Mathematik: Fakultät(0)
Released by matroid on Sa. 05. Januar 2008 18:02:49 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) In der Regel wird zusätzlich zur Definition der Fakultät als \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) noch 0! =1 festgelegt; plausibel wird diese Definition von 0! u.a. mit 0! =1!/1=1 gemacht. Prinzipiell scheint aber wegen des definitorischen Charakters von 0! dieser Wert frei wählbar zu sein. Tatsächlich ist dem nicht so, man kann 0! berechnen, die übliche (zusätzliche) Definition ist also redundant.

Hintergrund der Überlegung ist folgendes: Für ein Integral und eine Summe mit jeweils gleicher oberer und unterer Grenze kommt jeweils ein anderer Wert heraus, genauer ist int(f(x),x,a,a)=0 und sum(f(k),k=a,a)=f(a). Um nun auch eine Summe analog zum Integral zu Null zu machen, muss also die Gleichung mit f(a) subtrahiert werden, man erhält sum(f(k),k=a,a-1)=0. Entscheidend ist hier, dass die obere Grenze 1 niedriger als die untere Grenze ist; diese Gleichung gilt prinzipiell. Nun kann man dies für die Berechnung von 0! wie folgt benutzen: ln n! = ln 1 + ln 2 + ... + ln n = sum(ln k, k=1, n) bzw. n! = exp(sum(ln k, k=1,n)) für n=0 ergibt dies also 0! = exp((sum(ln k, k=1, 0) = 0)) = 1 qed. bye trunx
\(\endgroup\)
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"Mathematik: Fakultät(0)" | 33 Comments
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Re: Fakultät(0)
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 05. Januar 2008 18:14:00
\(\begingroup\)Hallo trunx. Das müsste dir eigentlich sofort auffallen, aber wenn n! für n=0 (noch) nicht definiert ist, dann ergibt es keinen Sinn, den Wert von 0! aus einer Gleichung herleiten zu wollen. Um etwas wie 0! = exp(\S||\small\ array(0;k=1)\normal ln(k)) schreiben zu können, muss man erstmal wissen, was 0! ist. Das ist genau wie mit allen solchen Gleichungen: Man muss zuerst wissen worüber man redet, bevor man drüber reden kann. \:\-\) Im Übrigen lautet eine saubere Definition für die Fakultät \("sauber" = "ohne Pünktchen"\): \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) Dann ist ebenfalls 0! = 1 mit eingeschlossen. \(Bei mir ist 0\in\IN\) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Monkfish am: Sa. 05. Januar 2008 18:19:41
\(\begingroup\)Hallo trunx 😄 \ Deine Argumentation überzeugt mich nicht. Die Gleichung ln n! = ln 1 + ln 2 + ... + ln n = sum(ln k, k=1, n) gilt zunächst nur für n>=1. Fernerhin ist sum(a_k, k=a, a-1)=0 auch nur eine weitere (wenn auch nützliche\/sinnvolle) Konvention. Plausibler erscheint mir in diesem Kontext, die Gammafunktion zuhilfe zu nehmen. Bekanntermassen ist ja \Gamma(n)=(n-1)! für n>=1 und \Gamma(1)=1. Gruss \(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Sa. 05. Januar 2008 18:50:17
\(\begingroup\)@gockel:diese Definition \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) habe ich vorausgesetzt; doch wie gesagt, in der Regel folgt daraufhin die Zusatzdefinition von 0!=1. Ich wollte zeigen, dass dies unnötig ist also der Wert für 0! bereits aus der genannten Definition folgt. @monkfish: meine Überlegung war nun gerade die, dass die Summe von 1 bis 0 (allg. von a bis a-1) eben verschwindet. Dies ist für mich einsichtiger als die äquivalente Überlegung, dass das Produkt von a bis a-1 über welche Funktion auch immer produkt(f(k),k=a,a-1)=1 sein soll (auch damit wäre man sofort bei 0!=1). Warum? Eine for-Schleife wird auch nicht (mehr) durchlaufen, wenn der Startwert gerade um eins höher als der Endwert ist - es gibt also keine Beiträge mehr zu dem, was immer in der Schleife zu erledigen war. Und bei "kein" liegt mir halt die Null näher als die 1. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Ex_Mitglied_5557 am: Sa. 05. Januar 2008 18:58:50
\(\begingroup\)@trunx: Nun, das leere Produkt als 1^zu definieren, macht durchaus Sinn (aus analogem Grund wie die leere Summe mit 0 zu identifizieren): Es ist einfach das neutrale Element bezügl. der entspr. Verknüpfung (und "tut also nichts"). :) Cyrix\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Knaaxx am: Sa. 05. Januar 2008 19:57:59
\(\begingroup\)Aus einer Definition der Art \ \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) ,n>=1 folgt nichts für n=0. Ich könnte 0! =i definieren. \(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Sa. 05. Januar 2008 20:32:55
\(\begingroup\)@knaaxx: deine Definition hat die zusätzliche Einschränkung n>=1 von der ich zeigen wollte, dass sie nicht notwendig ist. @cyrix: du hast natürlich Recht :-), trotzdem liegt mir leere Summe = 0 näher. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: viertel am: Sa. 05. Januar 2008 20:55:06
\(\begingroup\)"In der Regel wird zusätzlich zur Definition der Fakultät als n! = 1*2*...*n noch 0!=1 festgelegt." Schreiben wir es doch mal vollständig hin: Forall(n\el\IN_>=1)n! :=prod(k,k=1,n) Damit darfst Du 0! ja noch nicht mal schreiben, denn es ist gar nicht definiert. Geschweige denn kannst Du es ausrechnen. Lediglich die Zusatzdefinition 0! :=1 hinzu nehmen. Gruß vom 1/4\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Sa. 05. Januar 2008 21:48:25
\(\begingroup\)@viertel: auch du nimmst für die Definition der Fakultät explizit die Null aus den natürlichen Zahlen raus, was dann logischerweise die Zusatzdefinition 0!=1 erforderlich macht. Dies ist aber nicht nötig, wenn man die Null eben nicht rausnimmt.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Knaaxx am: So. 06. Januar 2008 01:31:18
\(\begingroup\)Wenn du hieraus \ \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) ,n>=1 0! nicht herleiten kannst, dann muss sie durch die "Andere" Definition definiert werden, oder sie ist ebenfalls nicht ableitbar. Im Übrigen bin ich entgegen manch anderer Darstellung der festen Meinung 0 sei keine natürliche Zahl.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: So. 06. Januar 2008 13:16:06
\(\begingroup\)ok, ich formuliere den Sachverhalt nochmal etwas anders, vllt wird meine Intention für den Artikel dadurch deutlicher. Man könnte die Fakultät auch wie folgt definieren: 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 \forall\ n\in\IN, n>=4: n! := produkt(k,k=1,n) auch hierbei könnte man nun 0!, 1!, 2! und 3! frei wählen, aber dies widerspräche der inneren Logik der Funktion für meisten anderen natürlichen Zahlen (wie sie z.B. in der Gammafunktion zum Ausdruck kommt). In der obigen Formulierung entsprechen nun die einzelnen Definitionen dieser inneren Logik - dennoch widerspricht sie einem anderen Prinzip, dem sog. Ockhamschen Messer oder dem Sparsamkeitsprinzip: von mehreren Aussagen, die den gleichen Sachverhalt betreffen, ist die einfachste zu bevorzugen. Aus eben diesem Grund und das wollte ich darstellen, reicht als Definition für die Fakultät: \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) wobei selbstverständlich aus dem nämlichen Sparsamkeitsprinzip die Zahl Null eine natürliche Zahl ist (was sollte sie denn sonst sein - eine reele Zahl? Aber wenn sie "nur" eine reele Zahl wäre, was hat sie dann in der Zahlentheorie verloren? Also gehört die Null einer anderen Zahlenkategorie an, die erst noch definiert werden müßte?). bye trunx \(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: robbe am: So. 06. Januar 2008 20:58:16
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Hofmann am: So. 06. Januar 2008 22:26:46
\(\begingroup\)Lieber trunx, wenn ich bei deiner Herleitung n=-3 setze, habe ich die leere Summe. Und ich erhalte (-3)! = exp(0) = 1\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Jonathan_Scholbach am: So. 06. Januar 2008 23:17:47
\(\begingroup\)Hallo trunx, ich verstehe, was Du willst, und halte eine solche Plausibilisierung für sinnvoll. Denn dem Laien ist sicherlich nicht unbedingt klar, warum 0! = 0 nicht ebenso plausibel wäre. Vielleicht wäre es klüger gewesen, nicht qed darunter zu schreiben. Dann würden sich die "Puristen" (man kann diesen Begriff übrigens [auch] als Lob auffassen) nicht so sehr daran aufhalten, denke ich. Vielleicht wäre es auch klüger gewesen, mehr (als Du es bereits getan hast) zu betonen, daß man nicht 0! ausrechnen will (woher sollte man das können, wenn man keine Definition dafür hat), sondern daß man plausibilisieren will, warum die Wahl in Wirklichkeit keine Wahl sondern kanonisch ist. Das Argument von Hofmann halte ich für schwerwiegender. Gibt es vielleicht noch ein allgemeineres Konzept, mit dem man dieses Problem los wird?\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Gockel am: So. 06. Januar 2008 23:36:39
\(\begingroup\)@Hofmann: Aus diesem Grund ist n dort auf natürliche Zahlen eingeschränkt. Für negative Zahlen macht man diese Definition nicht mehr, weil das die schönen Eigenschaften, die man sonst hat, zerstört. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Mo. 07. Januar 2008 17:05:21
\(\begingroup\)@jonathan: gut, das stimmt, ich hätte vllt wirklich auf das "qed." verzichten sollen...allerdings ist genau genommen jede Ableitung aus einer/mehreren Definition/en bestimmter Sachverhalte ein Satz. @gockel: danke. @robbe: dein Argument läuft darauf hinaus, die Eins erst bei der Definition der rationalen Zahlen zu zulassen...\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: robbe am: Mo. 07. Januar 2008 19:51:47
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Knaaxx am: Mo. 07. Januar 2008 21:09:25
\(\begingroup\)jonathan: gut, das stimmt, ich hätte vllt wirklich auf das "qed." verzichten sollen...allerdings ist genau genommen jede Ableitung aus einer/mehreren Definition/en bestimmter Sachverhalte ein Satz. Auch wenn du es noch mehrfach betonst, es wird keine Ableitung. Es ist entweder definiert, oder es gilt nicht. Ist es definiert gibts nichts abzuleiten. Es ist auch kein redundantes Doppelgemoppel bei der "Definition mit dem Angehängten für n=0". Dort ist schlicht und einfach IN so benutzt wie es in historischer Weise benutzt wird. Es muss nicht jeder dem neuesten Schrei hinterherlaufen.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: owk am: Mo. 07. Januar 2008 21:38:13
\(\begingroup\)@Hofmann: Deshalb lässt man bei derartigen "leeren" Summen meistens auch nur den Fall "oberer Index = unterer minus 1" zu. owk\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Di. 08. Januar 2008 11:59:37
\(\begingroup\)@knaaxx: der Punkt ist doch der: bei der Definition der Fakultät mittels \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) ist das Ergebnis nach Einsetzen von n=0 (im Gegensatz zu allen anderen natürlichen Zahlen) nicht offensichtlich - eine Null als Faktor in einem leeren Produkt - das ist nicht ohne weiteres 1. Dies scheint mir die Motivation für die übliche Definition zu sein, eben zusätzlich nochmal 0! einzeln zu definieren. Was ich nun in meinem Artikel zum Ausdruck bringen will ist, dass 0! zwar nicht offensichtlich, aber dennoch implizit mit definiert wurde. Und "implizit" bedeutet, dass es zusätzlicher Überlegungen, also Ableitungen (so klein sie auch sein mögen) bedarf. Nichts an der obigen Definition legt nahe, den natürlichen Logarithmus des (zunächst abstrakten) Produkts zu bilden und dann die Summe zu betrachten und auszuwerten - diese Rechnung ist also eine Ableitung aus der Definition (ich spreche von logischer und nicht von analytischer Ableitung). ps: die Null wurde bekanntermassen von Fibonacci 1202 in Europa eingeführt - so neu ist der Schrei also nicht 😄\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: owk am: Di. 08. Januar 2008 12:15:47
\(\begingroup\)Das fragliche leere Produkt enthält ja den Faktor 0 ja gar nicht (sonst wäre es nicht leer). Du verlagerst das Problem wirklich nur, genausogut könntest Du anzweifeln, dass eine leere Summe "mit Summand log 0 = −∞" wirklich null ist. Generell sollten sich Definitionen in Randfällen weniger danach richten, ob es eine Formulierung der Definition gibt, die sie mit abdeckt, sondern primär nach der Zweckmäßigkeit. 0! = 1 ist "gut", z.B. weil man damit Binomialkoeffizienten als n!/(k! (n−k)!) darstellen kann, oder weil die Summanden der Exponentialreihe einheitlich als xk/k! geschrieben werden können. Ein weiteres Argument wäre die Gleichheit von k! und der Anzahl der bijektiven Selbstabbildungen einer k-elementigen Menge, allerdings führt man dann das Problem nur darauf zurück, die Zweckmäßigkeit von "leeren" Abbildungen nachzuvollziehen. owk\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Di. 08. Januar 2008 14:21:07
\(\begingroup\)@owk: ich glaub langsam nähern wir uns einer Klärung an - die Null erzeugt sozusagen in meiner Definition eine andere Qualität, sie ist, wie du richtig sagst, nicht wie bei den anderen natürlichen Zahlen ein Faktor, sondern macht aus dem Produkt insgesamt ein leeres Produkt. Und wie bereits weiter oben gesagt, ist natürlich das leere Produkt eins, aber für mich ist das weniger offensichtlich als das Verschwinden der leeren Summe.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Di. 08. Januar 2008 19:50:58
\(\begingroup\)So, ich habe nun den Artikel noch etwas abgeändert, ich hoffe, dass jetzt die Dinge klarer erscheinen. vielen Dank an alle, die sich die Mühe gemacht und hier an der Diskussion beteiligt haben. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 15. Januar 2008 16:46:02
\(\begingroup\)Ob die Abänderung des Artikels etwas zu dessen Qualität beigetragen hat, wage ich einfach mal zu bezweifeln. trunx will es nicht verstehen, dass es so keinen Sinn macht...\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: huepfer am: Di. 15. Januar 2008 19:45:45
\(\begingroup\)Eigentlich ist die Diskussion etwas haarspalterisch. In der Tat dürfte es klar sein, dass es nötig ist 0! zu definieren. Insofern kann ein solcher Artikel auch nur eine Motivation handeln. Ich kann mich noch gut daran erinnern, was diese Definition bei uns in der Schule für Tumulte ausgelöst hat, als sie von den mathelehrern eingeführt wurde. Da war nur von Blödsinn und Unfug die Rede. Daher finde ich eine solche Motivation garnicht schlecht auch wenn ich persönlich die von Gockel angesprochene Interpolation der Gammafunktion und ihrer Funktionalgleichung bevorzuge. Nur wie soll man das einem Schüler vermitteln? Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Di. 15. Januar 2008 21:10:40
\(\begingroup\)@anonymer: ich bitte darum, sachlich zu bleiben 😄 @felix: Gockel hat in seinem ersten Kommentar selbst als ausreichende Definition für die Fakultät exakt dieselbe Definition hingeschrieben, die auch ich in meinem Artikel verwende - und ist wie ich der Meinung dass 0! darin enthalten ist. Was ich in meinem Artikel darüberhinaus mache ist lediglich diese Meinung zu untermauern; wie das jeder einzelne macht ist aber letztlich ihm selbst überlassen - m.a.W. wer das leere Produkt für ausreichend hält (was es ja auch ist) und daher bevorzugt, nur zu.\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Di. 15. Januar 2008 21:32:08
\(\begingroup\)achso, ich hab grad erst die Antwort von robbe gelesen, hier dazu mein Re (sorry, dass es so spät kommt): wenn man die Null erst für die ganzen Zahlen, nämlich als neutrales Element für die Addition/Subtraktion definiert, dann ist das überspitzt formuliert das Gleiche, als würde man erst bei der Definition der rationalen Zahlen die Eins als neutrales Element von Multiplikation/Division einführen...was ich damit meine ist: die "spätere" Eigenschaft der Null als neutrales Element bzgl. Addition/Subtraktion innerhalb der ganzen Zahlen ist kein Argument gegen das Enthaltensein der Null in IN. Im übrigen sei hier auf den schönen Artikel von Martin verwiesen, in dem wie ich finde, sehr klar dargestellt wird, warum die Null eine natürliche Zahl ist. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: huepfer am: Di. 15. Januar 2008 21:55:45
\(\begingroup\)Hallo trunx, ich denke, dass unsere Meinungen da garnicht so weit außeinander liegen. In der Regel wird es doch so gehandhabt, dass man die 0 zu den natürlichen Zahlen hinzuzählt oder nicht, wie es gerade praktischer ist. Und ja, hier ist es praktisch, sie dazu zu nehmen. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das in Martins Artikel angesprochen wird, aber ein Grund die 0 zu den natürlichen Zahlen zu zählen, ist der, dass die natürlichen Zahlen mit der 0 und der Addition als Verknüpfung die Struktur eines Monoids bilden. Ohne die 0 ist das nur für die Multiplikation der Fall, die aber eigentlich nicht so "natürlich" ist, wie das bei der Addition der Fall ist. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: Knaaxx am: Mi. 16. Januar 2008 07:32:09
\(\begingroup\)Ich fasse mal zusammen \ Es gilt per Def 1! = 1 Nun gilt ln(1!) = ln(1) = sum(ln(k),k=1,1) bzw. 1! = exp(sum(ln k, k=1,1)) für n=0 ergibt dies also 0! = exp((sum(ln k, k=1, 0) = 0)) = exp(0)= 1 Es braucht demnach nur 1! = 1 definiert sein um 0! herzuleiten. \(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: kostja am: Mi. 16. Januar 2008 10:39:23
\(\begingroup\)n! Ist Anzahl der Möglichkeiten n verschiedene Objekte anzuordnen. Dies lässt sich für n > 1 induktiv beweisen. Da es genau 1 Möglichkeit gibt, keine Objekte anzuordnen (sehr überspitzt), ist es sinnvoll 0! := 1 zu definieren. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Mi. 16. Januar 2008 14:17:53
\(\begingroup\)@knaaxx: es ist zwar korrekt, was du schreibst, doch in deiner Definition macht es keinen Sinn, den Logarithmus geschweige denn die Summe zu bilden, weil nämlich kein Produkt in deiner Definition vorkommt 😉 @kostja: ja, das ist auch eine sehr gute Motivation für 0!=1 , obgleich sie auf eine Erklärung ausserhalb der Definition zurückgreift (nämlich eine spezielle Anwendung). bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Mi. 16. Januar 2008 17:50:28
\(\begingroup\)Hallo, mir fällt gerade zur Diskussion, ob die Null zu den natürlichen Zahlen zu rechnen ist oder nicht noch nebenbei ein, dass ich die Null als nullstellige Zahl betrachte... bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Fr. 30. Mai 2008 16:55:45
\(\begingroup\)Hi, ich finde die hier im Artikel gegebene Begründung für 0!=1 nach wie vor richtig, zumal man im Internet auch Argumente für 0!=0 finden kann (Ansatz: Stetigkeitsbetrachtung von f(x)=n!/(n-x)! \.) Einfach mal mit "Null Fakultät" oder ähnlichem googlen. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Fakultät(0)
von: trunx am: Sa. 02. August 2008 21:29:27
\(\begingroup\)Hallo an alle, leider ist mir eben ein sehr unschöner Schönheitsfehler im Artikel aufgefallen, s.d. ich eigentlich den ganzen Artikel am liebsten zurück ziehen würde ☹️ Ich bin nur froh, dass ich ihn selbst entdeckt habe - ich schreibe ja, dass sum(f(k),k=a,a-1)=0 universell gilt, aber das stimmt nicht, f(k) sollte schon im Bereich [a-1,a] definiert sein - und ln(0) ist eben nicht definiert... bye trunx\(\endgroup\)
 

 
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