Mathematik: Primzahlzwillinge
Released by matroid on Do. 24. Januar 2008 13:44:32 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) PRIMZAHLZWILLINGE Zwillinge, ja sogar Primzahlzwillinge sind schon ein seltsames Gebilde... 1. MOTIVATION Zwillinge, ja genauer Primzahlzwillinge, wozu dienen sie? Steckt ein Sinn dahinter, oder sind sie nur eine Definition? Wieso soll man sich mit Primzahlzwillingen beschäftigen, worin liegt der Sinn darin? Obgleich Primzahlzwillinge in meinen Augen bisher nicht sehr viel hergeben, war es doch sehr interessant, spannend und vor allem lehrreich, sich mit diesen unscheinbaren aber faszinierenden Individuen aus dem Bereich der Zahlentheorie, innerhalb der Klasse der Primzahlen, auseinander zu setzen. Und wer weiss, eventuell wird es ja eines Tages möglich sein, der zentralen Behauptung im Kapitel 4, über die Existenz von unendlich vielen Primzahlzwillingen einen Beweis hinzuzufügen, was bis anhin, leider noch nicht möglich ist.

2. PRIMZAHLEN (2.1) Definition Eine Zahl p heisst Primzahl, falls p nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann. (2.2) Beispiele 2,3,5,7,11,... (2.3) Satz Es existieren unendlich viele Primzahlen Beweis (Ich gebe hier nur einen von vielen Beweisen wieder, jedoch jenen, der mir persönlich am besten gefällt:) Annahme es existieren endlich viele Primzahlen p_1, ...p_n Dann sei m:= p_1 * p_2 *...*p_n. m+1 wird nun nach dem Satz der eindeutigen Primfaktorisierung von den Primteilern q_1 bis q_k geteilt. Es gilt nun, dass für alle q_j ein i in zwischen 1 und n existiert, so dass gilt: q_j=p_i. Damit teilt q_j m und m+1 und damit auch 1. Widerspruch. Also gibt es nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele Primzahlen. (q.e.d)
3. PRIMZAHLZWILLINGE (3.1) Definition Ein Paar [p,q] heisst Primzahlzwilling, falls p und q Primzahlen sind und q=p+2 Ein Tripel [p,q,r] heisst Primzahldrilling, falls p, q und r Primzahlen sind und q=p+2 und r=q+2 gilt Ein n-Tupel [p_1 , p_2 , ... , p_n ] heisst Primzahl-n-ling, falls p_1 , p_2 , ... , p_n Primzahlen sind und gilt p_i = p_(i-1)+2 für i=2:n (3.2) Beispiele [3,5]; [5,7]; [11,13]; [17,19]; .... (3.3) Definition [p,q] Primzahlzwilling, so heisst die Zahl die zwischen p und q liegt, (also (p+q)/2 ) Zentralzahl. Der Begriff wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt. (1862-1919) (3.4) Darstellung von Primzahlzwillingen Jede Zahl > 3 lässt sich als 6*n-2 oder 6*n-1 oder 6*n oder 6*n+1 oder 6*n+2 oder 6*n+3 darstellen, für ein n>=1. Da aber 6*n-2,6*n und 6*n+2 von 2 geteilt werden, kann keine Primzahl von dieser Form sein. Ebenso kann auch keine Primzahl von der Form 6*n+3 sein, da diese Zahl von 3 geteilt wird. Somit sind sämtliche Primzahlen von der Form 6*n-1 oder 6*n+1. Und damit lässt sich jeder Primzahlzwilling darstellen als [p,q]=[6*n-1,6*n+1] für ein geeignetes n. (3.5) Lemma Ausser [3,5,7] existiert kein weiterer Primzahldrilling. Beweis Annahme es existiert ein weiterer Primzahldrilling, dann ist [p,q,r] von der Form q=p+2 und r=q+2. p lässt sich für p > 3 darstellen als 6*n-1 und damit ist q = 6*n+1, und damit folgt r=6*n+3 = 3*(2*n+1) und damit durch 3 teilbar. Widerspruch. Also existiert kein weiterer Primzahldrilling. (q.e.d) (3.6) Lemma Es existiert kein Primzahlvierling Beweis Annahme es existiert ein Primzahlvierling, dann ist darin insbesondere ein Primzahldrilling enthalten, da für [p,q,r,s] entweder [p,q,r] oder [q,r,s] eine Teilmenge mit der geforderten Eigenschaft ist. Da aber nur ein Primzahldrilling existiert muss [p,q,r] = [3,5,7] sein und somit s=9 (das ist aber keine Primzahl => Widerspruch) oder [q,r,s]=[3,5,7] und somit p=1, was wiederum keine Primzahl ist, die Behauptung folgt daraus. (q.e.d) (3.7) Bemerkung Jede Zentralzahl ausser 4, ist, mit der Darstellung aus (3.4), durch 6 teilbar. (3.8) Lemma [p,q] Primzahlzwilling, dann gilt: 36 teilt p*q+1 Beweis Es gilt: p*q=(6*n-1)*(6*n+1)=36n^2 -1. (q.e.d) (3.9) Lemma [p,q] => 12 teilt p+q Beweis 6*n-1+6*n+1=12n (q.e.d) (3.10) Weitere Eigenschaften für [p,q] Primzahlzwilling \(Diese Eigenschaften lassen sich durch nachrechnen mit p=6*n-1 und q=6*n+1 beweisen) -> p^2 + q^2 = 2*(p*q+2) -> q^2-p^2=2*(p+q) -> q^3-p^3= 6*(p2+q2)-2 = 6*(2*(p*q+2))-2 -> p*q^2 – p^2*q=2*(p*q) (3.11) Wir wollen die Darstellung aus (3.4) noch etwas verbessern Annahme die letzte Ziffer von n sei eine 4, dann gilt 6*n+1=x5 (wobei x für die Zehner, Hunderter, Tausender... steht), also durch 5 teilbar, somit kann die letzte Ziffer für n keine 4 sein, um einen Primzahlzwilling zu erhalten. Falls die letzte Ziffer eine 6 ist, gilt 6*n-1=x5 und für eine 9; 6*n+1=x5 (3.12) Folgerung Die letzte Ziffer von n muss eine 0,1,2,3,5,7 oder 8 sein (3.13) Nun wollen wir die Darstellung (3.4) erweitern Weiter lässt sich jede ungerade Zahl darstellen durch 30*n+j für n>=0 und j aus {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29} Davon sind jedoch die Zahlen mit j aus {3,5,9,15,21,25,27} keine Primzahlen, da die Zahlen durch 3 oder 5 teilbar wären. Somit kommen für Primzahlzwillinge in dieser Darstellung nur folgende Konstrukte in Frage: [30*n-1,30*n+1]; [30*n+11,30*n+13]; [30*n+17,30*n+19] (3.14) Definition \phi(n) ist die Euler'sche \phi-Funktion \phi(n)= abs({d; d(3.15) Beispiele \phi(7)=6; \phi(18)=6; \phi(16)=8 (3.16) Eigenschaften der Euler'schen φ-Funktion -> \phi(n*m)= \phi(n)* \phi(m) -> \phi(p)=p-1 für p eine Primzahl (3.17) Definition \sigma(n) = \sum(d,d=0,n) für alle Teiler d von n (3.18) Beispiele \sigma(6)=12; \sigma(7)=8 (3.19) Lemma m=p*q [p,q] Primzahlzwilling => \phi(m)* \sigma(m)=(m-3)*(m+1) Beweis [p,q] Primzahlzwilling, => [p,q]=[6*n-1,6*n+1] \sigma(m)=1+(6*n-1)+(6*n+1)+36*n2 –1 = 12*n*(1+3*n) \sigma(m)= \phi(p)* \phi(q)=(6*n-2)*(6*n)=36*n^2-12*n \phi(m)* \sigma(m)=1296*n^4-144*n^2=1294*n^4 – 72*n^2 +1 –72*n^2 +2-3= (36*n^2-1)2 – 2*(26*n^2-1)-3=m^2 –2*m-3=(m-3)*(m+1) (q.e.d) (3.20) Bemerkung Der Leser dieser Arbeit mag sich, und vielleicht sogar mit Recht, gefragt haben: „Welchen direkten Nutzen haben alle diese Dinge, insbesondere die ganzen Lemmata?“. Eigentlich steckt schon im Begriff „Lemma“ die Antwort auf diese Frage. Viele dieser Hilfssätze werden in dem in dieser Arbeit jedoch nicht wiedergegebenen Beweis von Goldston und Yildirim verwendet. Dies öffnet uns die Tore zu Kapitel 4.
4. GIBT ES UNENDLICH VIELE PRIMZAHLZWILLINGE? In Kapitel 2 haben wir gesehen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Man kann zeigen, dass die Summe über alle Primzahlen divergiert, die Summe über alle Primzahlzwillinge jedoch konvergiert, es folgt (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+... =b , wobei b die Brun'sche Konstante bezeichnet. Brun hat diese zusammen mit Thomas Nicely 1919 berechnet. Es gilt: b=1.902160578... Wir werden darauf hier aber nicht genauer darauf eingehen, da sich ein Kollege von mir mit dieser Thematik beschäftigt hat. Damit bleibt aber die Frage offen, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Ich muss den Leser leider bereits an dieser Stelle erst einmal enttäuschen. Bis zum heutigen Zeitpunkt (12.Juni 2007) kann folgende Behauptung leider noch nicht bewiesen werden. (4.1) Behauptung Es existieren unendlich viele Primzahlzwillinge (4.2) Bemerkung Es lässt sich zeigen, dass es immer wieder benachbarte Primzahlen gibt, die weit auseinander liegen. Wählen wir dazu eine beliebige, aber grosse Zahl k und sei m=k!. Wir sehen leicht ein, dass m keine Primzahl sein kann. Ob m+1 eine Primzahl ist oder nicht, lassen wir dahingestellt, (z.B. für k=4 oder 5 ist m+1 keine Primzahl), es interessiert uns aber in der Beweisführung nicht weiter. m+2 ist sicherlich keine Primzahl, da m+2 durch 2 teilbar ist. Ebenso ist m+3 keine Primzahl, da durch 3 teilbar. Weiter ist m+j keine Primzahl für j<k, da m+j von j geteilt wird. Und auch m+k ist keine Primzahl, da diese Zahl von k geteilt wird. Somit haben wir mindestens k-1 aufeinanderfolgende Zahlen, die allesamt keine Primzahlen sind. Für ein grosses k haben wir also eine grosse Lücke gefunden, in der sich keine Primzahl befindet. Was wir in der obigen Behauptung allerdings zeigen wollen, ist, dass sich immer wieder zwei benachbarte Primzahlen mit Abstand 2 finden lassen. So leicht auch die in der Bemerkung gezeigte Aussage über grosse Differenzen zwischen Primzahlen zu zeigen war, so schwer ist die Aussage über eine Differenz von 2 zwischen zwei benachbarten Primzahlen zu zeigen. (Wer weiss, vielleicht ist es ja sogar unmöglich!) Mittels einer bemerkenswerten Arbeit zeigten die beiden Mathematiker Dan Goldston und Cen Yildirim im Jahr 2004, dass der Abstand zwischen zwei Primzahlen ‚beliebig klein’ werden kann. Der ursprüngliche Beweis erhielt jedoch einen Fehler. Unterdessen soll der Beweis jedoch ausgebessert worden sein. Die Behauptung (4.1) ist mit diesem Satz allerdings immer noch nicht bewiesen. So leicht scheinen die Primzahlen ihre Geheimnisse nicht preiszugeben.
5. PRIMZAHLZWILLINGE AUFGELISTET
(5.1) Primzahlzwillinge zwischen 5 und 10'000
[5, 7] [11, 13] [17, 19] [29, 31] [41, 43] [59, 61] [71, 73] [101, 103] [107, 109] [137, 139] [149, 151] [179, 181] [191, 193] [197, 199] [227, 229] [239, 241] [269, 271] [281, 283] [311, 313] [347, 349] [419, 421] [431, 433] [461, 463] [521, 523] [569, 571] [599, 601] [617, 619] [641, 643] [659, 661] [809, 811] [821, 823] [827, 829] [857, 859] [881, 883] [1019, 1021] [1031, 1033] [1049, 1051] [1061, 1063] [1091, 1093] [1151, 1153] [1229, 1231] [1277, 1279] [1289, 1291] [1301, 1303] [1319, 1321] [1427, 1429] [1451, 1453] [1481, 1483] [1487, 1489] [1607, 1609] [1619, 1621] [1667, 1669] [1697, 1699] [1721, 1723] [1787, 1789] [1871, 1873] [1877, 1879] [1931, 1933] [1949, 1951] [1997, 1999] [2027, 2029] [2081, 2083] [2087, 2089] [2111, 2113] [2129, 2131] [2141, 2143] [2237, 2239] [2267, 2269] [2309, 2311] [2339, 2341] [2381, 2383] [2549, 2551] [2591, 2593] [2657, 2659] [2687, 2689] [2711, 2713] [2729, 2731] [2789, 2791] [2801, 2803] [2969, 2971] [2999, 3001] [3119, 3121] [3167, 3169] [3251, 3253] [3257, 3259] [3299, 3301] [3329, 3331] [3359, 3361] [3371, 3373] [3389, 3391] [3461, 3463] [3467, 3469] [3527, 3529] [3539, 3541] [3557, 3559] [3581, 3583] [3671, 3673] [3767, 3769] [3821, 3823] [3851, 3853] [3917, 3919] [3929, 3931] [4001, 4003] [4019, 4021] [4049, 4051] [4091, 4093] [4127, 4129] [4157, 4159] [4217, 4219] [4229, 4231] [4241, 4243] [4259, 4261] [4271, 4273] [4337, 4339] [4421, 4423] [4481, 4483] [4517, 4519] [4547, 4549] [4637, 4639] [4649, 4651] [4721, 4723] [4787, 4789] [4799, 4801] [4931, 4933] [4967, 4969] [5009, 5011] [5021, 5023] [5099, 5101] [5231, 5233] [5279, 5281] [5417, 5419] [5441, 5443] [5477, 5479] [5501, 5503] [5519, 5521] [5639, 5641] [5651, 5653] [5657, 5659] [5741, 5743] [5849, 5851] [5867, 5869] [5879, 5881] [6089, 6091] [6131, 6133] [6197, 6199] [6269, 6271] [6299, 6301] [6359, 6361] [6449, 6451] [6551, 6553] [6569, 6571] [6659, 6661] [6689, 6691] [6701, 6703] [6761, 6763] [6779, 6781] [6791, 6793] [6827, 6829] [6869, 6871] [6947, 6949] [6959, 6961] [7127, 7129] [7211, 7213] [7307, 7309] [7331, 7333] [7349, 7351] [7457, 7459] [7487, 7489] [7547, 7549] [7559, 7561] [7589, 7591] [7757, 7759] [7877, 7879] [7949, 7951] [8009, 8011] [8087, 8089] [8219, 8221] [8231, 8233] [8291, 8293] [8387, 8389] [8429, 8431] [8537, 8539] [8597, 8599] [8627, 8629] [8819, 8821] [8837, 8839] [8861, 8863] [8969, 8971] [8999, 9001] [9011, 9013] [9041, 9043] [9239, 9241] [9281, 9283] [9341, 9343] [9419, 9421] [9431, 9433] [9437, 9439] [9461, 9463] [9629, 9631] [9677, 9679] [9719, 9721] [9767, 9769] [9857, 9859] [9929, 9931] (5.2) Der grösste bekannte Primzahlzwilling Der grösste zur Zeit (13. Juni 2007) bekannte Primzahlzwilling lautet: [2003663613*2195000 –1, 2003663613*2195000 +1] Das sind Zahlen mit 58'711 Ziffern, dieses Zahlenpaar wurde von TwinPrimeSearch mit Unterstützung des DC-Projektes PrimeGrid gefunden und übertraf den Rekord aus dem Jahr 2006 um gut 7000 Ziffern. (5.3) Häufigkeitsverteilung im Intervall (5, 10’000) Häufigkeitsverteilung der Primzahlzwillinge zwischen 5 und 10'000
6. LITERATURVERZEICHNIS
  • Algebra, Gisbert Wüstholz, vieweg Verlag, Wiesbaden 2004
  • Die Heilige Schrift. Aus dem Grundtext übersetzt. Elberfelder Bibel revidierte Fassung. Zürich: R. Brockhaus Verlag 1993. Vierte Auflage.
  • http://216.239.59.104/search?q=cache:aFevpZZWScUJ:guests.mpim-
    bonn.mpg.de/moree/zwilling.ps+primzahlzwilling&hl=de&ct=clnk&cd=19&gl=ch
  • http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlzwilling
  • http://www.decemsys.de/system/zahlen/pzzwillinge.htm
  • http://www.gea.at/pages/primzahlzwillinge.htm
  • http://www.heiligenbrunner.at/main/ahprimz2.htm
  • http://www.xn--mikrokonomie-8ib.de/Primzahlzwilling.html
  • http://www.zahlentheorie.de/zahlentheorie/zahlentheorie.htm
  • http://www.zeitundzahl.de/Christus.htm
  • Zahlentheorie für Einsteiger, Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern, 5. verbesserte Auflage, vieweg Verlag, Wiesbaden 2006

7. ANHANG PRIMZAHLZWILLINGE IM ZUSAMMENHANG MIT DER BIBEL Bei der Recherche im Internet bin ich unter anderem auch auf die Homepage www.zeitundzahl.de gestossen. Diese Seite enthält einen Artikel über den Zusammenhang zwischen Primzahlzwillingen und dem Leben von Jesus Christus. Nach den mancherorts vielleicht recht trockenen Erkenntnisse, will ich diese Arbeit mit einem praktischen Zusammenhang zwischen dem Leben von Jesus Christus und den Primzahlzwillingen abschliessen. Ausgehend von der Erschaffung der Erde^([1]) (n.E.d.E) lebte Jesus Christus nach der Chronologie der Bibel^([1]) zwischen 4200 und 4300 auf dieser Erde. Genauer von 4230 bis 4263. Sehen wir uns einmal die Primzahlenzwillinge in diesem Intervall zusammen mit ihren Zentralzahlen an. Es gilt: der 110. Primzahlzwilling besitzt die Zentralzahl 4218 der 111. Primzahlzwilling besitzt die Zentralzahl 4230 der 112. Primzahlzwilling besitzt die Zentralzahl 4242 der 113. Primzahlzwilling besitzt die Zentralzahl 4260 der 114. Primzahlzwilling besitzt die Zentralzahl 4272 Wir bemerken: ->Der 111. Primzahlzwilling hat 4230 als Zentralzahl; die Geburt Christi war im Jahr 4230 n.E.d.E. Im neuen Testament sind genau zwei Lebensjahre von Jesus Christus mit Jahreszahlen angegeben: Mit 12 Jahren kam er in den Tempel (\red\ \stress\ Lukas 2,42\black\ \normal\ ) \darkred\ Und als er [Jesus] zwölf Jahre alt war, gingen sie hinauf nach der Gewohnheit des Festes;... \black\ Mit 30 Jahren begann sein Dienst auf der Erde (\red\ \stress\ Lukas 3,23\normal\ \black\ ) \darkred\ Und er selbst, Jesus, war ungefähr dreissig Jahre alt, als er auftrat... \black\ Es ergeben sich also weiter die Beziehungen: ->Der 112. Primzahlzwilling hat 4242 als Zentralzahl; Christus war 12 Jahre alt im Jahr 4242 n.E.d.E ->Der 113. Primzahlzwilling hat 4260 als Zentralzahl; Christus war 30 Jahre alt im Jahr 4260 n.E.d.E Sehen wir uns nochmals die Häufigkeitsverteilung der Primzahlzwillinge an, dargestellt in der unten folgenden Grafik im Intervall (5.10000). Häufigkeitsverteilung der Primzahlzwillinge von 5 bis 10'000 Die Grafik zeigt, dass abgesehen vom Bereich (1,200) im Intervall (4200,4300) ein Maximum liegt. Das bringt uns einen weiteren Zusammenhang: ->Die Primzahlzwillingsdichte ist lokal maximal zwischen 4200 und 4300; Jesus Christus lebte im Jahresintervall (4200, 4300) Das sind mit einer Ausnahme, der Kreuzigung des Messias', (4263 n.E.d.E ^([1])) sämtliche Lebensdaten, die in der Bibel explizit von Jesus Christus erwähnt werden. Im Intervall (4200,4300) finden wir drei Primzahlzwillinge in aufeinanderfolgender Reihenfolge mit Zentralzahlen, die genau mit den Lebensdaten von Jesus Christus übereinstimmen.^([1]) [1] www.zeitundzahl.de/Christus.htm
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"Mathematik: Primzahlzwillinge" | 32 Comments
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Re: Primzahlzwillinge
von: bindi am: Do. 24. Januar 2008 15:53:44
\(\begingroup\)Hallo, ich sehe keinen Zusammenhang zwischen dem Leben von Jesus Christus und den Primzahlzwillingen. Ich sehe auch keinen Sinn, Jahreszahlen oder Lebensdaten eines einzelnen Menschen auf Primzahlen hin zu untersuchen. Gruß Bindi\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: DrCarsten am: Do. 24. Januar 2008 16:58:59
\(\begingroup\)Hallo, vllt eine Spitzfindigkeit, aber deine Definition von einer Primzahl dirkt zu Beginn des Artikels ist nicht ganz richtig. Bei dieser Formulierung wäre 1 auch eine Primzahl. Eindeutiger ist: "Eine natürliche Zahl heißt genau dann Primzahl, wenn sie genau 2 natürliche Teiler besitzt." Carsten\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Jonathan_Scholbach am: Do. 24. Januar 2008 17:48:26
\(\begingroup\)Hallo matheben, die Definition ist imho auch nicht die übliche. Deine Definition nimmt man für die sog. irreduziblen Elemente eines unitären kommutativen Ringes R, die Primelemente eines Ringes werden gewöhnlich folgendermaßen definiert: p heißt prim, falls gilt: p|a*b => p|a oder p|b Im Spezialfall R = Z sind die beiden Definitionen äquivalent, weshalb Deine Definition nicht falsch, aber eben ungebräuchlich ist, weil sie der Spezialfall der "anderen" Verallgemeinerung ist. Deine Definition des Primzahldrillings ist ziemlich witzlos, denn mit dieser Bezeichnung gibt es keine Primzahldrillinge außer [3,5,7], da stets eine der drei Zahlen a, a+2, a+4 durch 3 teilbar ist. Deshalb wäre meiner Meinung nach hier eine andere Verallgemeinerung nötig. Man sagt ja auch nicht, ein Primzahlzwilling hat die Form [a,a+1] (was die Analogiebildung von "Primzahlzwilling" aus "Primzahl" zu Deiner Definition "Primzahldrilling" aus "Primzahlzwilling" wäre.) Eine bessere Definition wäre also: "Ein Primzahldrilling ist ein Tripel [a,b,c] mit a<b<c<a+7, a,b,c prim." Auch wundere ich mich ebenso wie bindi über das unkommentierte und unmotivierte In-Verbindung-Bringen von Lebensdaten Jesu Christi und Primzahlzwillingen. Viele Grüße, Jonathan \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Hyp am: Do. 24. Januar 2008 18:25:09
\(\begingroup\)Hallo matheben, mal abgesehen von den kleinen Fehlern, ein wirklich großer ist die Aussage "Mittels einer bemerkenswerten Arbeit zeigten die beiden Mathematiker Dan Goldston und Cen Yildirim im Jahr 2004, dass der Abstand zwischen zwei Primzahlen 'beliebig klein' werden kann." Das ist kompletter Quatsch. Kleiner als 2 kann, mit einer Ausnahme, der Abstand zwischen zwei Primzahlen nicht werden. Die Aussage von Daniel Goldston, Cem Yildirim und Janos Pintz ist nicht sehr schwierig und kann in einer Zeile hingeschrieben werden und darum sollte dies auch getan werden: liminf(n->\inf,(p_(n+1)-p_n)/log(p_n))=0 Die Anmerkung von Jonathan ist auch korrekt. Üblicherweise heisst ein 3-Tupel (p,p+2,p+6) oder auch (p,p+4,p+6) Primzahl-Drilling. Prinzipiell schneidest du im Artikel sehr viele Themen kurz an, aber gehst auf sie nicht wirklich ein. Die Verbindung mit Jesus ist dann der völlige Abschuss und gibt der Sache dann den Rest. Nichts gegen deine Person, matheben, aber dieser Versuch ging meiner Meinung nach daneben ... Gruß, Hyp\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: fru am: Do. 24. Januar 2008 18:53:15
\(\begingroup\)Hallo matheben! Auch Dein Beweis des Satzes 2.3. enthält mehrere Fehler. Du solltest ihn noch einmal gründlich überarbeiten! (EDIT: erledigt!) Anklickbare Links wären wesentlich benutzerfreundlicher als die Adressen alleine. Jene, die mit 216.239.59.104 beginnt, verursacht übrigens eine enorme Überbreite des gesamten Artikels, sodaß er für mich praktisch unlesbar ist, wenn ich nicht andauernd horizontal scrollen will. Füge dort also bitte einen Zeilenumbruch ein (wenn Du einen Link daraus machst, wird das ja niemanden stören)! (EDIT: erledigt! Zur Eliminierung der verbleibenden Überbreite habe ich einen Änderungsantrag eingebracht, der mittlerweile auch schon realisiert ist.) Der numerologische (ich glaube, so nennt man das) Anhang ist meines Erachtens nach eines Mathematikers unwürdig, Du hättest ihn besser weggelassen! Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: jannna am: Do. 24. Januar 2008 19:42:46
\(\begingroup\)hej Jonathan_Scholbach: in deiner Definition mußt du Einheiten noch ausschließen, sonst wäre auch bei dir 1 eine Primzahl 😉 grüße jana\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: fru am: Do. 24. Januar 2008 20:14:17
\(\begingroup\)Hi Jonathan und Jana! Wie wäre es mit: p heißt prim, wenn der Restklassenring nach dem von p erzeugten Hauptideal ein Körper ist. Da ein Körper mindestens zwei Elemente enthält, scheiden die Einheiten automatisch aus. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Gockel am: Do. 24. Januar 2008 20:40:36
\(\begingroup\)@fru: Das klappt aber auch wieder nur für bestimmte Ringe (Hauptidealringe z.B.). Z[X][Y]/(Y)=Z[X] ist kein Körper, Y ist in Z[X][Y] trotzdem prim. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: owk am: Do. 24. Januar 2008 20:45:15
\(\begingroup\)Der Faktorring muss ein Integritätsbereich sein (in dem per def. 1 ≠ 0 gilt), das ist ziemlich offensichtlich äquivalent zur üblichen Definition eines Primelementes. Allerdings sind auch 0 und −2 Primelemente in Z. owk\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: artin am: Fr. 25. Januar 2008 00:22:45
\(\begingroup\)Hallo matheben, man sieht ganz deutlich, dass du viel Zeit und Mühe investiert hast, um diesen Artikel zu verfassen. Deshalb von meiner Seite aus mal ein Lob dafür. Die fachliche Kritik meiner Vorgänger ist aber sicherlich gerechtfertigt. Zum die Gemüter bewegenden Jesusabschnitt möchte ich auch noch meinen Senf abgeben: Ich schliesse mich der Meinug an, dass solche Behauptungen in einem mathematischen Text nichts verloren haben und nicht einfach so unkommentiert hineingeschmugelt werden sollten. Grund ist einfach folgender: diese Art und Weise der Argumentation entspricht nicht der mathematischen Vorgehensweise. Eine Wissenschaft definiert sich m.E durch ihre Arbeitsweise - Physiker laufen ja auch nicht mit Wünschelruten in der Gegend rum und suchen nach Wasseradern. Jedoch bin ich nicht der Meinung, dass solche Spekulationen auf dem Matheplaneten nichts verloren haben - man sollte halte kennzeichnen, dass es sich dabei NICHT um Mathematik handelt. Mfg Michael \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: KlausLange am: Fr. 25. Januar 2008 14:33:13
\(\begingroup\)Hallo, vielleicht mal ein weiterer Vorschlag für eine Ergänzung zum Anhang. Schau mal auf den Kalender. Simpel ist es ja noch, dass wir 12 Monate haben, die "Mittelzahl" von 11 und 13. Aber die Anzahl der Tage eines Monats liegen zwischen 31 und 28. Dabei haben 7 Monate im Jahr stets 31 Tage, ferner haben 11 Monate im Jahr mindestens 30 Tage. Und beim Schaltjahr wurde nicht etwa ein Monat mit 30 Tage auf 31 Tage erhöht, sondern der Februar mit nur 28 (4*7) Tage auf 29 Tage. 29 und 31 sind wieder ein P-Zwilling. Der Tag hat zum Beispiel ca. 24 Stunden, das ist aufgrund der Rotation vorgegeben, aber die Zweiteilung von je 12 Stunden in Tag und Nacht, die nur zweimal jährlich erreicht wird, ist wieder mit dem Paar {11;13} korreliert. 60 Minuten hat eine Stunde. 60 ist die Mittelzahl von {59;61}, wie ja auch 60 Sekunden eine Minute bilden. Naja, und 7 Tage hat eine Woche, wobei ursprünglich 6 Arbeitstage galten {5;7}. Ok. Die Anzahl der Wochen in einem Jahr von 52 haut nicht so gut hin, aber wir haben zur Not ja noch die Quersumme, schließlich geht es ja um 52 Wochen, und eine Woche hat ja schon die 7 als Kennzahl. Was ist daran interessant? Die Affinität des Menschen zu den Primzahlzwillingen, denn die Kalenderreform wurde ja von Papst Gregor, einem Astronomen, vorgenommen. Und er hielt sich an die Himmelsmechanik. Psychologisch ist das schon ein Phänomen. Warum sind Menschen von Primzahlen, und gerade auch solchen mit den Abstand 2 zueinander, fasziniert? Auch Laien haben da ja einen Zugang. Wo der Mensch die Wahl hat ein System zu etablieren, da bedient er sich gerne der Primzahlen, wo es aus Sachzusammenhängen möglich ist. Sowas findet dann auch z.B. in der Bibel seine Entsprechung (aber auch im Koran gibts ja schöne Primzahlverwendungen mit der 19): 10 Gebote (3 für Mensch zu Gott + 7 für Mensch zu Mensch) 10 Plagen (die ersten 3 konnten die Magier des Pharaos nachmachen, die weiteren 7 nicht) 10 Tage für Schöpfung (7: Schöpfungswoche; 3: "Neuschöpfung" durch Christus: Tod und Auferstehung am 3.Tag eben). 12 Stämme Israels (wobei Juda oft extra genannt wird) 12 Apostel (wobei Judas dann abtrünnig wurde) usw. usf. Natürlich passen viele Zahlen auch nicht direkt, wie 40 Jahre Wanderung Israels in der Wüste, oder 40 Tage Jesu in der Wüste etc. Doch nicht umsonst heißt das 4. Mosebuch auch Numeri. Wir können also nach einem Primzahlcode in der Bibel fragen. Und das hat nichts mit Numerologie, aber viel mit Kryptografie zu tun. Aber Vorsicht: Bei kleinen Zahlbeträgen kommen Primzahlen und ihre Zwillinge recht oft vor, so dass es nicht ungewöhnlich sein kann, dass sie in diesem Bereich gehäuft aber dennoch zufällig auftreten. Ich finde es jedenfalls in Ordnung, dass Dein Artikel auf dem Matheplaneten veröffentlicht wurde. Fachliche Korrekturen sind immer angebracht, aber Wertungen wie würdig /unwürdig liegen dann auch auf jeden Fall außerhalb mathematischer Kriterien. Beste Grüße, Klaus Lange P.S.: Herzliche Gratulation zum Mathe-Award!!!\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Hans-Juergen am: Fr. 25. Januar 2008 14:57:05
\(\begingroup\)Hi, der Matheplanet ist ein freies Forum; wer darin etwas über Zahlen und Verwandtes mitteilen möchte, gleich in welchem Zusammenhang, hat das Recht dazu. Nicht fachbezogene, emotional gefärbte Kritik wie im vorliegenden Fall erscheint mir engstirnig und unkollegial. @ artin: Es gibt Physiker, die laufen durchaus mit Wünschelruten herum, und sei es auch nur, um dem damit verbundenen, rätselhaften Phänomen wissenschaftlich auf die Spur zu kommen. Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Ex_Mitglied_5557 am: Fr. 25. Januar 2008 17:52:34
\(\begingroup\)Hallo! Also das primzahlzwillinge häufig in verschiedenen Geschichten vorkommen, liegt doch wohl in erster Linie daran, dass relativ viele kleine Zahlen Primzahlzwillinge sind, oder? ;) 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19 sind immerhin 35% aller natürlichen Zahlen <20... Und wenn man dann noch geschickt danach sucht, kann man natürlich ziemlich viele Primzahlen sehen, wo auch gar keine sind (10=3+7, 12=5+7). btw: Kennt ihr den Film "23. Nichts ist so, wie es scheint"? Da wird genau das aufgezeigt: Wenn man unbedingt etwas sehen will, dann findet man es auch (in dem Film geht es um die Zahl der Iluminaten, 23, und ihre Quersumme 5. Beispiel gefällig? VW; V ist das römische Symbol für 5 und W ist der 23. Buchstabe des Alphabets. Oder: Die BRD wurde am 23.5.1949 gegründet. Der 23.5. spricht für sich, und die Quersumme von 1949? ;) ) Die Numerologie, die hier betrieben wird, spielt sich auf ähnlichem Niveau ab. Ist ganz spaßig, aber jedem sollte bewusst sein, dass da nichts dahinter steckt... Grüße, Cyrix\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: jannna am: Fr. 25. Januar 2008 19:03:25
\(\begingroup\)Hej, "Nicht fachbezogene, emotional gefärbte Kritik wie im vorliegenden Fall erscheint mir engstirnig und unkollegial." huch, ich habe bisher nicht den Eindruck. Ich habe das Gefühl, daß sobald ein Artikel mit religiösem Bezug kritisiert wird, diese Kritik vielfach potenziert wahrgenommen wird ☹️ Grüße Jana\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: weserus am: Fr. 25. Januar 2008 20:41:09
\(\begingroup\)Hallo KlausLange, Dein Kommentar hat mir gut gefallen. Nachdem ich den Anhang zum Artikel und die Kommentare gelesen habe, fiel mir folgender Link zur Eddington-Dirac-Wunderzahl wieder ein. Könnte bei dieser 'Wunderzahl' und deren Suche eventuell auch ein Zusammenhang zu Primzahlen oder anderen Zahlen oder zur Numerologie bestehen? Wahrscheinlich wohl nicht oder? Wer waren bloß Eddington und Dirac? Nun, ich werde mal googlen; so nennt man das wohl heute. Ich denke aber, Mathematiker oder Physiker waren Eddington und Dirac wohl nicht oder? Nun, ich werde schon was finden. Danke, allen schöne und entspannende Stunden und freundliche Grüße Peter \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Bernhard am: Mo. 28. Januar 2008 01:35:17
\(\begingroup\)Hallo Matheben! Ich glaube das mit den vielen biblischen Zahlzusammenhängen ist kein Zufall, aber es "stimmt" eher umgekehrt herum, als wir es uns denken. Man muß sich klar machen, daß die meisten Erzählungen davon (Babylonische Gefangenschaft, Wanderung in der Wüste usw.) erst viel später zu Papier gebracht worden sind und bis dahin mündlich weitergegeben wurden. Und daß es sich um Glaubenstexte und -aussagen handelt, und nicht aber um reale Berichte. Die wurden teilweise ausgeschmückt mit aussagekräftiger Symbolik, die die damaligen Menschen auch anders verstanden, als wir heute. Und da nicht zuletzt Primzahlen, die Zahl der Finger an der Hand, vollkommene Zahlen u.a. eine besondere Ausstrahlung haben, hat man sie häufig dazu verwendet. Und wir wundern uns heute, daß da so unvermutet vieles "aufgeht"... Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Phi1 am: Mo. 28. Januar 2008 07:07:11
\(\begingroup\)Eine richtige Definition von Primzahlen wäre: Sei p\el\ \IZ. p heißt dann Primzahl, wenn p!=1 ist und sie nur p, -p, -1 und 1 als Teiler besizt. MfG\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: owk am: Mo. 28. Januar 2008 10:25:30
\(\begingroup\)Nein, das wäre nach allgemeiner Auffassung eine falsche Definition. owk\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Bernhard am: Mi. 30. Januar 2008 22:06:47
\(\begingroup\)Hallo Phi! Das würde ja auch negative "Primzahlen" beinhalten und damit wäre die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mehr gewährt. Oder genauer: Negative Zahlen können gar keine Primzahlen sein, da sie immer aus der Multiplikation mit -1 hervorgehen. Primzahlen sind zwar in erster Linie auf die Natürlichen Zahlen bezogen. Will man die Sache aber auch auf die negativen ganzen Zahlen erweitern, genügt es -1 als eine Art "Primfaktor" zuzulassen: es gilt z.B. dann -12 = -1*2*2*3 Übrigens erfüllt die -1 in Z auch noch eine andere wichtige, oben bereits angesprochene Eigenschaft der Primzahlen: Im Gegensatz zu 1 hat -1 genau zwei verschiedene Teiler! Die positiven (echten) Primzahlen zusammen mit -1 reichen also aus. Dann ist übrigens die Eindeutigkeit der Faktorisierung auch wieder hergstellt. Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Bernhard am: Mi. 30. Januar 2008 22:33:27
\(\begingroup\)Hallo Weserus! Das ist schon eine eigenartige These mit der "Wunderzahl". Nehmen wir mal die Sache mit dem Universum: Da beißt sich die Katze in den Schwanz. Ich meine, das Weltall kann nicht älter sein, als die Zeit, die das Licht bräuchte, um die größte existierende Entfernung (wie auch immer man das im gekrümmten Raum behandeln mag) zurückzulegen. Denn sonst wäre die Materie ja bereits vorher da gewesen, was Einstein widerspricht. Es kann aber auch nicht jünger sein, sonst wäre das Licht ja bereits teilweise aus dem Universum "herausgeschlupft". Größe und Alter des Weltalls sind direkt mit der Lichtgeschwindigkeit gekoppelt. Will man jetzt ein bestimmtes Verhältnis haben, gilt es nur, die Einheiten entsprechend geschickt zu wählen. Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: lula am: Do. 31. Januar 2008 18:11:49
\(\begingroup\)Hallo Ich find es amüsant auch in dem ach so ernsthaften Matheplaneten ein bissel Numerologie zu sehen. Vielleicht muss es nicht grade Religion sein- aber da forschen ja mehr Leute als sonst wo-. Und wer wirklich denkt, der Autor nähme das ernst sollte vielleicht mal seinen Humor- organ auf Verwachsungen überprüfen lassen. Spannender fänd ich natürlich ne Anwendung auf etwa die Politik: alter und Jahr des Wahlerfolgs oder Mißerfolgs usw. Unschön find ich den indirekten Beweis für die unendliche Zahl von Primzahlen. Aber das ist ja Geschmackssache. Weiter so nette Artikel- und hie und da auch was nicht so ernstes! lula\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: huepfer am: Do. 31. Januar 2008 20:41:16
\(\begingroup\)Hallo Bernhard, negative Primzahlen sind überhaupt kein Problem und in der Mathematik auch vollkommen normal. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung geht dadurch auch nicht verloren, sie ist ohnehin anders definiert. Dazu gleich mehr. Vielleicht betrachtest Du Gockels Beispiel oben. Dabei kann man feststellen, dass es nicht unbedingt "ausgezeichnete Elemente" in einem Ring geben muss. Was macht die 5 besser als die -5? Gut, 5 ist größer als 0, aber was bedeutet das schon? So etwas wie "größer" oder "kleiner" muss es nicht unbedingt geben. Zunächst einmal die übliche Definition, die Definition im Artikel ist (streng genommen) falsch und nur in faktoriellen Ringen (mehr oder minder zufällig) richtig. \stress\Definition: \normal\ Eine Zahl heißt Primzahl, falls gilt: p\|a*b => p\|a oder p\|b Die obige Definition ist die Definition für irreduzibel und das ist im Allgemeinen etwas anderes. Das mag nun zunächst verwirren. Auf diese Weise scheint die Primfaktorzerlegung einer Zahl nun nicht mehr eindeutig zu sein. Allerdings muss man auch zugeben - wenn man diesen Standpunkt vertritt, dass es keine negativen Primzahlen gibt - dass man keine negative Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben kann. Wir führen deshalb einen weiteren Begriff ein, nämlich den der Assoziiertheit. \stress\Definition (Assoziiertheit): \normal\ Zwei Zahlen a und b heißen zueinander assoziiert, falls es eine Einheit e gibt \(Einheit ist eine Zahl e, für die es eine Zahl e' gibt mit e*e'=1), sodass a=e*b. Nun sind 5 und -5 "gleichberechtigt", nämlich assoziiert, denn es gilt -5=(-1)*5. Und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung können wir jetzt auch wieder herstellen. \stress\Satz: \normal\ Jede Zahl z lässt sich bis auf Assoziiertheit eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Dies sieht folgendermaßen aus: z=e*p_1 *...* p_r, wobei e eine Einheit und p_1 , ... , p_r Primzahlen sind. r ist durch z eindeutig bestimmt, ebenso sind die p_i bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutig bestimmt. e ergibt sich aus der Wahl der Primelemente. Zum Artikel: Ich muss sagen, dass ich den Zusammenhang zur Bibel auch etwas unmotiviert finde. Man hätte dafür einen Übergang schaffen sollen und es scheint mir auch nicht so zu sein, dass die Primzahlen etwas allzu Mystisches haben. Die kleineren Primzahlen kommen irgendwie natürlich häufiger vor, haben aber auch in der jüdischen Tradition ganz spezielle Bedeutungen, die man im Zusammenhang vielleicht auch hätte klären sollen. Nur, was ich mich wirklich frage, ist: Was ist der Sinn dieser Tabelle von Primzahlzwillingen? Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: owk am: So. 03. Februar 2008 22:06:42
\(\begingroup\)@Felix: Es gibt viele Aussagen, die davon abhängen, dass Primzahlen positiv sind (z.B. kleiner fermatscher Satz oder die Unterscheidung zwischen Primzahlen kongruent ±1 modulo 4). Die Eindeutigkeit lässt sich problemlos formulieren (z.B. jede Zahl ungleich null (!) ist zu einem bis auf die Reihenfolge eindeutigen Produkt von Primzahlen assoziiert). Die Definition von Primzahlen als positive Zahlen mit genau zwei positiven Teilern lässt sich zwar schlecht verallgemeinern, aber sie ist für konkrete Zahlen (von der Rechenzeit abgesehen) leicht nachprüfbar, im Gegensatz beispielsweise zur Primelementeigenschaft. Solange man nur über Z oder andere einfache Hauptidealringe sprechen möchte, halte ich es auch nicht für zwingend, den Unterschied zwischen irreduziblen und Primelementen überhaupt zu erwähnen. Oder wenn man denn über "Primelemente bis auf Assoziiertheit" spricht, dann sollte man sich fragen, ob das Konzept "Primhauptideale" nicht angemessener wäre. owk\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Bernhard am: So. 10. Februar 2008 18:06:41
\(\begingroup\)Hallo Felix! Über Deine allgemeine Definition der Primzahlen bin ich etwas überrascht. Wenn gelten soll "Eine Zahl heißt Primzahl, falls gilt: p\|a*b => p\|a oder p\|b ", wie Du sagst, dann stünde man ja z.B vor folgenden Fällen: a*b sei 42 , a sei 6, b sei 7 dann gilt 6\|a*b, 6\|a aber nicht 6\|b, also wäre 6 in diesem Fall eine Primzahl! Hätte man aber zuvor a=14 und b=3 gesetzt, wäre 6 weder Teiler von a, noch von b, also auch keine Primzahl! Was Du für negative Zahlen mit e bzw. e' anführst, ist ja eigentlich genau derselbe Vorschlag, den ich bereits oben gemacht habe, als ich meinte, man müßte -1 "als eine Art Primzahl" einführen. Ich habe nicht behauptet, daß -1 eine Primzahl sei, dafür war mir dann doch ein bißchen mulmig zumute. Aber ich habe angedeutet, daß -1 wegen der der Irreduzibilität, aufgrund der anderen obigen Definition ("genau 2 Teiler") und der Möglichkeit, mit ihr in \IZ die Eindeutigkeit der PFZ wiederherzustellen, einen primzahlähnlichen Status einnimmt. Letztlich aber waren das doch dieselben Gedanken, die Du unter dem Stichwort "Assoziiertheit" aufführst, oder? Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: huepfer am: So. 10. Februar 2008 19:20:05
\(\begingroup\)Hallo Bernhard, Du hast meine Definition von Primzahl - die definitiv üblich und auch richtig ist - nicht komplett verstanden. Sie besagt, dass eine Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn gilt: Teilt die Zahl ein Produkt, dann auch schon einen der Faktoren. Es reicht also nicht ein beliebiges Produkt zu betrachten, sondern jedes beliebige Produkt, das eine Zahl teilt. Mit Deinem zweiten Beispiel, hast Du genau gezeigt, dass 6 keine Primzahl ist. "-1" kann man auch nicht als "eine Art Primzahl" setzen, sie ist auch nicht irreduzibel. Sie ist eine Einheit und damit qualitativ ganz anders zu beurteilen, als irreduzible Zahlen. Les Dir doch einmal in diesem Zusammenhang die Kapitel über Hauptidealringe, euklidische und faktorielle Ringe in einem Algebrabuch durch. Die Definition mit der Zahl der Teiler ist für positive ganze Zahlen ja einigermaßen passabel, aber schon bei negativen Zahlen nicht mehr zu gebrauchen. Man hat dann nämlich plötzlich den Fall, dass keine negative Zahl mehr irreduzibel ist ("-1" ist ja wie gesagt Einheit und damit von vorneherein ausgeschlossen), da die schon mindestens vier Teiler haben. Aber auch keine positive Zahl z ist mehr irreduzibel, denn auch die werden von 1,-1,z und -z geteilt. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: owk am: Do. 14. Februar 2008 13:42:11
\(\begingroup\)@Felix: Wenn irgendwo steht: "sei p eine Primzahl", dann ist damit immer gemeint, dass p positiv ist. Jede abweichende Definition mag formal korrekt sein, ist aber inhaltlich falsch. Primzahl und Primelement sind zwei verschiedene Begriffe. owk\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: huepfer am: Fr. 15. Februar 2008 15:59:10
\(\begingroup\)@owk, Du hast Recht. Dieser Unterschied zwischen Primelement und Primzahl wird im Sprachgebrauch tatsächlich gemacht. Was aber mein eigentliches Anliegen bei der Sache war, ist der Unterschied zwischen Primelement und irreduziblem Element. Dieser wurde im Artikel nicht klar, wobei man dem Autor hier zu Gute halten kann, dass er sich nur mit ganzen, bzw. eigentlich sogar nur mit natürlichen, Zahlen beschäftigt hat, aber vor allem auch Bernahrd ist dieser Unterschied zunächst nicht klar gewesen. Das zeigt nicht zuletzt die Tatsache, dass er "-1" als Primzahl/Primelement deklarieren wollte. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Phi1 am: So. 16. März 2008 12:35:14
\(\begingroup\)Wenn man negative Primzahlen zuläßt, dann muß man bei der Primfaktorzerlegung die Eindeutigkeit bis auf Assoziiertheit fordern.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Cluso am: Fr. 08. März 2013 10:23:47
\(\begingroup\)In der Definition von m ( in 2.3 ) wird m benutzt?! Gruß Cluso\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: weird am: Fr. 08. März 2013 11:09:17
\(\begingroup\)Die Benutzung von m (in 2.3) scheint mir unbedenklich. Was gibt es daran auszusetzen? Sehr bedenklich ist hingegen, dass im Beweis von 2.3 angenommen wird, dass m+1 überhaupt Primteiler besitzt. Es gibt ja natürliche Zahlen, wie z.B. 1, für welche das nicht zutrifft. Also ist hier im Beweis eine klaffende Lücke...\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: Cluso am: Fr. 08. März 2013 15:38:38
\(\begingroup\)Ja, aber man kann doch in der Definition zB. einer Primzahl nicht schon Primzahlen verwenden? Gruß Cluso\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge
von: weird am: Fr. 08. März 2013 23:38:03
\(\begingroup\)Weder hat der Autor behauptet, dass m prim ist, noch wird es im Beweis gebraucht. Im übrigen ist es ja auch nicht zutreffend, denn es ist z.B. 2*3*5*7*11*13+1=59*509 Was man aber, wie bereits erwähnt, dann doch braucht ist die Tatsache, dass m mindestens einen Primteiler q besitzt, auf dem man dann den ganzen Widerspruchsbeweis aufbauen kann...\(\endgroup\)
 

 
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