Auswahl  Home / Seite ohne Frame
Aktuell und Interessant ai
Artikelübersicht/-suche
Alle Links / Mathe-Links
Fach- & Sachbücher Reviews
Mitglieder / Karte
Registrieren/Login
Arbeitsgruppen
? im neuen Schwätz Werde Mathe-Millionär!
Formeleditor fedgeo
Aktion im Forum Zur Anmeldung Beiträge in den Foren  Frage stellen Zum Mathe-Forum Zum Schulmathe-Forum Zum Physik-Forum Zum Informatik-Forum Suche im Forum Fragen? Bedienungsanleitung Suche Kontakt Mail an Matroid [Keine Übungsaufgaben!] Impressum Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und die Forumregeln. Sie können Mitglied werden. Mitglieder können Fragen stellen und im Forum aktiv sein. Für Mitglieder  Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online Sie können Mitglied werden: Klick hier. |
|
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Das elektrische Ersatzschaltbild eines DC-Motors mit Permanenterregung (dargestellt durch den Magneten) zeigt obiges Bild. An den Klemmen legt man die Spannung u an. R_a und L_a bezeichnen den Ankerwiderstand bzw. die Ankerinduktivität. Die Spannung u_i wird durch Induktion erzeugt. Sie bestimmt quasi - zusammen mit der Klemmenspannung u - den fliessenden Ankerstrom i. Sind beide Spannungen gleich gross, kann laut Kirchhoff kein Strom fliessen. Dies kann aber nur ganz ohne Reibung passieren und ist somit ein nicht interessanter Fall.
Der DC-Motor wird nun über elektrische und mechanische Gleichungen beschrieben:
Elektrisch:
\lr(1) u_i = c\Phi \omega
\lr(2) M_el = c\Phi i
Die Maschinenkonstante c\Phi ist eine vom Aufbau des Motors abhängige Grösse. Zudem wird sie von der Erregung beeinflusst. Da wir aber eine konstante Erregung haben, ist sie ebenfalls konstant. Andernfalls wäre sie vom Erregerstrom abhängig.
Zudem gilt nach Kirchhoff:
\lr(3) u = iR_a + L_a di/dt + u_i
Mechanisch:
\lr(4) I_a d\omega /dt = sum(M_n,n) = M_el - M_L
I_a bezeichnet das Massenträgheitsmoment der Welle und der angehängten Last, M_el das vom Motor aufgebrachte Moment und M_L das Lastmoment. Hier ist die Reibung schon in M_L enthalten.
Nun haben wir alle nötigen Gleichungen. Wir möchten nun daraus ein Modell basteln, wo man die Spannung u an den Klemmen beliebig vorgeben kann und dann einen Drehzahlverlauf am Ausgang bekommt.
Da die Grössen M_el und u_i nicht von Bedeutung sind, ersetzen wir sie nach Gleichungen (1) und (2). In Simulink realisiert man die DGL am besten, indem man sie nach der höchsten vorkommenden Ableitung auflöst. Es gilt also nach Gleichung (3):
\lr(5) di/dt = -i*R_a/L_a + u/L_a -\omega *c\Phi /L_a
Die unwichtigen Grössen M_el und u_i haben wir nach Gleichung (1) und (2) gleich ersetzt. Nach Gleichung (4) gilt zudem:
\lr(6) d\omega /dt = i*c\Phi /I_a - M_L/I_a
Ich denke, jeder sollte imstande sein, diese Simulation mit den oben gezeigten Blöcken nachzubauen, da sie allesamt aus der Standardbibliothek stammen. Jeder kann sich die DGLen aus den Signalverbindungen und Blöcken selbst "zusammendenken".
Der zentrale Block für diese Art von Simulationen ist wohl der kontinuierliche Integrator 1/s, welcher z.B. für die Winkelbeschleunigung der Welle am Eingang das Omega herausgibt. Der Einfachheit halber lassen wir unseren Motor immer von Drehzahl Null aus starten.
Jetzt wird auch ersichtlich, warum wir die beiden DGLen nach der höchsten Ableitung aufgelöst haben: Für eine DGL in Simulink benötigt man Integratoren (1/s, im Modell hellblau). Die Eingänge jener Integratoren berechnet man nun aus den gegebenen Größen, aber auch aus der Zustandsgröße (Größe, welche aus dem Integrator herauskommt) selbst. Dies führt zu einer Rückkopplung im Modell. Somit schliesst sich der Kreis.
Im Matlab Workspace definieren wir nun die Parameter für das Modell. Dies kann man alternativ auch mit einem m-File machen. Die Werte sind:
Man sieht die beiden Zeitkonstanten: Die mechanische Zeitkonstante (oberer Plot) wird durch das Massenträgheitsmoment bestimmt und ist meist viel grösser als die elektrische Zeitkonstante (unterer Plot, man beachte den steilen Stromanstieg), welche durch den Ankerkreis bestimmt wird. In unserem Beispiel sind die Werte so gewählt, dass beide Zeitkonstanten gut sichtbar sind.
Charakteristisch für den DC-Motor ist die PT2-Sprungantwort. Weil aber in der Praxis die elektrische Zeitkonstante um Grössenordnungen kleiner ist als die mechanische, ist meistens nur letztere sichtbar.
Sieht toll aus, nicht wahr? Nun, jetzt brauchen wir noch einen Regler und die Rückkopplung des Regelkreises. In der Praxis müsste die Drehzahl des Motors jetzt irgendwie gemessen werden. Unser virtueller Sensor habe jedoch der Einfachheit halber die Übertragungsfunktion 1, deshalb können wir ihn weglassen. Unser Drehzahl-Regelkreis sieht nun so aus:
Der PID-Regler befindet sich in der Bibliothek "Simulink-Extras". Nun müssen wir "nur" noch die Reglerparameter einstellen. Alleine darüber könnte man ein ganzes Buch schreiben, deshalb sei an dieser Stelle auf einschlägige Literatur verwiesen. Wir simulieren 2 Fälle, einmal mit und einmal ohne Überschwingen. Die Solldrehzahl betrage zuerst 10, nach 10s 20 1/s. Hier sind die Ergebnisse:
Man sieht die Überschwinger ganz deutlich. Nach der Ausregelzeit ist die Regelabweichung beinahe verschwunden. Man sieht ebenfalls, dass der Motor viel Strom benötigt, um die gewünschten Drehzahländerungen zu bewerstelligen. Hier wird Gleichung (2) aus Abschnitt "Beispiel 1" deutlich.
Die zweite Simulation, diesmal mit einem Regler ohne Überschwingen:
Auch hier ersichtlich sind die Stromspitzen. Der Regler braucht diesmal deutlich weniger Zeit, um die gewünschte Drehzahl zu erreichen.
In unserem zweiten Beispiel betrachten wir ein Masse-Feder-System. Das Pendel ist in der Skizze in ausgelenktem Zustand gezeichnet.
Die newton'sche Bewegungsgleichung für dieses System lautet:
\lr(7) m x^** = \sum(F_n,n) = F_F + F_G
Die beiden Kräfte sind:
\lr(8) F_F = -kx - bx^*
\lr(9) F_G = mg
k bezeichnet die Federkonstante, g die Erdbeschleunigung. In F_F ist die geschwindigkeitsproportionale Reibung schon berücksichtigt.
Somit ergibt sich folgende DGL 2. Ordnung:
\lr(10) x^** + k/m x + b/m x^* = g
Auch diese DGL wollen wir nun in Simulink "nachbauen". Somit müssen wir wieder die DGL nach der höchsten Ableitung auflösen:
\lr(11) x^** = -k/m x - b/m x^* + g
Hier benötigen wir 2 Integratoren, um die Beschleunigung x'' in den Weg x überzuführen. Wieder ist der Vorteil der Form, welche Gleichung (11) hat, ersichtlich, nämlich die Umformung nach der höchsten Ableitung.
Nun definieren wir noch die Konstanten:
Schön sichtbar ist die exponentielle Abnahme der Amplitude mit zunehmender Zeit t.
Die violette Linie zeigt die Gleichgewichtslage des Pendels.
Bei ihr gilt:
\lr(12) x^** = 0, x^* = 0
und somit folgt:
\lr(13) x=mg/k
In unserem Beispiel liegt sie also bei x_0 = 0.981m.
Die Problematik ist wohl jedem bekannt: Ein Punkt (der Verfolgte), dessen Bewegung in der xy-Ebene mit \gamma(t) gegeben ist, wird von einem anderen Punkt verfolgt. Die Geschwindigkeit des Verfolgerpunktes (grün) zeige zu jedem Zeitpunkt genau zum Verfolgten (rot) und habe den Betrag v_0. Wie sieht die Bahnkurve des Verfolgerpunktes aus?
Leiten wir kurz die beiden gekoppelten DGLen her:
Der Geschwindigkeitsvektor v_0 wird in seine x- und y-Komponenten zerlegt:
\lr(14)v_0x = x^*_0 = v_0 * cos(\alpha)
\lr(15)v_0y = y^*_0 = v_0 * sin(\alpha)
Nun drücken wir den sin und den cos von Gleichungen (14) und (15) mit den gegebenen geometrischen Grössen aus:
\lr(16)x^*_0 = (x_1-x_0)/sqrt((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2) * v_0
\lr(17)y^*_0 = (y_1-y_0)/sqrt((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2) * v_0
Praktischerweise sind die beiden DGLen schon nach der höchsten Ableitung aufgelöst. Somit kann das obige System nun in Simulink implementiert werden.
Das Modell besteht aus 2 Integratoren, je einen für die x- und die y-Komponente des Verfolgers. Im rechten Teil ist die Berechnung der Wurzel aus den Gleichungen (16) und (17) ersichtlich. Die Anfangsbedingungen für den Verfolger befinden sich im grünen Block. Sie werden direkt auf den Integrator geführt. Damit dieser einen zusätzlichen Input für die Anfangsbedingung erhält, muss man auf ihn doppelklicken und bei "Initial condition source" "external" auswählen.
Die beiden roten Blöcke bestimmen die Kurve des Verfolgten, in unserem Beispiel also einen Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1. Dafür verwenden wir zwei "sin" Blöcke, einen mit Phase Null (x1) und einen mit Phase 90° (y1). Der Verfolgte läuft dann im Uhrzeigersinn in einem Kreis.
Danach starten wir die Simulation und erhalten folgenden Plot:
Man kann jetzt damit spielen und diese Simulation für beliebige Kurven des Verfolgten bzw. Anfangsbedingungen des Verfolgers durchführen und erhält die verschiedensten Kurven. Dies sei aber dem Leser überlassen.
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]