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hugoles und FlorianM schreiben: Punkte, Pfeile und Vektoren:
eine Einführung in die analytische Geometrie
Liebe Freunde der Analytischen Geometrie,
der erste Teil unserer Serie zur Analytischen Geometrie war sehr rechenlastig, deshalb kommen wir zur Entspannung nun zu einem Thema, das sehr anschaulich ist. Es stellt aber dennoch wieder Begriffe und Rechentechniken bereit, mit denen wir ab dem nächsten Kapitel arbeiten werden. Beispielsweise wird hier die Addition und Subtraktion von Vektoren, die S-Multiplikation und der Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit erläutert.
Wir wünschen euch viel Spaß beim Durcharbeiten dieses 2. Kapitels, das dankenswerter Weise George gegengelesen hat.
1. Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem
1.1 Ausrichtung der Achsen
1.2 Punkte im Koordinatensystem
2. Punkt + Punkt = Pfeil
2.1 Verschiebungen
2.2 Aus zwei Punkten wird eine Verschiebung
3. Vektoren
3.1 Was ist überhaupt Analytische Geometrie?
3.2 Wie aus Pfeilen Vektoren werden
3.2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
3.2.2 Betrag eines Vektors
3.2.3 Winkel zwischen Vektoren
3.3 Rechnen mit Vektoren
3.3.1 Addieren/Subtrahieren
3.3.2 Vervielfachen
4. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
5. Schlussbemerkungen
1. Das dreidimensionale Koordinatensystem Wir beschreiben unsere (Alltags-)Welt durch drei räumliche Dimensionen, von denen zwei für die Ebene benötigt werden und die dritte Dimension, damit wir nicht in "flatland" leben müssen.
Möchten wir nun beispielsweise die Position eines Flugzeugs in diesem dreidimensionalen Raum auf eindeutige Weise beschreiben, so brauchen wir drei Bestimmungsangaben (z.B. {Längengrad, Breitengrad, Höhe über der Erdoberfläche}, {Rektaszension, Deklination, Abstand zum Erdmittelpunkt}, ...) 1.1 Ausrichtung der Koordinatenachsen Für unsere Zwecke eignet sich am besten ein dreidimensionales kartesisches rechtshändiges Koordinatensystem.
"Puh, drei Eigenschaften für ein Koordinatensystem, ist das nicht ein bißchen viel?"
Nein, ist es nicht, denn so ist das Koordinatensystem eindeutig beschrieben und wenn wir uns auf diese Darstellungsart einigen können, müssen wir nie wieder beschreiben, wie das Koordinatensystem genau aufgebaut ist. Wir sagen einfach lässig: "dreidimensional, kartesisch, rechtshändig"
Nun, was bedeuten diese drei Eigenschaften: dreidimensional: klar, das sind die drei benötigten Angaben, von denen wir gesprochen haben. kartesisch: erscheint so mit Descartes verwandt. Diese Angabe, die eigentlich nichts anderes bedeutet, als dass alle drei Koordinatenachsen orthogonal aufeinander stehen, wird zu Ehren des großen Mathematikers Rene Descartes so bezeichnet. Aber was heißt rechtshändig? Mit Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger kann (fast) jeder Mensch sich so ein kartesisches Koordinatensystem basteln. Einzige Eigenschaft, die unter Umständen Schwierigkeiten bereiten könnte, ist das "kartesisch" ;-) Das wollen wir tun.
"Ja, welche Hand soll ich denn benutzen?"
Die Antwort darauf gibt Dir das Wort "rechtshändig". Nun haben wir also geklärt, was ein dreidimensionales kartesisches rechtshändiges Koordinatensystem ist, jetzt müssen wir nur noch die Finger/Achsen nummerieren: Bild 1.1: rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem
Die Orientierung im Raum ist dadurch allerdings nicht festgelegt, das benötigen wir aber auch nicht. Je nach Gelenkigkeit kann also jeder sein Koordinatensystem im Raum ausrichten, wie er es möchte. 1.2 Punkte im Koordinatensystem Die erste Hürde haben wir schon, jetzt müssen wir die Achsen nur noch beschriften, das heißt mit einem Maßstab versehen. Am Kreuzungspunkt der drei Achsen liegt der Ursprung O. Per Definition soll er an der Position (0|0|0) sitzen. Diese drei Zahlen nennt man die Koordinaten des Ursprungs. Für unsere weiteren Betrachtungen drehen wir das Koordinatensystem so, dass die x1-Achse aus der Zeichenebene herausschaut.
"Haha, wie witzig. Wie soll ich aus der Zeichenebene rauszeichnen?
Natürlich ist ein dreidimensionales Zeichnen auf einer Ebene nicht möglich, aber dabei nutzen wir die Vorstellungskraft unseres Gehirns aus und zeichnen alle Linien, die in die Zeichenebene hinein- oder herausweisen, schräg, das heißt unter einem Winkel von 45° gegenüber der Waagrechten. Zeichnet man die Längen aber in Originalgröße ein, sieht das Ganze "komisch" aus. Wir müssen also die Längen verkürzen. Der Verkürzungsfaktor beträgt üblicherweise 1/2*sqrt(2) . Das heißt, 1cm in Natura wird auf dem Blatt dann eine Kästchendiagonale groß. Lange Rede kurzer Sinn, so sieht dann das fertige Koordinatensystem aus, in dem wir arbeiten wollen:
 Bild 1.2: Koordinatensystem mit Punkt P
"Da ist ja noch ein Punkt P drin"
Genau, der Punkt P(2|2.5|3). Um ihn einzuzeichnen sind wir vom Ursprung aus 2 Einheiten in x1-Richtung gegangen. Von dort aus dann 2.5 Einheiten in x2-Richtung und schließlich von da aus noch 3 Einheiten nach oben in x3-Richtung. "Hmm, wenn ich mir das Ganze so anschaue, dann könnte der Punkt, so wie er eingezeichnet ist, doch auch bei (-2|0.5|1) liegen?"
Ja, könnte er. Das liegt daran, dass wir eben drei Dimensionen zweidimensional darstellen müssen. Ohne weitere Einschränkungen, gibt es zig mögliche Koordinatentripel für den eingezeichneten Punkt P. Umgekehrt, wenn man die Koordinaten fest vorgegeben hat, kommt man immer an die selbe Stelle.
2. Punkt + Punkt = Pfeil
2.1 Verschiebungen
Jetzt wollen wir etwas mit den Punkten im Koordinatensystem arbeiten, z.B. verschieben.
Der Punkt P soll um eine Einheit nach hinten, um zwei Einheiten nach rechts und anderthalb Einheiten nach unten verschoben werden. Wo landet er dann?
"Zeichnerisch ist das ja kein Problem, man zeichnet von P aus einfach den Weg nach, der gerade beschrieben wurde und landet dann bei Q."
Bild 2.1.1: Verschiebung des Punktes P
"Wie aber kann ich die Koordinaten von Q angeben, wo wir doch gehört haben, dass wir diese aus der Zeichnung nicht eindeutig bestimmen können?"
Nun, schauen wir uns doch genau an, was passiert:
die x1-Koordinate wird um 1 verringert: x'1 = x1 - 1 = 1
die x2-Koordinate wird um 2 vergrößert: x'2 = x2 + 2 = 4.5 und
die x3-Koordinate wird um 1.5 verringert: x'3 = x3 - 1.5 = 1.5
Also sind die Koordinaten des Bildpunktes Q(1|4.5|1.5)
Die ausgeführte Verschiebung können wir durch einen Verschiebungspfeil darstellen,wie man es in der Unter- und Mittelstufe auch schon gemacht hat. Diesen Verschiebungspfeil wollen wir v^> nennen.
Neu ist jetzt, dass wir diese Verschiebung im dreidimensionalen Raum charakterisieren können durch ihre drei Komponenten: 1 nach hinten, 2 nach rechts und 1.5 nach unten.
Man schreibt: v^>=(-1;2;-1.5)
Bild 2.1.2: Verschiebungspfeil
2.2 Aus zwei Punkten wird eine Verschiebung
"Aaahhhh, OK, also kriegt man rückwärts betrachtet die Komponenten des Verschiebungspfeiles, wenn man die Koordinaten der beiden Punkte P und Q kennt. Dazu muss man einfach die Urbildkoordinaten (diejenigen von P) von den Bildkoordinaten (von Q) abziehen."
So ist es.
Genau genommen kann man den Punkt P schon als Ergebnis einer Verschiebung betrachten, in dem man nämlich den Ursprung um 2 Einheiten in x1-Richtung, um 2.5 Einheiten in x2-Richtung und um 3 Einheiten in x3-Richtung verschiebt.
Diese Verschiebung wollen wir p^> nennen, weil sie zu P hinführt, und sie hat die Komponenten p^>=(2;2.5;3)
Das zeigt, dass man jeden Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem als Verschiebung des Ursprungs um entsprechende Komponenten deuten kann.
Also ist: q^> = (1;4.5;1.5)
Nun ist es auch ganz einfach, die Koordinaten von Q zu berechnen, wenn man diejenigen von P kennt und die Komponenten der Verschiebung.
Starten wir im Ursprung. Dieser wird durch p^>=(2;2.5;3) zum Punkt P hin verschoben. Anschließend verschieben wir weiter um v^> = (-1;2;-1.5). Insgesamt haben wir den Ursprung um p^> und v^> verschoben, also um (1;4.5;1.5).
Das liefert den Punkt Q und dessen Koordinaten.
Durch die Verschiebungen ausgedrückt: q^> = p^> + v^>
Den Verschiebungspfeil, der den Ursprung zu einem Punkt P hin verschiebt, nennt man \red\ Ortsvektor von P\black und man schreibt dafür p^> .
Den Verschiebungspfeil erhält man also über v^> = q^> - p^> = (1;4.5;1.5) - (2;2.5;3).
Daraus kann man eine allgemeine Merkregel ableiten, wie man die Komponenten solcher Verschiebungspfeile berechnet: "Spitze minus Fuß". Das heißt, man nimmt die Komponenten des Ortsvektors, der an der Spitze des Verschiebungspfeiles endet und zieht jeweils die Komponenten des Ortsvektors ab, der am Fuß des Verschiebungspfeiles endet.
"OK, genehmigt. Das passt sogar zu den Ortsvektoren der einzelnen Punkte, wenn man langweiligerweise die Verschiebung des Ursprungs in den Ursprung mit
o^> = (0;0;0) bezeichnet: p^>= p^> - o^> "
Ja, dieser Ortsvektor heißt Nullvektor. Man muss aber dennoch die Ortsvektoren sorgfältig von den anderen Verschiebungspfeilen trennen.
Der Ortsvektor v^>=(-1;2;-1.5) ist etwas anderes als der Verschiebungspfeil v^>=(-1;2;-1.5)
"Und woher weiß man, welcher Pfeil gemeint ist?"
Das weiß man meist aus dem Zusammenhang bzw. der Aufgabenstellung. Oft schreibt man auch für die Verschiebungspfeile PQ^>, um anzugeben, dass damit der Pfeil von P nach Q gemeint ist.
Mit unserer Darstellung von oben wird dann: PQ^> = q^> - p^>
Jetzt haben wir ganz anschaulich mit Punkten gearbeitet, aus Punkten Verschiebungen gebastelt und Punkte gar selber als Verschiebungen gedeutet, um es mal flapsig zu sagen.
Hinter diesen angerissenen Dingen stecken mathematische Strukturen, die in der Linearen Algebra eine Rolle spielen, es handelt sich dabei um Vektoren. Ein Beispiel für einen Vektor sind die eben kennengelernten Verschiebungspfeile.
Im nächsten Abschnitt wird das Arbeiten und die Rechnerei mit Vektoren auf solide Beine gestellt.
3. Vektoren
Kommen wir nun endlich zu den Vektoren, von denen die analytische Geometrie vor allem handelt. Im folgenden Abschnitt werden wir euch zuerst zeigen, was man unter der analytischen Geometrie versteht und was diese mit der Geometrie zu tun hat. Danach werden wir den Begriff des Vektors definieren und mit diesen schon anfangen zu rechnen, kurz: Ihr werdet die Eigenschaften und Vorteile der Vektoren kennenlernen.
3.1 Was ist überhaupt Analytische Geometrie?
Wie der Name schon verrät, hat "analytische Geometrie" etwas mit Geometrie zu tun. Es werden also arithmetische Objekte mit geometrischen Objekten verknüpft und umgekehrt.
Oder anders ausgedrückt: Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt.
Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen.
3.2 Wie aus Pfeilen Vektoren werden
In der analytischen Geometrie ist der Begriff des "Vektors" von entscheidender Bedeutung.
"Aber was versteht man unter einem Vektor?"
Wir wollen dies nicht allzu kompliziert gestalten und uns auf die Definition, die man eigentlich in fast jeder Schule lernt, beschränken.
Nur so viel: alle Eigenschaften, die wir jetzt für die Pfeile finden, gelten auch für Vektoren, also reichte es vorerst, sich einen Vektor vereinfacht als einen Pfeil vorzustellen.
Bild 3.2.1: Einen Vektor kann man sich als einen Pfeil vorstellen
Betrachten wir nun zwei Pfeile:
Bild 3.2.2: Das Bild zeigt zwei vektorgleiche Pfeile
Wir stellen fest, dass die Pfeile \big\ gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.
Man sagt: Die Pfeile sind Vertreter oder Repräsentanten des Vektors a^>. Denn es gibt eine ganze Reihe von vektorgleichen Pfeilen, da man die Vektoren in der Ebene beliebig verschieben kann. Sie müssen aber alle vektorgleich sein.
So erhält man eine neue Definition von unseren Vektoren:
\black\frame\black\big\ Definition:
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller zu einem Pfeil vektorgleichen Pfeile. Zwei Pfeile heißen vektorgleich genau dann, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.
3.2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
Auch den Vektor kann man durch Zahlen erfassen bzw. durch eine so genannte Koordinatendarstellung in Form einer Matrix darstellen.
Dazu betrachten wir nun diese beiden Vektoren in einem Koordinatensystem.
Bild 3.2.1.1: Erfassen von Vektoren durch Koordinatenschreibweise
Zum gelben Vektor (a_1)^> :
Der Vektor beginnt bei dem Punkt O(0\|0) und endet beim Punkt B(3\|2).
Um den Vektor durch Zahlen zu erfassen, müssen wir folgende Rechnung durchführen:
(a_1)^> =(3-0;2-0)= (3;2)
"Das kennen wir ja schon von den Verschiebungen her!"
Genau, unsere Verschiebungen beschreiben also auch Vektoren.
Weiter gehts: Für den roten Vektor (a_2)^> gilt damit:
Wir verwenden die Punkte C(2\|3) und D(5\| 5):
(a_2)^> =(5-2;5-3)= (3;2)
Wir stellen zusätzlich noch fest, dass diese Vektoren wahrscheinlich vektorgleich sind. 100%ig können wir dies an dieser Stelle aber noch nicht sagen, da wir die Länge eines Vektors noch nicht berechnen können.
"Aber da die Koordinatenschreibweise übereinstimmt, sollten die Vektoren die gleiche Länge besitzen."
Ja, genau!
Wir halten fest:
\black\frame\black\big\ Satz:
1) Sind A(a_1 \|a_2) und B(b_1 \| b_2) zwei Punkte der Ebene und ist der Pfeil AB^> ein Vertreter des Vektors v^>, so gilt:
v^>=(b_1 - a_1;b_2 - a_2)
Das gleiche gilt für den dreidimensionalen Raum:
2) Sind A(a_1 \| a_2 \| a_3) und B(b_1 \| b_2 \| b_3) zwei Punkte des Raumes und ist der Pfeil AB^> ein Vertreter des Vektors w^>, so gilt:
w^>=(b_1 - a_1;b_2 - a_2;b_3 - a_3)
3.2.2 Betrag eines Vektors
Unter dem Betrag abs(a^>) eines Vektors a^> verstehen wir geometrisch die Länge des Vektors. Wir müssen nun nur eine "Formel" finden, mit der wir die Länge eines Vektors berechnen können. Der alte Pythagoras hilft uns da weiter:
Bild 3.2.2.1: Die Länge oder der Betrag eines Vektors
Anwenden des Satzes von Pythagoras liefert:
abs(a^>)^2 =(a_1)^2+(a_2)^2
abs(a^>)=sqrt((a_1)^2+(a_2)^2)
\stress\ Beispiel:
Für a^>=(3;4) gilt: abs(a^>)=sqrt((3)^2+(4)^2)=sqrt(25)=5
Uns interessieren in diesem Fall nur die positiven Ergebnisse, da eine Länge immer nur positive Werte annehmen kann bzw. eine Länge in gewissem Sinne auch nur als positive Zahl dargestellt wird.
Für räumliche Vektoren gilt entsprechend:
abs(a^>)^2 =(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2
abs(a^>)=sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2)
\black\frame\black\big\ Satz:
Für den Betrag ebener und räumlicher Vektoren gilt:
abs(a^>)=sqrt((a_1)^2+(a_2)^2) bzw. abs(a^>)=sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2)
Das heißt: Unter dem Betrag (abs(a^>)) eines Vektors verstehen wir die Maßzahl der Länge seiner Repräsentanten.
3.3 Rechnen mit Vektoren
Ja! Mit Vektoren kann man auch rechnen! Glaubt ihr nicht? Dann passt mal auf und lest diesen Abschnitt sehr aufmerksam.
"Wir rechnen doch schon die ganze Zeit."
Schon, aber bisher haben wir mit Koordinaten von Punkten gerechnet und mehr anschaulich argumentiert. Jetzt wollen wir Operationen zwischen Vektoren im "Raum der Vektoren" (sprich im Vektorraum V) durchführen.
Lange Rede, kurzer Sinn:
3.3.1 Addieren und Subtrahieren
Aus der Physik kennen wir schon ein so genanntes Kräfteparallelogramm. Dabei greifen zwei Kräfte an einem gemeinsamen (Körper)Punkt an. Durch das Zeichnen eines Kräfteparallelogramms konnte man die resultierende Kraft bestimmen. Es war die Diagonale des Parallelogramms.
Dies können wir auf die Vektoren übertragen, denn auch Kräfte kann man als gerichtete Pfeile darstellen, genauso wie die Vektoren.
Bild 3.3.1.1: Die Physik hilft uns weiter... oder die geometrische Addition von Vektoren
Dieses Bild zeigt uns, wie man Vektoren geometrisch addiert.
"Um in der Physiksprache zu bleiben: Die resultierende Kraft stellt also die Summe der beiden angreifenden Kräfte dar."
\black\frame\black\big\ Die geometrische Addition von Vektoren:
Zwei Vektoren a^> und b^> werden zeichnerisch addiert, indem man je einen Repräsentanten von a^> und b^> so aneinander legt, dass der Anfang des zweiten Pfeils mit der Spitze des ersten Pfeils übereinstimmt. Ein Repräsentant des Summenvektors c^>=a^>+b^> reicht dann vom Anfang des ersten Pfeils bis zur Spitze des zweiten Pfeils.
Was bedeutet dies aber für die Koordinatenschreibweise des Summenvektors? Anschaulich wird klar:
\stress\ Beispiel:
a^>=(1;3), b^>=(3;1)
c^>=a^>+b^>=(1;3)+(3;1)=(1+3;3+1)=(4;4)
\black\frame\black\big\ Die rechnerische Addition von Vektoren:
Zwei in Koordinatendarstellung gegebene Vektoren werden addiert, indem man ihre entsprechenden Koordinaten addiert.
a^>+b^>=(a_1;a_2;a_3)+(b_1;b_2;b_3)=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)
Das war das Addieren, kommen wir also nun zur Subtraktion von Vektoren:
Folgendes Bild dient zur Erklärung der Subtraktion von Vektoren:
 Bild 3.3.1.2: Die Subtraktion von Vektoren
Es gilt: c^>=a^>-b^>=a^>+(-b^>)
"Das ist mir nicht ganz klar."
Ganz einfach:
Der Pfeil zum Vektor (-b^>) ist genau umgekehrt, hat also eine andere Orientierung. Es ist der \red\ Gegenvektor\black zum Vektor b^> aus der Addition von Vektoren. (betrachte dazu noch einmal Bild 3.3.1.2)
Dieser Vektor heißt \big\inverses Element oder\red Gegenvektor\black\ .
\black\frame\black\big\ Gegenvektor:
Der Vektor -a^>=(-a_1;-a_2;-a_3) heißt Gegenvektor zum Vektor a^>=(a_1;a_2;a_3)
Zurück zur Subtraktion von Vektoren:
Man kann einen Vertreter des Differenzvektors a^>-b^> zeichnerisch auch dadurch bestimmen, dass man zwei Vertreter der Vektoren a^> und b^> mit ihren Anfangspunkten aneinander legt; dann reicht der Vertreter des Vektors a^>-b^> von der Spitze des zweiten Pfeils bis zur Spitze des ersten Pfeils.
Ein weiteres Beispiel mit Koordinaten:
Bild 3.3.1.3: Ein weiteres Beispiel...
Es gilt:
z^>=x^>-y^>=x^>+(-y^>)
Um zu sehen, wie man Vektoren in Koordinatenschreibweise subtrahiert, nehmen wir fiktive Werte für die Vektoren:
x^>=(3;5), y^>=(-3;-3)
z^>=x^>-y^>=(3;5)-(-3;-3)=(3-(-3);5-(-3))=(6;8)
\black\frame\black\big\ Definition:
Für beliebige Vektoren a^>, b^> \el\ V gilt:
a^>-b^>=a^>+(-b^>)
\black\frame\black\big\ Die rechnerische Subtraktion von Vektoren:
Zwei in Koordinatendarstellung gegebene Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Koordinaten subtrahiert:
a^>-b^>=a^>+(-b^>)=(a_1;a_2;a_3)-(b_1;b_2;b_3)=(a_1;a_2;a_3)+(-b_1;-b_2;-b_3)=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)
"Puh, das wäre geschafft. Wir können jetzt also Vektoren addieren und subtrahieren."
Wie es bei den reellen Zahlen Gesetze gibt, gibt es auch bei den Vektoren bestimmte Rechengesetze.
Wir wollen sie kurz anführen.
Bild 3.3.1.1 lässt vermuten, dass auch in der Vektorrechnung das Kommutativgesetz gilt. Wir wollen nun die uns aus der Menge der reellen Zahlen bekannten Gesetze nachweisen und somit Gesetze der Vektoraddition kennen lernen.
\stress\ 1. Kommutativgesetz:
\black\frame\black\big\ Kommutativgesetz:
Für alle Vektoren a^>, b^> \el\ V gilt: a^>+b^>=b^>+a^> .
\stress\ Beweis:
a^>+b^>=(a_1;a_2;a_3)+ (b_1;b_2;b_3)=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)=(b_1+a_1;b_2+a_2;b_3+a_3)=(b_1;b_2;b_3)+(a_1;a_2;a_3) = b^>+a^>
Der entscheidende Beweisschritt besteht in der Anwendung des Kommutativgesetzes für die Addition reeller Zahlen in den einzelnen Koordinaten des Summenvektors.
Wir müssen uns immer wieder vor Augen führen, dass es keine Selbstverständlichkeit ist, dass wir mit Vektoren genauso rechnen können, wie mit den reellen Zahlen. Aber wir können die uns in den reellen Zahlen bekannten Gesetze zum Beweis anwenden.
\stress\ 2. Assoziativgesetz:
\black\frame\black\big\ Assoziativgesetz:
Für alle Vektoren a^>, b^>, c^> \el\ V gilt: (a^>+b^>)+c^>=a^>+(b^>+c^>) .
\stress\ Beweis:
(a^>+b^>)+c^>=[(a_1;a_2;a_3)+(b_1;b_2;b_3)]+(c_1;c_2;c_3)=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)+(c_1;c_2;c_3)
=(a_1+b_1+c_1;a_2+b_2+c_2;a_3+b_3+c_3)=(a_1;a_2;a_3)+[(b_1;b_2;b_3)+(c_1;c_2;c_3)]
=a^>+(b^>+c^>)
Auch hier besteht der entscheidende Beweisschritt in der Anwendung des Assoziativgesetzes für reelle Zahlen.
Um das Neutralitätsgesetz anwenden und beweisen zu können, müssen wir das neutrale Element und den Nullvektor definieren.
Aus der arithmetischen Definition der Vektoraddition ergibt sich unmittelbar, dass ein neutrales Element für die Vektoraddition an allen Stellen die Koordinate 0 haben muss. Es gilt nämlich:
(a_1;a_2;a_3)+(0;0;0)=(a_1+0;a_2+0;a_3+0)=(a_1;a_2;a_3)
\black\frame\black\big\ Definition:
Unter dem Nullvektor 0^> versteht man den Vektor, dessen sämtliche Koordinaten Null sind,
0^>=(0;0;0)
Dem Nullvektor ordnet man keine Richtung und keine Orientierung zu.
Für den Betrag (die Maßzahl der Länge) des Nullvektors gilt: abs(0^>)=0 .
\stress\ 3. Neutralitätsgesetz:
\black\frame\black\big\ Neutralitätsgesetz:
Für jeden Vektor a^> \el\ V gilt: a^>+0^>=0^>+a^>=a^> .
"V, das war doch der Vektorraum, quasi der 'Sack', in dem alle möglichen Pfeile drin sind."
So ist es. Lass uns jetzt diesen Satz beweisen:
a^>+0^>=(a_1;a_2;a_3)+(0;0;0)=(a_1+0;a_2+0;a_3+0)=(a_1;a_2;a_3)=a^>
\stress\ 4. Inversitätsgesetz:
\black\frame\black\big\ Inversitätsgesetz:
Für alle Vektoren a^> \el\ V gilt: a^>+(-a^>)=(-a^>)+a^>=0^> .
\stress\ Beweis:
a^>+(-a^>)=(a_1;a_2;a_3)+(-a_1;-a_2;-a_3)=(a_1+(-a_1);a_2+(-a_2);a_3+(-a_3))=(a_1-a_1;a_2-a_2;a_3-a_3)=(0;0;0)=0^>
Das wäre geschafft... Jetzt haben wir alle wichtigen Rechengesetze von Vektoren kennengelernt und können sie nun ohne Bedenken anwenden, da wir ihre Gültigkeit bewiesen haben.
3.3.2 Vervielfachen
Nun können wir also Vektoren addieren und subtrahieren. Fehlt nur noch die Multiplikation. Wir führen jetzt die S-Multiplikation ein. Darunter versteht man das Produkt aus einer Zahl (einem Skalar) und einem Vektor.
"Und die Multiplikation zweier Vektoren?"
Der Fall 'Vektor mal Vektor' kommt erst im vierten Teil. Also noch etwas Geduld.
Ein Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wäre 4*a^>.
Anschaulich können wir 4*a^> wie folgt darstellen, denn 4*a^>=a^>+a^>+a^>+a^>.
Bild 3.3.2.1: Die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor
Wenn wir diese Schreibweise auf die Koordinatendarstellung übertragen, so erhalten wir:
4*a^>=4*(a_1;a_2)=(a_1;a_2)+(a_1;a_2)+(a_1;a_2)+(a_1;a_2)=(a_1+a_1+a_1+a_1;a_2+a_2+a_2+a_2)=(4a_1;4a_2)
Ein weiteres Beispiel:
Gegeben seien die Vektoren a^>=(-1;-2). Im Folgenden sollen die Vektoren (a_1)^>=1/2 *(-1;-2) und (a_2)^>=-2*(-1;-2) berechnet und in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
(a_1)^>=1/2 *(-1;-2)=(1/2 *(-1);1/2 *(-2))=(-1/2 ;-1)
(a_2)^>=-2*(-1;-2)=(-2*(-1);-2*(-2))=(2 ;4)
Bild 3.3.2.2: Graphische Darstellung des Beispiels oder Vervielfachen von Vektoren
\black\frame\black\big\ Die S\-Multiplikation von Vektoren:
Für beliebige Vektoren a^> \el\ V und eine beliebige reelle Zahl r \el\ \IR gilt:
r*a^>=r*(a_1;a_2;a_3)=(ra_1;ra_2;ra_3)
r nennt man \red\ Skalar\black\ . Aus diesem Grund bezeichnet man die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auch als\red S\-Multiplikation\black\ .
Auch hier wollen wir nun die Gesetze der S\-Multiplikation ansprechen und beweisen, denn wir können a propri nicht davon ausgehen, dass die gleichen Gesetze gelten wie bei reellen Zahlen, was aber dennoch schön wäre.
\stress\ - Kommutativgesetz:
Eine zur Gleichung des Kommutativgesetzes analoge Gleichung
für die S\-Multiplikation müsste lauten:
r*a^>=a^> *r
Der Term a^> *r ist aber nicht definiert. Daher gibt es kein Kommutativgesetz für die S\-Multiplikation. Man kann zwar einen Vektor mit einer Zahl vervielfachen, aber man kann keine Zahl mit einem Vektor vervielfachen.
\stress\ - Assoziativgesetz:
Vermutung: s(r*a^>)=(s*r)*a^>
Beispiel: 2(3*a^>)=(2*3)*a^>=6*a^>
\stress\ Beweis:
s(r*a^>)=s*(ra_1;ra_2;ra_3)=(s*r*a_1;s*r*a_2;s*r*a_3)=(s*r)*(a_1;a_2;a_3)=(s*r)*a^>
\black\frame\black\big\ Satz:
Für alle r, s \el\ \IR und für alle Vektoren a^> \el\ V gilt:
s*(r*a^>)=(s*r)*a^> .
\stress\ Distributivgesetz:
Vermutung: (r_1+r_2)*a^>=r_1*a^>+r_2*a^>
\stress\ Beweis:
Wir substituieren r_1+r_2=z
(r_1+r_2)*a^>=z*a^>=z*(a_1;a_2;a_3)=(z*a_1;z*a_2;z*a_3)=((r_1+r_2)*(a_1);(r_1+r_2)*(a_2);(r_1+r_2)*(a_3))
=(r_1*(a_1) +r_2*(a_1);r_1*(a_2) +r_2*(a_2);r_1*(a_3) +r_2*(a_3))
=(r_1*(a_1);r_1*(a_2);r_1*(a_3)) + (r_2*(a_1);r_2*(a_2);r_2*(a_3))
\black\frame\black\big\ Satz:
Für alle r, s \el\ \IR und für alle Vektoren a^> \el\ V gilt:
(r_1+r_2)*a^>=r_1*a^> + r_2*a^> .
Vermutung: r(a^>+b^>)=r*a^>+r*b^>
\stress\ Beweis:
r(a^>+b^>)=r[(a_1;a_2;a_3)+(b_1;b_2;b_3)] =r*(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)
=(r*(a_1+b_1);r*(a_2+b_2);r*(a_3+b_3))=(r*a_1+r*b_1;r*a_2+r*b_2;r*a_3+r*b_3)
=r*a^>+r*b^>
\black\frame\black\big\ Satz:
Für alle r, s \el\ \IR und für alle Vektoren a^> \el\ V gilt:
r*(a^>+b^>)=r*a^>+r*b^> .
Jetzt hätten wir auch die S-Multiplikation geschafft. Fassen wir nochmal zusammen, was wir bis jetzt gelernt haben: Wir können nun geometrisch wie rechnerisch Vektoren addieren und subtrahieren. Darüber hinaus haben wir kennen gelernt, was passiert, wenn man einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert.
4. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
In diesem letzten Abschnitt unseres zweiten Teils können wir jetzt das anwenden, was wir im Abschnitt 3 gelernt haben und bereits anwenden, was im ersten Teil der Serie vorbereitet wurde.
Wenn man viele Vektoren addiert, kommt es vor, dass man dann den Nullvektor erhält. Das war jetzt aber dann nicht für die Katz', sondern man kennt damit eine Eigenschaft dieser vielen Vektoren: sie sind linear abhängig.
Beispiel:
a^>=(2;2;4), b^>=(6;9;12) und c^> = (-8;-11;-16)
=> a^> + b^> + c^> =(0;0;0)
"Gut, das ist klar. Aber jetzt ist doch
\red\ a^> = 2*(1;1;2), b^> = 3*(2;3;4) sowie c^> = -(8;11;16)."
OK, dann sagen wir, Vektoren sollen auch linear abhängig sein, wenn man Vielfache von ihnen zum Nullvektor addieren kann.
Das heißt:
\black\frame\ Vektoren a^>_1, a^>_2, ..., a^>_n heißen\red linear abhängig\black\,
wenn es Zahlen r_1, r_2, ... ,r_n gibt, so dass nicht alle r_i Null sind aber r_1 * a^>_1 + r_2 * a^>_2 + ... + r_n * a^>_n = 0^> ergibt
Also sind die Vektoren (1;1;2), (2;3;4) und (8;11;16) linear abhängig.
Wenn Vektoren nicht linear abhängig sind, dann sind sie\red linear unabhängig\black\ .
Ein Beispiel für drei linear unabhängige Vektoren sind unsere Einheitsvektoren des Koordinatensystems:
e^>_1=(1;0;0), e^>_2 = (0;1;0), e^>_3 = (0;0;1)
Anschaulich bedeutet dies: wenn Vektoren linear unabhängig sind, so zeigt mindestens ein Vektor aus der Ebene, die von einigen anderen Vektoren aufgespannt wird, hinaus. \(Je einer der e^>_i zeigt aus der Ebene, die von den anderen beiden Vektoren aufgespannt wird, hinaus).
Das Umgekehrte gilt natürlich nicht, wie man leicht sieht, wenn man die Vektoren e^>_1, e^>_2, e^>_3 und (-1;-1;-1) betrachtet. Jeweils zwei weisen aus der Ebene, die von den anderen beiden Vektoren aufgespannt wird, aber die vier Vektoren sind linear abhängig.
Übrigens, Ausdrücke der Art r_1 * a^>_1 + r_2 * a^>_2 + ... + r_n * a^>_n heißen\red Linearkombinationen\black\ .
"Wie untersucht man jetzt auf lineare (Un-)Abhängigkeit?"
Um zu zeigen, dass Vektoren linear unabhängig sind, dürfen r_1 = r_2 = ... =r_n nur Null sein, andere Kombinationen sind nicht erlaubt.
Es ergibt sich also für jede Komponente der Vektoren eine Gleichung, für alle drei Komponenten insgesamt ein...
"...Lineares Gleichungssystem. Und da wissen wir ja schon, wie man dieses löst."
Bleiben wir bei unserem Beispiel von oben. Wir wissen ja schon, dass diese Vektoren linear abhängig sind:
a^>_1=(1;1;2), a^>_2=(2;3;4) und a^>_3=(8;11;16)
Das (homogene) LGS ergibt sich aus r_1 * a^>_1 + r_2 * a^>_2 + r_3 * a^>_3 = 0^>, also
r_1 * (1;1;2) + r_2 * (2;3;4) + r_3 * (8;11;16) = 0^>
Ausgeschrieben:
r_1 + 2*r_2 + 8*r_3 = 0
r_1 + 3*r_2 + 11*r_3 = 0
2*r_1 + 4*r_2 + 16*r_3 = 0
Stellen wir die Lösung dieses LGS in Matrixschreibweise dar:
(1,2,8,\|0; 1,3,11,\|0; 2,4,16,\|0)
=> (1,2,8,\|0; 0,-1,-3,\|0; 2,4,16,\|0) \(neue 2. Zeile = 1. Zeile - 2. Zeile)
=> (1,2,8,\|0; 0,-1,-3,\|0; 0,0,0,\|0) \(neue 3. Zeile = 2* 1. Zeile - 3. Zeile)
Jetzt sind wir schon fertig. An der letzten Zeile erkennt man, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Wählen wir dort doch r_3 = -2
Dann ergibt sich automatisch aus der zweiten Zeile: r_2 = 6 und aus der ersten Zeile dann r_1 = 4
Wir haben: 4*(1;1;2) + 6*(2;3;4) - 2*(8;11;16) = (0;0;0), die Vektoren sind linear abhängig.
"Wenn es doch schon unendlich viele Lösungen für das LGS gibt, dann wähle ich mir die einfachste aus, nämlich diejenige, bei der alle ri Null sind...dann wären die Vektoren doch linear unabhängig?"
Nein, das stimmt nicht. Wenn wir uns noch einmal die Definition anschauen, so lesen wir daraus, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn es Zahlen gibt, die nicht alle gleichzeitig Null sind, so dass der Nullvektor als Linearkombination aus den Vektoren dargestellt werden kann und solch eine Lösung haben wir gefunden.
Natürlich ist r_1 = r_2 = ... = r_n = 0 immer eine Lösung homogener LGS.
"Das ist jetzt auch klar. Können wir noch ein Beispiel zur Linearen Unabhängigkeit von Vektoren machen?"
Gerne.
Beispiel: a^>_1 = (4;1;4), a^>_2 = (2;1;2), a^>_3 = (2;-4;1)
Das LGS in Matrixform wird zu
(4,2,2,\|0; 1,1,-4,\|0; 4,2,1,\|0)
=> (1,1,-4,\|0; 4,2,2,\|0; 4,2,1,\|0) \(Vertauschen von Zeilen)
=> (1,1,-4,\|0; 0,2,-18,\|0; 4,2,1,\|0) \(neue 2. Zeile = 4* 1. Zeile - 2. Zeile)
=> (1,1,-4,\|0; 0,2,-18,\|0; 0,2,-17,\|0) \(neue 3. Zeile = 4* 1. Zeile - 3. Zeile)
=> (1,1,-4,\|0; 0,2,-18,\|0; 0,0, -1,\|0)
Nun sind wir fertig: aus der letzten Zeile erkennt man r_3 = 0. aus der Zweiten ergibt sich dann zwangsläufig r_2 = 0 und aus der Ersten ohne Mühe r_1 = 0.
Dies ist die einzige Lösung dieses LGS, deshalb sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Zum Schluss möchten wir noch drei Beispiele zum selber überlegen anbieten:
1. Warum sind drei Vektoren stets linear abhängig, bei denen z.B. die zweite Komponente jeweils Null ist?
2. Warum sind drei Vektoren ebenfalls linear abhängig, wenn einer von ihnen der Nullvektor ist?
3. Warum sind drei zweidimensionale Vektoren stets linear abhängig?
5. Schlussbemerkungen
Zum Abschluss dieses Kapitels möchten wir wiederum einen kleinen Ausblick geben, wozu man das alles braucht, was wir euch in diesem Kapitel zur Verfügung gestellt haben:
Im nächsten Abschnitt soll es um Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum gehen.
"Das könnte auch schön anschaulich werden"
Wir wollen es hoffen.
Mit Hilfe der Rechengesetze für Vektoren können wir Darstellungsformen dieser beiden geometrischen Gebilde angeben, dabei werden die S-Multiplikation und die Addition von Vektoren benötigt.
Möchte man die Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade, Ebene zu Gerade oder Ebene zu Ebene untersuchen bzw. in diesem Bereich Schnittprobleme lösen, so müssen wiederum LGS gelöst werden. Auch die Untersuchung von geeigneten Vektoren auf lineare (Un-)Abhängigkeit kann bei diesem Themenkomplex nützlich werden.
Bleibt der Wunsch, dass ihr auch beim nächsten Teil so eifrig mit dabei seid. "Bis demnächst."
 Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & CoKapitel 2: Punkte, Pfeile und VektorenKapitel 3: Geraden und EbenenKapitel 4: Das Skalarprodukt und seine AnwendungenKapitel 5: Das Vektorprodukt und seine AnwendungenKapitel 6: Das Spatprodukt und seine AnwendungenKapitel 7: Exkurs: Die PlückerformKapitel 8: AbstandsberechnungenKapitel 9: LageuntersuchungenKapitel 10: Kreise und KugelnKapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur
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