Stern Physik: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
Released by matroid on Do. 06. Juli 2006 23:50:49 [Statistics]
Written by Nodorsk - 58356 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Physik

\(\begingroup\)
Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
\big\ $ $ $ $ $ $ $ \epsilon_ijk \epsilon_imn = \delta_jm \delta_kn - \delta_jn \delta_km Im Physikstudium wird man spätestens in den Vorlesungen zur Theoretischen Mechanik Begriffe wie Gradient oder Nabla das erste Mal hören. In der Elektrodynamik kommt man nicht mehr daran vorbei und muss damit im Schlaf umgehen können. Daher möchte ich mit diesem Artikel das wichtigste zusammenfassen und am Ende als Beispiel die Ladungserhaltung aus den Maxwellgleichungen herleiten.

Ich möchte mich in meinem Artikel auf den \IR^3 beschränken, man kann natürlich auch auf den \IR^n verallgemeinern. Zur Vereinfachung der Schreibweise führe ich folgende Konventionen ein: \big\Die Einsteinsche Summenkonvention ESK Sie besagt, dass über doppelt auftretende Indizes summiert wird, d.h. sum(a_i b_i,i=1,3) = a_i b_i Wird einmal nicht summiert, so weise ich darauf explizit hin. \big\Vektorendarstellung Desweiteren möchte ich Vektoren v^> \el \IR^3 darstellen als v^> = (v_1 , v_2 , v_3) und nicht wie es richtig wäre: v^> = (v_1 ; v_2 ; v_3) Dies hat den Vorteil, dass Platz gespart wird. \big\Symbol der Ableitung Außerdem schreibe ich \pd_1 statt \pd/(\pd x_1) . Kommen wir zu einer kleinen Vorbetrachtung: Eine Funktion u: \IR^3 -> \IR heißt \big\Skalarfeld. Eine Funktion v^> :\IR^3 -> \IR^3 heißt \big\Vektorfeld. Ausführlich schreibt man v^>(x_1 ,x_2 ,x_3) = (v_1 (x_1 ,x_2 ,x_3),v_2 (x_1 ,x_2 ,x_3),v_3 (x_1 ,x_2 ,x_3)) Mit Hilfe der ESK ist auch folgende Darstellung möglich: v^> = v_i e^> _i , wobei e^> _i der i\-te Einheitsvektor ist. In diesem Artikel werde ich Skalarfelder stets mit u und Vektorfelder mit v^> bezeichnen, ohne darauf jedesmal hinzuweisen. (\pd_1 ,\pd_2 ,\pd_3) bezeichnet den \big Nabla - Operator. Er bekommt das Symbol \Nabla. Eine weitere Darstellung ist \Nabla = e^> _i \pd_i . Es sei hier angemerkt, dass es sich "nicht" um einen Vektor im eigentlichen Sinn handelt, sondern um einen Operator, den man in vielen Fällen als Vektor auffassen kann, jedoch nicht immer. Zum Beispiel gilt für das Skalarprodukt nicht die Kommutativität, \Nabla r^> <> r^> \Nabla . Um uns ein wenig mit den Symbolen vertraut zu machen, berechnen wir einmal die partielle Ableitung einer Vektorfunktion nach x_1 mit Hilfe der Produktregel: \pd/(\pd x_1) v^> = \pd_1 v^> = \pd_1 v_k e^> _k = e^> _k \pd_1 v_k + v_k \pd_1 e^> _k $ $ $ $ = e^> _k \pd_1 v_k = (\pd_1 v_1 , \pd_1 v_2 , \pd_1 v_3) . Mit Hilfe von \Nabla lassen sich Gradient, Divergenz und Rotation definieren: \big\Gradient grad u := \Nabla u = e^> _i \pd_i u = (\pd_1 u,\pd_2 u,\pd_3 u) \small\ Merkregel: Man multipliziert den Vektor \Nabla mit einem Skalar u, als Ergebnis erhält \small\ man wieder einen Vektor. \big\Divergenz div v^> := \Nabla v^> = e^>_i \pd_i v_j e^> _j = e^> _1 \pd_1 v_j e^> _j + e^> _2 \pd_2 v_j e^> _j + e^> _3 \pd_3 v_j e^> _j Die nächste Zeile ist ohne ESK e^> _i \pd_i v_r e^> _r = e^> _i e^> _r \pd_i v_r + e^> _i v_r \pd_i e^> _r = e^> _i e^> _r \pd_i v_r = fdef(\pd_i v_i,für i=r;0,für i<>r) Jetzt wieder mit ESK. => div v^> = \pd_i v_i \small\ Merkregel: Die Divergenz ist das Skalarprodukt der Vektoren \Nabla und v^>, als \small\ Ergebnis bekommt man ein Skalar. Setzt man v^> \:= \Nabla = e^> _i \pd_i , wobei man aufpassen muss, da es sich hierbei nur um ein Symbol handelt und keine Funktion ist, erhält man den sogenannten \big\Laplace - Operator\normal\: \Delta \:= div \Nabla = \Nabla \Nabla = \pd_i \pd_i = \pd_1 ^2 + \pd_2 ^2 + \pd_3 ^2 Angewandt auf ein Skalarfeld ergibt sich \Delta u = \pd_i \pd_i u und auf ein Vektorfeld \Delta v^> = (\Delta v_1 , \Delta v_2 , \Delta v_3) = e^> _i \pd_l \pd_l v_i . \big\Rotation rot v^> := \Nabla \cross v^> = (\pd_2 v_3 - \pd_3 v_2 , \pd_3 v_1 - \pd_1 v_3 , \pd_1 v_2 - \pd_2 v_1) \small\ Merkregel: rot v^> = det(e^> _1 ,e^> _2 ,e^> _3 ;\pd_1 ,\pd_2 ,\pd_3 ;v_1 ,v_2 ,v_3)
Diese Darstellung der Rotation ist leider noch etwas ungünstig für die folgenden Betrachtungen, dafür benötigen wir das \big\Levi-Civita-Symbol \normal\: \epsilon_ijk := fdef(1,gerade Permutation von (1,2,3);-1,ungerade Permutation von (1,2,3);0,sonst) Beispiel: \epsilon_123 = 1 , \epsilon_132 = -1 , \epsilon_112 = 0 Anhand der Definition erkennt man, dass \epsilon_ijk = \epsilon_kij ist und \epsilon_ijk = - \epsilon_jik, was wir später noch benutzen werden. Nun, was hat das ganze nun mit der Rotation zu tun? Ich behaupte jetzt einfach mal, dass \lr(1)rot v^> = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j v_k ist und werde das natürlich auch nicht unbegründet lassen. Schauen wir uns einmal die 1-te Komponente an, also ((rot v^>))_1 = \pd_2 v_3 - \pd_3 v_2. Auf der rechten Seite von (1) steht nun e^> _1 \epsilon_1jk \pd_j v_k , wobei über j und k summiert wird, es fallen die Terme, wo j=k, j=1 und k=1 ist, weg, da \epsilon_1jk hier Null wird. Es bleibt also übrig: e^> _1 \epsilon_1jk \pd_j v_k = e^> _1 \epsilon_123 \pd_2 v_3 + e^> _1 \epsilon_132 \pd_3 v_2 = e^> _1 (\pd_2 v_3 - \pd_3 v_2), dies entspricht genau ((rot v^>))_1. Analog ergeben sich ((rot v^>))_2 und ((rot v^>))_3. Ebenso zeigt man, dass für 2 Vektoren v^> , w^> gilt v^> \cross w^> = e^> _i \epsilon_ijk v_j w_k . Ich möchte noch einmal bis hier her zusammenfassen: \frame grad u = \Nabla u = e^> _i \pd_i u div v^> = \Nabla v^> = \pd_i v_i rot v^> = \Nabla \cross v^> = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j v_k \frameoff
Noch ein Symbol fehlt uns, um uns die Arbeit einfacher zu machen, das \big\Kronecker-Symbol: \delta_ij = fdef(1,für i=j;0,für i<>j) Man erkennt sofort, dass \delta_ij = \delta_ji . Wer sich jetzt nicht durch folgende Rechnung schlagen möchte, deren Ergebnis die Gleichung (2) ist, der kann auch direkt bei (2) weiterlesen. Mit Hilfe dieses Symbols läßt sich das Levi-Civita-Symbol auch so schreiben: \epsilon_ijk = det( \delta_i1 , \delta_i2 , \delta_i3 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3 ) Als kleine Beweischen rechnen wir mal das Ganze für i=1 aus: \align\epsilon_ijk = det( \delta_i1 , \delta_i2 , \delta_i3 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3 ) = det( 1 , 0 , 0 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3 ) = \delta_j2 \delta_k3 - \delta_j3 \delta_k2 = fdef(1,für j=2 und k=3;-1,für j=3 und k=2;0,für j=1\,k=1 oder j=k) Wer Lust verspürt kann auch noch für andere Indizes durchrechnen, aber das wollen wir an dieser Stelle nicht weiter ausführen. Mit ein wenig Intuition reicht es auch aus, es wie oben für i=1 zu berechnen und zu sehen, dass es somit für alle gilt (was aber natürlich kein Beweis ist). Damit können wir nun \epsilon_ijk \epsilon_lmn berechnen. Diese Beziehung ist sehr wichtig. \epsilon_ijk \epsilon_lmn = det( \delta_i1 , \delta_i2 , \delta_i3 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3 ) det( \delta_l1 , \delta_l2 , \delta_l3 ; \delta_m1 , \delta_m2 , \delta_m3 ; \delta_n1 , \delta_n2 , \delta_n3 ) , da det A = det A^T für A\el\IR^(n \cross n) => \epsilon_ijk \epsilon_lmn = det( \delta_i1 , \delta_i2 , \delta_i3 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3 ) det( \delta_l1 , \delta_m1 , \delta_n1 ; \delta_l2 , \delta_m2 , \delta_n2 ; \delta_l3 , \delta_m3 , \delta_n3 ) = det((\delta_i1 , \delta_i2 , \delta_i3 ; \delta_j1 , \delta_j2 , \delta_j3 ; \delta_k1 , \delta_k2 , \delta_k3) (\delta_l1 , \delta_m1 , \delta_n1 ; \delta_l2 , \delta_m2 , \delta_n2 ; \delta_l3 , \delta_m3 , \delta_n3)) = det(\delta_is \delta_ls , \delta_is \delta_ms , \delta_is \delta_ns ; \delta_js \delta_ls , \delta_js \delta_ms , \delta_js \delta_ns ; \delta_ks \delta_ls , \delta_ks \delta_ms , \delta_ks \delta_ns) da \delta_il = \delta_is \delta_ls = fdef(1,für i=s=l;0, sonst) => \epsilon_ijk \epsilon_lmn = det( \delta_il , \delta_im , \delta_in ; \delta_jl , \delta_jm , \delta_jn ; \delta_kl , \delta_km , \delta_kn ) Als wichtigen Spezialfall betrachten wir i=l \epsilon_ijk \epsilon_imn = det( \delta_ii , \delta_im , \delta_in ; \delta_ji , \delta_jm , \delta_jn ; \delta_ki , \delta_km , \delta_kn ) = \delta_ii(\delta_jm \delta_kn - \delta_jn \delta_km) $ $ $ + \delta_im (\delta_jn \delta_ki - \delta_ji \delta_kn) + \delta_in (\delta_ji \delta_km - \delta_jm \delta_ki) Aufgrund der Einsteinschen Summenkonvention wird in allen Termen über den Index i summiert. =3(\delta_jm \delta_kn - \delta_jn \delta_km) +2 \delta_jn \delta_km - 2\delta_jm \delta_kn \frame \lr(2)\epsilon_ijk \epsilon_imn = \delta_jm \delta_kn - \delta_jn \delta_km \frameoff
Nun wollen wir das Handwerkszeug, was wir uns jetzt mehr oder weniger angeeignet haben, auch anwenden. Ich möchte hier 6 Identitäten, die sehr häufig gebraucht werden, beweisen. Seien u, u^~ Skalarfelder, v^>, v^>^~ Vektorfelder und u , u^~ , v^> und v^>^~ 2-mal stetig diffbar. \frame \ll(1) rot grad u = 0 \ll(2) div rot v^> = 0 \ll(3) rot rot v^> = grad div v^> - \Delta v^> \ll(4) grad (u u^~) = u grad u^~ + u^~ grad u \ll(5) rot (v^> \cross v^>^~) = (v^>^~ grad) v^> - (v^> grad) v^>^~ + v^> div v^>^~ - v^>^~ div v^> \ll(6) rot (u v^>) = u rot v^> +(grad u) \cross v^> \frameoff \blue\Beweis 1: rot grad u $ $ $ $ $ = rot e^> _k \pd_k u $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j \pd_k u $ $ $ $ $ = e^> _1 (\epsilon_1jk \pd_j \pd_k u) + e^> _2 ... $ $ $ $ $ = e^> _1 (\epsilon_123 \pd_2 \pd_3 u + \epsilon_132 \pd_3 \pd_2 u) + e^> _2 ... $ $ $ $ $ = e^> _1 (\pd_2 \pd_3 u - \pd_3 \pd_2 u) + e^> _2 ... $ $ $ $ $ = e^> _1 (\pd_2 \pd_3 u - \pd_2 \pd_3 u) + e^> _2 ... $ $ $ $ $ = 0 \blue\Beweis 2: div rot v^> $ $ $ $ $ = div (e^> _i \epsilon_ijk \pd_j v_k) $ $ $ $ $ = \pd_i \epsilon_ijk \pd_j v_k $ $ $ $ $ = \epsilon_ijk \pd_i \pd_j v_k da \pd_i \pd_j v_k = \pd_j \pd_i v_k und \epsilon_ijk = - \epsilon_jik => $ $ $ $ $ = 0 \blue\Beweis 3: rot rot v^> $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j ((rot v^>))_k $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j \epsilon_klm \pd_l v_m $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_kij \pd_j \epsilon_klm \pd_l v_m $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_kij \epsilon_klm \pd_j \pd_l v_m $ $ $ $ $ = e^> _i (\delta_il \delta_jm - \delta_im \delta_jl) \pd_j \pd_l v_m $ $ $ $ $ = e^> _i (\delta_il \delta_jm \pd_j \pd_l v_m - \delta_im \delta_jl \pd_j \pd_l v_m) $ $ $ $ $ = e^> _i (\pd_m \pd_i v_m - \pd_l \pd_l v_i) $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_m \pd_i v_m - e^> _i \pd_l \pd_l v_i $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_i \pd_m v_m - e^> _i \pd_l \pd_l v_i $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_i div v^> - \Delta v^> $ $ $ $ $ = grad div v^> - \Delta v^> \blue\Beweis 4: grad (u u^~) $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_i (u u^~) $ $ $ $ $ = e^> _i (u \pd_i u^~ + u^~ \pd_i u) $ $ $ $ $ = e^> _i u \pd_i u^~ + e^> _i u^~ \pd_i u $ $ $ $ $ = u e^> _i \pd_i u^~ + u^~ e^> _i \pd_i u $ $ $ $ $ = u grad u^~ + u^~ grad u \blue\Beweis 5: rot (v^> \cross v^>^~) $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j ((v^> \cross v^>^~))_k $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j \epsilon_klm v_l v^~ _m $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_j (\delta_il \delta_jm - \delta_im \delta_jl) v_l v^~ _m $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_j (\delta_il \delta_jm v_l v^~ _m - \delta_im \delta_jl v_l v^~ _m) $ $ $ $ $ = e^> _i \pd_j v_i v^~ _j - e^> _i \pd_j v_j v^~ _i $ $ $ $ $ = e^> _i v^~ _j \pd_j v_i + e^> _i v_i \pd_j v^~ _j - e^> _i v_j \pd_j v^~ _i - e^> _i v^~ _i \pd_j v_j $ $ $ $ $ = v^~ _j \pd_j (v_i e^> _i) + v^> div v^>^~ - v_j \pd_j (v^~ _i e^> _i) - v^>^~ div v^> $ $ $ $ $ = (v^>^~ grad) v^> + v^> div v^>^~ - (v^> grad) v^>^~ - v^>^~ div v^> \blue\Beweis 6: rot (u v^>) $ $ $ $ $ = rot (u e^> _k v_k) $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk \pd_j u v_k $ $ $ $ $ = e^> _i \epsilon_ijk (u \pd_j v_k + v_k \pd_j u) $ $ $ $ $ = u e^> _i \epsilon_ijk \pd_j v_k + e^> _i \epsilon_ijk v_k \pd_j u $ $ $ $ $ = u e^> _i \epsilon_ijk \pd_j v_k - e^> _i \epsilon_ikj v_k \pd_j u $ $ $ $ $ = u rot v^> - v^> \cross (grad u)
Wie man sieht lassen sich damit solche Beweise sehr kurz halten. Man muss nicht unbedingt mit Hilfe dieser Abkürzungen und Symbole rechnen, würde man jedoch versuchen eine solche Identität auf herkömmlichen Weg zu rechnen, d.h. in Vektorendarstellung, wird man schnell 1 bis 2 Blätter vollschreiben müssen. Zum Schluß möchte ich noch ein physikalisches Beispiel anbringen, welches aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt, \big\die Ladungserhaltung: Seien E^> das elektrische Feld, \rho die Ladungsdichte, D^> = \epsilon _0 E^> die dielektrische Verschiebung, H^> die magnetische Feldstärke und j^> die Stromdichte. Die 2 hierfür benötigten Maxwellgleichungen lauten: \lr(A)div D^> = \rho \lr(B)rot H^> = j^> + D^>^* Rechnet man div mit Gleichung (B) erhält man div rot H^> = 0 = div (j^> + div D^>^*) = \pd_i (j_i + D^* _i) $ $ $ $ $ = \pd_i j_i + \pd_i D^* _i = div j^> + div D^>^* und div D^>^* = \rho^* => \rho^* + div j^> = 0 Mit Hilfe des Satzes von Gauß ergibt sich nun int(\rho^* + div j^>,V,V) = int(\rho^*,V,V) + int(div j^>,V,V) = int(\rho^*,V,V) + wegint(j^>,f^>,\pd V) = 0 Die physikalische Interpretation ist, dass die Ladung in einem Gebiet V nur durch zu- bzw. abfließende Ströme verändert wird, die sogenannte Ladungserhaltung. Wir sind nun am Ende meines Artikels angelangt und ich hoffe ich konnte einigen von euch helfen mit dem Levi-Civita- oder Kronecker-Symbol besser umzugehen. Also dann, viel Spaß und Erfolg beim Selberrechnen.
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Physik :: Vektoranalysis :: Theoretische Physik :: Sonstige Mathematik :: Elektromagnetismus :
Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol [von Nodorsk]  
Einführung in die Symbolik der physikalischen Vektoranalysis mit Nabla-, Divergenz, Rotations- und Laplace-Operator. Als Anwendungsbeispiel wird die Ladungserhaltung aus den Maxwell'schen Gleichungen gefolgert.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 58356
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 11593 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.09 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com400.3%0.3 %
https://google.at30%0 %
https://google.de157613.6%13.6 %
https://matheplanet.com10%0 %
https://duckduckgo.com570.5%0.5 %
http://google.lu8297.2%7.2 %
http://google.de494542.7%42.7 %
http://google.ro5254.5%4.5 %
http://google.fr8307.2%7.2 %
https://google.it4433.8%3.8 %
http://google.hu3292.8%2.8 %
http://google.pl3743.2%3.2 %
http://google.es3262.8%2.8 %
http://google.no1611.4%1.4 %
http://google.fi2372%2 %
http://google.it1631.4%1.4 %
https://google.dk1421.2%1.2 %
http://www.physik.uni-kl.de1060.9%0.9 %
https://www.ecosia.org850.7%0.7 %
http://google.se580.5%0.5 %
https://www.bing.com610.5%0.5 %
http://google.dz240.2%0.2 %
https://www.startpage.com180.2%0.2 %
http://www.uni-protokolle.de180.2%0.2 %
http://google.com160.1%0.1 %
http://www-user.rhrk.uni-kl.de150.1%0.1 %
http://google.nl50%0 %
http://de.yhs4.search.yahoo.com80.1%0.1 %
http://suche.t-online.de180.2%0.2 %
https://startpage.com40%0 %
https://www.qwant.com40%0 %
http://r.duckduckgo.com80.1%0.1 %
http://www.zapmeta.de40%0 %
http://www.facebook.com50%0 %
http://www.bing.com690.6%0.6 %
http://de.search.yahoo.com90.1%0.1 %
http://www.ecosia.org140.1%0.1 %
http://avira-int.ask.com20%0 %
https://de.search.yahoo.com20%0 %
http://suche.aol.de40%0 %
http://m.facebook.com30%0 %
http://search.sweetim.com10%0 %
http://ch.search.yahoo.com30%0 %
http://suche.web.de20%0 %
http://at.search.yahoo.com10%0 %
http://ecosia.org110.1%0.1 %
http://uk.images.search.yahoo.com10%0 %
http://www.bibsonomy.org10%0 %
http://suche.gmx.net10%0 %
http://isearch.avg.com30%0 %
http://www.search.ask.com40%0 %
http://search.aol.com10%0 %
http://avira.search.ask.com10%0 %
https://suche.t-online.de10%0 %
http://ask.reference.com10%0 %
http://search.fbdownloader.com10%0 %
http://search.conduit.com20%0 %
http://search.iminent.com10%0 %
http://search.icq.com10%0 %
http://int.search.myway.com20%0 %
https://xhamster.com10%0 %
http://de.cyclopaedia.net10%0 %
http://duckduckgo.com10%0 %
http://search.sosodesktop.com10%0 %
http://nortonsafe.search.ask.com10%0 %
http://search.babylon.com30%0 %
http://de.search-results.com10%0 %
http://www.holasearch.com20%0 %
http://www.delta-search.com10%0 %
http://search.webwebweb.com10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 20 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.09.01-2021.09.20 (20x)https://google.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 11377 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2020-2021 (1397x)https://google.de/
201410-11 (829x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
201205-05 (624x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CFwQFjAB
201204-04 (588x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie dass gilt nabla kreuz nabla
2014-2019 (578x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
201210-10 (525x)http://google.ro/url?sa=t&rct=j&q=levi civita 4 dimensions
201211-11 (474x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=epsilon tensor nabla
202011-11 (443x)https://google.it
201206-06 (422x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen das rot grad =0 herleiten
201402-05 (329x)http://google.hu/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2015 (295x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=
201404-04 (287x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CDIQFjAB
201311-11 (281x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie die folgenden identitäten civ...
201310-10 (270x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektoridentitäten vektorfelder lösung...
2013-2014 (244x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201504-04 (215x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=levi civita identität beweis
201304-04 (204x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektoranalysis levi civita ableitung betrag
201201-01 (192x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=weber identität mit levi civita beweis
201207-07 (170x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wiki tensors nabla
201412-12 (168x)http://google.es/search?q=rechnen nabla levi civita
202005-05 (162x)https://google.de/url?sa=t
201305-05 (161x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie mit der summenschreibweise die r...
201505-05 (161x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=
201406-06 (158x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
201501-01 (150x)http://google.fi/url?sa=t&rct=j&q=nabla levi-civita
2012-2013 (146x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
202106-06 (142x)https://google.dk
201503-03 (128x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=produktregel nabla beweis
201510-10 (120x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&rct=j&q=epsilon tensot
201506-06 (113x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=identitäten nabla operator
201202-02 (112x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=epsilon_ijk epsilon_imn
2012-2015 (105x)http://www.physik.uni-kl.de/rethfeld/tutorium.php?header_size=big
2014-2017 (102x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rotation levi civita
201301-01 (87x)http://google.fi/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (79x)https://www.ecosia.org/
201203-03 (79x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=rot grad = 0
201209-09 (75x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektoranalysis levi civita
201302-02 (72x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rotation vektorfeld levi civita
201303-03 (62x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=skalarprodukt nabla-operator rechenregeln
201409-09 (58x)http://google.se/url?sa=t&rct=j&q=
201307-07 (53x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rot grad mit levi civita
2020-2021 (53x)https://www.bing.com/
2020-2021 (45x)https://duckduckgo.com/
201309-09 (41x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechenregeln für einen levi-civita
201512-12 (32x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=levi civita tensor gleichungen
201308-08 (32x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=nabla (ab)
201605-05 (24x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=beweis mit levi civita grad...
201603-03 (24x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&rct=j&q=levi civita tensor
201710-10 (24x)http://google.dz/
2020-2021 (18x)https://www.startpage.com/
2012-2016 (18x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/226530,0.html
202009-09 (18x)https://google.com/
201610-10 (17x)http://google.it/search?ei=SVUXWOn-EMv5UqKyo5AM&q=rechnen mit levi civita
201604-04 (17x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=levi-civita-symbol übung
201509-09 (16x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=nabla operator rechenregeln beweis mit levi...
202008-08 (16x)https://google.de
2018-2019 (16x)http://google.com/
201601-01 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Nabla in indices
201602-02 (13x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=epsilon tensor nabla
2012-2015 (11x)http://www-user.rhrk.uni-kl.de/~huthmach/tutorium.html
2020-2021 (11x)https://duckduckgo.com
201810-11 (7x)http://google.de/
201904-04 (6x)http://google.de/url
201709-09 (5x)http://google.nl/
2020-2021 (5x)https://www.ecosia.org
201301-01 (5x)http://de.yhs4.search.yahoo.com/yhs/search?p=Levi-Civita-Symbol&fr=altavista&...
201306-06 (5x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?mandant=toi&device=html&portallanguage=...
202101-04 (4x)https://startpage.com/
201210-10 (4x)http://www-user.rhrk.uni-kl.de/~huthmach/
2020-2021 (4x)https://www.qwant.com/
2016-2018 (4x)http://r.duckduckgo.com/
201304-04 (4x)http://www.zapmeta.de/?query=epsilon tensor&sess=a3a3a303a3a313&where=web_zap...
201205-11 (4x)http://www.facebook.com/

[Top of page]

"Stern Physik: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol" | 32 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: kostja am: Fr. 07. Juli 2006 16:26:53
\(\begingroup\)Hallo Nodorsk! 😄 Wird die Ladungserhaltung nicht für die Formulierung der Maxwellgleichungen benötigt? 😉 MfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: Fr. 07. Juli 2006 16:35:58
\(\begingroup\)Hallo kostja, ja den Weg kann man wählen, man kann aber auch die Maxwellgleichungen als Axiome hinstellen ähnlich den Newtonschen Axiomen und die Ladungserhaltung aus ihnen ableiten ;) Gruß Nodorsk\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Spock am: Fr. 07. Juli 2006 19:52:07
\(\begingroup\)Hallo Marc, schöner Beitrag, und sicher nicht nur für diejenigen (Physik-)Studenten nützlich, bei denen gleich zu Beginn ihres Studiums der Nabla samt Levi Civita durch den Hörsaal fliegt. Manchmal zieht man bei so vielen Indices zu schnell den Kopf ein, was Dein Artikel hoffentlich verhindert. Lieber Gruß, und mach weiter so, 😄 Juergen \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: KingGeorge am: Sa. 08. Juli 2006 12:09:49
\(\begingroup\)Hallo Nodorsk, schöner Artikel. Spock schreibt "Manchmal zieht man bei so vielen Indices zu schnell den Kopf ein, ..." Ich habe bis jetzt auch den Kopf eingezogen. Da man mit dieser Methode aber viel schneller und eleganter rechnen kann, werde ich deinen Artikel dazu nutzen, das Versäumte nachzuholen. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: navajo am: So. 09. Juli 2006 16:16:32
\(\begingroup\)Huhu, du schreibst man kann deinen Artikel auf den R^n verallgemeinern. Für div und grad ist mir das klar, aber wie geht man denn da mit der Rotation um?\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: So. 09. Juli 2006 18:39:13
\(\begingroup\) Hallo navajo, Bei der Definition rot v^> = \Nabla \cross v^> wird man Probleme bekommen mit der Verallgemeinerung, nimmt man jedoch rot v^> = e^> _i \epsilon_(ijk...) \pd_j v_k für i,j,k,... = 1,...,n und das Levi-Civita-Symbol für Permutationen von (1,..,n) wird es wahrscheinlich gehen. So gesehen wäre rot v^> = e^> _i \epsilon_(ijk...) \pd_j v_k die Definition und rot v^> = \Nabla \cross v^> der Spezialfall n=3 . Ich habe jedoch versucht aus Gründen der Verständlichkeit den anderen Weg zu gehen. Es sei angemerkt, dass rot v^> = e^> _i \epsilon_(ijk...) \pd_j v_k für i,j,k,... = 1,...,n mir noch nicht untergekommen ist ;) und würde wahrscheinlich auch wenig Sinn machen für n<>3 Gruß Nodorsk \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: cow_gone_mad am: So. 09. Juli 2006 18:45:46
\(\begingroup\)Hallo Navajo 😄 Divergenz, Gradient und Rotation sind das falsche Setting um in dem IR^n zu gehen. Wenn man den Begriff "Differentialform" und die zugehörige Theorie kennt, ist die Verallgemeinerung auf den IR^n schon geschehen und man hat die IR^3 Theorie als Spezialfall. Allerdings ist man im mathematischen Konstrukt von Differentialformen und äusseren Ableitungen ... 😉 Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: navajo am: So. 09. Juli 2006 20:14:42
\(\begingroup\)Bei: rot v^> = e^> _i \epsilon_(ijk...) \pd_j v_k Da bin ich nu ein wenig verwirrt wegen den "..." was muss ich mir dafür denken? Oder was bedeuten die Punkte? Aber prinzipiell ist es mir schon klar, das es darüber wohl besser geht :) Hatte halt \Nabla \times v^> dabei noch im Hinterkopf und da ist ja nicht so klar. Und wenn man das so verallgemeinert, hat das dann überhaupt noch was mit dem Kreuzprodukt zu tun? Ich mein das kann man ja auch verallgemeinern auf höhere Dimensionen, aber ich seh nicht ob das noch irgendwie zusammenhängt. Also im Fischer (linA) stehts zB so, dass man diese Darstellung durch die Determinante hernimmt als Definition des Kreuzprodukts. Aber da müsst man dann n-1 Vektoren reinstecken, hmmm. Ist die Kreuzproduktdarstellung der Rotation bei n=3 dann nur Zufall? Von Differentialformen oder entsprechender Theorie hab ich noch nichts gehört :( Schonmal Danke, gruß navajo\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: So. 09. Juli 2006 20:58:43
\(\begingroup\) Hallo navajo, \epsilon_(ijk...) bedeutet einfach, dass es n Indizes sind. Für n=4 hat man dann \epsilon_ijkl und hier z.B. \epsilon_1243 = -1 . Für das Kreuzprodukt im \IR^n braucht man n-1 Vektoren v^> _1 ,.., v^> _n \el \IR^n und das hat für n>3 nichts mehr mit unserer Rotation zu tun. Für n=3 ist es natürlich kein Zufall, sondern folgt unmittelbar aus den Definitionen ;) Ich hoffe es ist soweit klar... Gruß Nodorsk \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: navajo am: So. 09. Juli 2006 21:19:22
\(\begingroup\)Huhu Nodorsk, aber dann würde nun in dem Beispiel doch das l alleine stehen. Das kann doch eigentlich nicht, es müssen doch eigentlich alle Indizies wegsummiert werden, weil links ja auch kein Index mehr steht. Oder? gruß, navajo\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: So. 09. Juli 2006 21:24:03
\(\begingroup\)Hallo, schau mal hier: de.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita-Tensor Gruß Nodorsk\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: matroid am: So. 09. Juli 2006 23:44:21
\(\begingroup\)Geniale Diskussion ++ und Super-Artikel!\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: navajo am: Mo. 10. Juli 2006 00:38:16
\(\begingroup\)Hmm, ich weiß immer noch nicht so recht was ich mit den Indizes "größer" als k anfangen soll, also ich mein die "...". Also mal konkret wenn ich jetzt in n=4 mal ne Rotation ausrechnen will: v^>=(y;0;0;0) Also rot v^> = e^> _i \epsilon_(ijkl) \pd_j v_k v_k gibt nur für k=1 was: =e^>_i(\epsilon_(ij1l) \pd_j v_1 v_1 ist y, also gibts \pd_j nur was für j=2 =e^>_i(\epsilon_(i21l) 1 die i-Summation ausführen =(0;0;\epsilon_(321l);\epsilon_(421l) Und was mach ich nu mit dem l? Also das meinte ich vorhin, dass ich halt dann am Ende irgendwo noch Indizes rumstehen hab, mit denen ich nichts mehr anfangen kann. gruß, navajo\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: Mo. 10. Juli 2006 12:03:24
\(\begingroup\) Hallo navajo, ich verschiebe mal die Diskussion in den PM Bereich ;) Als kurze Antwort nur soviel: Deine Frage ist interessant ;) Wie schon gesagt, habe ich das vermutet, dass man es so verallgemeinern könnte. Ich war heute auch mal bei uns in der Bibliothek und habe geschaut, ob es etwas zu dem Thema gibt aber überall war tatsächlich die Rotation für n=3 definiert. Nehmen wir also an die allgemeine Definition für rot v^> wäre rot v^> = e^> _i \epsilon_(a_1 ... a_n) \pd_(a_1) v_(a_2) . Das sieht tatsächlich etwas seltsam aus. Zu deinem Beispiel: rot v^> = ( 0 ; 0 ; \epsilon_321l ; \epsilon_421l ) Nun bleiben also für l die Möglichkeiten l=1,2,3,4 Man hat als Ergebnis nicht mehr einen Vektor rot v^> \notel \IR^3 , sondern eine Matrix rot v^> = (0,0,0,0;0,0,0,0;\epsilon_3211,\epsilon_3212,\epsilon_3213,\epsilon_3214;\epsilon_4211,\epsilon_4212,\epsilon_4213,\epsilon_4214) \el \IR^(4 \cross 4) Nun ergibt sich hieraus dann für v^> \el \IR^5 ,dass rot v^> \el \IR^(5 \cross 5 \cross 5) also sind wir im Gebiet der Tensoren. Dies ist auch nicht verwunderlich, da \epsilon_(a_1 ... a_n) ja schon ein Tensor n-ter Stufe ist und Operation müssen wieder solche sein. Genaueres kann ich da leider nicht zu sagen ;) Um jetzt noch mal zusammenzufassen, bei der Aussage, dass man auf den \IR^n verallgemeinern kann, habe ich nicht an die Rotation gedacht und die Möglichkeit, die ich dir hier genannt habe, ist eine Möglichkeit von mir, sie entspricht aber wahrscheinlich nicht der allgemeingültigen Definition. Aber was solls, Mathematiker und Physiker sind ja schließlich bekannt für ihre Fantasie und wenn für den Spezialfall n=3 die übliche Rotation herauskommnt, hat man nichts falsch gemacht, vielleicht unnötig, da rot v^> für n>3 wenig "physikalischen" Sinn besitzt. Gruß Nodorsk \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 10. Juli 2006 18:33:00
\(\begingroup\)Hallo, das Kreuzprodukt ist nur im IR3 ein "Vektor", eigentlich ist es ein antisymmetrischer Tensor. Analog ist es die Rotation. Durch die Multiplikation mit dem Levi-Civita-Tensor, der ja ebenfalls ein antisymmetrischer Tensor ist, kann im IR3 dieser Tensor als Vektor dargestellt werden. Allgemein ist dies jedoch nicht möglich. bye trunx\(\endgroup\)
 

Klasse Artikel
von: Mabe am: Di. 15. August 2006 23:29:24
\(\begingroup\)Vielen Dank für den aufschlussreichen Artikel. Ich wünschte, es hätte ihn schon früher gegeben, da hätte ich, als ich im Grundstudium noch Physik hatte, mir einige Stunden Überlegen sparen können! Gruß MaBe\(\endgroup\)
 

Jedes Ding hat auch sein Gutes !
von: fru am: Mi. 16. August 2006 01:32:07
\(\begingroup\)Das glaube ich schon, Marcus. Ich kann mir aber gut vorstellen, daß Du durch die "einige Stunden Überlegung" auch manches gewonnen hast, das Du andernfalls missen würdest 😉 !? Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Mabe am: Mi. 16. August 2006 23:43:18
\(\begingroup\)Hallo, ja stimmt auch wieder fru 😄 Na nu kann ich es, hab es aber recht selten in letzter Zeit anwenden müssen und wenn ich an meine meteorologische Zukunft denke, werde ich dies wohl auch kaum noch oder vielleicht gar nicht mehr müssen 😉 gruß MaBe\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 21. August 2006 16:08:50
\(\begingroup\)Denke, dass diese Kettenregel: " Um uns ein wenig mit den Symbolen vertraut zu machen, berechnen wir einmal die partielle Ableitung einer Vektorfunktion nach x_1 mit Hilfe der Kettenregel: \pd/(\pd x_1) v^> = \pd_1 v^> = \pd_1 v_k e^> _k = e^> _k \pd_1 v_k + v_k \pd_1 e^> _k $ " eine Produktregel ist. Viele Grüße, Egon Erbsenzähler\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: Do. 24. August 2006 23:31:09
\(\begingroup\)@Erbsenzähler: oh ja, lol, danke dir ;) Dass das erst jetzt auffällt ;) ... Hab Anfrage auf Änderung gesendet. Gruß Nodorsk\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: matroid am: Do. 24. August 2006 23:38:29
\(\begingroup\)... und nun steht es da ...\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Physiker_Konstanz am: So. 27. August 2006 23:22:48
\(\begingroup\)Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu Beweis 6: rot (uv) = u rot v + (grad u) x v Ist dies richtig? Ich kam beim nachrechen auf: rot (uv) = u rot v + v x (grad u) Viele Grüße Andi\(\endgroup\)
 

Rotation eines skalaren Vielfachen
von: fru am: Mo. 28. August 2006 08:56:46
\(\begingroup\)Hallo Andi ! Ja, die Formel im Artikel ist richtig. Du wirst wohl irgendwo einen Vorzeichenfehler in Deiner Rechnung haben. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. September 2006 02:51:57
\(\begingroup\)Hallo, schöner Artikel. Was hier natürlich ungemein stört (wie im gesamten Forum), ist dass absolut hässliche Schriftbild. ;-(\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 07. September 2006 06:50:35
\(\begingroup\)My name is Tadashi Yano. I am a Japanese physicist retired from Ehime University. In the proof of contraction of two Levi-Civita symbols in determinant form you will probably miss the second Levi-Civita symbol. In the product of two determinants \delta_{ii}=3 not 1. If J will also be contracted, it will be -2(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}). The sum of first term and J will gve the result. I do not think that J=0. It is very intersting for me to read this article, Thank you.\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Nodorsk am: Mi. 20. September 2006 20:37:00
\(\begingroup\)Hello Tadashi, I am very proud that non-german students are reading my article :) Sorry that I am answering so late, I've not been here for a while. You are right, there have to be 2 Levi-Civita-Symbols. The other questions I've first to look, but it isnt impossible that there are other mistakes :) Greets Marc (Nodorsk)\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 03. Januar 2007 14:16:43
\(\begingroup\)DANKE!!!\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: Tobert am: Sa. 13. Januar 2007 14:36:49
\(\begingroup\)Hi @nodorsk + navajo: Kann es sein, dass das Problem mit der Rotation inder 4. Dimension damit zusammenhängt, dass ja auch die Definition des Kreuzproduktes hier unklar ist. bei c = a x b steht c ja senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene. In 4-d bräuchte man also für das Kreuzprodukt eigentlich 3 Vektoren : d = Kreuzprodukt(a,b,c), damit d senkrecht auf allen anderen Vektoren steht. Also senkrecht auf dem 3-D Unterraum den (a,b,c) bilden, oder? Is nur so eine Idee, Tobi\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: gir am: Di. 28. April 2009 18:43:37
\(\begingroup\)endlich mal ausführlich und verständlich erklärt. danke, danke ,danke!\(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: gamazgamaz am: So. 04. April 2010 16:52:12
\(\begingroup\) f: cases(\IN->menge(DANKE);n|->f(n):=DANKE) \(\endgroup\)
 

Re: Von Nabla bis zum Levi-Civita-Symbol
von: gamazgamaz am: Di. 06. April 2010 11:29:06
\(\begingroup\)Hi, bin jetzt mit deinem Artikel durch. Ich mag ihn sehr. Es ist aber noch ein Fehler bei der Herleitung der Ladungserhaltung vorhanden \ div rot H^> = 0 = div (j^> + div D^>^*) Gruß, gamazgamaz. \(\endgroup\)
 

Fehler: Delta_ii ist 3 (nicht 1) und J ist nicht 0
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 18. August 2013 16:48:01
\(\begingroup\)Hallo, die Determinanten-Berechnung bei der Kontraktion von epsilon_ijk und epsilon_imn ist fehlerhaft. Wie bereits Tadashi Yano in seinem Kommentar geschrieben hat ist delta_ii 3 und nicht 1. Desweiteren ist J nicht 0. Beide Fehler kompensieren sich, sodass das Endresultat wiederum richtig ist. Die fehlerhafte Herleitung sollte dennoch korrigiert werden. Hjalmar \(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]