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Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Taylor-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten, die sich mit dieser Thematik zu befassen haben, bereits einige Schwierigkeiten die mathematische Sprache zu verstehen. Meist verlassen sie doch hier erstmals die ihnen bekannten Sachverhalte aus der Schulmathematik.
An diesen Personenkreis wendet sich dieser kleine Artikel, der sich daher auch nur mit Taylor-Polynomen zu Funktionen einer Veränderlichen befasst.
Ich hoffe, dem ein oder anderen Leser eine kleine Hilfestellung geben zu können, wie man Taylor-Polynome aufstellt.
Der Artikel soll sich in fünf Teile gliedern:
(1)............ Wozu gibt es Taylor-Polynome?
(2)............ Ein Rezept zum Aufstellen von Taylor-Polynomen
(3)............ Zwei Beispiele zum Aufstellen von Taylor-Polynomen
(4)............ Ein Beispiel zur Restgliedabschätzung
(5)............ Schlußbemerkungen
(1) Wozu gibt es Taylor-Polynome?
Mit Hilfe der Taylor-Polynome - übrigens benannt nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor - kann man Funktionen approximieren. Während beliebige Funktionen oftmals sehr schwer zu handhaben sind, kann man mit Polynomen relativ einfach umgehen, sie sind stetig, beliebig oft differenzierbar (und das auch noch relativ einfach) und integrierbar (und auch das auf recht einfache Weise).
(2) Ein Rezept zum Aufstellen von Taylor-Polynomen
Soll man T_n,a (x) - also das n-te Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt a - einer Funktion f(x) berechnen, geht man am besten folgendermaßen vor:
(1) Wir leiten die Funktion n-mal ab!
(2) Wir berechnen den Wert der Funktion sowie der n Ableitungen am Entwicklungspunkt!
(3) Wir setzen diese Werte in die folgende Formel ein:
T_n,a(x)=f(a)/0! *(x-a)^0 +f`(a)/1! *(x-a)^1 +f``(a)/2! *(x-a)^2 +....+f^(n)(a)/n! *(x-a)^n
Zu beachten ist, daß man immer bedenken muß, daß man lediglich eine Näherung der Funktion durch die Taylor-Polynome erhält.
Man darf also keinesfalls die Funktion mit dem zugehörigen Taylor-Polynom gleichsetzen.
Den Vorteil, daß man die erhaltene polynomiale Approximation leichter handhaben kann, hat man sich mit einer gewissen Ungenauigkeit erkaufen müssen.
Den Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird, kann man abschätzen, für das auftretende Restglied gibt es explizite Formeln, z.B. von Lagrange oder Cauchy.
Die Lagrange-Formel für das Restglied R_n,a (x) - also für den Fehler des n-ten Taylor-Polynoms (um Entwicklungspunkt a) an der Stelle x - lautet:
R_n,a(x)= f^((n+1))(c)/(n+1)! *(x-a)^((n+1)) mit einem c \el\ [a,x]
(Dies kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung beweisen.)
Nach Cauchy kann man das Restglied R_n,a(x) folgendermaßen angeben:
R_n,a(x)=f^((n+1))(c)/n! *(x-c)^n *(x-a) wieder mit einem c \el\ [a,x]
Mit diesen Formeln arbeitet man, wenn man bei einer zu approximierenden Funktion den maximalen Fehler nach oben abschätzen möchte. Analog kann man auch prüfen, ob bei einem Taylor-Polynom eine beliebige vorgegebene Fehlertoleranzgrenze eingehalten wird.
Ist die betrachtete Funktion bereits ein Polynom so gibt es eine Zahl k, ab der das jeweilige Taylor-Polynom mit der gegebenen Funktion übereinstimmt.
(4) Ein Beispiel zur Restgliedabschätzung
Betrachten wir erneut das Taylor-Polynom zu f(x)=ln(x+1).
Wir hatten in Abschnitt (3) T_5,0 (x)=x-1/2 x^2 +1/3 x^3 -1/4 x^4 +1/5 x^5 erhalten.
Mit Hilfe des Lagrangschen Restglieds wollen wir nun eine obere Schranke für den maximalen prozentualen Fehler im Intervall [0.25, 0.75] angeben.
prozentualer Fehler: p=100% *abs(R_n,a(x)/f(x))
nach Lagrange gilt:
R_5,0(x)=f^(6)(c)/6! *x^6 mit c \el\ [0,x]
also noch einmal ableiten:
f^(6)(x)=-120/(x+1)^6
und dann Einsetzen:
R_5,0(x)=-120/(6!*(c+1)^6) *x^6
also folgt:
p=100% *abs((-120*x^6)/(6!*(c+1)^6) *1/ln(x+1))=
=100% *abs(x^6/(6*(c+1)^6 *ln(x+1)))<=
<=100% *(3/4)^6 *1/6 *1*1/ln(5/4)
wobei wir hier folgendermaßen abgeschätzt haben:
x^6 <=(3/4)^6
(c+1)^6 >=1^6=1
ln(x+1)>=ln(5/4)
Berechnung ergibt: p<=13,30%
(5) Schlußbemerkungen
Ich hoffe, daß diese kurze Einführung dem ein oder anderen Leser ein bißchen helfen konnte. Für eine tiefergehende Beschäftigung mit der Thematik - z.B. für einen Studenten der Mathematik oder einen interessierten Praktiker- ist mein Artikel sicherlich gänzlich ungeeignet. Für ein eingehenderes Studium der Materie kann man die gängigen Analysis-Standardwerke zu Rate ziehen oder sich in diesem Matheplanet-Artikel von Pendragon oder diesem von Hans-Jürgen umsehen.
Euer HiP
Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Taylor-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten,
\(\begingroup\)Hey HIP,
Ich finde den Artikel gut und verständlich. Durch die zwei Beispiele die du vorgerechnest hast ist es einleuchtend, was genau gemacht werden muss und ich denke, anderen wird es auch helfen.
MfG George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo HiP,
ein kurzer, aber sehr prägnanter Artikel! Die Beispiele erläutern sehr gut die Vorgehensweise! Und auch das "Rezept" ist sehr hilfreich. Danke dafür! :)
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Ich finde es nicht gut, zu schreiben es wäre am besten, wenn man die Funktion einfach n-mal ableitet. Von am besten kann einfach nicht die Rede sein. Es gibt noch mehrere andere Möglichkeiten Taylorpolynome aufzustellen. Über Potenzreihen oder über das Verketten von Taylorpolynomen, um mal zwei Möglichkeiten zu erwähnen.
Wenn hierfür der Artikel nicht gedacht war, kann ich das nachvollziehen, aber dann sollte man meiner Meinung schreiben, dass es noch andere Möglichkeiten gibt.
Mir kommt das sture n-malige Ableiten wie eine Brute-Force Methode vor, die man in der Mathematik eher selten anwenden sollte.
mfg
Michael\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ein toller Artikel.
Daher habe ich mich gleich dran gemacht und eine PDF-Version dieses Artikels mit der Hilfe von LaTeX erzeugt.
Ich hoffe, dass ist in eurem Interesse.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Schöner Artikel
Wir haben das Thema gerade in der Ana-1 Vorlesung und es ist echt gut ,wenn man neben der abstrakten Theorie auch ein paar Beispiele sieht !\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Damit kann man umgehen, da muss man ja net mal wirklich sich das alles theoretisch reinziehen, warum das so sein muss. Sehr guter Artikel.\(\endgroup\)
von: TAFKAstange am: Mi. 21. Februar 2007 15:41:39
\(\begingroup\)Sehr gut, aber ich glaube eine kleine Ungenauigkeit gefunden zu haben. Bei den beiden Darstellungen des Restgliedes müßte doch c "zwischen" a und x gefordert werden, oder? Schließlich kann x<a sein.\(\endgroup\)
\(\begingroup\) \
Hallo Anonymer \!
Vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit. Mit
g(\p/2)=1+sin^3|\p/2=1+1=2
hast Du natürlich Recht.
Ich werde die Änderung gleich veranlassen.
\(EDIT: Die Änderung ist mittlerweile durchgeführt.)
Bei der zweiten Ableitung von g kann ich allerdings keinen Fehler
entdecken, ich zitiere:
g''(x)=3*(2*sin(x)*cos(x)*cos(x)+sin^2 (x)*(-sin(x)))=
=6* sin(x)*cos^2(x)-3 sin^3 (x)
Das meinst Du doch \(\?), da steht aber am Ende ohnehin sin^3
und nicht sin^2, wie Du behauptest.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wunderbares Rezept! Leider ist im PDF die Änderung
\
g(PI/2)=2
nicht nachvollzogen und bei der zweiten Ableitung von g heißt es
\
...cos(x)... statt cos^2(x).
javaguru?!? Wäre schön, wenn Du das noch ändern könntest.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
über eine einfache Methode, die ohne häufiges Ableiten auskommt,
schrieb ich schon vor längerem hier etwas.
Gruß, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey!
Ich habe gerade ein bischen ärger mit der 3. Ableitung im 2. Beispiel zu den Taylorolynomen.
Da wird -3*3 sin²(x)* cos (x) zu
-9 sin²(x) * cos (x) zusammen gefasst.
Wurde da vergessen mit 6 zu multipilizieren, die ja am Anfang vor der klammer steht?
Wenn ichs rechne kommt auf jeden fall -54sin² * cos (x) raus!
lg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Nein, das Endergebnis stimmt schon so.
Allerdings wurde nach (-sin(x)) eine schließende Klammer vergessen:
\
Richtig wäre
g```(x)=6*(cos(x)*cos^2(x)+sin(x)*2*cos(x)*(-sin(x)))
$ $ $ $ $ -3*3*sin^2(x)*cos(x)
und daraus geht hervor, daß nicht alle drei Terme mit 6 zu multiplizieren sind, sondern nur die ersten beiden.
Das solltest Du aber eigentlich selbst erkennen, wenn Du den Übergang von der zweiten zur dritten Ableitung von Anfang an eigenständig durchzuführen versuchst, weil man auf das von Dir Vermutete (daß sich die Multiplikation mit 6 auf den ganzen Rest der Zeile beziehe) ja nur durch eine fehlerhafte Rechnung kommen kann.
Liebe Grüße, Franz
PS: Die Korrektur des Tippfehlers im Artikel werde ich gleich in die Wege leiten ist bereits erfolgt.
\(\endgroup\)
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