Stern Mathematik: p-adische Zahlen
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Mathematik

\(\begingroup\) sqrt(2)

p-adische Zahlen

Die bekannte Darstellung einer natürlichen Zahl in einer Basis p läßt sich erweitern zu Darstellungen beliebiger ganzer Zahlen, weiterhin für rationale Zahlen, und diese schließlich zu einem Zahlenkörper, der sich von den reellen Zahlen erheblich unterscheidet. Man reduziert die Betrachtung sinnvoll auf Primzahlen p, und spricht dann von den p-adischen Zahlen.

Die p-adischen Zahlen kann man analog zu den reellen Zahlen als alternative vervollständigende Erweiterung des rationalen Zahlenkörpers Q konstruieren. In bekannter Weise betrachtet man Q als metrischen Raum, dessen Metrik der gewohnte Absolutbetrag induziert und vervollständigt ihn etwa durch Einbettung in die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen von Q, man erhält R.

Es läßt sich aber auch eine andere Metrik einführen, welche die Abstände zwischen rationalen Zahlen anders mißt, und diesen neuen metrischen Raum kann man zum p-adischen Zahlenkörper vervollständigen. Diese neue Metrik wird durch den p-adischen Absolutbetrag bestimmt. Die p-adischen Zahlen werden hier zunächst noch nicht als Vervollständigung von Q betrachtet, sie sollen motiviert und formal algebraisch eingeführt werden.


 Inhalt:

  1. Hensels Analogie
  2. Die p-adische Entwicklung
  3. Die p-adischen Zahlen
  4. Zp und der projektive Limes
  5. Rechnen mit p-adischen Zahlen in PARI/GP
  6. Literatur

 Hensels Analogie

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde die Theorie der p-adischen Zahlen im Wesentlichen durch Kurt Hensel entwickelt. Buchveröffentlichungen Hensels sind Interessierten im Internet frei verfügbar ([3] und [4]). Kurt Hensel verglich den Ring \IZ und seinen Quotientenkörper \IQ mit dem Polynomring \IC[X] und dessen Quotientenkörper \IC\.(X). f\.(X)\el\ \IC\.(X) ist als rationale Funktion ein Quotient zweier Polynome: \ f\.(X) = (P\.(X))/(Q\.(X)), \ P\.(X), Q\.(X) \el\ \IC[X],\ Q\.(X)!=0. Ähnlich ist eine rationale Zahl r\el\ \IQ darstellbar als Quotient zweier ganzer Zahlen: \ r = a/b, \ a, b\el\ \IZ,\ b!=0. \IZ und \IC[X] sind beide Ringe mit eindeutiger Faktorzerlegung. Jedes Polynom läßt sich (bis auf Reihenfolge) eindeutig als Produkt linearer Polynome darstellen: \ P\.(X) = c(X-\alpha_1)^(k_1) (X-\alpha_2)^(k_2) * \void * \void * (X-\alpha_n)^(k_n), c, \alpha_i\el\ \IC, k_i \el\ \IN und jede ganze Zahl f\el\ \IZ kann man in eindeutiger Weise in Primfaktoren zerlegen: \ f = +-1*p_1^(k_1) p_2^(k_2) * \void * \void * p_n^(k_n) , \ p_1, ... , p_n Primzahlen. Die Primzahlen p_i\el\ \IZ zeigen sich als analog zu den linearen Polynomen (X-\alpha_i)\el\ \IC[X], welche die Primideale des Ringes \IC[X] erzeugen. Die +-1 in der Primfaktorzerlegung ist in diesem Vergleich das Gegenstück zum konstanten Polynom c in der Polynomzerlegung, beide sind (jeweils alle) Einheiten im jeweiligen Ring \IZ bzw. \IC[X], besitzen multiplikative Inverse.
Die Analogie geht weiter. Bekanntlich gibt es für jedes Polynom P\.(X) und fest gewähltes komplexes \alpha eine Summendarstellung \lr(1)\ P\.(X) = sum(a_i(X-\alpha)^i,i=0,n) mit a_i\el\ \IC. P\.(X) läßt sich in eine Taylor\-Reihe entwickeln. Dies kann man ähnlich für ganze Zahlen f\el\ \IZ tun. So wie wir oben (X-\alpha) festlegten, wählen wir nun ein festes p. O.B.d.A. betrachten wir positive ganze Zahlen. f kann man anstatt dezimal in der Basis p schreiben: \lr(2)\ f = sum(a_i p^i,i=0,n) mit a_i\el\ \IZ und 0<=a_i=n_0,), dies ist die aus der Funktionentheorie bekannte, im Allgemeinen unendliche, Laurent\-Entwicklung von f\.(X) an der Stelle \alpha, mit endlichem Hauptteil. In (3) kann man ablesen, ob f\.(X) in \alpha eine Nullstelle oder einen Pol hat, und mit welcher Ordnung. Der Körper \IC\.(X) der rationalen Funktionen läßt sich in den Körper aller Laurent\-Entwicklungen in \alpha einbetten. Nicht jede Laurent\-Entwicklung entspricht einer rationalen Funktion. Nun wird die Analogie zwischen \IZ und \IC[X] ausgedehnt auf die jeweiligen Quotientenkörper \IQ und \IC\.(X). Gesucht ist eine Entwicklung analog zu (3) für rationale Zahlen. Im weiteren bezeichne p jeweils eine feste Primzahl.

 Die p-adische Entwicklung

Jede natürliche Zahl f\el\ \IN besitzt eine p\-adische Entwicklung (2), mit Koeffizienten\blue\big\void^1\black\normal\ \void a_i\el\ {0, 1, ... , p-1}. Diese Entwicklung ist eindeutig und endlich, die Koeffizienten lassen sich durch fortgesetzte Division mit Rest bezüglich p berechnen. Schreibweise: f = a_0, a_1 a_2 ... a_n (p) \big\ Beispiel 1:\normal\ \ 108 = 3,12 (7) \ 216 = 1,331 (5) \ 448 = 0,121 (7) Um negative und gebrochene Zahlen p\-adisch entwickeln zu können, benötigen wir unendliche Reihen sum(a_i p^i,i=0,\inf ) bzw. sum(a_i p^i,i=-m,\inf ). Zunächst ohne Konvergenzbetrachtungen\blue\big\void^2\black\normal\ \void, wir verwenden die Reihen nur formal als Folge ihrer Partialsummen \(s_n\.\). Dies veranlaßt zunächst zur folgenden \big\Definition 1\normal\ Eine ganze p\-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe sum(a_i p^i,i=0,\inf ) mit 0<=a_i


\small\void^1 "p\-adischen Ziffern"
\small\void^2 Die offensichtliche Divergenz kann man durch Änderung des Konvergenzbegriffs bzw. der Metrik beheben.
\small\void^3 \IZ_((p)) ist der lokale Ring \IZ_((p)) = menge(g/h : g, h\el\ \IZ, p\teiltnicht\ h). Dessen Elemente werden auch als "für p ganze Zahlen" bezeichnet.


\ Jedes für p ganze f, also f\el \IZ_((p)) , bestimmt somit eine Folge ((s^-_n))_(n\el\ \IN) von Restklassen: \ \void s^-_n = f mod p^n \el \IZ//(p^n\.\IZ), für deren Glieder nach Satz 1 gilt: \ \void s^-_1 = a_0 mod p, \ \void s^-_2 = a_0 + a_1 p mod p^2, \ \cdots \ \void s^-_n = sum(a_i p^i,i=0,n-1) mod p^n \ \cdots mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_i\el\ \menge(0, 1, ... , p-1). Die zugehörige Zahlenfolge ((s_n))_(n\el\ \IN): \ \void s_n = sum(a_i p^i,i=0,n-1) definiert eine ganze p\-adische Zahl sum(a_i p^i,i=0,\inf )\el\ \IZ_p . Dies ist die p\-adische Entwicklung von f.
\big\ Beispiel 2\normal\ \ f = 31/4: \ \void 31/4 == 4 mod 5, denn 31/4 - 4 = 31/4 - 16/4 = 15/4 = 3/4 *5, \ \void 31/4 = 4 + 3/4 *5, \ \void 3/4 == 2 mod 5, \ \void 3/4 = 2 + (-1/4)*5, \ \void -1/4 == 1 mod 5, \ \void -1/4 = 1 + (-1/4)*5, und es wird periodisch. Wir haben für n>=3 \ s_n = 4 + 2*5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^(n-1) + (-1/4)*5^n, und die zugehörige p\-adische Entwicklung ist \ \void 31/4 = 4,21111... (5). \big\ Beispiel 3\normal\ \void sqrt(2)\el\ \IZ_7 ist 3,12612124662... (7). Die Berechnung wird durch die Grafik in der Einführung illustriert: sukzessive werden die Kongruenzen x^2==2 mod 7^n gelöst.

 Die p-adischen Zahlen

Der anfänglichen Analogie folgend erweitert man die Menge der ganzen p-adischen Zahlen, ähnlich der Laurent-Entwicklung (3), und betrachtet formale Reihen mit "endlichem Hauptteil": \big\ Definition 2\normal\ \ Eine p\-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe sum(a_i p^i,i=-m,\inf ) mit m\el\ \IZ und 0<=a_i < p für alle i. Die Menge p\-adischer Zahlen wird mit \IQ_p bezeichnet. Ist f eine beliebige rationale Zahl, so kann man p aus Zähler und Nenner "herausziehen" und schreiben: \ f = g/h p^(-m) \ g, h\el\ \IZ, \ (gh, p) = 1, folglich ist g/h\el\ \IZ_((p)) und hat nach dem vorigen Abschnitt eine p\-adische Entwicklung sum(a_i p^i,i=0,\inf )\el\ \IZ_p , die rationale Zahl f erhält dann die p\-adische Entwicklung \ \void sum(a_i p^(i-m),i=0,\inf ) bzw. sum(a_(i+m) p^i,i=-m,\inf )\el\ \IQ_p . \big\ Bemerkung:\normal\ \ \IQ läßt sich so kanonisch in \IQ_p injektiv einbetten, wobei \IZ in \IZ_p überführt wird. Identifizieren wir in dieser Weise \IQ mit seinem Bild in \IQ_p, so können wir für jede rationale Zahl f\el\ \IQ schreiben \lr(6)\ f = sum(a_i p^i,i=-m,\inf ) und dies ist nun das zahlentheoretische Analogon zur Laurentreihenentwicklung (3).
Die Laurent\-Reihen (3) aus der Funktionentheorie liefern uns Informationen über das lokale Verhalten einer Funktion f\.(X)\el\ \IC\.(X) an einer Stelle \alpha\el\ \IC, nämlich Polstellen und Nullstellen mit ihrer Vielfachheit. Die p\-adische Entwicklung (6) gibt uns ebenso Informationen über das lokale Verhalten einer rationalen Zahl f = g/h "an der Stelle p", vorausgesetzt, der Bruch liegt bereits in gekürzter Darstellung vor: \ -m < 0 \ => \ p\|h und p\teiltnicht\ g \ -m = 0 \ => \ p\teiltnicht\ g und p\teiltnicht\ h \ -m > 0 \ => \ p\|g und p\teiltnicht\ h Der erste Fall entspricht "Polstellen" in p, der dritte Fall "Nullstellen" in p (g\/h==0 mod p) mit entsprechender Vielfachheit. \big\ Bemerkung:\normal\ In der Definition p\-adischer Zahlen wird mitunter zunächst die Bedingung a_i\el\ menge(0, ... , p - 1) für die Koeffizienten der formalen Reihe weggelassen und es werden allgemeine rationale a_i zugelassen. Das ergibt natürlich nur Sinn, wenn die a_i\el\ \IZ_((p)) sind, also der Nenner der a_i in gekürzter Darstellung nicht durch p teilbar ist. Dann muß man, um mit den p\-adischen Zahlen vernünftig rechnen zu können, die Gleichheit p\-adischer Zahlen mittels einer Äquivalenzrelation definieren. In diesem allgemeineren Fall werden zwei p\-adische Zahlen f, f' als gleich identifiziert, wenn für jedes n jeweils die Partialsummen s_n, s'_n in derselben Restklasse modulo p^n liegen. Im folgenden Abschnitt wird das formal konkretisiert.

 Zp und der projektive Limes

Ein Griff in die Werkzeugkiste der Kategorientheorie: der projektive Limes, auch inverser Limes genannt, umfaßt Strukturen einer Kategorie, welche durch Morphismen untereinander verbunden sind. Wir erklären zunächst den allgemeinen Begriff, bevor wir ihn für unser spezielles Thema definieren. \big\ Definition 3\normal\ {O_i\.}_(i\el\ I) sei eine Familie von Objekten einer Kategorie C\blue\big\void^4\black\normal\ \void, indiziert durch eine halbgeordnete Menge I. Weiterhin sei \Phi = menge(\phi_(ij) : O_i -> O_j) eine Menge von Morphismen in C mit \ \phi_(ii)(x) = x \forall\ x \el\ O_i \ \phi_(ik) = \phi_(jk)\circ\ \phi_(ij) \forall\ i > j > k. \blue\big\void^5\black\normal\ \void Das Paar \( menge(O_i)_(i\el\ I) , \Phi \) heißt projektives System von Objekten aus C und Morphismen in C über I. Auf menge(O_i)_(i\el\ I) haben wir damit eine transitive Relation durch die Morphismen vorgegeben: \ O_i <= O_j \ <=> \ \exists\ \phi_i\el\ \Phi:\ O_i -> O_j. \big\ Definition 4\normal\ Der projektive Limes O eines projektiven Systems \( menge(O_i)_(i\el\ I), \Phi \) ist die Menge aller Familien ((x_i))_(i\el\ I) mit x_i\el\ O_i für alle i\el\ I und der Eigenschaft \ i > j \ => \ \phi_(ij)(x_i) = x_j .
\big\ Bemerkung:\normal\ Der projektive Limes ist eine Unterstruktur des direkten Produkts aller O_i und gehört derselben Kategorie an. Es existieren die natürlichen Projektionen \ \pi_i : O -> O_i welche den projektiven Limes auf seine i\-te Komponente abbilden. Nun zu unserem speziellen Fall, dem projektiven Limes von Ringen, indiziert durch die natürlichen Zahlen. Wir betrachten das direkte Produkt von Ringen \lr(7)\ \void produkt(\IZ//(p^n\.\IZ),n=1,\inf ) = menge(((x_n))_(n\el\ \IN) : x_n \el\ \IZ//(p^n\.\IZ) \void^\void), zwischen den verschiedenen Ringen \IZ//(p^n\.\IZ) existieren Ringhomomorphismen, nämlich die kanonischen Projektionen \lambda_i : \IZ//(p^(i+1)\.\IZ) -> \IZ//(p^i\.\IZ): \lr(8)\ \void \IZ//(p\IZ) bigop(\textleftarrow,,,\lambda_1) \IZ//(p^2\.\IZ) bigop(\textleftarrow,,,\lambda_2) \IZ//(p^3\.\IZ) bigop(\textleftarrow,,,\lambda_3) \cdots Innerhalb dieses direkten Produktes (7) gibt es eine Teilmenge, deren Elemente ((x_n))_(n\el\ \IN) die Eigenschaft \lambda_n(x_(n+1)) = x_n für alle n besitzen. Diese Teilmenge wird als projektiver Limes der Ringe \IZ//(p^n\.\IZ) bezeichnet. Zusammenfassung und Schreibweise: \ \void lim(bigop(\normal\ n,,,\big\textleftarrow\normal),\IZ//(p^n\.\IZ)) = menge(((x_n))_(n\el\ \IN)\el\ produkt(\IZ//(p^n\.\IZ),n=1,\inf ) : \lambda_n(x_(n+1)) = x_n \forall\ n\el\ \IN) Als Teilring des direkten Produkts (7) ist der projektive Limes selbst ein Ring.

\small\void^4 Gruppen, Ringe, Körper, Moduln über demselben Ring, Algebren, Vektorräume, ...
\small\void^5 {\phi_(ij)\.} ist eine transitive Menge von Morphismen


Betrachten wir nun die ganzen p\-adischen Zahlen f = sum(a_i p^i,i=0,\inf ) statt als Folgen der ganzzahligen Partialsummen \ s_n = sum(a_i p^i,i=0,n-1) \el\ \IZ als Folgen der Restklassen \ \void s^-_n = s_n mod p^n \el \IZ//(p^n\.\IZ). Für die Glieder dieser Folgen ((s_n)) gilt \ \lambda_n(s^-_(n+1)) = s^-_n unter der kanonischen Projektion \lambda_n aus (8), oder anders ausgedrückt: \ m > n \ => \ \void s^-_m == s^-_n mod p^n Wir können \IZ_p mit lim(bigop(\normal\ n,,,\big\textleftarrow\normal),\IZ//(p^n\.\IZ)) identifizieren, wodurch sich \IZ_p als Ring erweist, denn als direkte Folgerung aus Satz 1 erhalten wir \big\ Satz 2\normal\ Die Abbildung \ \IZ_p -> lim(bigop(\normal\ n,,,\big\textleftarrow\normal),\IZ//(p^n\.\IZ)) \ f = sum(a_i p^i,i=0,\inf) |-> ((s^-_n))_(n\el\ \IN) mit \ \void s^-_n =sum(a_i p^i,i=0,n-1) mod p^n \el\ \IZ//(p^n\.\IZ) ist eine Bijektion. \big\ Bemerkung:\normal\ Addition und Multiplikation sind im Ring \IZ_p wohldefiniert, denn der projektive Limes ist Unterring eines direkten Produktes und übernimmt dessen komponentenweise Addition und Multiplikation. Der Ring \IZ_p ist nullteilerfrei, wir erhalten \IQ_p als den Quotientenkörper von \IZ_p\.. \IZ ist ein Teilring von \IZ_p , dabei hat jedes f\el\ \IZ eine endliche Darstellung \ f == sum(a_i p^i,i=0,n-1) mod p^n mit 0 <= a_i < p. \big\ Beispiel 4\normal\ \IZ\contains\ 35 = 1,10001 (2) \el\ \IZ_2 \ = (1,3,3,3,3,35,35,35,...) \el\ lim(bigop(\normal\ n,,,\big\textleftarrow\normal),\IZ//(2^n\.\IZ)) Man erhält natürlich für jede Primzahl p einen Ring \IZ_p bzw. einen Körper \IQ_p, unendlich viele, auch wenn man allgemein von \IQ_p an sich spricht. Legt man keine Primzahl p zugrunde, sondern allgemeiner eine beliebige natürliche, möglicherweise zusammengesetzte Zahl, dann spricht man von g\-adischen Zahlen, siehe z.B. [5]. Die g\-adischen Zahlen bilden genau dann einen Körper, wenn g eine Primzahlpotenz p^n ist, was letzlich gleiche Resultate wie für p liefert, so ist das Interesse an primen p begründet.

 Rechnen mit p-adischen Zahlen in PARI/GP

Manche Computer-Algebra-Systeme (CAS) verfügen über Funktionen zum Rechnen mit p-adischen Zahlen. Als Beispiel sei PARI/GP erwähnt. PARI/GP ist ein CAS, das sich insbesondere für zahlentheoretische Berechnungen eignet. Es ist unter Unix/Linux, Mac OS und Windows lauffähig. Als freie Software steht es unter der GNU General Public License, der Quellcode ist frei verfügbar, daher läßt es sich für viele Betriebssysteme compilieren und installieren. Es gibt auch fertige Pakete ohne die Notwendigkeit der Compilierung, z.B. für Windows, Mac OS X und Debian bzw. Ubuntu Linux. In letzterem benötigt die Installation nur eine einzige Befehlszeile in der Shell oder einige Mausklicks im Synaptic Installer. In PARI/GP gibt man p-adische Zahlen als ganzzahlige oder rationale Ausdrücke ein, zu denen O(p^n) addiert wird, wobei n die p-adische Genauigkeit angibt, die Anzahl signifikanter p-adischer Ziffern. Dokumentation findet man bei Interesse auf der oben verlinkten PARI/GP-Homepage. Man kann die gebräuchlichen arithmetischen Operationen in Qp durchführen, im folgenden in einer Beispielsitzung demonstriert. Zunächst wird die Darstellung von Zahlen aus Beispiel 1 kontrolliert: 108 in Z7 und 216 in Z5, danach wird das Produkt 12,314*1,203 in Q7 berechnet. \sourceon PARI/GP ? 108+O(7^3) %1 = 3 + 7 + 2*7^2 + O(7^3) ? 216+O(5^4) %2 = 1 + 3*5 + 3*5^2 + 5^3 + O(5^4) ? m = 7^-1 + 2 + 3*7 + 7^2 + 4*7^3 + O(7^10) %3 = 7^-1 + 2 + 3*7 + 7^2 + 4*7^3 + O(7^10) ? n = 1 + 2*7 + 3*7^3 + O(7^10) %4 = 1 + 2*7 + 3*7^3 + O(7^10) ? m*n %5 = 7^-1 + 4 + 4*7^2 + 6*7^3 + 4*7^4 + 5*7^5 + 5*7^6 + 7^7 + O(7^9) \sourceoff Das Ergebnis ist also 14,0464551 (7). Diese Zahl können wir mit der lift-Funktion als rationale Zahl darstellen: \sourceon PARI/GP ? lift(m*n) %6 = 10553796/7 \sourceoff Auch transzendente Funktionen sind implementiert, z.B. der p-adische Logarithmus und die Exponentialfunktion: \sourceon PARI/GP ? x = 341 + O(7^8) %7 = 5 + 6*7 + 6*7^2 + O(7^8) ? log(x) %8 = 5*7 + 5*7^2 + 5*7^3 + 3*7^5 + 3*7^6 + 2*7^7 + O(7^8) ? exp(%8) %9 = 1 + 5*7 + 2*7^3 + 3*7^4 + 2*7^5 + 5*7^6 + 7^7 + O(7^8) ? (x/%9)^6 %10 = 1 + O(7^8) \sourceoff x/exp(log(x)) ist nämlich eine (p-1)-te Einheitswurzel. Definition und Eigenschaften der p-adischen Exponential- und Logarithmusfunktion finden sich z.B. hier auf PlanetMath. Die Grafik der Einführung visualisiert die Approximation der Quadratwurzel von 2 in den 7-adischen Zahlen. Die Zahlenwerte dieser Grafik und das Ergebnis aus Beispiel 3 wurden mit PARI/GP berechnet und mit PGF/TikZ in LaTeX gesetzt. Ein Ausschnitt der Berechnung: \sourceon PARI/GP ? lift(sqrt(2+O(7^4))) %11 = 2166 ? sqrt(2+O(7^12)) %12 = 3 + 7 + 2*7^2 + 6*7^3 + 7^4 + 2*7^5 + 7^6 + 2*7^7 + 4*7^8 + 6*7^9 + 6*7^10 + 2*7^11 + O(7^12) \sourceoff Wer PARI/GP nicht installieren kann oder möchte, der kann z.B auf The SAGE Notebook unter SAGE mit dem PARI/GP-Interface für SAGE online rechnen.

Diese Einführung entwickelte die p-adischen Zahlen mit algebraischen Mitteln als formale Objekte. Rein über Kongruenzbetrachtungen wäre eine zahlentheoretische Herleitung auch möglich. Eine schöne topologische Herangehensweise ist die Konstruktion von Qp als Vervollständigung der rationalen Zahlen Q, analog zur Konstruktion der reellen Zahlen R als Komplettierung von Q. Bei Interesse mag vielleicht ein Zusatz hierfür folgen.

        StefanK


 Literatur und Links

Bücher

[1] George Bachman, Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory,
      Academic Press, New York, 1964

[2] Fernando Q. Gouvea, p-adic numbers, Springer, 1993

[3] Kurt Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen, Teubner, 1908 (online lesbar)

[4] Kurt Hensel, Zahlentheorie, Göschen, 1913 (online lesbar)

[5] Kurt Mahler, Lectures on Diophantine Approximations, Notre Dame, 1961
      (online lesbar)

[6] Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992

Skripte

[7] A. J. Baker, An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis, Glasgow, 2004

[8] Ç.K. Koç, A Tutorial on p-adic Arithmetic, Oregon, 2002

[9] K. Mathiak, Bewertungstheorie, Braunschweig, 1993

Weblinks

[10] PARI/GP

[11] MathWorld: p-adic numbers u.a.

[12] PlanetMath: p-adic integers, p-adic exponential and p-adic logarithm

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p-adische Zahlen [von Stefan_K]  
Einführung in die p-adischen Zahlen, mit funktionentheoretischer Motivation und algebraischer Konstruktion, ergänzt durch Demonstration von Berechnungen durch ein Computer-Algebra-System.
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201305-05 (49x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=primfaktorzerlegung p-adische polynome
201301-01 (47x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zp p primzahl ring n/m p teilt nicht m
201205-05 (44x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zahlendarstellung adisch rechner
201203-03 (44x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CFsQFjAH
201502-02 (43x)http://google.si/url?sa=t&rct=j&q=
201405-05 (40x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=
201302-02 (39x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wurzel aus 2 7-adisch
201501-01 (39x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=p adische zahlen
201202-02 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist polynom der p adischen darstellung
201207-07 (36x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=stellen der p adische entwicklung
201306-06 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=reelle zahlen nicht p adisch
201506-06 (34x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CC0QFjAD
201307-07 (32x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=projektiver limes multiplikation ring
201201-01 (29x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=reelle zahlen p-adische darstellung
201407-07 (29x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=adische zahlen
201210-10 (28x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=p-adische darstellung beispiel
201406-06 (28x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCgQFjAE
201507-07 (27x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
201303-03 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=p-adische approximation wurzel 2
201208-08 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechnen polynome p-adic
2020-2021 (17x)https://duckduckgo.com/
2020-2021 (16x)https://www.ecosia.org/
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201209-09 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=ring der p-adischen ganzen zahlen
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2020-2021 (10x)https://www.startpage.com/
202109-09 (10x)https://google.com/
202008-08 (9x)https://google.com/search?q=p adische zahlen
201702-11 (8x)http://google.de/
201511-11 (7x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&rct=j&q=p adische zahl
201604-04 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=p adische zahlen
201311-12 (6x)http://start.iminent.com/StartWeb/1031/toolbox/
201603-03 (5x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=padische zahlen beweise
2020-2021 (4x)https://duckduckgo.com
2013-2014 (4x)http://r.duckduckgo.com/l/?kh=-1
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"Stern Mathematik: p-adische Zahlen" | 14 Comments
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Re: p-adische Zahlen
von: haha am: Fr. 21. Dezember 2007 16:27:17
\(\begingroup\)Schön, dass es hier auch mal einen Artikel über die p-adischen Zahlen gibt. Leider kann man den projektiven Limes, so wie du ihn definiert hast, für beliebige Kategorien nicht definieren. Die Objekte müssen ja keine Mengen sein. Entweder müsstest du also den projektiven Limes über seine universellen Eigenschaft definieren (um allgemein zu bleiben), oder dich z.B. auf die Kategorie der abelschen Gruppen einschränken. I.A. ist es übrigens nicht klar, dass der projektive Limes irgendeines Diagrammes in einer Kategorie existiert. \(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: owk am: Fr. 21. Dezember 2007 18:05:41
\(\begingroup\)Siehe Fußnote 4. (Allerdings sollte man in der Tat die Körper da noch herausnehmen, sie sind nicht gleichungsdefiniert.) owk\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: huepfer am: Fr. 21. Dezember 2007 19:12:07
\(\begingroup\)Hallo Stefan, ich finde es schön, hier auch mal was über p-adische Zahlen zu lesen. Du schreibst in der Einleitung, dass sich die p-adischen Zahlen wesentlich von den reellen Zahlen unterscheiden. Im Text suche ich allerdings vergeblich nach einer Erklärung dafür. Könntes Du das vielleicht noch nachholen? Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: Ex_Mitglied_5557 am: Fr. 21. Dezember 2007 20:31:10
\(\begingroup\)@Felix: Nun, die ultrametrische Ungleichung |x+y|<=max(|x|,|y|) verändert die Analysis doch ganz schön. Natürlich kannst du analog dem reellen Fall z.B. Potenzreiehen definieren, aber die Exponentialfunktion hat dann z.B. nur noch endlichen Konvergenzradius, während automatisch jede Reihe, deren Summanden eine Nullfolge (im p-adischen Sinne) bilden, konvergiert. Cyrix\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: huepfer am: Fr. 21. Dezember 2007 20:59:39
\(\begingroup\)@cyrix, das ändert in der Tat einiges. An genau so etwas hatte ich gedacht. Vielen Dank. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: Stefan_K am: Fr. 21. Dezember 2007 21:39:37
\(\begingroup\)Hallo, danke für die anregenden Kommentare! Die Existenz des projektiven Limes für bestimmte Kategorien habe ich nicht weiter verfolgt, da er hier nur für Ringe benötigt wird. Wie Cyrix schon bemerkte, dass der p-adische Absolutbetrag der verschärften Dreiecksungleichung genügt und damit nicht-archimedisch ist, verändert die Analysis der p-adischen Zahlen erheblich gegenüber IR. Es wird nicht mehr die "Größe" einer Zahl gemessen, sondern die Teilbarkeit durch p. So liegt 1000001 2-adisch sehr nahe an 1, während 1 und 0 sehr weit auseinanderliegen. Oder die Reihe 1+2+4+8+16+32+... konvergiert 2-adisch gegen -1. Um mehr zu zeigen, sollte man noch die Metrik in Qp besprechen. Die rationalen Zahlen lassen sich nach einem Satz von Ostrowski nur zu den reellen Zahlen oder zu einem p-adischen Zahlenkörper vervollständigen. Letztere gibt es unendlich viele, daher ist eigentlich der reelle Zahlenkörper der Ausnahmefall... Da jetzt erstmal Weihnachten und Familie kommen, werde ich wohl erst nach den Feiertagen zum Lesen weiterer Kommentare sowie Schreiben kommen. Viele Grüße, StefanK \(\endgroup\)
 

p-adische Zahlen: pdf-Version
von: Stefan_K am: Mo. 31. Dezember 2007 16:49:59
\(\begingroup\)Hallo, der Artikel ist nun auch mit LaTeX gesetzt in einer pdf-Version verfügbar: hier. Die pdf-Datei habe ich nicht direkt als Artikel-Anlage auf matheplanet.de gespeichert, weil hier der Zugriff eingeschränkt ist, nach meiner Kenntnis dürfen Suchmaschinen die pdf-Downloads nicht indizieren. Viele Grüße, StefanK \(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 02. Mai 2015 19:55:48
\(\begingroup\)Hi, ich habe ne Frage bzgl. der Konstruktion.Wieso betrachtet man anfangs nur die "für p ganzen Zahlen", ich sehe ein, dass wenn man im Nenner ein Teiler von p hat zieht man den raus und man kann sich darauf berufen, dass man ja schon eine Darstellung für "p ganze Zahlen" hat. Aber inwieweit bringt der Satz 1 mir was, und wieso bestimmt eine für p ganze Zahl eine Folge $s_n$ von Restklassen $ s_n = f~mod ~ p^n$. Das Beispiel mit 31/4 versteht ich schon, aber ich seh die Verbindung mit der Theorie nicht. \(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: AlanTuring am: Sa. 02. Mai 2015 20:00:38
\(\begingroup\)Wer kennt sich noch mit dem Thema aus? ^^\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: xiao_shi_tou_ am: Di. 19. Mai 2015 18:43:41
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Meinst du wirklich einen "Teiler von p", von denen es modulo Vorzeichen nur 1 und p gibt, oder meinst du vielleicht eine Potenz von p? Warum man anfangs nur "fuer p ganze Zahlen nimmt": Im Artikel wird die p-adische Entwicklung einer rationalen Zahl f definiert ueber die Koeffizienten ai. Man bekommt diese Koeffizienten, indem man Satz 1 anwendet und f modulo immer hoeheren Potenzen nimmt. Diese Prozedur funktioniert aber nicht, wenn der Nenner durch p teilbar ist, weil man dann im Quotientenring durch 0 teilen wuerde. Dieses Problem laesst sich aber einfach dadurch umgehen, dass man die Potenz von p im Nenner erst ausklammert, die Koeffizienten bestimmt, und dann die Potenz wieder dazumultipliziert. Restklassen und Satz1: Wenn f eine "fuer p ganze Zahl" ist, dann kann man durch die Projektionen modulo p^k die Restklassen f mod p^k bekommen. Aus Satz 1 folgt eine Darstellung jeder Restklasse sn durch die Koeffizienten ak und aus der Eindeutigkeit dieser ak folgt, dass sich die Koeffizienten die bei der Projektion mod p^(k+1) -> mod p^k nicht verschwinden, sich nicht aendern. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte =). lg Daniel\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: AlanTuring am: Sa. 13. Juni 2015 16:00:22
\(\begingroup\)Hi, danke für die Antwort, ich war das mit der Frage^^. Ich meinte wohl Vielfaches von p. Bspw.: 1/10: $1/10 \equiv~ x~ mod~ 5 $, x suchen durch multiplizieren mit 10: $1 \equiv 10\cdot x~ mod~ 5$, was ja für kein x erfüllt ist. Bei allen anderen Brüchen funktioniert das ja so. Was meinst du jetzt mit Quotientenring - die Menge der für p ganzen Zahlen ? D.h. die Division für p bzw. kp, was kongruent zu 0 ist, im Nenner bei einer zahl f = g/h, mit g,h für p-ganze Zahlen? Ok dann versteh ich das mit dem ausklammern und späteres dranmultiplizieren. Das ganze mit der Projektion und den Limes muss ich mir noch genauer angucken, das verstehe ich noch nicht wirklich. \(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: AlanTuring am: Di. 16. Juni 2015 22:26:34
\(\begingroup\)Ok, habe das jetzt eigentlich verstanden. Aber wie zeigt/beweist man genau/formal die Bijektion $Z_p \rightarrow lim Z/p^nZ$? Irgendwie ist es doch logisch, da man einfach die Zahl auf ihre Folgen von Restklassen abbildet. Die Glieder der Folgen der Partialsummen sind ja im Prinzip identisch mit denen der Folgen der Restklassen (nur das man sie im modulo Körper betrachtet, aber ändern tut sich da ja nichts). Was genau/Wie genau muss man dann da die Bijektion begründen? Und das diese Teilmenge ein Teilring ist, muss man doch eigentlich auch erst beweisen. \(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: AlanTuring am: Di. 23. Juni 2015 00:13:59
\(\begingroup\)ok, habe das nun auch verstanden, aber stehe hierbei auf den Schlauch: bei (6) (die Bemerkung). Inwieweit sieht man, dass Q nach Qp injektiv ist und was heißt Q mit Bild in Qp identifizieren, sodass Q teilmenge von Qp und Z Teilmenge von Zp ?\(\endgroup\)
 

Re: p-adische Zahlen
von: Gockel am: Do. 25. Juni 2015 18:39:39
\(\begingroup\)@AlanTuring: Das kann man z.B. herausfinden, indem man nachprüft, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist (d.h. $i(a+b)=i(a)+i(b)$, $i(ab)=i(a)i(b)$ und $i(1)=1$ erfüllt. Da nämlich $\IQ$ ein Körper ist, sind Ringhomomorphismen aus $\IQ$ in andere Ringe stets injektiv oder Null. Und weil $i$ offenkundig nicht konstant Null ist, muss es somit eine Einbettung sein. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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