Mathematik: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
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Mathematik

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Über Grenzen des menschlichen Verstandes

Zu diesem Thema ist im Laufe der Zeit schon vieles geschrieben worden, doch möchte ich es hier ein weiteres Mal wagen. Verstand kommt von verstehen und bezeichnet unter anderem die Fähigkeit, den Sinn eines Ereignisses oder einer Aufgabenstellung zu erfassen, eine Sache zu analysieren und zutreffend zu beurteilen, richtige Schlußfolgerungen zu ziehen usw. Er ist großenteils angeboren, kann aber durch Erziehung und Ausbildung verstärkt und vertieft werden. Verstand ist begrenzt. Gegen manches sträubt er sich, weil es ihm absurd erscheint. Anderes trägt dazu bei, ihn zu verwirren. Es gibt Fragestellungen, bei denen er machtlos ist.

Die Grenzen des Verstandes sind bei einzelnen Menschen unterschiedlich weit gesteckt. Denjenigen, die der Mathematik fern stehen (und zum Teil sogar stolz darauf sind), fällt bereits eine der beliebten, in Rätselzeitschriften und anderswo zu findenden Altersaufgaben wie die folgende nicht leicht: Alex und Bert waren vor 7 Jahren zusammen dreimal so alt wie vor 17 Jahren, und Bert war vor 5 Jahren viermal so alt, wie Alex vor 19 Jahren war. Wie alt sind die beiden heute? Gezieltes Raten und Herumprobieren kann zum richtigen Ergebnis führen; günstiger ist die mit geringem gedanklichen Aufwand verbundene Aufstellung von Gleichungen und deren schematische Lösung. Auch bei (für den Kenner) einfachen Logik-Aufgaben gelangt der Ungeübte schnell an seine Grenzen. Ein bekanntes Beispiel ist diese: Alex sagt: "Bert lügt." Bert sagt: "Clemens lügt." Clemens sagt: "Ihr lügt alle beide!" Was folgt hieraus, d. h. wer von den dreien lügt nun wirklich, und wer spricht die Wahrheit? Bei vorhandenen Grundkenntnissen in formaler Logik ist die Aufgabe leicht lösbar, während man sich beim Versuch, mit ihr nur im Kopf, "rein verstandesmäßig", fertig zu werden, ganz schön anstrengen muß.
*
Bei bestimmten Dingen haben auch Mathematiker große Schwierigkeiten. Als Beispiel diene das Folgende: Allgemein wird angenommen, daß man nicht nur die ganzen Zahlen durch Punkte auf einer Geraden markieren kann, sondern auch diejenigen, die aus den ganzen Zahlen durch Division entstehen. Diese Zahlen der Form p/q (p,q є Z, q≠0) und rational genannt, haben eine besondere Eigenschaft: wenn man zwei beliebige von ihnen nimmt, a und b, und ihr arithmetisches Mittel m1 bildet, so ist dieses ebenfalls rational, und sein Markierungspunkt auf der Zahlengeraden liegt genau in der Mitte zwischen a und b. Wird nun von a und m1 das Mittel m2 gebildet, liegt dessen Punkt in der Mitte zwischen a und m1. Dies läßt sich unendlich weiter fortsetzen (so sagt man) und führt zu der anschaulichen Vorstellung, daß die Markierungspunkte der rationalen Zahlen überall dicht liegen. Das heißt: in jedem noch so kleinen Intervall der Zahlengeraden gibt es unendlich viele rationale Punkte, die unmittelbar, ohne Zwischenraum, aneinandergrenzen. ("Rationaler Punkt" ist eine Kurzsprechweise für "Markierungspunkt einer rationalen Zahl".) Nun aber gibt es Zahlen, die sich nicht in der oben genannten Form p/q darstellen lassen und die deshalb irrational genannt werden. Für einen Teil von ihnen kann man ebenfalls Markierungspunkte auf die Zahlengerade setzen, und zwar sehr leicht mit Zirkel und Lineal wie hier: Bild Dabei wird der Satz von Pythagoras angewendet. (Natürlich ist das Bild nur eine grobe Veranschaulichung des Verfahrens. Rein gedanklich müßte der Kreisbogen unendlich dünn sein; dann würde man ihn aber nicht mehr sehen.) Daß es möglich ist, irrationale Zahlen ebenfalls auf der Zahlengerade zu markieren, ist erstaunlich. Es kollidiert mit der Vorstellung, daß die rationalen Markierungspunkte überall dicht liegen. Wie sollen irrationale Punkte (von denen es unendlich viele gibt, denn die obige Figur ist nur ein beliebig herausgegriffenes Beispiel), zwischen ihnen noch Platz finden? Hier deutet sich ein Widerspruch an, bei dem ich nicht weiß, wie er sich beseitigen läßt. Davon, daß manche Überlegungen auf Widersprüchliches führen, macht man in der Mathematik öfters Gebrauch, und zwar beim indirekten Beweis. Tritt in einer Gedankenkette, die von einer Aussage A ausgeht, deren Gültigkeit untersucht werden soll, ein Widerspruch auf, so ist A falsch und ihr Gegenteil richtig. In unserem Fall bei den rationalen und irrationalen Zahlen hatten wir als selbstverständlich angenommen, daß es stets möglich ist, Zahlen auf einer Geraden durch Punkte zu markieren. Diese Annahme hat eine Schwäche, die vermutlich die Ursache des bestehenden Widerspruchs ist: der in ihr vorkommene Begriff "Punkt" ist nicht ausreichend genau definiert. "Ein Punkt hat keine Teile", heißt es bei Euklid. Diese Erklärung hilft im vorliegenden Zusammenhang nicht weiter; andere kenne ich nicht. (Bei Wikipedia liest man hier: "Von Oskar Perron stammt die Bemerkung: 'Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.' " und an anderer Stelle: "Punkt - ein nichtausgedehnter Ort". Beides ist auch nicht gerade erhellend.) Insgesamt bleibt ein Punkt in der Mathematik nach meinem Eindruck etwas Geheimnsivolles, Unbestimmtes. Deshalb gehen die meisten diesem schwierigen Begriff, der bei längerem Nachdenken den Verstand arg strapaziert, am liebsten aus dem Weg. Die es nicht tun, betrachten anstelle einzelner Punkte oftmals eine unendliche Menge von ihnen, die dicht beieinander stehen und ein sogenanntes Kontinuum bilden. (Was "dicht beieinander" bedeutet, kann und will ich hier nicht spezifizieren.) Ein Kontinuum kann eine eindimensionale Gerade oder Strecke, eine zweidimensionale Fläche oder ein dreidimensionaler Raum sein. Höherdimensionale Kontinua, die sich der Anschauung entziehen, sind ebenfalls denkbar. Kontinuumseigenschaften zu untersuchen, ist manchmal nicht ganz ungefährlich. Läßt man sich zu sehr und zu lange darauf ein, ohne daß greifbare und befriedigende Erfolge eintreten, kann es einem so gehen wie Georg Cantor (1845-1918), dem Begründer der Mengenlehre. In dem Buch [1] wird berichtet, daß er bei der Erforschung des Kontinuums in seinen letzten Lebensjahren nicht nur schwer depressiv wurde, sondern dabei an den Rand schwärmerisch-mystischen Wahnsinns geriet. Der Autor des Buches ist nicht irgendein fachfremder Wissenschaftsjournalist, sondern ein amerikanischer Mathematikprofessor, der sich gründlich mit Cantor und der Kontinuumsforschung, auch in neuerer Zeit, beschäftigt hat. Auf S. 219 schreibt er: "Zahlen gibt es, und zwar, wie ich glaube, unabhängig vom Menschen. In einem anderen Universum - ohne Menschen und ohne irgendwelche Dinge, die wir aus unserem Iniversum kennen - gäbe es trotzdem Zahlen, die unendlich wären. Doch wie dicht wären diese Zahlen? Gibt es das Kontinuum tatsächlich? Ist es möglich, daß zwar die Zahlen existieren, aber das Kontinuum nicht? …"
*
Unendlich (auch "unendlich benachbart"), Punkt, Kontinuum - dies sind Begriffe und Untersuchungsgegenstände meist hochkarätiger Mathematiker und Spezialisten auf den betreffenden Gebieten. Kehren wir deshalb zu denen zurück, die sich, sei es aus beruflichem Interesse, sei es aus Liebhaberei, mit einfacheren Matheproblemen beschäftigen. Ihnen wird, zum Teil schon in der Schule, beispielsweise eine solche Aufgabe gestellt: Angenommen, die Erde sei eine ideale Kugel ohne Berge und Täler. Um ihren Äquator wird ein Faden, der einen Meter länger als der Erdumfang ist, gelegt und zwar so, daß der Abstand zwischen ihm und der Erdoberfläche überall gleich groß bleibt. Kann nun, so lautet die Frage, unter dem Faden noch ein kleines Tier hindurchschlüpfen, z. B. eine Ameise, eine Laus oder vielleicht gar nur eine "Bazille" ? Bei dieser Aufgabe spielt das Unendliche keine Rolle; wir bleiben ganz im Endlichen. Trotzdem ist es dem untrainierten Verstand nicht ohne Weiteres möglich, bei der ungeheuren Größe des Erdumfangs die Wirkung von dessen Verlängerung um einen Meter richtig einzuschätzen. Man neigt leicht dazu, den Abstand des Fadens von der Erdoberfläche als sehr klein anzusehen. Die Rechnung ist einfach und ihr Ergebnis verblüffend: unter dem Faden kann sich sogar ein Eichhörnchen oder eine kleine Katze mühelos hindurchbewegen! (Dieses unerwartete Resultat läßt sich besser verstehen, wenn die Erde durch sehr viel kleinere runde Gegenstände wie Schüsseln, Trinkgläser oder Münzen ersetzt wird und man damit und einem Faden praktische Versuche anstellt.) Eine andere Aufgabe, die mir kürzlich ein Bekannter stellte, lautet: Um die Erde wird unter derselben Voraussetzung wie oben ebenfalls ein Faden gelegt, der um 1m länger als der Erdumfang ist. Dieser wird aber jetzt an einer Stelle hochgezogen, so daß er mit seinem restlichen Teil eng an der Erde anliegt. Die nicht maßstäbliche Figur zeigt, was gemeint ist: Bild Die rote Strecke kann man sich als einen Stock denken, und die Frage lautet, wie lang dieser wohl sein muß: vielleicht auch nur ein paar Zentimeter wie bei der ersten Aufgabe? Auch hier versagt bei den meisten die innere Vorstellung, und man muß rechnen, um Genaueres zu erfahren. (Falls jemand von den Leserinnen und Lesern dieses Beitrags ein Ergebnis hat und es mitteilen möchte, ist es am besten, wie in der Rätselecke des Matheplaneten üblich, es mir zunächst per PN zu schicken, um den anderen nicht den Spaß zu verderben.)
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Zum Abschluß nochmals ein Problem aus dem Bereich der Logik, das weder mit dem Unendlichen noch mit dem ominösen Punktbegriff zu tun hat und bei dem es auch nichts zu rechnen gibt. Dieses Problem beschäftigte führende Denker bereits in der Antike und wird auch vom Apostel Paulus in der Bibel erwähnt. Es lautet: "Ein Kreter sagt: alle Kreter lügen immer." Kann man dieser Behauptung Glauben schenken, oder enthält sie einen Haken? Das letztere ist der Fall. Dieses Beispiel zeigt nicht nur, daß der Verstand auch hier wieder an eine Grenze stößt, sondern sogar imstande ist, sich selbst Fallen zu stellen, aus denen es kein Entrinnen gibt. Hans-Jürgen [1] Amir D. Aczel: Die Natur der Unendlichkeit, rororo, ISBN 3 499 61358 1
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"Mathematik: Über Grenzen des menschlichen Verstandes" | 21 Comments
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Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: shadowking am: Do. 05. Oktober 2006 02:59:30
\(\begingroup\)Sachlich falsch. Das Kreterparadoxon ist keines, da die Aussage nicht selbstbezüglich ist. Hätte der Kreter gesagt, er selber lüge, so wäre die Situation auf banale Weise paradox. Da der "Erfinder" des Kreter"paradoxons" aber wohl von der Existenz mehr als eines Kreters ausgeht, kann man es folgendermaßen lösen: der Sprecher lügt, also gibt es Kreter, die nicht immer lügen. Wo ist hier der Widerspruch? Selbst wenn der Kreter gesagt hätte: "Ich lüge immer", läge kein Paradoxon vor. Die Generalisierung "immer" bewirkt, dass das logische Gegenteil hier lautet "ich sage manchmal die Wahrheit". Dieses Mal hätte er also gelogen, während er sonst manchmal die Wahrheit sagt. Dass die Ansicht, dies sei ein Paradoxon, so verbreitet ist, muss mit der irrigen Ansicht zusammenhängen, das logische Gegenteil von "alle lügen (immer)" wäre "alle sagen (immer) die Wahrheit", nicht "wenigstens einer sagt (manchmal) die Wahrheit". Abgesehen davon ist der Artikel wieder mal nichts weiter als eine wirre Zusammenstellung von Schulwissen mit völlig überzogenem Titel. Wenigstens wird von den üblichen theistischen Einlassungen abgesehen.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Hans-Juergen am: Do. 05. Oktober 2006 11:03:47
\(\begingroup\)Hi shadowking, so etwas Unfreundliches und Unsachliches wie Deine Antwort habe ich in einem Thread schon lange nicht mehr gelesen. Daß meine Ausführungen Dir "wirr" erschienen, muß wohl damit zusammenhängen, daß Du - morgens kurz vor 3 - schon ein wenig übermüdet warst. Auch ist der Titel nicht "überzogen". (Er wäre es vielleicht, wenn ich geschrieben hätte "Über die Grenzen des menschlichen Verstandes" - habe ich aber nicht.) Und daß Du in dem Artikel vorkommendes Schulwissen kritisierst, zeugt von Überheblichkeit. Der Matheplanet wird gerade auch von Schülern viel besucht. Schließlich hättest Du Dir den Seitenhieb auf fehlende "theistische Einlassungen" ersparen können. Warum bist Du nur so gräßlich zu mir? Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: matroid am: Do. 05. Oktober 2006 11:09:36
\(\begingroup\) Matroid zu sich: im ersten Moment hatte ich es für einen anonymen Kommentar gehalten. Ansonsten: Grenzen, die man erkannt hat, kann man anschließend überwinden wollen - friedlich, versteht sich. Oder man läßt sie unangetastet bestehen, was den Frieden auch erhält. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Martin_Infinite am: Do. 05. Oktober 2006 12:42:35
\(\begingroup\)Norbert hat schon Recht. Die Mathematik hat überhaupt gar nichts (mehr) mit der Unvollkommenheit des menschlichen Verstandes zu tun. Zu diesem Trugschluss kommt man natürlich nur, wenn man - wie vor Jahrhunderten - versucht, sich der Mathematik irgendwie intuitiv mit Geometrie und Worten zu nähern. Dabei entstehen natürlich nur Probleme, die längst gelöst bzw. irrelevant sind.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: matroid am: Do. 05. Oktober 2006 14:17:08
\(\begingroup\)Hallo Martin, selbst recht haben bedeutet nicht, daß man keine Umgangsformen mehr braucht. Für viele Menschen ist Mathematik schon an den Grenzen ihres Verstandes, und nicht etwas die Mathematik, die wir hier machen, sondern gewöhnliches rechnen. Und Logeleien verbinden viele mit Mathematik, denn Logik und Mathematik gehören zusammen. Übrigens: fast regelmäßig werden solche Aufgaben auch in ersten Übungsserien gestellt, vielleicht zum warmlaufen. Von einer höheren Warte hast Du aber recht, aber von einer noch höheren Warte hat dann Salomon recht, der sagte: alles hat seine Zeit und alles ist eitel. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Rebecca am: Do. 05. Oktober 2006 14:40:14
\(\begingroup\)@Norbert: Der 4. Absatz deines Kommentars zum Artikel von Hans-Jürgen "Abgesehen davon ist der Artikel wieder mal nichts weiter als eine wirre Zusammenstellung von Schulwissen mit völlig überzogenem Titel. Wenigstens wird von den üblichen theistischen Einlassungen abgesehen." ist einfach nur bösartig und passt nicht zu dem Stil, den wir hier auf dem Matheplaneten pflegen sollten. Gruß Rebecca \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: matroid am: Do. 05. Oktober 2006 15:16:02
\(\begingroup\)Bitte diskutiert die Frage angemessener Kritik im Forum. Ich habe einen Thread dazu eröffnet: viewtopic.php?topic=63898 Ich behalte mir vor, hier später einmal unter den noch folgenden Kommentaren aufzuräumen, wenn sie mir zu einer Eigendiskussion zu gehören scheinen. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: marvinius am: Do. 05. Oktober 2006 17:51:01
\(\begingroup\)salut allerseits, momentan hab' ich wenig zeit und muß mich daher kurz fassen. für die dadurch auftretenden vereinfachungen bitte ich um entschuldigung. zur sache: 1. der artikel von hans-jürgen hat mir nicht gefallen. 2. das war für mich beileibe kein grund, diesen sachverhalt hier mitzuteilen. 3. die inhaltlichen kritiken, die von shadowking und martin_infinite angebracht wurden, teile ich. 4. gerade wegen 3. hätte ich mich nicht zu einem kommentar veranlaßt gesehen. 5. ich denke, daß man inhaltlich UNBEDINGT drastisch sein darf. 6. ich finde, daß man gleichwohl persönlich höflich bleiben kann und sollte. 7. verstehen kann ich, daß shadowking die bemerkung über "theistische einlassungen" naheliegend fand. und ich sehe darin keine persönliche unhöflichkeit, sondern schlicht eine mutmaßung über möglicherweise hier nicht SO deutlich kenntliche gemütsverfassungen des autors. mutmaßen darf man, finde ich. 8. gegen schulwissen ist ja kaum etwas einzuwenden - sofern es immerhin vorliegt, kann man es als grundlage für weitergehende überlegungen verwenden. insofern denke ich, daß der fragliche artikel eine anregung für jeden auch nur halbwegs engagierten schüler sein kann, die - auch nach meinem geschmack etwas überaufgeregt als solche behaupteten - paradoxa gedanklich zu überwinden. 9. warum GENAU hat matroid anhand von z.t. unerfreulichen (eben NICHT unfreundlichen) kritiken einen eigenen thread aufgemacht? mich z.b. hat ausgerechnet hans-jürgen schon mal ziemlich von der seite angemacht, weil ich notorisch klein schreibe ... ohne daß deswegen besonders diskutiert werden mußte. voll vertrauen auf matroids erwiesene weisheit, rené.\(\endgroup\)
 

zur notorischen kleinschreibung
von: SchuBi am: Do. 05. Oktober 2006 18:03:49
\(\begingroup\)Hallo, René! Mir persönlich ist z.B. notorische Kleinschreibung zuwider, weil sie mir das Lesen von Texten erschwert. Der Gebrauch von Groß- und Kleinschreibung erleichtert den meisten Lesern das Textverständnis. Die Kritik von Hans-Jürgen geht in deinem Fall aber nicht um den Inhalt, sondern um die Darstellung. Das macht für mich schon einen großen Unterschied aus.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: marvinius am: Do. 05. Oktober 2006 18:11:55
\(\begingroup\)salut SchuBi, daß dir mein verhalten im internet mißfällt, betrübt mich natürlich. nichtsdestotrotz erlaube ich mir klein zu schreiben, daß ich selbst ja gar keine kritik an hans-jürgens' artikel vorgenommen habe - nicht einmal in hinblick auf die darstellung. obwohl das nahe läge 😄 liebe grüße, rené.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: praeci am: Do. 05. Oktober 2006 20:24:57
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, auch diesmal hast du wieder einen sehr schönen Artikel geschrieben. Auch ich bin jedesmal wieder erstaunt, wie leicht sich das menschliche Urteilsvermögen irreführen lässt und bei vermeintlich einfachen Fragestellungen zu falschen Schlussfolgerungen kommt ... Dafür vielen Dank und bis zum nächsten (?) Mal, --Andi.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Friedel am: Do. 05. Oktober 2006 20:36:36
\(\begingroup\)Zur Sache mit dem Paradoxon (das paradoxerweise keins ist) muss ich sagen, das ist wirklich unter dem Niveau des Matheplaneten. Nicht nur das, es ist sogar unter meinem Niveau. Und zwischen meinem Niveau und dem des Matheplaneten ist ein ziemlich großer Unterschied. Aber als ich mich hier angemeldet habe, war das noch nicht so. Damals war der Matheplanet eine Board, das von ein paar mathematikinteressierten Menschen besucht wurde. Inswischen ist ein Treffpunkt für Mathematiker. Das ist ein wesentlicher Unterschied. Ich bin trotzdem noch recht oft hier. Meist lese ich Knobelaufgaben und versuche sie zu lösen. Nicht selten kommt es vor, dass ich eine Aufgabe lösen kann, die beschiebene Lösung aber nicht verstehe. Möglichweise ist es die selbe Lösung, die auch ich habe, aber in einer mir fremden Sprache. Als ich hier vor schätzungsweise 4 oder 5 Jahren aufgetaucht bin war das Niveau des Matheplaneten nicht deutlich verschieden vom Niveau dieses Artikels. Bis auf den Fehler mit dem Paradoxon, das kein ist, finde ich den Artikel gar nicht schlecht. Aber mir ist natürlich klar, dass sowas für einen Mathematiker uninteressant ist. Imho ist der Artikel (bis auf den Fehler mit dem Paradoxon) also vom Niveau her völlig OK. Ich erinnere mich an Beiträge, in denen Bemängelt wurde, dass viele Schüler der Mittelstufe hier aufgetaucht sind um ihre Hausaufgaben gemacht zu bekommen. Inzwischen ist das nicht mehr so. Diese Gruppe ist hier nämlich kaum noch vertreten. Das liegt imho hauptsächlich daran, dass das Niveau zu hoch ist. Imho ist hier, was das mathematische Niveau betrifft, die Bandbreite sehr klein geworden. Ich habe oft den Eindruck, dass ich als Handwerker, der seit einigen Jahrzehnten nicht mehr in einer Schule war und der nie eine mathematische (Aus-)Bildung hatte, hier eigentlich fehl am Platz ist. Dass es für mich hier vieles gibt, das mir verschlossen bleibt weil ich es nicht verstehe (bzw. weil es nicht meinem Niveau entspricht), akzeptiere ich. Das liegt in der Natur der Sache. Aber dass Beiträge dieses Niveaus nicht akzeptiert werden ist eine andere Sache, die mir nicht gefällt.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: jannna am: Do. 05. Oktober 2006 21:01:16
\(\begingroup\)Hallo, ich finde den Artikel gar nicht so schlecht. Zumindest hat er bei mir Nachdenken angeregt. Hier ein paar Bemerkungen: "Bei bestimmten Dingen haben auch Mathematiker große Schwierigkeiten. Als Beispiel diene das Folgende:" Bei diesem Punkt finde ich passt etwas nicht. Ich kann natürlich nicht für alle Mathematiker sprechen, ich sehe mich aber selbst als Mathematikerin und wieso die irrationalen Zahlen noch zwischen die rationalen passen finde ich nicht besonders schwierig. (Natürlich soll das nicht heißen, daß dies jeder verstehen muß, aber du sprachst explizit die Mathematiker an...). Es gibt durchaus Dinge die ich persönlich nicht verstehe und ich wage die Aussage, daß es zu jedem Mathematiker min. einen mathematischen Sachverhalt gibt, den dieser nicht versteht. Natürlich ist es wenig sinnvoll in einem Artikel, der sich eher an Schüler richtet (denke ich doch oder?) komplexe mathematische Probleme als Beispiel zu bringen, daß auch Mathematiker etwas nicht verstehen. Ich weiß allerdings nicht genau, wie man das jetzt lösen könnte. Das Beispiel finde ich nämlich aus dem folgenden Grund nicht schlecht: Es zeigt, daß sich irgendwann "verstehen" von "vorstellen können" lösen muß. Ich denke für viele nicht-Mathematiker sind Verständnis und Vorstellungsvermögen gekoppelt. Natürlich ist eine gute Vorstellungskraft nicht schlecht, aber um Mathematik zu verstehen ist sie nicht nötig - manchmal sogar hinderlich. ich muß ehrlich sagen, daß ich zuerst auch "Über die Grenzen des menschlichen Verstandes" gelesen habe, was natürlich nicht da steht. Mit dem Titel wäre ich nicht einverstanden gewesen, so aber finde ich es gut. Grüße Jana\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Ollie am: Do. 05. Oktober 2006 21:26:49
\(\begingroup\)Hi, ein Artikel auf dem MP muß ja nicht unbedingt den neuesten Stand der mathematischen Forschung zum Gegenstand haben (und ja, ein Artikelautor darf sich auch mal sachlich irren). Das meiste ist den Mathepanetenbewohnern in diesem Artikel sicher schon bekannt. Ich nehme es wie eine gute alte Folge von Colombo im Fernsehen, die man nach langer Zeit gerne mal wieder sieht. 😄 Die Artikelüberschrift verspricht zwar mehr, als tatsächlich geliefert wird, aber was soll's. Für mich neu war jedoch die Aufgabe mit dem an einer Stelle hochgezogenen Faden um die Erde, insofern war für mich jedenfalls ein Appetithäppchen dabei. \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Snowball am: Fr. 06. Oktober 2006 11:36:40
\(\begingroup\)Achtung, das mit dem Kreterparadoxon ist nicht so einfach. Die von shadowking beschriebene Lösung kann zwar richtig sein, muss es aber nicht. Denn: Nehmen wir an, der Aussage könne ein Wahrheitswert zugeordnet werden. Dann kann sie aus öffensichtlichen Gründen nicht wahr sein, also wäre sie falsch. Das bedeutete aber, ihre Verneinung wäre wahr, also: Ein Kreter hat einmal die Wahrheit gesagt. Das ist nun vielleicht ziemlich wahrscheinlich, aber es muss nicht so sein! Es könnte ja tatsächlich sein, dass alle anderen Aussagen von Kretern immer falsch waren - man kann jedenfalls aus dieser Aussage des Kreters ja nicht schließen, dass ein Kreter einmal die Wahrheit gesagt hat. Wenn also tatsächlich alle anderen Aussagen von Kretern falsch waren, so kann man der Aussage keinen Wahrheitswert zuordnen, sie ist in diesem Sinne ein Paradoxon. Natürlich wäre das wesentlich bessere Beispiel: Der nächste Satz ist wahr. Der vorhergehende Satz ist falsch. Im Extremfall verkürzt auf Dieser Satz ist falsch. (Interessanterweise scheint das Beispiel mit zwei Sätzen von den meisten Leuten besser als Paradoxon verstanden zu werden, obwohl eigentlich genau das gleiche Problem vorliegt.) Das letzte Beispiel ist genau das Kreterparadoxon, wenn alle anderen Aussagen von Kretern immer falsch waren.\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Hans-Juergen am: Fr. 06. Oktober 2006 14:05:00
\(\begingroup\)Hi, Janina (totedichterin) verdanke ich den Hinweis, daß die zweite Aufgabe mit der Erde bereits vor zwei Jahren hier gestellt wurde (in äußerlich etwas anderer Verpackung). Ich hatte das bei meinem jetzigen Artikel ganz vergessen und auch, daß ich dabei auf eine eigene Lösung verwies. (Die meisten Diskutanten beschränkten sich damals auf das Schätzen.) Viele Grüße, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: NotInterested am: Fr. 06. Oktober 2006 18:13:05
\(\begingroup\)Hi, ich möchte nochmal hier bei den Kommentaren was dazusagen. Man muss/sollte sich selbst fragen, ob man jemanden jetzt wegen Fehlern oder einfach nur um der Kritik willens, (weil man vielleicht sonst nichts zu tun hat), kritisiert. Kritik dieser Form bringt nix, unfreundliche oder destruktive schon gar nicht, ausserdem habe ich es hier noch nie erlebt, dass Hinweise auf Fehlern oder Sonstiges von den jeweiligen Autoren missachtet wurden, sodass überhaupt Grund zu solch starker Kritik bestehen würde. Es ist nur eine Frage des Wissensstandes eines jeden Lesers, wer keine Lust auf Schulniveau hat, kann seine persönliche Meinung auch für sich behalten, wenn er da schon weiter ist. @Martin_Infinite Was soll bitte am menschlichen Verstand unvollkommen sein und warum soll Mathematik nichts mehr damit zu tun haben? lg NotInterested \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 09. Oktober 2006 03:21:45
\(\begingroup\)netter beitrag zitat "Ein Kreter sagt: alle Kreter lügen immer." Kann man dieser Behauptung Glauben schenken, oder enthält sie einen Haken? wie soll man darauf antworten? als logiker würde ich mich fragen, ob sie einen haken enthält. als psychoanalytiker würde ich mich fragen, warum man sich fragt, ob sie einen haken enthält. als kommunikationswissenschaflter würde ich mich fragen welche absichten der autor hier mit seinen intentionen hat (möglicherweise eine gelenkte kommunikation), und welchen einfluss er hat. wir stellen fest: dadurch, dass du fragst, ob die sache einen haken hat, interpunktierst du. suche dir also aus ob wahrheit oder nicht. liebe grüße micha \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 09. Oktober 2006 03:27:00
\(\begingroup\)pardon! du führst durch das fragen zum interpunktieren. ; ) LG micha hier noch eine aufgabe für dich: wenn wir dem ersten hauptsatz der thermodynamik glauben schenken mögen, von was wurde dann in den urknall überführt? \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: Hans-Juergen am: Di. 10. Oktober 2006 09:13:50
\(\begingroup\)Hi micha, Deine "aufgabe" ist nicht gut formuliert; der letzte Teilsatz ist unverständlich. Mit freundlichem Gruß, Hans-Jürgen. \(\endgroup\)
 

Re: Über Grenzen des menschlichen Verstandes
von: weserus am: Di. 10. Oktober 2006 09:41:59
\(\begingroup\)Hi snowball, ich nehme an, Du irrst, wenn Du schreibst: "Die von shadowking beschriebene Lösung kann zwar richtig sein, muss es aber nicht", denn die beschriebene Lösung stammt immerhin von einem Mathematiker aller Klassen oder irre ich oder wer liegt falsch ? Interessiert mich schon! Gruss \(\endgroup\)
 

 
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