phi) für das Auswerten. Eine Distribution ist also ein lineares Funktional auf einem Funktionenraum mit einer bestimmten Stetigkeitseigenschaft. Das alles erinnert vermutlich noch nicht sehr stark an das, was man vielleicht schon über Distributionen gehört hat.
\small\ Um die Notation zu vereinfachen, schreibe ich im Folgenden keine Integrationsgrenzen auf. Alle Integrale sind so zu verstehen, dass sie von - \inf bis + \inf genommen werden.

Die wichtigsten Beispiele

Die Menge \calS (\IR) ist nicht leer, es ist zum Beispiel: (x \mapsto exp(-x^2 /2)) \in \calS (\IR) Hierfür beachtet man, dass Ableiten nur Polynome vor das Exponential bringt, und dann das exp(-x^2 /2) schneller fällt als Polynome wachsen. Man kann sich auch überlegen, dass alle glatten Funktionen mit kompakten Träger in \calS(\IR) liegen, also: C_c ^\inf (\IR) \hookrightarrow \calS(\IR) Hierfür verwendet man, dass die Suprema nur über ein Kompaktum genommen werden. \big Distributionen als verallgemeinerung von Funktionen \normal Für p \in [1,\inf] kann man L^p (\IR) in \calS '(\IR) einbetten, also L^p (\IR) \hookrightarrow \calS '(\IR). Um dies zu zeigen benötigen wir die Hölderungleichung. Sei also q der zu p duale Index, f \in L^p (\IR) und \phi \in \calS(\IR), dann definiere ich eine Distribution T_f : \calS (\IR) -> \IC durch: \ll(5) : = int(f(x) \phi(x),x) Jetzt machen wir uns über die Wohldefiniertheit Gedanken, es gilt: abs() <= int(abs(f(x)) abs(\phi(x)),x,-\inf,\inf) <= <= int(abs(f(x))^p,x)^(1/p) int(abs(\phi(x))^q,x)^(1/q) = = norm(f)_p * int(abs(\phi(x))^q,x)^(1/q) Das Integral int(abs(\phi(x))^q,x) können wir jetzt durch abs(\phi(x)) <= C/(1 + abs(x))^k mit k > q abschätzen. Also haben wir: abs() <= C * norm(f)_p Ausserdem sehen wir, dass diese Konstante für eine Folge \phi_n -> 0 gegen 0 gehen würde, also T_f wirklich eine Distribution ist. Um wirklich L^p \hookrightarrow \calS ' zu haben, müsste man jetzt noch nachrechnen, dass die Abbildung f \mapsto T_f injektiv ist. Es ist durchaus üblich anstelle von T_f einfach nur f zu schreiben. Ausserdem aus Analogie zu = int(f(x) \phi(x),x) schreibt man auch für eine allgemeine Distribution u dann anstelle von : int(u(x) \phi(x),x). Dies ist dann nicht mehr als Integral zu verstehen. Wir können also eine grosse Klasse von Funktionen als Distribution auffassen. Dies rechtfertigt den Namen verallgemeinerte Funktion. Vor allem werden wir noch sehen, dass man Operationen, die man auf Funktionen anwenden kann, auch mit Distributionen machen kann. Aber wir können noch mehr! \big Die Delta\-Distribution \normal Wie wäre es mit Folgendem: Für x \in \IR definiere ich: \delta_x : \calS (\IR) -> \IC, \phi \mapsto \phi(x) Dann ist: abs(<\delta_x, \phi>) = abs(\phi(x)) <= p_0,0 (\phi) Also auch wieder eine temperierte Distribution. Dieses Objekt wird auch oft als Dirac'sche Delta\-Funktion bezeichnet. Hiermit wäre auch das Problem aus der Motivation gelöst. \big Der Cauchy'sche Hauptwert \normal Die Distribution vp(1/x) ist gegeben durch: \:= lim(\epsilon -> 0, int(\phi(x)/x,x,abs(x) > \epsilon) Hierbei steht vp für valeur principale. \big Ordnung einer Distribution \normal Bislang haben wir immer nur eine endliche Menge der p_l,k benötigt, um die Stetigkeitseigenschaft nachzurechnen. Dies stimmt auch im Allgemeinen. Man nennt dann den höchsten Index k, der benötigt wird, die Ordnung der Distribution. Zum Beispiel ist die Delta\-Distribution eine Distribution der Ordnung 0. Ihre Ableitung, die später kommt, oder der Cauchy'sche Hauptwert wäre eine der Ordnung 1.

Differenzieren von Distributionen

\ Es ist jetzt eine interessante Frage, wie man Operationen wie Differentiation auf Distributionen abwälzt. Die Idee ist hier, die Arbeit die Funktionen aus der Schwartzklasse machen zu lassen. Da gilt \calS (\IR) \subseteq L^\inf (\IR) folgt \calS (\IR) \hookrightarrow \calS ' (\IR). Jetzt wollen wir, dass Ableiten die Eigenschaft auf Funktionen überträgt, also wenn wir haben, für f, g \in \calS(\IR) \ = int(f'(x) g(x),x) können wir partiell integrieren, und erhalten: \ = int(f'(x) g(x),x) = - int(f(x) g'(x),x) = -\ wobei die rechte Seite auch für Distributionen Sinn macht. Deswegen liegt es nahe die Operation auch so auf Distributionen zu definieren, was wir auch machen werden. Also, für u \in \calS ' (\IR) und \phi \in \calS (\IR) ist: \ll(6) \ : = - \ So erhalten wir zum Beispiel als Ableitung der Delta Distribution: \<\delta_0 ', \phi\> = - \<\delta_0 , \phi '\> = - \phi ' (0) Also wird hier einer Funktion der Wert ihrer Ableitung zu geordnet. Dies hat zum Beispiel auch in der Physik seine Bedeutung. Da \delta ' die Ladungsverteilung eines perfekten punktförmigen Dipols beschreibt. \big Heavyside Funktion \normal Die Heavyside Funktion H(x) ist definiert durch: H(x) := \fdef(0, x < 0;137, x = 0; 1, x>0) Diese ist in L^\inf \subseteq \calS '. Folglich können wir ihre Ableitung berechnen: \ = \ = -\ = -int(H(x) \phi '(x),x) = -int(\phi '(x),x,0,\inf) = = -stammf(\phi(x),0,\inf) = -(\phi(\inf) - \phi(0)) = \phi(0) = \<\delta_0, \phi\> Womit wir haben H' = \delta_0 Da für alle Funktionen in \calS(\IR) gilt, dass auch alle ihre Ableitungen in \calS(\IR) liegen, können wir auch Ableitungen beliebig hoher Ordnung von Distributionen definieren.

Die Fouriertransformation

\ Für \phi \in \calS(\IR) definieren wir die Fouriertransformierte durch: \ll(7)\ \phi^^ (\xi) := int(exp(-ix \xi) \phi(x),x) Durch geschickte Variablentransformation erhält man dann für \phi, \psi \in \calS(\IR): \ll(8) <\phi^^, \psi> = <\phi, \psi^^> Jetzt können wir durch völlige Analogie zu oben, dies auf Distributionen fortsetzen. Wir können uns fragen, wie die Fouriertransformierte von \delta_c aussieht, wobei c \in \IR ist, also rechnen wir, für \phi \in \calS(\IR): <(\delta_c)^^, \phi> = <\delta_c, \phi^^> = \phi^^ (c) = int(exp(-ix c) \phi(x),x) = Also haben wir: \ll(9) (\delta_c)^^ = (x \mapsto exp(-ix c)) Man beachte hier, dass ich um die Formeln zu vereinfachen die Fouriertransformation ohne Vorfaktor definiert habe.

Pullbacks

\ Da Distributionen etwas mit Integralen zu tun haben und wir bei ihren Ableitungen das partielle Integrieren verallgemeinert haben, stellt sich die Frage, in wie weit man auch das Substituieren verallgemeinern kann. Man geht hier wieder analog vor und schaut sich an, wie die Situation bei Funktionen aussieht, und versucht es dann auf die Funktionen, auf die die Distribution wirkt, abzuwälzen. Vorweg eine Notationsgeschichte: Für einen Diffeomorphismus f von \IR nach \IR bezeichnen wir als: \stress Pullback f^\* \normal, die Abbildung: \ll(10) f^\*: \calS -> \calS, \phi \mapsto \phi \circ f Also haben wir für f einen solchen Diffeomorphismus und \phi, \psi \in \calS, dass gilt: int(f^\* \psi(x) * \phi(x),x) = int(\psi(f(x)) * \phi(x),x) = int(\psi(x) * \phi(f^(-1)(x)) * abs(f'(x)),x) Hierbei tritt wieder \psi alleine auf, es legt also die Verallgemeinerung auf Distributionen nahe: \ll(11) := Wir haben damit f^\* zu einer Abbildung \calS ' (\IR) -> \calS ' (\IR) gemacht. An dieser Stelle möchte ich noch etwas zu der Voraussetzung von f Diffeomorphismus zu sein erwähnen. Dies ist nur auf dem Träger der Distribution supp(u) nötig. Hierbei ist der Träger einer Distribution definiert durch: \ll(12) supp(u) : = menge(x: \forall U \in \calU_x: \exists \phi \in \calS, supp(\phi) \subseteq U, != 0)^- Darin bezeichnet \calU_x das Umgebungssystem von x, und der Träger einer Funktion ist definiert durch: \ll(13) supp(\phi) := menge(x \in \IR: \phi(x) != 0)^-

Abschluss

Ich hoffe diese kurze Einführung war nicht zu schnell. Ich bin hier nicht wirklich in die Theorie der Distributionen eingetaucht, sondern habe nur einen Überblick geben wollen, was sie eigentlich sind. \ Es ist zu bemerken, dass es noch 2 wesentliche Klassen von verallgemeinerten Funktionen gibt, die "Distributionen" \calD ' \(hier geht man anstelle der Schwarzklasse von Funktionen mit kompakten Träger aus\), und "Distributionen mit kompakten Träger" \calE ' \(hier verwendet man alle glatten Funktionen\). Ausserdem habe ich mich hier auf den 1-dimensionalen Spezialfall und den ganzen Raum beschränkt. Man kann dies auch in beliebiger endlicher Dimension und auf offenen Mengen machen. Es gibt ausserdem noch Operationen die sehr viel schwieriger fortzusetzen sind, wie zum Beispiel die Faltung oder kann das Pullback dann nur für Submersionen bewiesen werden. Multiplizieren von Distributionen ist nur in einigen Spezialfällen möglich. Ausserdem ist noch eine interessante Fragestellung, wann eine Distribution als Ableitung einer stetigen Funktion dargestellt werden kann. Auch für dieses Problem gibt es Antworten. Allerdings würden sie den Rahmen hier sprengen, genau wie auch die Lösbarkeitsfrage von partiellen Differentialgleichungen durch Distributionen, oder die Existenz von Fundamentallösungen.

Anhang: Ableitungen von Distributionen

In diesem Abschnitt möchte ich noch ein paar Eigenschaften von Distributionen und Ableitungen zusammenfassen. Dies geschieht in Form eines Anhangs, da ich einiges verwenden möchte, was ich zuvor nicht unbedingt erwähnt habe. \ \big\ Distributionen und Differentialgleichungen Wenn man die Differentialgleichung x * f'(x) = 0 betrachtet, sieht man, dass es für eine differentierbare Funktion genau eine einparameter Schar von Lösungen gibt, nämlich x \mapsto c, wobei c \in \IC eine Konstante ist. Im distributionellen Sinn stimmt dies nicht mehr, da auch die Heavyside Funktion eine Lösung wäre, es gilt ja: H' = \delta_0, sowie: = <\delta_0, x * \phi> = (x \mapsto x)(0) * \phi(0) = 0 * \phi(0) = 0 Wobei ich die Multiplikation mit Glattenfunktionen wieder durch Adjunktion erklärt habe. \big\ Ableitungen kommutieren immer \normal Jetzt gehen wir davon aus, dass wir Distributionen am \IR^n betrachten. Dann gilt, mit \pd_i der partiellen Ableitung nach x_i, dass: <\pd_i \pd_j u, \phi> = - \<\pd_i u, \pd_j \phi> = bigop(=,,,\!) = - \<\pd_i u, \pd_j \phi> = <\pd_j \pd_i u, \phi> Wobei bei bigop(=,,,\!) der Satz von Schwarz einging. Da wir im distributionellen Sinn auch nicht C^2 Funktionen ableiten können, ist dies ein sehr starkes Anzeichen dafür, dass die distributionelle Ableitung nur dann mit der klassischen Ableitung übereinstimmt, solange wir es mit bis dahin stetig differenzierbaren Funktionen zu tun haben. Also gilt insbesondere für f \in C^\inf, dass die distributionelle Ableitung das Gleiche ist wie die klassiche.
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Distributionen [von cow_gone_mad]  
Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Einführung in die Theorie der Distributionen mit einer Motivation aus der Physik.
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"Mathematik: Distributionen" | 11 Comments
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Re: Distributionen
von: Wally am: Mi. 22. Februar 2006 10:15:19
\(\begingroup\)Hallo, cow-gone-mad, die Zusammenstellung der Themen und die Präsentaion gefällt mir. Ich habe noch ein paar Vorschläge, die hauptsächlich daher kommen, dass ich ein paar Beispiele mehr noch besser fände. 1. Wie wär's mit der Heaviside-Funktion als weiterem Beispiel. Man hätte dann auch sofort die Delta-Distribution als Ableitung. 2. Du solltest vielleicht deutlicher herausstellen, dass die Ableitung für reguläre Distributionen die "normale" Ableitung ist 3. Streich doch noch heraus, dass die F.T der Delta-Distibution in Null gerade die 1 ist, so dass Delta als neutrales Element in Faltungsalgebren erhält. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Mi. 22. Februar 2006 13:09:50
\(\begingroup\)Hallo Wally 😄 Erstmal danke, ich glaube ich werde mich irgendwann ans Verbessern machen. Aber noch ein Kommentar zu 3. Es stimmt schon, dass man Delta dann als 1 in Faltungsalgebren hat. Allerdings muss man sich davor mit den technischen Schwierigkeiten die Faltung zwischen 2 Distributionen zu erklären herumschlagen. Dafür muss man sich dann erstmal mit translationsinvarianten Operatoren auseinander setzen. Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen mit Updates
von: cow_gone_mad am: Mi. 22. Februar 2006 20:36:57
\(\begingroup\)Hallo zusammen 😄 Ich will nur kurz auf ein paar Updates im Artikel aufmerksam machen. Vor allem der Anhang ist neu. Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: syngola am: Do. 23. Februar 2006 11:06:21
\(\begingroup\)Hallo Cow, sehr schoener Artikel, schade nur dass man recht viel Ahnung haben muss von Distributionen um ueberhaupt zu verstehen was da alles vor sich geht. Aber auf jeden Fall ein guter Anreiz sich damit etwas naeher zu beschaeftigen! Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Do. 23. Februar 2006 17:43:42
\(\begingroup\)Hallo Peter 😄 Ich habe eigentlich versucht das nötige Wissen über Distributionen möglichst gering zu halten. Was ich nicht mache ist auf die genauen Eigenschaften der Schwartzklasse einzugehen, zum Beispiel was die Konvergenz wirklich bedeutet. Dies ist auf jeden Fall nötig, wenn man tiefer in das Thema eintauchen möchte. Allerdings ist dann der Zugang über Funktionen mit kompaktem Träger deutlich günstiger. Aber ich habe diesen Artikel auch nicht geschrieben, um eine wirklich ausführliche Erklärung der Distributionentheorie zu liefern. Er soll eher eine Erklärung: "Was ist das?", "Was kann man?" und eine Motivation sein sich damit zu beschäftigen. Also glaube ich bei dir hat er es getan 😄 Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 12:44:22
\(\begingroup\)Hallo cow, eine Frage an dich: zu jedem linearen Differentialoperator gibt es ja eine Fundamentallösung im Distributionssinne. Kann man diese auch konstruktiv angeben? Grüße, Christian \(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 12:44:36
\(\begingroup\)PS: schöner Artikel!\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Fr. 24. Februar 2006 13:35:10
\(\begingroup\)Hallo Christian 😄 Oben steht nicht, dass sie existieren! Das stimmt nämlich nicht ... \ Folgendes Beispiel von H.Lewy ist nirgends lösbar, wenn f nicht analytisch ist C^\omega ! -i \pd_1 u + \pd_2 u - 2(x_1 + i x_2) \pd_3 u = f(x_3) Dies wurde sogar von Hörmander auf eine Methode zur Konstruktion nicht lösbarer PDOs verallgemeinert. Allerdings für PDOs mit konstanten Koeffizienten, liefert das Theorem von Malgrange und Ehrenpreis die Existenz von Fundamentallösungen. Ortner und Wagner konnten dafür sogar eine explizite Formel ableiten. Siehe [1] (unten). Für PDOs mit nicht konstanten Koeffizienten hat man auch noch Methoden gewisse Lösungsoperatoren zu konstruieren. Das nennt sich dann Pseudodifferentialoperatoren und Symbolkalkül. Und Danke!!! Liebe Grüsse, cow_ [1] techmath.uibk.ac.at/wagner/psfiles/TRIER.ps\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 13:47:22
\(\begingroup\)Danke Cow, ich meinte ja auch nur mit konstanten Koeffizienten... Grüße, Christian\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Fr. 24. Februar 2006 21:49:48
\(\begingroup\)Hallo zusammen 😄 Noch eine Anmerkung zur Behandelbarkeit mit Distributionen. Man kann mit ihnen prinzipiell nur lineare Probleme behandeln, da man sie nicht multiplizieren kann. Also muss man bei nicht linearen Problemen noch immer zu anderen Mitteln greifen. (Zum Beispiel Einstein Gleichungen). Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: Nodorsk am: Mo. 18. September 2006 22:36:45
\(\begingroup\)Hallo cow, das ist ein schön zu lesender Artikel, gefällt mir gut. Gruß Marc \(\endgroup\)
 

 
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