Mathematik: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
Released by matroid on Do. 13. Dezember 2007 08:59:03 [Statistics]
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Mathematik

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Eulers Werk ist sehr umfangreich. Seine gesammelte Werke, die "Opera Omnia" bestehen zur Zeit aus 74 Bänden. Dies macht es sehr schwer diesen Mann zu würdigen. Man müsste auf seine mathematische Notation verweisen, welche noch heute verwendet wird. Seine Beiträge zur Analysis, Zahlentheorie, Statik, Geometrie und die Entdeckung der Graphentheorie müssten erwähnt werden. Man müsste auch die damalige Zeit und den Wissensstand beschreiben.
Matroid hat bereits einen Artikel über Euler verfasst in welchem Eulers Vielfältigkeit und sein Einfluss aufgezeigt werden.
In diesem Artikel werde ich eine Berechnung Eulers vorstellen, die mich durch ihre Genialität völlig verblüfft hat. Es ist die

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Literatur
Die Herleitung in diesem Artikel stammt aus dem Buch:
Julian Havil GAMMA, ISBN 978-3-540-48495-0
Seite 49ff





 
Dieser Artikel ist in unserem Buch enthalten:

Mathematisch für Anfänger
Mathematisch für Anfänger

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: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Eulers Berechnungen der Zeta Funktion [von Ueli]  
Eulers Werk ist sehr umfangreich. Seine gesammelte Werke, die "Opera Omnia" bestehen zur Zeit aus 74 Bänden. Dies macht es sehr schwer diesen Mann zu würdigen. Man müsste auf seine mathematische Notation verweisen, welche noch heute verwendet wird. Seine Beiträge zur Analysis, Zahlentheorie, Statik,
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"Mathematik: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion" | 10 Comments
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Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: scorp am: Do. 13. Dezember 2007 10:52:04
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Hallo Ueli,

ich habe eine Frage zu der Produktdarstellung. Du schreibst
fed-Code einblenden
Aber dieses (unendliche) Produkt existiert doch gar nicht, weil die Faktoren beliebig groß werden.
  Ein ähnliches Problem scheint bei
fed-Code einblenden
aufzutreten. Denn auch hier existiert das Produkt nur im Grenzfall (x=0); für nichtganzzahlige Vielfache Pi gibt es diese Darstellung nicht.

Ich gehe davon aus, dass du mit diesen "Heuristiken" nur die Herleitung motivieren willst. Deswegen solltest du das vielleicht auch kenntlich machen. So wie es jetzt dasteht, ist es m.E. missverständlich.

Grüße,
Alex\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: LutzL am: Do. 13. Dezember 2007 10:59:46
\(\begingroup\)
Die erste Darstellung ist falsch, die zweite ist richtig und konvergiert überall. Es gibt ein Resultat über unendliche Produkte, was im wesentlichen die Abschätzung der Exponentialfunktion verwendet, welches besagt, dass

fed-Code einblenden

konvergiert, falls

fed-Code einblenden

konvergiert.

Damit ist aber immer noch nicht klar, dass das Produkt auch tatsächlich dem Sinus entspricht.

Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: scorp am: Do. 13. Dezember 2007 15:05:29
\(\begingroup\)
In der Tat, da habe ich wohl nicht richtig hingeschaut. Die
fed-Code einblenden
konvergieren ja offenbar gegen 1 (für n -> oo) ... damit kann man den Absatz also retten, indem man einfach die erste Darstellung rauswirft.\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Hans-Juergen am: Do. 13. Dezember 2007 19:25:42
\(\begingroup\)
Hi,

hier gibt es eine Abhandlung darüber, wie Euler bei dieser Aufgabe ("Baseler Problem") versuchte, ohne die problematische Produktdarstellung der Sinusfunktion auszukommen.

Gruß,
Hans-Jürgen


\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Ueli am: Sa. 15. Dezember 2007 10:29:18
\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

als ich den Artikel begonnen hatte, wollte ich zwei oder drei Herleitungen für diese Summe bringen. Dann habe ich gemerkt, dass das Euler-Jahr vor dem Artikel zu Ende sein würde und mich daher auf die Frage beschränkt, wie Euler zu seiner Idee kam. Solche Herleitungen sind ja nur in den seltensten Fällen göttliche Eingebung, auch wenn es später so aussieht.
Ich kann mir sogar denken, dass Euler nach seinen numerischen Berechnungen bereits die Vermutung hatte, dass es sich um Pi^2/6 handelt und darum bei den trigonometrischen Funktionen zu suchen begann.
Die erste Produktdarstellung sollte die Idee formulieren, wie man eine Funktion als Produkt ansetzen kann. Ob es dann auch klappt, muss natürlich überprüft werden (Das ist im Artikel zugegebenermassen unklar beschrieben).
Beim zweiten Ansatz hilft der Link von Hans-Juergen weiter, den ich allerdings noch nicht im Detail studiert habe.
Unendlichen Produkte werden leider sehr wenig behandelt.
Schön wäre ein Satz wie: "Ist eine Produktentwicklung stetig und unenendlich oft differenzierbar und stimmt in den Nullstellen in allen Ableitungen mit einer Funktion überein...". Mal schauen ob sich so was ergoogeln lässt.

Gruss Ueli
\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Snowball am: Di. 18. Dezember 2007 19:15:46
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Nun, wenn du alle Ableitungen in einem Punkt kennst, hast dus ja für analytische Funktionen bewiesen. Mehr wird man hier kaum erwarten können.
Allerdings stelle ich es mir gerade schwierig vor, die höheren Ableitungen in diesem Fall zu prüfen.\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Bernhard am: Fr. 21. Dezember 2007 01:34:58
\(\begingroup\)
Hallo Ueli!

Schöner Artikel, vielen Dank!
Da sieht man nur noch mehr, wie vielseitig dieser Mann war. Ich kann mir das nur so vorstellen, daß Euler nicht nur "viel drauf" hatte in den einzelnen Teilgebieten der Mathematik (und den anderen Naturwissenschaften), sondern daß er auch blitzschnell zwischen ihnen zu springen verstandt sozusagen gleichzeitig mehrere "Schubladen" (hier Zahlentheorie, Trigonometrie, Reihenentwicklung, Differenzialrechnung etc.) aufmachen und mit ihren Inhalten spielen und sie verknüpfen konnte.
Man wird Euler aber nicht gerecht, wenn man meint, ihn nur in seinem Jubiläumsjahr würdigen zu können. Reicht ein Jahr überhaupt aus, um seine 74 Bände durchzuackern?  :-?

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Ueli am: Sa. 22. Dezember 2007 21:31:26
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Im Buch der Beweise ab Seite 36 gibt es übrigens weitere Herleitungen für Zeta(2). Diese Zahl hat anscheinend den Ehrgeiz vieler Mathematiker geweckt.
Auch wenn die erste Herleitung Eulers mathematische Strenge vermissen lässt, für mich bleibt es auf Grund der neuen unkonventionellen Ideen und Vorgehensweisen Eulers trotzdem ein Meilenstein der Zahlentheorie.

Gruss Ueli\(\endgroup\)
 

Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Stefan_K am: Do. 03. Januar 2008 01:32:46
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Hallo,

Scans der Originale von Euler zu diesem Problem finden sich hier im pdf-Format: E41 - De summis serierum reciprocarum und E63 - Demonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 …. Diese Dateien sind Teil des Euler Archivs.

Viele Grüße,

StefanK
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Re: Eulers Berechnungen der Zeta Funktion
von: Hans-Juergen am: Sa. 05. Januar 2008 23:01:11
\(\begingroup\)
Hi,

mit der Eulerschen unendlichen Reihe für π²/6
kann man viel herumspielen und zum Beispiel zeigen, daß nicht nur gilt

fed-Code einblenden
(Beides ist für die angenäherte Berechnung von π ohne praktischen Wert.)

Nicht allzusehr verpätet grüßt Euch zum Neuen Jahr
Hans-Jürgen.
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