Mathematik: Satz von Vieta
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Mathematik

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Satz von Vieta

Viele kennen den Satz von Vieta, denn jeder hat damit in der Schule schon einmal gerechnet. Ihr bekommt einfach gesagt: p=-(x_1+x_2) q=x_1*x_2 Wundert Dich, warum es so ist und nicht anders? Bewiesen wurde es zu meiner Schulzeit nie. Dieser Artikel ist für alle, die es interessiert, wie man darauf kommt, und es noch nicht wissen.

Hier möchte ich also mit dem Rechnen beginnen: \boxon\frameon\stress\ Satz von Vieta:\normal Für die Lösungen x_1, x_2 einer quadratischen Gleichung x^2+p*x+q=0 gilt p=-(x_1+x_2) q=x_1*x_2 \boxoff\frameoff Nun möchte ich ganz einfach herleiten, warum das gilt. Wir beginnen mit p: Für die Lösung einer quadratischen Gleichung gilt die pq-Formel: x_1;2= -p/2 +- sqrt((-p/2)^2 -q) => x_1= -p/2 + sqrt((-p/2)^2 -q) x_2= -p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q) Dann die erste Gleichung mit -1 multiplizieren => -x_1= p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q) x_2= -p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q) Dann die 2 von der ersten abziehen. => -x_1-x_2=(p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q))-(-p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q)) Dann Minusklammer auf der rechten Seite auflösen. => -x_1-x_2=p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q)+ p/2 + sqrt((-p/2)^2 -q) Dann rechts vereinfachen => -x_1-x_2=p => p= -(x_1+x_2) Aha, siehe da! Dieselbe Form wie oben. Unser Mathelehrer hatte also recht. Da dies so einfach ging, machen wir gleich mit q weiter. Herleitung für q: Begonnen wird wieder mit der pq-Formel: x_1;2= -p/2 +- sqrt((-p/2)^2 -q) => x_1= -p/2 + sqrt((-p/2)^2 -q) x_2= -p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q) Nun die beiden Gleichungen multiplizieren. => x_1*x_2= (-p/2 + sqrt((-p/2)^2 -q))* (-p/2 - sqrt((-p/2)^2 -q)) Nun erkennt man rechts die dritte Binomische Formel, und schreiben sie umgeformt hin: =>x_1*x_2= (-p/2)^2 - (sqrt((-p/2)^2 -q))^2 Einfach weiter auflösen: =>x_1*x_2= (-p/2)^2 - ((-p/2)^2 -q) =>x_1*x_2= p^2/4 -(p^2/4-q) Minusklammer: =>x_1*x_2= p^2/4 -p^2/4+q =>x_1*x_2=q =>q=x_1*x_2 Überraschung! Auch hier stimmt die aus der Schule schon bekannte Formel. Und hiermit nun auch hergeleitet und bewiesen!
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Satz von Vieta [von ramonpeter]  
Viele kennen den , denn jeder hat damit in der Schule schon einmal gerechnet. Ihr bekommt einfach gesagt: p=-(x_1+x_2) q=x_1*x_2 Wundert Dich, warum es so ist und nicht anders? Bewiesen wurde es zu meiner Schulzeit nie. Dieser Artikel ist f
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"Mathematik: Satz von Vieta" | 58 Comments
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Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 11. April 2007 10:30:37
\(\begingroup\)danke, hast mir sehr zum verständniss geholfen, die formel war mir bisher noch nie klar\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Mi. 11. April 2007 11:04:36
\(\begingroup\)Hi ihr beiden. Eine wesentliche einfachere Variante des Beweises ist folgende: Wenn x_1 und x_2 die Nullstellen des Polynoms x^2+px+q sind, dann muss dieses Polynom die Zerlegung (x-x_1)(x-x_2) besitzen. Wenn wir das ausmiltiplizieren, erhalten wir x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-x_1*x-x_2*x+x_1*x_2=x^2-(x_1+x_2)x+x_1\.x_2 Der Koeffizientenvergleich liefert sofort p=-(x_1+x_2) q=x_1\.x_2 Diese Beweismethode hat den Vorteil, dass sie auch Informationen über Polynome höheren Grades liefert. Man kann mit demselben Argument zeigen, dass das Absolutglied eines normierten Polynoms immer das Produkt aller seiner Nullstellen ist \(mehrfache Nullstellen müssen natürlich auch mehrfach in das Produkt aufgenommen werden\). Wenn das normierte Polynom den Grad n hat, dann ist der Koeffizient vor x^(n-1) genau das Negative der Summe aller Nullstellen \(auch hier mit Vielfachheit\). Ein weiterer Vorteil liegt klar auf der Hand: Man muss die Lösungsformel nicht kennen, um an diese Information heranzukommen. In der Tat gibt es ja auch keine Lösungsformel für Polynome vom Grad >=5 z.B. und selbst für Polynome vom Grad 4 ist die Lösungsformel derart hässlich, dass man sich bei einem Beweisversuch auf diesem Wege garantiert verrechnen würde. mfg Gockel\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: davidhigh am: Mi. 11. April 2007 12:50:06
\(\begingroup\)Hallo, kleine Anregung: Wenn du das schon so elementar erklärst, kannst du doch auch den kurzen Weg zur pq-Formel (durch quadratische Ergänzung) erklären. Also 0 = x^2+px +q = x^2 + px +p^2 /4 - p^2 /4 + q = (x+p/2)^2 + ( q - p^2 /4) => (x+p/2)^2 = p^2 /4 - q => x + p/2 = +-sqrt(p^2 /4 - q ) und schließlich x = - p/2 +- sqrt(p^2 /4 - q ) Dann wird das ganze noch durchsichtiger. Gruß David \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: LutzL am: Mi. 11. April 2007 13:56:06
\(\begingroup\) \ Entwickeln des quadratischen Polynoms in einer beliebigen Stelle z liefert x^2+p*x+q=((x-z)+z)^2+p*((x-z)+z)+q =(x-z)^2+2*(x-z)*z+z^2+p*(x-z)+p*z+q =(x-z)*(x+z+p)+(z^2+p*z+q) Ist z eine Nullstelle, so ist der letzte Term Null, 0=z^2+p*z+q=z*(z+p)+q. Dann zerfällt das Polynom in die Linearfaktoren des ersten Terms, -(z+p) ist ebenfalls eine Nullstelle, die Summe beider Nullstellen ist z+(-(z+p))=-p und q=z*(-(z+p)) ist das Produkt beider Nullstellen. Ciao Lutz \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 11. April 2007 17:11:30
\(\begingroup\)Ich mag mich irren, da ich nicht gerade ein Mathegenie bin und diese Seite eher zufällig gefunden hab, aber die erste Herleitung ist doch eigentlich gar keine Herleitung, sonder eher nur ein Beweis dessen was bereits bekannt ist (Satz von Vieta). Schließlich geht er ja in seiner "Herleitung" von dem aus dass er Herleiten möchte. Oder liege ich da falsch?\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: davidhigh am: Mi. 11. April 2007 17:54:27
\(\begingroup\)Hallo, ich glaube, da liegst du falsch. Er leitet die Vietaformeln aus der pq-Formel her. Die Formeln sind zwar schon bekannt und werden auch vorher angegeben, aber dennoch heißt der Weg dahin Herleitung. Natürlich kann man das auch einen Beweis nennen, was in diesem Fall gleiche Bedeutung hat. Gruß, David\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Mi. 11. April 2007 20:07:55
\(\begingroup\)Hey, @ Gockel Wieso eigentlich ihr beiden? Ich bin nur einer! 😄 Egal, aber deine Idee ist natürlich gut. Darüber hab ich noch gar nicht nachgedacht.Ich denke aber, und da stimmt mir meine Nachhilfeschülerin zu, dass mein Weg, der ersichtlichere ist. Trotzdem danke für deinen Beweis. Gruß ramonpeter\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Martin_Infinite am: Mi. 11. April 2007 20:47:56
\(\begingroup\)@ramonpeter: es ist nicht der ersichtlichere weg (es sei denn man ist durch die schule auf die pq-formel getrimmt). das kann man natürlich nicht objektiv behaupten, aber ich möchte dich einmal davon überzeugen :-). wie gockel schon gesagt hat, kann man informationen über die nullstellen eines polynoms erhalten, ohne auch nur einen ansatz von lösungsformel zu haben. auf diese idee baut eine ganze theorie auf, die sogenannte galoistheorie. hat man allgemein ein polynom x^n+a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 gegeben mit den nullstellen x_1 , ... , x_n , so gelten folgende identitäten: a_(n-1) = (-1)^1 (x_1 + ... + x_n) a_(n-2) = (-1)^2 (x_1 x_2 + ... + x_1 x_n + x_2 x_3 + ... + x_2 x_n + ... ... + x_(n-1) x_n) ... a_1 = (-1)^(n-1)( x_1 ... x_(n-1) + x_1 .... x_(n-2) x_n + ... + x_2 ... x_n) a_0 = (-1)^n (x_1 ... x_n) beweis erfolgt durch ausmultiplizieren der faktorisierung (x-x_1)...(x-x_n) des polynoms. ich hoffe, das allgemeine prinzip hinter den ausdrücken auf der rechten seite ist klar. genaueres kannst du hier nachlesen. diese identitäten werden fast in der gesamten mathematik benötigt, sobald es um polynome geht, weil oft explizite ausdrücke für die nullstellen überhaupt nicht interessant sind, sondern nur deren relationen zueinander. du kannst ja einmal probieren, folgendes problem zu lösen :-). seien a,b,c,d die lösungen von t^4 - 2t^3 + 11t^2 - sqrt(3) t + 11 = 0 berechne den ausdruck 1/\p (arctan(a)+arctan(b) + arctan(b) + arctan(c)) \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Mi. 11. April 2007 21:20:41
\(\begingroup\)@Martin_Infinite Ok Ok, ich gebe mich geschlagen! Es ist für jeden mit etwas Matheverständniss leichter! Meine Nachhilfeschülerin hat die andere Methode gar nicht verstanden. Ist von Mensch zu Mensch unterschiedlich\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Martin_Infinite am: Mi. 11. April 2007 22:03:02
\(\begingroup\)gockel hat es dir doch vorgerechnet, ohne einen schritt auszulassen. was ist denn da noch unklar? ps: es geht hier nicht um das "schlagen".\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: freeclimb am: Mi. 11. April 2007 22:59:46
\(\begingroup\)Hi! Schöner Artikel und ebenfalls schöne Ergänzungen und weiterführende Ideen. Danke an alle Beteiligten. lg, free P.S. @MI: Man kann Menschen auch zugestehen, etwas nicht zu verstehen. Ganz egal wie banal es einem selbst scheint. Bei Nachhilfeschülern noch in besonderem Maße. 😉\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Mi. 11. April 2007 23:01:37
\(\begingroup\)Ich sag ja! Ich habe es verstanden. Aber wie gesagt, mathematisch weniger Begabten, fällt das spezielle Verfahren für ein Polynom 2. grades ,wie bei mir, durch einfaches Umformen vielleicht leichter, als eure allgemeine methode. \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Martin_Infinite am: Mi. 11. April 2007 23:25:36
\(\begingroup\)gockel hat es im fall eines polynoms vom grad 2 vorgeführt. wenn man rechenregeln wie z.B. das ausmultiplizieren verstanden hat, dann auch das.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Spock am: Mi. 11. April 2007 23:40:27
\(\begingroup\)Hallo Ramon! Wer versteht schon? Du hast Dich gewundert, angefangen zu rechnen, das ist gut, und daraus ist, wie free richtig bemerkt, ein schöner Artikel entstanden. Die Beiträge von MI und Gockel sind in diesem Zusammenhang etwas überdrehte, alte Hüte, :-), man braucht sie nicht wirklich, wie der (hoffentlich nicht untergegangene), ebenfalls schöne Beitrag von LutzL zeigt. Gruß Juergen \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Martin_Infinite am: Mi. 11. April 2007 23:47:07
\(\begingroup\)ja, ist echt überdreht, (x-x_1)(x-x_2) auszumultiplizieren.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Stefan72 am: Do. 12. April 2007 10:16:53
\(\begingroup\)Hallo! Ich stimme Gockel und Martin hier völlig zu. Deren Ansatz (der ja nun wirklich der naheliegende ist, so habe ich mir in der Schule den Satz von Vieta selber hergeleitet, wie wohl viele andere auch hier, das ist keine große Leistung) ist nun wirklich nicht abstrakt, sehr elementar und sollte auch von den meisten Schülern nachzuvollziehen sein. Zudem schult er viel mehr die mathematische Denkweise (auch in Hinblick auf die Oberstufenmathematik, wo man das Prinzip der Faktorisierung auch ständig benötigt). Der Artikel verschleiert eher hinter mächtigen Formeln die Zusammenhänge. Trotzdem ist er, wenn er Nachhilfeschülern beim Verständnis hilft (und so scheint es ja zu sein), natürlich nicht überflüssig. Liebe Grüße Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Do. 12. April 2007 10:19:56
\(\begingroup\)Hallo! Ja die Variante von den beiden, ist auch deutlich die schnellere! Aber viele Wege führen nach Rom. Gruß Ramon\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: matroid am: Do. 12. April 2007 10:41:55
\(\begingroup\)Hi ramonpeter, wir sollten hier mehr solche Artikel haben. Wirlich eine gute Idee, darüber zu schreiben. Die wenigstens Menschen werden den Satz von Vieta begründen können, und die meisten würden nicht mal einen Ansatz dazu finden. Dir ist es gelungen, den Zusammenhang zwischen p-q-Formel und Vieta herzustellen. Und im Verlauf der Diskussion sind noch mehrere Ansätze gegeben worden. Man kann sogar noch etwas dazulernen. Viele Grüße Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 12. April 2007 11:31:02
\(\begingroup\)@martin_infinite: Spielst du mit deinem Rätsel auf Additionstheoreme von tan an?\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Martin_Infinite am: Do. 12. April 2007 14:25:38
\(\begingroup\)@anonymus: ja. die aufgabe kommt aber nicht von mir und wurde übrigens vor ewigkeiten schon auf dem MP besprochen 😉\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: murmelbaerchen am: Do. 12. April 2007 14:27:49
\(\begingroup\)Hallo Ramon, vielen Dank für die interessante Sicht auf diese Formel. Ich bin noch nie auf die Idee gekommen das mal so umzuformen. Man kann vieles auf noch viel mehr Wegen zeigen, der eine kürze, der andere länger, ABER der Weg ist das Ziel. Und Du hast einfach mal nicht stupide versucht eine Formel auswendig zu lernen ohne ansatzweise ihren Sinn oder Unsinn zu hinterfragen und da kommen wir zu dem Knackpunkt der Deine Leistung besonders herausstellt und dies ist nicht, wie schnell, kurz, elegant Du etwas zeigen kannst, sondern das DU in der Lage bist es verstehen zu können und auch zu wollen!! Dafür meinen Respekt. Liebe Grüße und weiter so! Murmelbärchen\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 15:52:38
\(\begingroup\) \ Ich möchte ein wenig Kritik an Gockels "Beweis" anbringen. Natürlich kann man (x-x_1)(x-x_2) leicht ausmultiplizieren, aber die eigentliche Schwierigkeit des Satzes besteht eben darin, dass (x-x_1)(x-x_2) und x^2+px+q als Polynome gleich sind, d.h. dass man mit einem Koeffizientenvergleich argumentieren darf. Man halte sich dabei vor Augen, dass beispielsweise x_1=1 und x_2=3 Nullstellen des Polynoms x^2-1 über \IZ\/8\IZ sind, aber (x-1)(x-3)!=x^2-1. \(Natürlich sind das alles leicht lösbare Probleme, aber gerade bei einer solch elementaren Aussage sollte man nicht die benötigte Theorie verstecken.\) owk \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Do. 12. April 2007 16:03:19
\(\begingroup\)@owk: Wer der Algebra kundig ist, ist sich natürlich bewusst, dass der Koeffizientenring nullteilerfrei sein muss, damit man eine Faktorisierung in Linearfaktoren vornehmen kann. Wenn man so eine hat, dann ist der Koeffizientenvergleich aber immer erlaubt. Egal, was für einen Ring man zugrunde legt: Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre korrespondierenden Koeffizienten gleich sind. Tatsache ist aber, dass wir hier einen Artikel besprechen, der für Schüler gedacht ist, weshalb hier natürlich nur Polynome mit reellen (oder ab und zu mal komplexen) Koeffizienten betrachtet werden, sodass die Argumente problemlos durchgehen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 16:25:30
\(\begingroup\)@Gockel: Versetze Dich bitte in einen Schüler und sage mir, ob Du dann die Aussage benennen könntest, die Du in dem Beweis hinter der Behauptung "dann muss dieses Polynom die Zerlegung (x-x_1)(x-x_2) besitzen" versteckst. owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: murmelbaerchen am: Do. 12. April 2007 16:30:56
\(\begingroup\)Fragt IHR EUCH auch manchmal, warum so wenig Schüler Artikel schreiben? Ich übrigens nicht mehr.....\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Luke am: Do. 12. April 2007 17:00:05
\(\begingroup\)jetzt werd mal nich melancholisch murmelbaerchen :P das hat doch nix mit entmutigen zu tun hier sowas anzumerken\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Stefan72 am: Do. 12. April 2007 17:09:44
\(\begingroup\)Hallo, ich muss einmal die Gegenfrage stellen: Wundert ihr euch, dass sich kaum noch jemand traut Kommentare zu Artikeln zu schreiben, die auch nur einen Anflug von (sachlicher, nicht persönlicher) Kritik und Verbesserungsvorschlägen enthalten? Ich übrigens nicht mehr. Liebe Grüße Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Do. 12. April 2007 17:11:07
\(\begingroup\)@owk: Ich verstecke da nichts. Ich kann natürlich nicht für andere Schulen geschweige denn andere Bundesländer sprechen, aber, dass man ein Polynom in Linearfaktoren zerlegen kann, wenn alle Nullstellen bekannt sind, ist mir und meinen damaligen Klassenkameraden durchaus bekannt gewesen. Selbst wenn es nicht bekannt ist, kann man das doch nachreichen: Wenn man eine Nullstelle hat, dann kann man eine Polynomdivision durchführen und den Linearfaktor mit eben dieser Nullstelle abspalten. Was man erhält ist eine Zerlegung der Form (x-x_1)*r(x) mit einem Restpolynom r, dessen Grad 1 kleiner ist. Indem man das mit allen Nullstellen macht, kann man auch r auf diese Weise zerlegen und erhält die Linearfaktorzerlegung.. Dabei ist nichts, was ein Schüler nicht verstehen kann. Ganz im Gegenteil: Alles, was benutzt wird, ist Schulstoff. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Stefan72 am: Do. 12. April 2007 17:17:08
\(\begingroup\)Hallo! Ich sehe das wie Gockel. Man sollte das voraussetzen können und eventuelle Schwierigkeiten/die zugrundeliegende Theorie an dieser Stelle verschweigen, da die Aussage den Schülern intutiv zugänglich (und in diesem Fall ja auch wahr) ist. Ansonsten müsste man die Hälfte des Schulstoffs (z.B. die Polynomdivision) hinterfragen. Das kann man tun, aber dann wird der Unterricht etwas sehr formal. 😉 Liebe Grüße Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: cow_gone_mad am: Do. 12. April 2007 17:37:34
\(\begingroup\)Hi ihr, zumindest in Teilen Österreich lernt man keine komplexen Zahlen in der Schule. Es ist also gerechtfertigt und sinnvoll die $p-q$-Formel als gegeben anzunehmen, und $P(x) = (x - x_1) (x - x_2)$ als nicht gegeben anzunehmen, wenn $P\in\C[x]$, $\deg P = 2$ ist. 😉 Lernt man nicht irgendwie etwas im Stil $P(x) = x^2 - 2px + q$ hat genau dann eine Lösung, wenn $p^2 - q \geq 0$? Irgendwie kommt mir das als Diskriminatenbedingung bekannt vor... Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Do. 12. April 2007 17:58:16
\(\begingroup\)@Helge: Das hat nichts mit den komplexen Zahlen zu tun. Hier haben wir die Situation, dass die Nullstellen schon vorhanden sind und wir sie in Verbindung zu p und q bringen wollen. Die Faktorisierung existiert also auch über den reellen Zahlen. Meine Bemerkung bezog sich nur darauf, dass in einigen Bundesländern auch mit komplexen Zahlen gerechnet wird, das war kein Bezug zum Fundamentalsatz der Algebra o.Ä. Der ist hier auch absolut nicht nötig, denn wie gesagt reicht eine Polynomdivision und ein Koeffizientenvergleich. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 18:07:51
\(\begingroup\)@Gockel: Um "alle Nullstellen" zu präzisieren, muss man schon wesentlich mehr Technik haben, als bei der Einführung des Satzes von Vieta üblicherweise zur Verfügung steht. Dein Beweis funktioniert für n verschiedene (reelle) Nullstellen natürlich problemlos, aber bei mehrfachen Nullstellen muss man Vielfachheiten einführen usw. owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: murmelbaerchen am: Do. 12. April 2007 18:24:15
\(\begingroup\)Du Stefan, habe keine Sorge, Kommentare sachlicher Art abzugeben. Sachlichkeit ist immer prima, ich weiß zumindest nun über die Komplexität der fundamentalen Bundessatzalgebra.... 😄 Oder so ähnlich.... Nein, aber mal im Ernst.... ich finde die Diksussion an manchen Stellen graußlich bzgl. der Außenwirkung unseres Planeten. Aber vielleicht bin ich auch zu sensibel 😄 Bei manchen Diskussionen habe ich ein ungutes Bauchgefühl und selbiger hat mich selten im Stich gelassen. Viele Grüße Murmelbärchen P.S. Keine Sorge, ich habe meine Meinung kundgetan und werde mich deshalb nicht weiter hier zu Wort melden. \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Do. 12. April 2007 18:28:13
\(\begingroup\)@owk: Da muss nichts präzisiert werden. Es ändert sich überhaupt nichts, wenn mehrfache Nullstellen auftreten... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 18:49:43
\(\begingroup\)@Gockel: Angenommen, p(x) hat als Nullstelle 1 und sonst keine anderen Nullstellen, es sind also "alle Nullstellen bekannt". Wer, wenn nicht der Fundamentalsatz, sagt Dir, dass r(x) Nullstellen hat? owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Do. 12. April 2007 18:54:53
\(\begingroup\)@ Gockel Deine Idee ist ja schön und gut! Aber eben Beweisen, dass man es so zerlegen kann ist schwer! Man kann es zwar mit Polynomdivision machen, doch das Problem ist folgendes! Satz von Vieta wird behandelt in der 9. Klasse. Und Polynomdivision erst in der 11. Also scheitert man da schon voll und ganz. Auf Niveu eines 9.Klässlers es zu beweisen, ist meine Art nachvollziehbar. Gruß Ramon\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: huepfer am: Do. 12. April 2007 19:00:24
\(\begingroup\)@owk, um das Ganze grundlegend zu beweisen braucht man sicher weiter gehende Grundlagen, aber für einen Schüler ist es doch intuitiv klar, dass zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Koeffizienten haben. Und das Prinzip der Polynomdivision ist bei uns auch spätestens ab der elften Klasse bekannt gewesen. Welcher Weg nun der einleuchtendere ist, darüber kann man sich sicher streiten. Ich finde zwar den Weg von Gockel intuitiver, weil er eben bis auf den Koeffizientenvergleich nichts weiter voraussetzt. Allerdings ist Ramons Ansatz auch sehr gut verständlich. Allerdings denke ich, dass wohl mehr Schüler den Weg von Gockel selbst herleiten. Doch das ist hier ja garnicht die Frage. Der Artikel von Ramon ist gut geschrieben und ich finde auch die Ergänzung von Gockel gut, da sie den Artikel wahrlich bereichert. So hat jemand, der sich dafür interessiert, wie der Satz von Vieta zu Stande kommt, zwei Methoden zur Verfügung. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 12. April 2007 19:17:14
\(\begingroup\)Hallo, erstmal vorweg: ich find es schön das Schüler solche Artikel schreiben. Das zeugt von Engagement! Was ich an der Diskussion hier nicht verstehe: 1) Koeffizientenvergleich klappt in doch jedem Polynom. a_n*x^n+...a_1*x+a_0=b_n*x^n+...b_1*x+b_0 =>a_n=b_n,...,a_0=b_0 Das folgt direkt aus der Konstruktion des Polynomringes! 2) Die Frage ist doch eher wann gilt: a ist Nullstelle von P(X) => X-a teilt P(X)? Für Hauptidealringe ist mir das klar. Aber gilt das auch für faktorielle Ringe? \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 19:23:44
\(\begingroup\)Jede Menge Missverständnisse, und genau deshalb wollte ich etwas dazu schreiben. Koeffizientenvergleich funktioniert immer, und auch X−a ist immer Teiler von P, wenn P(a)=0 (kommutativer Basisring vorausgesetzt). Worum es geht, ist die Behauptung, dass die Polynome (X-x1)(X-x2) und x2+px+q alleine schon deshalb gleich sind, weil sie (in einem geeigneten Sinn) die gleichen Nullstellen haben. owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 12. April 2007 19:40:02
\(\begingroup\)@owk: Mich würde schon interessieren wie man P(a)=0 => X-a|P in einem allg. komm. Koeffizientenring sieht?\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 19:50:09
\(\begingroup\)Aus X−a | Xn−an folgt X−a | P(X)−P(a). owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: John_Matrix am: Do. 12. April 2007 19:54:01
\(\begingroup\)Hallo an alle, ich finde sowohl den Artikel, als auch die daran anschliessende Diskussion gut (und fair). Ich selber waere zwar nie darauf gekommen, den Vieta jemandem anders beizubringen, als Gockel es getan hat. Ich halte es auch bei Schuelern fuer richtig, dass sie es (ob in der 11. oder in der 9. Klasse) so lernen. Owk hat allerdings recht, dass man maechtigere Mittel ins Spiel bringen muss, wenn man einen ehrlichen Job machen will. Hierzu reicht aber meiner Meinung nach Polynomdivision vollkommen aus. Denn wer Polynomdivision verstanden hat, der weiss nicht nur, dass mein eine Nullstelle ausfaktorisieren kann, sondern auch, dass dann r(x) linear ist. Und dann ist klar, dass auch r(x) eine Nullstelle hat. Ergo: Bei quadratischen Polynomen braucht man meiner bescheidenen Meinung nach den Fundamentalsatz nicht wirklich. Dennoch: auch den Fundamentalsatz sollten Schueler (ohne Beweis) irgendwann lernen!\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: ramonpeter am: Do. 12. April 2007 20:04:59
\(\begingroup\)Dass Problem ist nur, wie gesagt kenntnisse der Polynomdivision sollten da sein. Dann müsste man die Schüler halt vorher darüber unterrichten!\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 20:05:07
\(\begingroup\)Ja, im quadratischen Fall ist es einfach, das hat LutzL auch schon vorgerechnet (auch wenn er nicht dazugesagt hat, dass er eine Polynomdivision durchführt). Gockel wollte allerdings eine allgemeine Aussage beweisen. owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Gockel am: Do. 12. April 2007 20:14:05
\(\begingroup\)Polynomdivision erst in der elften Klasse? Das überrascht mich, ich bin der Meinung, schon ca. in der neunten Klasse Polynomdivision kennengelernt zu haben. Genau weiß ichs nicht, aber vor 11 auf jeden Fall... @John_Matrix: Hm, ob der Fundamentalsatz nun wirklich zur Allgemeinbildung eines Schülers gehören sollte, darüber ließe sich streiten. Ich bin dagegen, für die Schulmathematik hat der Fundamentalsatz aufgrund seiner reinen Existenzaussage keine große Bedeutung. @owk: Bitte erkläre mir doch mal, wo du da noch Probleme siehst. Es geht wirklich alles ohne Fundamentalsatz und ähnlich schwere Geschütze. Wenn ich weiß, dass x_1 bis x_n die Nullstellen von p mit deg(p)=n sind, dann hat p die Form a*(x-x_1)*...*(x-x_n). Das ist völlig einsichtig und benötigt in keinster Weise den Fundamentalsatz. Selbst wenn man kein Schüler ist und das tatsächlich im Zusammenhang mit der Algebra-I-Vorlesung z.B. beweisen will/muss, hat man dabei noch nichtmal an den Fundamentalsatz gedacht. Diese Tatsache wird bewiesen, lange bevor man weiß, was algebraische Abschlüsse sind oder ob sie existieren. Nur reine Polynomdivision ohne versteckte Fallen... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: John_Matrix am: Do. 12. April 2007 20:19:51
\(\begingroup\)@ramonpeter: Wie gesagt, ich findet Deinen Artikel sehr lobenswert, gleichzeitig finde ich aber auch (je mehr ich drueber nachdenke), dass man Schuelern auch Gockels weg bewusst machen sollte (und kann). Denn: Man darf vom Mathematikunterricht zunaechst einmal verlangen, dass die p-q Formel sauber hergeleitet wird. Mir ist aber keine Herleitung bekannt, die nicht auch die Tatsache, dass p(x) von der Gestallt p(x)=(x-x1)(x-x2) ist, transparent macht. Und dies sollte den Schuelern gleich an dieser Stelle bewusst gemacht werden. Das heisst: wird die p-q Formel sauber hergeleitet, geht auch Gockels Beweis glatt durch, und bereitet die Schueler gleich auf Hoeheres vor. \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: John_Matrix am: Do. 12. April 2007 20:28:30
\(\begingroup\)@Gockel Du hast recht, denn ohne komplexe Zahlen macht der Fundamentalsatz keinen Sinn, also hat er in der Schule vielleicht doch nichts verloren. Aber fuer die Zerlegung beliebiger Polynome in Linearfaktoren braucht man ihn schon, und dies scheint ja auch bei Dir Wissen zu sein, das Du Schuelern abverlangen willst :)\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: owk am: Do. 12. April 2007 20:52:06
\(\begingroup\)@Gockel: In Deinem Beitrag von 12. April 2007 17:11:07 steht, "dass man ein Polynom in Linearfaktoren zerlegen kann, wenn alle Nullstellen bekannt sind". Wie man daraus den Fundamentalsatz trivial herleiten kann, habe ich in 12. April 2007 18:49:43 angedeutet. Wie ich Do. 12. April 2007 18:07:51 bereits sagte, gibt es keine Probleme, wenn es bei einem Polynom vom Grad n genau n verschiedene Nullstellen gibt. Wie dort auch schon nachzulesen ist, sehe ich das Problem bei mehrfachen Nullstellen darin, dass man dann allgemein über Vielfachheiten sprechen muss, und das geht im Niveau definitiv über den Wissensstand bei Einführung des Satzes von Vieta hinaus. Natürlich lernt man dabei den Spezialfall doppelter Nullstellen quadratischer Polynome kennen, aber Du sagtest ja in 12. April 2007 17:11:07, dass Du Dich auf einen Satz berufst, der zu diesem Zeitpunkt den Schülern schon bekannt ist. owk\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: continuous am: Do. 12. April 2007 20:56:34
\(\begingroup\)@ramonpeter: schönes Thema und schöner Artikel 😎 @Gockel: Wenn du sagst x_1,...x_n sind alle Nullstellen bei deg(p)=n, dann finde ich das geschummelt! Es ist natürlich Auslegungssache, aber wenn ich sage, ich kenne von einem Polynom P alle Nullstellen, dann zähle ich keine Nullstelle doppelt auf. Deswegen die Vielfachheiten! Letztendlich ist das ja alles klar und keiner hat wirklich einen Fehler gemacht. Daher ist die Diskussion vielleicht überflüssig, so wie mein Beitrag gerade 😉 Grüße, Christian \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Jancsi am: Sa. 14. April 2007 11:28:41
\(\begingroup\)Ich finde den Beweis über die Faktorisierung auch deutlich besser, weil eleganter und übersichtlicher. Zur Erklärung des Satzes von Vieta bietet es sich aus meiner Sicht an, für Schüler, die vom Faktorisieren noch nie etwas gehört haben, dieses GERADE ANHAND DES SATZES VON VIETA einzuführen! Somit werden zwei Fliegen mit einer Klappe geschlagen: Die Schüler verstehen, was Faktorisieren bedeutet und bekommen sozusagen "en passant" auch noch einen Beweis für den Satz des Vieta mitgeliefert. Andererseits kann man ja den Schülern auch die Aufgabe stellen, eine zum Faktorisieren alternative Beweismethode herauszufinden. So stelle ich mir übrigens einen mathematischen Unterricht vor, d.h. in der Weise, dass ein Problem von VIELEN SEITEN AUS betrachtet wird (man denke nur an die Wittenbergschen "Themenkreise"). So wird das in der heutigen Zeit immer wichtiger werdende "vernetzte Denken" gefördert. Gruß, Jancsi\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: gandalf25 am: Sa. 14. April 2007 20:23:44
\(\begingroup\) Man kann das ganze auch schnell über ein lineares Gleichungssystem machen, was jedem aus der Schule bekannt sein sollte. Es sei f(x)=x^2+bx+c Gegeben sind die Punkte A(x_1,0) und B(x_2,0) - x_1 und x_2 sind die zwei Nullstellen von f es gilt nun (1) f(x_1)=0 x_1^2+bx_1+c=0 (2) f(x_2)=0 x_2^2+bx_2+c=0 Nun rechnet man (1)-(2) woraus sich b=-(x_1+x_2) ergibt. Danach ergibt sich weiterhin durch Einsetzen c=x_1*x_2 \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: huepfer am: Sa. 14. April 2007 22:20:58
\(\begingroup\)@gandalf, Dein Ansatz funktioniert aber nur dann, wenn x_1!=x_2 gilt, da sich sonst bei der Rechnung (1)-(2) schlicht 0=0 ergibt und somit keine weitere Aussage getroffen werden kann. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: gandalf25 am: Sa. 14. April 2007 22:56:02
\(\begingroup\)Ja ok, man nimmt an, dass x_1 ungleich x_2 wenns dann gleich ist kann man das in der Lösung substituieren \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta / hier: Stoffentwicklung in Schulbüchern
von: Tetris am: So. 15. April 2007 21:04:23
\(\begingroup\)Hallo ramonpeter, als ich Deinen Artikel zum ersten Mal las - zu diesem Zeitpunkt war er noch kürzer als die Kommentare dazu - fand auch ich die Herleitung irgendwie unnaheliegend... ...bis mir heute zufällig beim Rumblättern in einem Buch ein ähnlicher Gedankengang wie der Deine auffiel. Dort wurde - im Rahmen einiger Abschnitte zur Wiederholung bzw. Zusammenfassung von Mittelstufenstoff - unter der Überschrift "Quadratische Aussageformen" zunächst durch quadratische Ergänzung die p-q-Formel hergeleitet. Sodann wurden, ich möchte fast sagen "nebenbei", die beiden Lösungen addiert und multipliziert, so dass die beiden Aussagen des Satzes von Vieta dastanden. Diese wurden schließlich noch in die Normalform der quadratischen Gleichung eingesetzt, so dass nach entsprechendem Ausklammern auch die Linearfaktorzerlegung (ohne Polynomdivision und ohne Fundamentalsatz der Algebra) heraussprang. Dieses Vorgehen bei der Stoffentwicklung schien mir im Rahmen der Darstellungen dieses Buches auch konsequent. Von daher gefällt mir inzwischen auch Deine Idee ganz gut! Lg, T. \(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Stefan72 am: Mo. 16. April 2007 09:32:17
\(\begingroup\)Hallo Tetris, ja, vielleicht hast du tatsächlich Recht. Wenn man auf diese Weise dann sogar die Linearfaktorzerlegung herleitet, ist es ein elementares, in sich geschlossenes Vorgehen, und man kann die so elementar hergeleitete Linearfaktorzerlegung nutzen, um sich -jetzt sozusagen im Nachhinein- den Satz von Vieta noch einmal durch Ausmultiplizieren zu plausibilisieren und auf diese Weise zu merken. Doch, das gefällt mir jetzt auch sehr gut so. 😄 Vielleicht kann ramonpeter ja seinen Artikel noch einmal auf diese Weise erweitern und ergänzen (also die Herleitung der p-/q-Formel durch quadratische Ergänzung und die elementare Herleitung der Linearfaktorzerlegung, wie beschrieben, noch hinzunehmen). Dann hätte man einen wirklich schönen, in sich geschlossenen Artikel zu diesem Thema der Schulmathematik. Liebe Grüße Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: xycolon am: Mo. 16. April 2007 11:52:07
\(\begingroup\)hallo ramonpeter, eine schöne herleitung des satzes von vieta, der insbesondere für die nachhilfe in der achten und neunten klasse gut geeignet ist.\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 03. Mai 2007 18:12:24
\(\begingroup\)wow da ist die MP-Gemeinde wieder mal ganz schön fleissig gewesen. Bravo an alle Beteiligten; ein schöner Gedankenaustausch auf zivilisiertem Niveau\(\endgroup\)
 

Re: Satz von Vieta
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 05. Mai 2008 18:03:19
\(\begingroup\)was ist sinnvolles probieren von satz des vieta wie geht das? helft mir!!! ☹️ \(\endgroup\)
 

 
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