Kombinatorik: "Die Lehre der Bestimmung von Anzahlen"
In diesem Artikel möchte ich einen kleinen Teil aus der Kombinatorik beschreiben. Es wird um die "Kombinatorischen Regeln" gehen; das heißt, die Formeln zur Berechnung von Anzahlen.
Außerdem werde ich ein paar Anwendungsbeispiele anführen.
1. Anwendungsbeispiele
1.1 zu Regel 1
1.2 zu Regel 2
1.3 zu Regel 3
1.4 zu Regel 4
1.5 zu Regel 5
2. Die Kombinatorischen Regeln
2.1. Das Allgemeine Zählprinzip
2.2. Spezialfälle
2.2.1. Regel 2
2.2.1. Regel 3
2.2.1. Regel 4
2.2.1. Regel 5
2.3. Zusammenfassung
Der Mathelehrer Lämpel legt auf sein äußeres Erscheinungsbild großen Wert. Er möchte das ganze Schuljahr jeden Tag anders gekleidet in der Schule erscheien. Auf der anderen Seite ist er äußerst sparsam und geht nur ungern Kleider kaufen. In der letzten Sommerferienwoche kontrolliert er seinen Kleiderbestand. Er zählt 3 Hosen, 5 Hemden 7 Krawatten und 4 Paar Schuhe. Wobei die Kleidungstsücke untereinander alle verschieden sind.
Frage: Wieviele verschiedene Möglichkeiten hat er an jedem Tag ein anderes Outfit anzuziehen?Lösung:
Ein mögliches Outfit wäre:
Hose_1+Hemd_1+Krawatte_1+Schuh_1
Es gibt aber nicht nur eine Hose sondern insgesamt 3
=>(Hose_1;Hose_2;Hose_3)+Hemd_1+Krawatte_1+Schuh_1
D.h es gibt in dem Fall 3 Möglichkeiten da 3 Hosen.
Aber es gibt auch von den anderen Kleidungsstücken verschiedene Anzahlen
=>(Hose_1;Hose_2;Hose_3)+(Hemd_1;Hemd_2;Hemd_3;Hemd_4;Hemd_5)+(Krawatte_1;Krawatte_2;Krawatte_3;Krawatte_4;Krawatte_5;Krawatte_6;Krawatte_7)+(Schuh_1;Schuh_2;Schuh_3;Schuh_4)
das heißt es gibt nicht 3,sondern 3*5*7*4 Möglichkeiten da dies die unterschiedlichen Anzahlen sind.
=>abs(Hose)*abs(Hemd)*abs(Krawatte)*abs(Schuh)=420
=>\big\ \stress\ Um die Kombinationsmöglichkeiten auszurechnen, müssen die unterschiedlichen Anzahlen miteinander multipliziert werden!\small\ \normal\
Aus dem Satz folgt dann \big\ Regel 1:\normal\
n_1*n_2*....*n_k
Dass heißt, Aufgaben wie diese, in denen es nur darum geht verschiedene Anzahlen miteinander zu kombinieren, können mit\big\ (R1)\normal\ gelöst werden.
1.2 Fußball-Toto
Fußball-Toto ist ein Gewinnspiel, bei dem man den Ausgang von 11 bestimmten Fußball-Begegnungen vorhersagen muss."0" steht für "Unentschieden","1" steht für "Gewinn der Heimmanschaft" und "2" bedeutet "Sieg der Gastmannschaft".
Frage: Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es zum tippen?Lösung:
Man hat hat 11 Begegnungen mit den Namen:(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K)
Ein Möglichkeit den Tippzettel auszufüllen wäre folgende:
A_1+B_0+C_2+D_2+E_0+F_1+G_1+H_2+I_0+J_2+K_0
Die Zahlen bedeuten das was in der Fragen-Einleitung steht.
Nun kann man aber bei jeder Begegnung 3 verschiedene Sachen tippen(0,1,2)
=>(A_0;A_1;A_2)+(B_0;B_1;B_2)+(C_0;C_1;C_2)+(D_0;D_1;D_2)+(E_0;E_1;E_2)+(F_0;F_1;F_2)
\ +(G_0;G_1;G_2)+(H_0;H_1;H_2)+(I_0;I_1;I_2)+(J_0;J_1;J_2)+(K_0;K_1;K_2)
=>es sind 3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 Möglichkeiten, oder auch 3^11
3^11=177147
=>\big\ \stress\ Um die Kombinationsmöglichkeiten von mehreren \red\gleichwertigen \black\ \big\ \stress\ Anzahlen auszurechnen, muss man nur die Anzahl(Hier: 3) hoch der Anzahlmenge(Hier: 11) nehmen\small\ \normal\
Aus dem Satz folgt dann \big\ Regel 2:\normal\
n*n*.....*n=n^k
In Aufgaben in denen gleichwertige Anzahlen miteinander multipliziert werden, kann man \big\ (R2)\normal\ verwenden.
1.3 Aufzug
Drei einander fremde Gäste betreten im Erdgeschoss(o.Stockwerk) den Aufzug eines 4-stöckigen Hauses.
Frage: Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass jede Person in einem anderen Stockwerk aussteigt?Lösung:
Man hat als eine mögliche Kombination:
A_4+B_3+C_1
Person A hat aber 4 mögliche Stockwerke, in denen er aussteigen könnte
=>(A_1;A_2;A_3;A_4)+.....
Da Person A aber 100% in einer der 4 Stockwerke aussteigt, folgt daraus das B aufjedenfall
eine Möglichkeit weniger hat als A.
Man denke sich einfach Person A sei in A_4 ausgestiegen(o.B.d.A.) dann
=>(A_1;A_2;A_3;A_4)+(B_1;B_2;B_3)+..
bei der letzten Person kann man gleich verfahren
=>(A_1;A_2;A_3;A_4)+(B_1;B_2;B_3)+(C_1;C_2)
=> abs(A)*abs(B)*abs(C)=4*3*2= 24
Doch was wenn man das Ganze mit 5 Gästen und 8 Stockwerken macht...
=>(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;A_6;A_7;A_8)+(B_1;B_2;B_3;B_4;B_5;B_6;B_7)+(C_1;C_2;C_3;C_4;C_5;C_6)+(D_1;D_2;D_3;D_4;D_5)+(E_1;E_2;E_3;E_4)
=>abs(A)*abs(B)*abs(C)*abs(D)*abs(E)=8*7*6*5*4=6720
Nun versuchen wir dass zu verallgemeinern:
=>n*(n-1)*...*(n-k+1)
durch Umformung ergibt sich im Fall dass n=k:
n!
Aber wenn k n!/(n-k)!
Oberes ist auch schon \stress\ Regel 3\normal\
Die obere Aufgabe können wir auch mit dieser Formel rechnen:
=>8!/(8-5)! =(8*7*6*5*4*3*2*1)/(3*2*1)
und durch küzen gleicher Faktoren ergibt sich:
=>8*7*6*5*4
Das gleiche Ergebnis haben wir oben durch eine längere Überlegung auch erhalten!
1.4 Lotto
Jeder kennt das einfache Toto-Lotto. Das Spiel 7 von 49.
Frage: Wieviele Möglichkeiten hat man 7 Felder auszufüllen(einfache Variante ohne Superzahl und Zusatzzahl)?Lösung:
Eine Möglichkeit die Felder anzukreuzen wäre diese:
3;12;15;28;36;47;49
wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Es gibt schon 7! Möglichkeiten nur diese Zahlen untereinander zu kombinieren.
Nach dem Spielprinzip macht die Reihenfolge aber keine Rolle
=> nur eine Möglichkeit.
Durch nutzung der Regel 3 erhalten wir für diese Aufgabe:
49!/(49-7)!
da aber die Reihenfolge egal ist müssen wir noch durch 7! dividieren
=>49!/((49-7)!*7!)=85.900.584
=>Es gibt 85.900.584 Möglichkeiten
Damit wir nun auf eine allgemeine Regel 4 kommen stellen wir uns noch so eine Aufgabe.
Man denke sich ein Lotto Spiel mit 9 von 34.
Ein möglicher Tipp wäre:
3;4;7;15;16;24;26;32;33
Unteinander könnte man hier 9! Kombination machen.
Wenn wir gleich verfahren wie beim Standard-Lotto, erhalten wir:
=>34!/((34-9)!*9!)
Daraus kann man auch schon eine Allgemeine Formel ableiten:
Man hätte dass spiel k von n
Ein möglicher Tipp wäre:
(n-17);(n-7);(n-3);.........(k-Zahlen)
=>Untereinander könnte man hier k! Kombination machen.
Wenn wir nun wieder gleich verfahren wie zuvor, erhalten wir:
=>n!/((n-k)!*k!)
Diese Formel wird auch geschrieben als: (n;k)
Diese Formel ist \stress\ Regel 4\normal\ !
1.5 Würfelzwerge
Ein Wurf mit den drei Farbwürfeln und schon liegt eine Farben-Kombination auf dem Tisch. Nun geht es darum, den richtigen Zwerg zu finden. Der gesuchte Zwerg, dessen Mütze, Jacke und Hose den drei gewürfelten Farben entspricht befindet sich auf einem der Täfelchen. Jede Farb-Kombination findet sich nur einmal(Reihenfolge egal).
d.h Rot;Rot;Grün; = Grün;Rot;Rot.
Frage: Wieviele solcher Zwerg-Täfelchen gibt es insgesamt?Lösung:
Es gibt auf einem Würfel insgesamt 6 Farben. Und man hat 3 Würfel. Eine Farbe kann auch zwei oder dreimal fallen.
Schauen wir uns zuerst eine mögliche gewürfelte Situation an:
Würfel_Rot; Würfel_Blau; Würfel_Grün
Ich unterscheide nicht die Würfel da die Reihenfolge ja egal ist.
Nun könnte man diese drei Farben schon untereinander 3! mal kombinieren.
Nun gehen wir vor wie in der Lotto Aufgabe
=>6!/((6-3)!*3!)
dies wäre (6;3)
nun hätten wir aber gar nicht berücksichtigt, dass es ja möglich ist dass zwei-oder dreimal die selbe
Farbe fällt.
d.h wir müssen an unsere Gleichung nur noch eine Kleinigkeit verändern und zwar dies:
=>(6+2)!/((6-1)!*3!)
Das man zu 6+2 addiert ist klar. Da man sonst nicht berücksichtigt hat dass man ja auch 3-mal des gleiche Würfeln kann.Und das was oben zu viel ist muss unten wieder ausgeglichen werden. Daher (6-1)
Daraus kann man dann über mehrere Beispiele dann herleiten:
(n+k-1)!/((n-1)!*k!)
=>(n+k-1;k)
Dies ist \stress\ Regel 5\normal\ !
Nun fügen wir noch unser n=6 und unser k=3 in die Formel ein um zu wissen wieviel Täfelchen es nun sind:
(6+3-1;3)=(8;3)= 56
Als nächstes Folgen die allgemeinen Herleitungen der Formel
2. Kombinatorische Regeln(Allgemeine Herleitung der Regeln)
Allgemeines Zählprinzip
Regel 1:
k Urnen mit jeweils n Kugeln
3 Urnen mit:
Urne1: n_1=3
Urne2: n_2=6
Urne3: n_3=2 => 36 mögliche Ziehungnen
=>n_1*n_2*n_3.....n_k (k-faktoren)
Spezialfälle
Regel 2 : "Ziehen mit Zurücklegen"
1 Urne mit n Kugeln (k-ziehungen)
Herleitung über Regel 1:
(\big\ R1\normal\ ) =n_1*n_2....*n_k
In jeder Urne sind immer die gleiche Anzahl von Kugeln!!
=>n*n*n.....*n= n^k
(k-faktoren)
abs(R_2)=n^k
R_2=menge((w_1,....w_k)|w_i<=n ->i\el\ {1...k}
Regel 3 : "Ziehen ohne Zurücklegen"
1 Urne mit n Kugeln (k-ziehungen)
Herleitung über Regel 2:
(\big\ R2\normal\ ) =n*n*...*n=n^k
Nun hat jede Urne eine Kugel weniger wie die vorausgegangene Urne!
=>n*(n-1)*(n-2).....*(n-k+1)= n!/(n-k)!
(k-faktoren)
Wenn man so viele Urnen k hat wie Kugeln n dann gilt:
=>n*(n-1)*(n-2).....(n-k+2)*1= n!
abs(R_3)= n!/(n-k)!
R_3=menge((w_1,....w_k)|w_i!=w_j ->i,j\el\ {1...k}
Regel 4 : "Ziehen mit einem Griff" (ohne Reihenfolge,ohne Zurücklegen)
n Kugeln in Urne Ziehe k-Kugeln mit einem Griff
Herleitung über Regel 3:
(\big\ R3\normal\ )=n*(n-1)*(n-2).....*(n-k+1)= n!/(n-k)!
Man zieht aber nur einmal k-Kugeln anstatt k * n-Kugeln!!
=>(n*(n-1)*(n-2).....*(n-k+1))/(k*(k-1)*(k-2)...*(k-k+2)*1)=n!/((n-k)!*k!)=(n;k)
abs(R_4)=(n;k)
S=menge((w_1,....w_k)|w_1Regel 5 : (ohne Reihenfolge,mit Zurücklegen)
Idee: über (R4)
abs(S´)=abs(S_R_5)
S´=menge((w´_1, w´_2.... w´_k)|w´_1S´=S_R_5
=>abs(S´)=abs(S_R_5)=(n+k-1;k)
oder so:
Herleitung über Regel 4:
(\big\ R4\normal\ )=(n*(n-1)*(n-2).....*(n-k+1))/(k*(k-1)*(k-2)...*(k-k+2)*1)=n!/((n-k)!*k!)=(n;k)
Man hat aber anstatt wie bei (R4) in jeder Urne die gleiche Anzahl an Kugeln
=>(n*(n+1)*...*(n+k-1))/(k*(k-1)*(k-2)...*(k-k+2)*1)=(n+k-1)!/((n-1)!*k!)=(n+k-1;k)
abs(R_5)=(n+k-1;k)
R_5=menge((w_1,....w_k)|w_1<=w_2<=...<=w_k<=n
Zusammenfassung:
Eine kurze Zusammenfassung von allem was oben steht:
abs(S_R_1)=n_1*n_2*..n_k
abs(S_R_2)=n^k |->S_R_2=menge((w_1,... w_k)|w_i<=n->i\el\ {1..k})
abs(S_R_3)=n!/(n-k)! |->S_R_3=menge((w_1,... w_k)|w_i!=w_j->w_i<=n->i\el\ {1..k})
abs(S_R_4)=(n;k) |->S_R_4=menge((w_1,... w_k)|w_1S_R_5=menge((w_1,... w_k)|w_1\red\ <=\black\ w_2\red\ <=\black\ ...\red\ <=\black\ w_k\red\ <=\black\ n)
\(\begingroup\)Hallo ich hatte vorher keine Ahnung von Kombinatorik da ich das nie in der Schule hatte hab mir zwar woanders Wissen geholt aber auch nciht ganz nach vollziehen koennen aber nun dank diesem Artikel wird es mir klar. Danke für deine Hilfe jetzt verstehe ich ein wenig Kombinatorik.
mfg bounce\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi ramonpeter,
das ist ein guter Einstand. Kombinatorik ist für viele ein schwieriger, sperriger Stoff. Das größte Problem ist ja stets, zu erkennen, ob die Aufgabe mit oder ohne Zurücklegen oder mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge gemeint ist. Ich hoffe, daß Dein Artikel oft als erste Hilfe dienen kann, dazu tragen auch die Beispiele bei.
Ein guter Einstand.
Viele Grüße
Matroid
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)erstmal vielen dank für deinen artikel!
ich habe nur noch zwei fragen :
kannst du mir die herleitung von R5 über R4 nochmal erklären,in einem schritt verstehe ich das nicht.
ich hatte mir die regel 5 in den letzten tagen (bin schüler 12.klasse,mathe lk) auch hergeleitet,allerdings aufwendiger.
vll könntest du oder wer anders mir per PM antworten,danke;-)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey ramonpeter,
auch von mir: Guter Artikel. Er fasst alle wichtigen Formeln nochmal mit schönen Beispielen zusammen. :)
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)boah... vielen dank... durch meine geistige abwesenheit im matheunterricht habe ich nicht viel mitbekommen und bin nun dank deines artikels weiser denn je 😁 super \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Kompliment.
Einem Nicht-Mathe-Studenten-Aber-Trotzdem-Matheprüfung-Bestehen-Müsser hilft diese Seite mit Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung enorm. Eine Empfehlung an meine Kommilitonen ist sicher.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Sehr feiner Artikel. Auch Mathestudenten tun sich mit Kombinatorik schwer! :) Übrigens muss es "Ergebnis" (mit nur einem S) heißen... Viele Grüße!
Plip.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke. Ja so mancher Rechtschreibfehler kann in einem solchen Artikel schon mal auftreten. Das wichtigste ist doch, dass das mathematische stimmt..;)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mathematik. Welch eine fantastische Wissenschaft! Als Internet - Neuling las ich gerade die Abhandlung über Kombinatorik. Gut gemacht!
Und nun habe ich ein paar "gemeine" Fragen. Stichwort LOTTO.Vor mir einige Tippreihen; es sind ja Kombinationen.
1. Reihe hat 4 verschiedene Endziffern, verteilt sich auf 3 Zehner-Gruppen und hat 2 gerade Zahlen.
Fragen:
a)Wieviel Komb. unter ca 14 Mill. haben 4 versch. Endziffern?
b)Wieviel Komb. unter ca. 14 Mill.verteilen sich auf 3 Zehner- Gruppen?
c)Wieviel ...usw. haben 2 gerade Zahlen?
d) Wieviel Komb. haben letztendlich 4 versch.Endziffern,verteilen sich auf 3 Zehner-Gruppen und haben 2 gerade Zahlen; d.h. a),b)und c) kombiniert.
2. Reihe mit der 1. Zahl 3 und der letzten Zahl 47 umspannt also einen Bereich von 45 Zahlen.
Fragen: a) Wieviel Komb. mit dieser Bandbreite von 45 gibt es bei Lotto 6 aus 49?
b) Welche Bandbreite weist die meisten Komb. auf?
3. Reihe verteilt sich auf 4 Zeilen und 5 Spalten.
Fragen:
a) Wie vordem gefragt. Wieviel Komb. auf 4 Zeilen bzw. 5 Spalten?
Viel Spaß beim kombinieren!
\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
In diesem Artikel möchte ich einen kleinen Teil aus der Kombinatorik beschreiben. Es wird um die "Kombinatorischen Regeln" gehen; das heißt, die Formeln zur Berechnung von Anzahlen.
Außerdem werde ich ein paar Anwendungsbeispiele anführen.
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
