Mathematik: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
Released by matroid on Sa. 09. Juni 2007 11:49:42 [Statistics]
Written by Hans-Juergen - 1990 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)
Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen

Seit der Antike gibt es eine bestimmte Art geometrischer Konstruktionen, die allein mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden.1) Das Lineal darf keine Markierungen haben, während über den Zirkel nichts weiter vorausgesetzt wird. Als selbstverständlich gilt, daß der Winkel zwischen seinen Schenkeln beliebig zwischen 0 und 180 Grad eingestellt werden kann.

Was aber ergibt sich, wenn der Zirkel eingerostet und nicht verstellbar ist? Kann man dann die "klassischen" Nur-mit-Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen nicht mehr ausführen oder nur einen geringen Teil davon?



Dies untersuchte der persische Astronom und Mathematiker Abul Wefa2), der vor rund tausend Jahren in Bagdad lebte, an einzelnen Beispielen. Auf der Internetseite [1] wird darüber berichtet und erwähnt, daß der französische Mathematiker Victor Poncelet im 19. Jahrhundert den Grundstein für den Beweis legte, dass alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bereits mit Lineal und einem festen Zirkel möglich sind. Der strenge Beweis dafür, so heißt es auf derselben Seite, stammt von dem Schweizer Jacob Steiner.

Hingewiesen wird dort auch auf den Londoner William Leybourn, der 1694 in einem Buch schrieb: "Hier wird gezeigt, wie man (ohne Zirkel) nur mit Hilfe einer gewöhnlichen Gabel (oder eines ähnlichen Instrumentes, das sich weder weiter noch enger stellen lässt) und eines einfachen Lineals viele erfreuliche und reizende geometrische Operationen ausführen kann."

Daß sich der Zirkel nicht beliebig einstellen läßt, bedeutet eine Einschränkung der klassischen, aus der Antike überlieferten Vorgehensweise, doch hat sie nach dem Beweis von Steiner keine schädlichen, prinzipiellen Auswirkungen. Mit dem "rostigen Zirkel" wird manches lediglich komplizierter und erfordert mehr Überlegung, was nicht unbedingt ein Nachteil ist.

Schwieriger wird es auch bei einer anderen Einschränkung, die längere Zeit dem italienischen Mathematiker Lorenzo Mascheroni (1750-1800) zugeschrieben wurde; dieser wurde vor allem durch die nach ihm und Euler benannte Konstante bekannt.3) In seiner 1797 erschienenen Schrift "Geometria del compasso" bewies er, dass jede Konstruktion mit Zirkel und Lineal auch mit einem beweglichen Zirkel allein ausgeführt werden kann. Das bei dem klassischen Vorgehen benutzte Lineal erweist sich somit als überflüssig.

Auf der Seite [2] werden drei, nur mit dem Zirkel ausgeführte Konstruktionen wiedergegeben - zwei davon von Mascheroni selbst -, bei denen der Mittelpunkt einer durch ihre beiden Endpunkte gegebenen Strecke gesucht ist. Auch die als "einfach" bezeichnete ist trickreich; auf sie wäre ich selber nicht gekommen.

Eine Aufgabe, die klassisch sehr leicht zu lösen ist (man braucht dazu nicht einmal den Zirkel, sondern nur das Lineal), lautet: "Konstruiere den Schnittpunkt zweier Strecken, deren Endpunkte gegeben sind." Wie man das allein mit dem Zirkel schaffen soll, ist mir ebenfalls schleierhaft.

1928 entdeckte der dänische Mathematiker Johannes Hjelmslev in einer Kopenhagener Buchhandlung ein Buch seines Landsmanns Georg Mohr mit dem Titel "Der dänische Euklid", erschienen 1672, also lange vor Mascheroni, das bereits dessen Ideen und Resultate enthielt. Seit diesem Fund hat es sich eingebürgert, die Konstruktionen allein mit dem Zirkel als Mohr-Mascheroni-Konstruktionen zu bezeichnen. [3]

Bei ihrer Rechtfertigung und praktischen Anwendung spielt die Inversion (Spiegelung am Kreis) eine Rolle, durch die Geraden zu Kreisen werden. Bemerkungen hierzu, auf die ich nicht näher eingehen möchte, findet man hier [4].

Während im 19. Jahrhundert die Konstruktionen allein mit dem Zirkel zum Teil Unterrichtsgegenstand am Gymnasium waren [5], scheinen sie heute nahezu vergessen zu sein. Vielleicht trägt das Vorstehende ein wenig dazu bei, das Interesse an ihnen auf dem Matheplaneten neu zu beleben.

Hans-Jürgen

1) Sie sind nicht die einzigen; die mit zwei Pflöcken und einer Schnur funktionierende "Gärtnerkonstruktion" einer Ellipse, zum Beispiel, gehört nicht dazu.
2) vollständiger Name: Abul Wefa Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al-Buzjani (940-997 n. Chr.)
3) Euler-Mascheronische Konstante:
fed-Code einblenden
Sie wurde von Mascheroni auf 32 Dezimalstellen berechnet, von denen die ersten 19 korrekt waren.
[1] www.oliver-bieri.ch/mascheroni/abul.htm
[2] www.oliver-bieri.ch/mascheroni/mascheroni_strecke.htm
[3] www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml
[4] www.mathematik.de/.../kreisverwandteabbildungen.html Abschnitt A
[5] Hutt, E. Die Mascheroni'schen Konstruktionen für die Zwecke höherer Lehranstalten und zum Selbstunterrichte. Halle, H. W. Schmidt, 1880.

\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen [von Hans-Juergen]  
Seit der Antike gibt es eine bestimmte Art geometrischer Konstruktionen, die allein mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden.1) Das Lineal darf keine Markierungen haben, während über den Zirkel nichts weiter vorausgesetzt wird. Als selbstverständlich
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 1990
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 128 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.02 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://google.de9372.7%72.7 %
http://google.com53.9%3.9 %
http://google.nl75.5%5.5 %
https://google.de43.1%3.1 %
https://google.com53.9%3.9 %
http://google.ch21.6%1.6 %
http://google.lu32.3%2.3 %
http://www.bing.com43.1%3.1 %
http://suche.t-online.de10.8%0.8 %
http://suche.aol.de10.8%0.8 %
http://r.duckduckgo.com10.8%0.8 %
http://google.com.tr10.8%0.8 %
https://www.ecosia.org10.8%0.8 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 88 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2016 (34x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
201206-06 (12x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zirkel-lineal- konstruktion des streckenmit...
201201-01 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mohr mascheroni konstruktionen
201212-12 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=geometrische konstruktionen
2014-2015 (5x)http://google.com/search
201301-01 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kreisfiguren berechnen
201306-06 (4x)http://google.de/imgres?um=1&biw=1680&bih=952&tbm=isch&tbnid=4FtCrKB076XsJM:
201210-10 (4x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=konstruktion dreieck mit rostigen zirkel
201204-04 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe einschränkungen
202009-09 (4x)https://google.de/
2020-2021 (4x)https://google.com/

[Top of page]

"Mathematik: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen" | 9 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: Jonathan_Scholbach am: Sa. 09. Juni 2007 17:41:49
\(\begingroup\)
Interessante Phänomene, allerdings hätte ich mir noch mehr Details gewünscht - so wird man erstmal angefüttert, und dann bleibt man hungrig zurück. :-)

Gruß Jonathan\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: marco123 am: So. 10. Juni 2007 20:52:56
\(\begingroup\)
Sehr spannendes Thema, aber wie mein Vorredner schon sagte: Hoffentlich macht sich jemand die Mühe, dies zu vertiefen. Aber vielen Dank, für den Wink. Da wird die Geometrie doch gleich wieder lebendiger.\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: owk am: Mo. 11. Juni 2007 10:41:55
\(\begingroup\)
Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es die Aussage, dass ein fester vorgegebener Kreis mit Mittelpunkt anstelle eines Zirkels genügt. Der Mittelpunkt ist dabei allerdings essentiell, man kann den Mittelpunkt eines Kreises nicht mit Lineal allein konstruieren: Es gibt eine geradentreue Selbstabbildung der Ebene, die den Kreis festlässt, den Mittelpunkt jedoch nicht. Diese Abbildung kann man konstruieren, indem man über dem Kreis einen schiefen Kegel errichtet. Dann gibt es noch eine weitere, nicht parallele Schnittebene, für die die Schnitte mit dem Kegel Kreise sind. Die Zentralprojektion von der Kegelspitze ist im wesentlichen die gesuchte Abbildung. owk\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: philippw am: Mo. 11. Juni 2007 12:20:51
\(\begingroup\)
"Eine Aufgabe, die klassisch sehr leicht zu lösen ist (man braucht dazu nicht einmal den Zirkel, sondern nur das Lineal), lautet: "Konstruiere den Schnittpunkt zweier Strecken, deren Endpunkte gegeben sind." Wie man das allein mit dem Zirkel schaffen soll, ist mir ebenfalls schleierhaft."

Du hast den Link doch selbst angegeben, wo man das findet:
www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml
Problem 11\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: Hans-Juergen am: Mo. 11. Juni 2007 19:34:03
\(\begingroup\)
Hi Jonathan, marco und philippw,

mein kurzer Beitrag verfolgt den Zweck, auf ein heutzutage
weitgehend unbekanntes Gebiet der Geometrie Appetit zu
machen, mehr nicht. Ich verzichtete deshalb darauf, fertige
Ergebnisse zu präsentieren, um niemandem die Gelegenheit
zu nehmen, selber unbeeinflußt nachzudenken, und gab bei
einer der beiden genannten Konstruktionsaufgaben nur an,
wo die Lösung steht. Das mit Problem 11 auf der englischen
Seite [3] war mir bekannt. Ich habe die dortigen Angaben
absichtlich nicht genau durchgelesen, sondern nur überflogen
und dabei festgestellt, daß die Lösung sehr aufwendig ist.
So bleibt sie mir vorerst "schleierhaft".

Zweierlei sei noch angemerkt: erstens ist es sehr leicht, im
Internet mit copy and paste irgendwoher etwas zu über-
nehmen und bei sich selber einzubauen. Das zeigt sich zum
Beispiel an der in [2] an erster Stelle wiedergegebenen
Mascheroni-Konstruktion, deren Begleittext den unverständlichen
Satz enthält: "Der neue Punkt E liegt auf der Verlängerung
von AB und ist doppelt so gross." (Ein Punkt kann nicht doppelt
so groß wie ein anderer oder eine Strecke sein; hier fehlt etwas.)
Man findet den ganzen Absatz unverändert auch hier. Wer dabei
von wem "abgekupfert" hat, bzw. auf welche gemeinsame, nicht
genannte Quelle sich beide Autoren berufen, bleibt unklar.

Zweitens möchte ich noch auf  <a href="http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/Projekte/Mathematiktag/Andere.html"diese Seite hinweisen. Dort wird auf die
bei den Mohr-Mascheronischen Konstruktionen mögliche Verwendung
der Inversion näher eingegangen.

Mit freundlichem Gruß,
Hans-Jürgen

   
 

 


\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: Bernhard am: Mi. 13. Juni 2007 00:45:42
\(\begingroup\)
Das macht Appetit auf mehr!
Diese möglichen Einschränkungen der klassischen Konstruktion waren für mich völlig neu.
Schade, daß das Interesse daran so abnimmt.
Wir haben von "der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" in der Schule nie etwas gehört. Wir kannten nur das Geodreieck - da war ja quasi alles Konstruieren schon vorgekaut.
Wie war das eigentlich bei Euch?

Bernhard
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: kostja am: Mi. 13. Juni 2007 11:37:22
\(\begingroup\)
Bernhard schreibt:
Wir haben von "der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" in der Schule nie etwas gehört. Wir kannten nur das Geodreieck - da war ja quasi alles Konstruieren schon vorgekaut.

Hallo! Das ist ja wirklich krass. Bei uns bestand die Geometrie in der siebten und achten Klasse eigentlich fast nur daraus Konstruktionsbeschreibungen zu verfassen und die Konstruktionen durchzuführen. Und wehe, man hat eine Strecke oder einen Winkel nicht mit dem Zirkel abgetragen, sondern hat das Geodreieck eingesetzt.

Erst in der Mitte der Achten, als man davon ausgehen konnte, das man die Schritte für die Konstruktion von wesentlichen Schritten verstanden hat, durfte man dann auch das Geodreieck zur Arbeitserleichterung und Zeitersparniss einsetzen.

MfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: Hans-Juergen am: Fr. 15. Juni 2007 16:39:06
\(\begingroup\)
Hi,

auf der Suche nach einer eigenen Möglichkeit,
den Mittelpunkt einer durch ihre Endpunkte
gegebenen Strecke allein mit dem Zirkel zu
konstruieren, kam ich auf diese Figur:

Bild

Sie läßt sich leichter verstehen als die um 90° gedrehte
dritte Figur in [2],
 


doch ist sie nicht genau: die zwei blauen Kreisbögen
schneiden sich bei mir ein kleines bißchen links neben
dem Streckenmittelpunkt.

Hans-Jürgen



\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen
von: HansHaas am: Sa. 16. Juni 2007 18:51:21
\(\begingroup\)
Ich weiß nicht ob irgendwer das Buch "Ein-Blick in die Mathematik" kennt, das war einmal ein Preis beim Landeswettbewerb Bayern. Es besteht aus dreizehn Artikeln zu unterschiedlichen Themen der Mathematik (auf immerhin 400 Seiten). Ein 29-Seitiger Artikel ist den nicht-klassischen Konstruktionen gewidmet, wobei den Hauptteil ein Lineal mit zwei Markierungen ausmacht. Enthalten ist auch ein algebraischer (und rel. komplizierter) Beweis, dass sich damit genau die Punkte, deren Koordinaten Minimalpolynome mit ausschließlich reellen Nullstellen aufweisen, konstruierbar sind (Wenn man das Koordinatensystem so legt, dass der Abstand der Markierungen 1 ist und die Punkte (0;0), (0;1) und (1;0) gegeben sind). Da sieht man erst, auf welche erstaunlichen sätze man trifft, wenn man sich mit der Materie beschäftigt.

EDIT: Der Beweis dafür stammt übrigens von Christian Reiher, dem erfolgreichsten IMO-Teilnehmer aller Zeiten.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]