Physik: Von d´Alembert zu Lagrange II
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Physik

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Von d´Alembert zu Lagrange II


\frameon Ist ein statisches System im Gleichgewicht, d.h. die totale Kraft (F^>_i)^(t) auf jedes Teilchen ist Null, dann ergibt sich für eine virtuelle (infinitesimale) Verschiebung \delta|r^>_i der Teilchen, daß die virtuelle Arbeit (F^>_i)^(t)*\delta r^>_i Null ist. Die Summe dieser Produkte ist dann selbstverständlich auch Null. sum((F^>_i)^(t)*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(1) Zerlegt man die totale Kraft (F^>_i)^(t) in die äußere Kraft F^>_i und in die Zwangskraft Z^>_i ,so wird aus ref(1) sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)+sum(Z^>_i*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(2) Herrscht Reibungsfreiheit vor, dann sind die Zwangskräfte senkrecht zur Verschiebung, und damit ist das skalare Produkt Z^>_i*\delta r^>_i=0. Für reibungsbehaftete Systeme gilt dies nicht, und deshalb sind sie von den nachfolgenden Überlegungen erst einmal ausgeschlossen. Beschränkt man sich also auf Systeme, für welche die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte Null ist, ergibt sich aus \ref(2) das sogenannte \stress\blue\ Prinzip der virtuellen Arbeit\normal\black\ : \blue\ sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(3) Das Prinzip der virtuellen Arbeit so wie es oben beschrieben wird, gilt nur für die Statik. Um es auf die Dynamik zu übertragen, benutzen wir die Bewegungsgleichung. (F^>_i)^(t) =d/dt p^>_i<=>(F^>_i)^(t) -d/dt p^>_i=0 Sie sagt aus, daß ein dynamisches System unter Einwirkung der totalen Kraft (F^>_i)^(t) plus einer ''Trägheitskraft'' -d/dt p^>_i im Gleichgewicht ist. Hier führt, genau wie beim Prinzip der virtuellen Arbeit, eine Zerlegung der totalen Kraft in eine äußere Kraft F^>_i und eine Zwangskraft Z^>_i ,unter Berücksichtigung von Z^>_i*\delta r^>_i=0 , unmittelbar zum \stress\blue\ Prinzip von d'Alembert\normal\black\ : \blue\ sum((F^>_i-d/dt p^>_i)*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(4) Führt man generalisierte Koordinaten q_j ein, dann läßt sich der Ortsvektor r^>_i eines jeden Massenpunktes als r^>_i=r^>_i(q_1,q_2,...,q_n,t) darstellen, und für eine virtuelle Verschiebung \delta r^>_i , die ja unabhängig von der Zeit ist, ergibt sich \delta r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,j,) \ll(5) Die virtuelle Arbeit der Kraft F^>_i ergibt sich damit zu sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,i\,j,)=sum(Q_j \delta\ q_j,j,) \ll(6) wobei Q_j=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,) die\stress generalisierte Kraft\normal ist. \small\ (Q_j hat nicht zwangsläufig die Dimension einer Kraft. Aber Q_j*\delta\ q_j hat immer die Dimension einer Arbeit) Für den zweiten Term aus \ref(4) ergibt sich mit \ref(5) sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(d/dt (m_i v^>_i)*pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,i\,j,) \ll(7) Durch Ableiten unter Beachtung der Produktregel läßt sich die Beziehung sum(d/dt (m_i v^>_i)*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=sum(d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i)-m_i v^>_i*d/dt pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,) überprüfen, und man erhält aus \ref(7) mit v^>_i=d/dt r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i q^*_j+pdiff(\ ,t) r^>_i,j,)=>pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) r^>_i $ und d/dt pdiff(\ ,q_j) r^>_i=pdiff(\ ,q_j) d/dt r^>_i=pdiff(\ ,q_j) v^>_i sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum((d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i)-m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) v^>_i) \delta\ q_j,i\,j,) \ll(8) Mit Beachtung der Kettenregel und Identifizierung von 1/2 m_i v^>_i^2 mit der kinetischen Energie T_i wird d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i)=d/dt pdiff(\ ,q^*_j) (1/2 m_i v^>_i^2) $ zu $ d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T_i und m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) (1/2 m_i v^>_i^2) $ zu $ pdiff(\ ,q_j) T_i Da sum(T_i,i,) der gesamten kinetischen Energie T des Systems entspricht, läßt sich \ref(8) als sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T,j,) \ll(9) $ $ darstellen. Es ergibt sich also mit \ref(6) und \ref(9) aus dem Prinzip von d'Alembert \ref(4) sum((d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T-Q_j) \delta\ q_j,j,)=0 \ll(10) Für holonome Zwangsbedingungen sind die \delta\ q_j unabhängig voneinander und frei wählbar. Die Summe ist deshalb nur dann Null, wenn der Term in der Klammer Null ist. Somit erhält man n Gleichungen der Form d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T=Q_j \ll(11) Lassen sich die Kräfte aus einer skalaren Potentialfunktion V=V(r^>_1 ,r^>_2 ,...,r^>_n ,t) derart herleiten, daß F^>_i=-\Nabla_i V=-pdiff(\ ,r^>_i) V $ $ gilt, dann ergibt sich für die generalisierte Kraft Q_j=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=-sum(pdiff(\ ,r^>_i) V*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=-pdiff(\ ,q_j) V Dies eingesetzt in \ref(11) führt zu d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) (T-V)=0 Da V geschwindigkeitsunabhängig ist, kann man dafür auch d/dt pdiff(\ ,q^*_j) (T-V)-pdiff(\ ,q_j) (T-V)=0 $ schreiben, und mit der Definition der\stress Lagrange\-Funktion\normal \dsL=T-V ergeben sich letztendlich n\stress\blue Lagrange\-Gleichungen \blue\ d/dt pdiff(\dsL,q^*_j)-pdiff(\dsL,q_j)=0 \ll(12) Dieselben Differentialgleichungen erhält man auch aus dem Eulerschen Variationsprinzip, wenn man dort für die Funktion f die Lagrangefunktion \dsL einsetzt. Die Herleitung der Bewegungsgleichungen aus dem Variationsprinzip nennt man das\blue Prinzip der kleinsten Wirkung\black oder auch\blue Prinzip von Hamilton\black\ . \frameoff
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: Mechanik :: Physik :: Prinzip von d'Alembert :: Hamilton'sches Prinzip :: Euler-Lagrange-Gleichung :
Von d´Alembert zu Lagrange II [von KingGeorge]  
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"Physik: Von d´Alembert zu Lagrange II" | 10 Comments
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Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: KingGeorge am: Di. 26. Februar 2008 19:28:59
\(\begingroup\)Hallo zusammen, da bis jetzt niemand gemeckert hat 😉 , habe ich eine pdf-Version zur Verfügung gestellt. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: roomsixhu am: Mi. 19. März 2008 17:33:41
\(\begingroup\)Wunderbarer Artikel, den versteh sogar ich halbwegs. Schön wäre nur ein Hinweis über die vier verschiedenen Differentialschreibweisen: d/dt q_j entspricht q^* nach dem "Parameter" t abgeleitet \delta r^> ist für mich eine vektorielle Ableitung (was immer das ist), wirklich ist es eine virtuelle Verschiebung, eine Variation des Ortsvektors, bei festem t: \delta r^> = sum( pdiff(r^> ,q_j, ) \delta q_j,j=1,n) und pdiff(\ ,q_j) r^>_i steht für die partielle Ableitung nach j, wobei j die ausgewählten Dimensionen sind und i wohl die des Raumes des Vektors. n kann beispielsweise 3 oder 6 sein. Gruß Roomsixhu \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: KingGeorge am: Sa. 29. März 2008 13:40:14
\(\begingroup\)Hallo roomsixhu, dein Kommentar ist irgendwie "durchgerutscht", daher gibt es erst heute eine Antwort. ☹️ Du mußt zwischen einer wirklichen und einer virtuellen infinitesimalen Verschiebung unterscheiden \(d|r^> bzw. \delta|r^> \). Die virtuellen Verschiebungen sind von den tatsächlichen Verschiebungen zu unterscheiden. Die tatsächlichen Verschiebungen hängen z.B. auch von der Zeit ab, während für die virtuellen Verschiebungen, wegen der gedanklichen, momentan ausgeführten Verschiebung, \delta|t=0 gilt. Mathematisch gesehen, werden aber die Operatoren "\delta\" als auch "d" gleichbehandelt. Die virtuellen Verschiebungen müssen natürlich mit den Zwangsbedingungen verträglich sein \(man kann z.B. ein rollendes Rad nicht senkrecht zur Unterlage verschieben\), deshalb hängen "sie" natürlich auch von den q_j ab. pdiff(\ ,q_j) r^>_i verstehst du falsch. Das hat nichts mit "Dimensionen" zu tun. Wenn du z.B. ein Doppelpendel hast, wäre eine "günstige" Wahl der Koordinaten die beiden Winkel \phi_1 und \phi_2 , das heißt pdiff(\ ,q_j)=pdiff(\ ,\phi_1) bzw. pdiff(\ ,\phi_2) . Der Index i hat gar nichts mit irgendwelchen Dimensionen zu tun. Er identifiziert lediglich einen Massenpunkt, r^>_i ist also der Ortsvektor zum Massenpunkt Nr. i lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: roomsixhu am: Sa. 29. März 2008 19:11:20
\(\begingroup\)Hallo Georg, danke für die Hinweise. Ich glaube einem Leser mit mehr Ahnung bringen sie auch etwas. \delta und d habe ich schon auseinander gehalten: mit d wird die Physik, also Bahn, Temperatur, Schwingung beschrieben, weshalb t eine Rolle spielt. \delta ist Ausdruck, dass das ganze System stationär oder statisch oder im Gleichgewicht ist, sozusagen eine stabile Einheit (Planetensystem z.B.). \delta ist dann doch auch Ausdruck, dass das System gegenüber gewissen Abweichungen im Innern als Ganzes invariant ist. Oder? Oder ist das erst bei Hamilton so? Na ja, das pdiff(\ ,q_j) r^>_i war geraten. Ist dann ja einfacher als gedacht, aber man muss sich dann immer zu seinem Problem genaue Gedanken machen. (was ist das eigentlich für ein Symbol, dieses fantasievolle d? Also partielle Ableitung, schon klar, aber hat das Leibniz so hingeschrieben?) Um das ganze dann zu beherrschen muss ich aber noch viel, viel lernen. Ich habe hier mal bei K. H. Weise Differentialgleichungen nachgeblättert, er unterscheidet gar nicht zwischen Lagrange und D´Alembert, schreibt das ganze aber ein wenig anders hin, besonders kurz. Ich schlage vor die Ergänzungen hier, als eine Art Legende hinzuzufügen. Gruß Room 608 \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: KingGeorge am: Sa. 29. März 2008 21:26:50
\(\begingroup\)Room 608 schreibt "Hallo Georg, danke für die Hinweise. Ich glaube einem Leser mit mehr Ahnung bringen sie auch etwas. " Hallo Room, wenn noch "Klärungsbedarf" besteht, können wir das gerne im Forum diskutieren. Das ist erstens auch für "andere" Leser interessant und zweitens "hörst" du auch die Meinung anderer "Teilnehmer". lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: Ein-Stein am: Mo. 30. Juni 2008 12:44:56
\(\begingroup\)Hallo, also ich finde den Artikel klasse. Nur verstehe ich ihn nicht mehr so ganz ab: \ v^>_i=d/dt r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i q^*_j+pdiff(\ ,t) r^>_i,j,)=>pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) r^>_i $ Wo kommt denn das \ q^*_j auf einmal her? Resultiert das aus Gl. 5, weil d und \ \delta mathematisch gleich sind? \ \delta r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,j,) \ll(5) Aber dann verstehe ich nicht den zweiten Term nicht: \ pdiff(\ ,t) r^>_i Wo kommt der her? Danke. \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: KingGeorge am: Mo. 30. Juni 2008 19:01:22
\(\begingroup\)Hallo "Albert" 😁 zu deiner ersten Frage : ja Zu deiner zweiten Frage : r^>_i ist der Ortsvektor zu einem beliebigen Massenpunkt. Der kann natürlich auch von der Zeit abhängen. Siehe die "Formel" nach Gl Nr. 4. Für eine ausführliche Diskussion empfehle ich das Forum (siehe Kommentar vom 29.03.2008) 😉 lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 17. Dezember 2011 16:17:51
\(\begingroup\)Hallo zusammen! Ich hoffe mir kann wer helfen, obwohl der letzte Beitrag schon Jahre her ist 😛 Mir sind alle Schritte plausibel, außer die Ableitung mit der Produktregel ... Wieso kommt nach der Gleichung (7) ein Minus vor??? Produktregel geht doch so: (u*v)'= u'*v + u*v' Und nach welcher Verschiebung wird da abgeleitet? Da ich die Ableitung nicht nachvollziehen kann, ist mir das auch nicht klar ☹️ Hoffe es kann mir wer bis zu meiner Prüfung nächste Woche helfen! Danke! Mfg duke86 \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 17. Dezember 2011 16:41:14
\(\begingroup\)Oha!!!!!! Das ist eine Quotientenregel!!!!! 😮 Ok! Dann ist ja alles klar! 😁 \(\endgroup\)
 

Re: Von d´Alembert zu Lagrange II
von: fru am: Sa. 17. Dezember 2011 17:28:35
\(\begingroup\)Hallo Duke! Nein, dort wird nicht die Quotientenregel angewandt, sondern die Produktregel; und zwar in der Form u'v=(uv)'-uv' Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

 
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