Eigenschaften topologischer Vektorräume und Konvexität

Sprechen wir ein wenig über Eigenschaften topologischer Vektorräume. Die hervorstechendste ist natürlich, dass mit der Topologie ein Stetigkeits- und Konvergenzbegriff zur Verfügung steht (was freilich der Grund ist, warum man das überhaupt macht). Das ist besonders für die Funktionalanalysis von Bedeutung, die sich u.A. der Untersuchung eben dieser Begriffe auf den oben genannten Funktionenräumen verschrieben hat. Eine triviale, aber trotzdem wichtige Folgerung aus den Definitionen ist, dass jeder topologische Vektorraum X in Form von (X,+) auch eine topologische Gruppe ist. Über topologische Gruppen habe ich schonmal im Gruppenzwang VII geschrieben. Dort steht Einiges, was wir hier jetzt ohne Beweis wiederverwenden werden: Die Translationen x\mapsto\ x+a sind samt und sonders Homöomorphismen X->X. Ebenso sieht man sofort, dass die Multiplikation mit einem Skalar \l!=0 ein solcher Homöomorphismus ist. Was wir auch brauchen werden: Jeder topologische Vektorraum ist T_3, d.h. es gibt eine Umgebungsbasis der 0 \(und damit auch jedes anderen Punktes\), die aus abgeschlossenen Mengen besteht. Als besonders wichtige Eigenschaft für Optimierungs- und Fixpunktprobleme hat sich die Eigenschaft der Konvexität erwiesen, die wir nun ebenfalls in unsere Untersuchungen einbeziehen wollen. Außerdem definieren wir noch schnell zwei Begriffe, die wir aufgrund der fehlenden Norm in unseren Vektorräumen extra benötigen werden: Man nennt balancierte Mengen auch "kreisförmig", was den Geist dieser Definition auch sehr gut widerspiegelt, wie ich finde. Man sieht den Definitionen von Konvexität von Balanciertheit sofort an, dass der Durchschnitt konvexer/balancierter Mengen ebenfalls diese Eigenschaft hat. Demzufolge ist die konvexe Hülle co(A) tatsächlich die kleinste konvexe Menge, die A enthält. Wir wollen als Vorbereitung auf Weiteres zwei Lemmata beweisen, die uns zeigen, dass sich Konvexität und Balanciertheit hervorragend mit der Struktur von X als topologischem Vektorraum verträgt: \blue\ Beweis: Sei für den ersten Teil \l\in\ [0,1] beliebig. \blue\ (a) Ist O offen, so sind \l*O und (1-\l)*O offen oder ={0} => \l*O+(1-\l)*O ist offen. Gilt zusätzlich O\subseteq\ A, so ist \l*O+(1-\l)*O offen und in A, also \subseteq\ A^opimg(\circ). Da \l beliebig war, ist A^opimg(\circ) konvex. \blue\ (b) Sei f: X\times\ X->X: (x, x')\mapsto\l\.x+(1-\l)x'. Dann ist f stetig und es gilt f(A\times\ A)\subseteq\ A aufgrund der Konvexität von A => A\times\ A\subseteq\ f^(-1)(A)\subseteq\ f^(-1)(A^-) => A^-\times\ A^-=(A\times\ A)^-\subseteq\ f^(-1)(A^-) => A^- ist konvex, da \l beliebig. \blue\ (c) Seien a, a'\in\ A, b, b'\in\ B beliebig. => \l(a+b)+(1-\l)(a'+b')=(\l\.a+(1-\l)a')+(\l\.b+(1-\l)b')\in\ A+B => A+B konvex. \blue\checked Sei nun für den zweiten Teil \l\in\IK mit abs(\l)<=1 beliebig gewählt. \blue\ (a') Falls \lambda=0 ist, so ist \lambda*A^opimg(\circ)=menge(0)\subseteq\ A^opimg(\circ) nach Voraussetzung. Ist \lambda!=0, so ist \lambda*A^opimg(\circ) offen und Teilmenge von A, weil A balanciert ist, also \lambda*A^opimg(\circ)\subseteq\ A^opimg(\circ) => A^opimg(\circ) ist balanciert. \blue\ (b') Für \l=0 ist die Aussage klar, sei also \l!=0. A\subseteq\ A^- => \l*A\subseteq\ A\subseteq\ A^- Da \l*A^- abgeschlossen ist, folgt => \l*A^-=(\l*A)^-\subseteq\A^- => A^- ist balanciert. \blue\ (c') \l*(A+B)=\l*A+\l*B\subseteq\ A+B => A+B balanciert. \blue\ q.e.d Auch das Bilden der konvexen Hülle co(A) ist sehr gut verträglich mit den topologischen Eigenschaften: \blue\ Beweis: Wir stellen zunächst fest, dass man die konvexe Hülle wie folgt explizit angeben kann: 1. Man setzt A_0:=A und A_(n+1):=union((\l\.A_n+(1-\l)A_n),\l\in\ intervall(0,1)). Dann ist co(A)=union(A_n,n\in\IN) 2. co(A)=menge(sum(\l_i*a_i,i=1,n) | n\in\IN, \l_i>=0, sum(\l_i,i=1,n)=1, a_i\in\ A). \blue\ (a) Wir haben vorhin schon festgestellt, dass mit A auch \l*A+(1-\l)*A offen ist. Also ist mit obigen Bezeichnungen jedes A_n, also auch co(A) offen. \blue\ (b) Wir wählen ein Element x\in\ co(A), d.h. es gibt n,\l_i und a_i wie oben mit x=sum(\l_i*a_i,i=1,n). Weiter sei \mue\in\IK mit abs(\mue)<=1. Dann gilt \mue\.x=sum(\l_i*(\mue\.a_i),i=1,n)\in\ co(\mue\.A)\subseteq\ co(A). \blue\ (c) Für jedes x\in\ X konvergiert 1/n*x gegen 0, d.h. es gibt für jede Nullumgebung U ein N\in\IN mit \forall\ n>=N: x_n\in\ U. Insbesondere ist dann 1/N*x\in\ U => x\in\ N*U => U absorbierend. \blue\ (d) Sei U eine beliebige Nullumgebung. Da die Skalarmultiplikation m:\IK\times\ X->X stetig in 0 ist, gibt es eine offene Menge um (0,0) in m^(-1)(U). Dann gibt es auch ein \eps>0 und eine offene Menge V mit menge(\l\in\IK | abs(\l)<\eps)\times\ V\subseteq\ m^(-1)(U). => \forall\ r: abs(r)<\eps => r*V\subseteq\ U Wir setzen also W:=union(r*V,abs(r)<\eps). Wie man leicht einsieht, ist diese Menge balanciert, offen, eine Nullumgebung und in U enthalten. \blue\ q.e.d.

Lokalkonvexe Räume

Was ist nun ein lokalkonvexer Raum? Es gibt im Wesentlichen zwei Herangehensweisen an diesen Begriff. Zum einen kann man sagen, dass man mit lokalkonvexen Räumen versucht, den Begriff des normierten Raums zu verallgemeinern, indem man statt nur einer Norm eine ganze Familie von "Halbnormen" auf X betrachtet und X mit diesen topologisiert. Auf diese Weise lassen sich diverse Räume schnell als lokalkonvexe erkennen, indem man eine geeignete Familie von Halbnormen findet. Außerdem erleichtert diese Sichtweise die geometrische Anschauung für lokalkonvexe Räume. Andererseits kann man den Begriff auch abstrakter fassen und definieren, dass ein lokalkonvexer Raum ein topologischer Vektorraum ist, der eine Umgebungsbasis der 0 (und damit auch jedes anderen Punktes) aus konvexen Mengen hat. Offenbar leitet sich auch der Begriff "lokalkonvexer Raum" von diesem Blickwinkel ab. Wie ich schon sagte, sind das zwei Herangehensweisen an denselben Begriff. Wir werden nämlich gleich beweisen, dass beide möglichen Definitionen äquivalent sind. Schauen wir uns zunächst genauer an, was es mit den Halbnormen und der Topologie auf sich hat: Man beachte, dass Halbnormen nicht definit zu sein brauchen, d.h. es kann \(und wird i.A. auch\) x\in\ X geben, sodass p(x)=0, aber x!=0 ist. Jedoch sind sie immer nichtnegativ, da aus (a.i) und (a.ii) sofort 0=p(0*x)=p(x-x)<=p(x)+p(-x)=2*p(x) => p(x)>=0 folgt. Wir wollen noch ein paar wichtige Eigenschaften der Topologie \tau_P festhalten, die das Verständnis und den Umgang damit erleichtern können: Bzgl. der Topologie \tau_p konvergiert ein Netz ((x_i)) \(wahlweise auch ein Filter \phi\) genau dann gegen x, wenn p(x_i-x) \(respektive p(\phi-x)\) gegen 0 geht für alle p\in\ P, wie man sich leicht klarmacht. Nicht ganz so klar, aber auch einfach, ist die Erkenntnis, dass X mit jedem \tau_P zu einem topologischen Vektorraum wird. Der Beweis läuft analog dazu, dass in einem normierten Raum Addition und Skalarmultiplikation stetig sind, man muss nur Folgen durch Netze oder - wem das lieber ist - Filter ersetzen. Kommen wir nun also direkt zum Satz, der die Äquivalenz beider Sichtweisen behauptet: \blue\ Beweis: \blue\ (a)=>((b_1)) Diese Richtung ist noch die einfachere: Die Menge \frakO_0 aller endlichen Durchschnitte von \eps,p-Kugeln um 0 bildet die gesuchte Umgebungsbasis. Aus Dreiecksungleichung und Homogenität folgt, dass die \eps,p-Kugeln auch konvex sind. Da sich Konvexität auf Durchschnitte überträgt, folgt die Behauptung. Als nächstes zeigen wir die Äquivalenz der Aussagen ((b_1)) bis ((b_3)): \blue\ ((b_1))=>((b_2)) Wir haben in \ref(Lemma 4) schon festgestellt, dass es eine Nullumgebungsbasis aus offenen, balancierten Mengen gibt. Haben wir also U\in\frakU_0, so finden wir ein offenes, balanciertes V_U\subseteq\ U mit 0\in\ V_U. co(V_U) ist nun nach \ref(Lemma 3) offen und balanciert und selbstverständlich auch konvex. Da U konvex ist, ist co(V_U)\subseteq\ U. Wir setzen also \frakO_0:=menge(co(V_U) | U\in\frakU_0). \blue\ ((b_2))=>((b_3)) An dieser Stelle benötigen wir, dass topologische Vektorräume stets T_3 sind, d.h. es gibt eine Nullumgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen. Wir wählen zu jedem U\in\frakO_0 eine abgeschlossene Nullumgebung V_U\subseteq\ U. Weil \frakO_0 jedoch selbst eine Umgebungsbasis ist, finden wir unterhalb von V_U wiederrum ein M_U\in\frakO_0. Dieses M_U ist nun nach Vorausetzung balanciert und konvex. All diese Eigenschaften übertragen sich auf (M_U)^-\subseteq(V_U)^-=V_U\subseteq\ U. Wir setzen also \frakA_0:=menge((M_U)^- | U\in\frakU) und haben die gesuchte Umgebungsbasis gefunden. \blue\ ((b_3))=>((b_1)) Dieser Schluss ist schlussendlich trivial. Das Letzte, was zu zeigen ist, ist, dass eine der b-Aussagen (a) impliziert. Das kommt nun zum Abschluss: \blue\ ((b_2))=>(a) Wir werden hierzu die Minkowski\-Funktionale__ betrachten. Sei C\subseteq\ X. Dann definieren wir p_C: X->intervall(0,\inf) durch: p_C(x):=inf menge(\l\in\IR | \l>0, x\in\l*C) Man sieht anhand der Definitionen sofort, dass p_C genau dann reellwertig ist, wenn C absorbierend ist. Ist C balanciert, so ist p_C homogen. Ist p_C(x)=\inf, so ist das klar. Wir nehmen also direkt an, dass p_C(x) reell ist \(und C damit insbesondere nichtleer\). Da C balanciert ist, gilt für abs(\l)<=abs(\mue) stets \l*C\subseteq\mue*C. Also ist insbesondere 0\in\ 1/2^k*C für alle k, also p_C(0)=0. Wir können für den Nachweis der Homogenität also oBdA a!=0 annehmen. Dann gilt x\in\l*C <=> abs(a)x\in\ abs(a)\l*C <=> ax\in\ abs(a)\l*C wie man sich leicht überzeugt. Daraus folgt p_C(ax)=abs(a)*p_C(x) wie behauptet. Ist C konvex, so erfüllt p_C die Dreiecksungleichung. Wir stellen zunächst fest, dass für \l_1, \l_2>0 und c_1, c_2\in\ C wegen der Konvexität \l_1\.c_1+\l_2\.c_2=(\l_1+\l_2)*(\l_1/(\l_1+\l_2)*c_1+\l_2/(\l_1+\l_2)*c_2)\in\ (\l_1+\l_2)*C gilt, d.h. \l_1*C+\l_2*C\subseteq(\l_1+\l_2)*C. Sind nun also \l_1 und \l_2 derart, dass x_1\in\l_1*C und x_2\in\l_2*C ist, so gilt: x_1+x_2\in(\l_1*C+\l_2*C)\subseteq(\l_1+\l_2)*C => p_C(x_1+x_2)<=\l_1+\l_2 => p_C(x_1+x_2)<=p_C(x_1)+p_C(x_2). Wir halten fest: Das Minowski\-Funktional p_C ist eine Halbnorm, wenn C absorbierend, balanciert und konvex ist. Das gefällt uns ja schonmal ganz gut. Wir definieren nun P als menge(p_C | C\in\frakO_0). Zu zeigen bleibt dann, dass \tau=\tau_P ist. Sei daher C\in\frakO_0. Wir zeigen, dass p_C stetig bzgl. \tau ist. Dazu zeigen wir p_C^(-1)(intervallgo(0,1))=C. Ist p_C(x)<1, so gibt es ein \l<1 mit x\in\l*C\subseteq\ C => p_C^(-1)(intervallgo(0,1))\subseteq\ C. Sei umgekehrt x\in\ X mit p_C(x)>=1, dann ist nach Definition x\notin\l*C für alle 0<\l<1 =>\forall\ 0<\l<1: x/\l\in\ X\\C => x=lim(\l\textuparrow\ 1,x/\l)\in\ X\\C, da X\\C abgeschlossen ist. Also ist p_C^(-1)(intervallgo(0,1))=C wie behauptet. Aus der Homogenität ergibt sich dann sofort p_C^(-1)(intervallgo(0,\eps))=\eps*C für alle \eps>0. Aus der Dreiecksungleichung folgt abs(p_C(x_1)-p_C(x_2))<=p_C(x_1-x_2) für alle x_1, x_2\in\ X. Sind nun x\in\ X und \eps>0 beliebig, so ist also V:=\eps*U+x eine Umgebung von x, für die p_C(V)\subseteq\ intervalloo(p_C(x)-\eps,p_C(x)+\eps) gilt. p_C ist damit stetig. Da somit alle p_C stetig sind, ist \tau mindestens so fein wie die lokalkonvexe Topologie \tau_P, wie man sich leicht klarmacht. Es bleibt die Umkehrung zu zeigen. An der Stelle brauchen wir, dass \frakO_0 tatsächlich eine Umgebungs||basis__ der 0 ist. Denn da \frakO_0\subseteq\tau_P ist und \tau durch die Translate von \frakO_0 erzeugt werden kann, muss \tau\subseteq\tau_P sein. \blue\ q.e.d.

Totale Beschränktheit, (Quasi-)Vollständigkeit und Kompaktheit

Eine weitere wichtige Eigenschaft, die uns das Leben schöner macht, ist die allseits beliebte Kompaktheit. Wir werden dazu grundlegende Begriffe einführen, die schon aus der Untersuchung metrischer Räume bekannt sein könnten: Ist X nicht nur eine topologischer, sondern sogar ein metrisierbarer Vektorraum, dann sind die Definitionen von totaler Beschränktheit und Vollständigkeit zu der bekannten metrischen Variante äquivalent, sofern man die die Topologie erzeugende Metrik translationsinvariant wählt (was oBdA möglich ist, wenn es überhaupt eine erzeugende Metrik gibt). Die Definition der Beschränktheit ist dies jedoch i.A. nicht, da z.B. die Metrik selbst als beschränkte Funktion gewählt werden kann, sodass ganz X metrisch beschränkt ist, während ganz X in obigem Sinne niemals beschränkt ist. In normierten Räumen stimmen dann aber wieder beide Beschränktheitsbegriffe mit den bekannten überein. In der Tat sind diese Definitionen Spezialfälle der entsprechenden Definition für uniforme Räume (jeder metrische Raum und jeder topologische Vektorraum ist ein uniformer Raum), auf die ich hier aber nicht eingehen will. Halten wir zunächst die Eigenschaften der neuen Begriffe fest, die man vom Namen her erwarten würde: \blue\ Beweis: \blue\ (a) Das ist klar. \blue\ (b) Dies folgt unmittelbar aus der Definition von Kompaktheit, da menge(x+U | x\in\ X) eine offene Überdeckung von X ist, wenn U eine offene Nullumgebung ist. \blue\ (c) Sei nun A total beschränkt und U eine beliebige Nullumgebung. Dann gibt es eine offene, balancierte Nullumgebung V mit V+V\subseteq\ U \(die Addition ist stetig\). Da A total beschränkt ist, gibt es eine endliche Menge F\subseteq\ X mit A\subseteq\ F+V. Da F endlich ist, ist F kompakt. F\subseteq\ X=union(\l*V,\l>=1), also gibt es ein \l>=1 mit F\subseteq\l*V. \(die \l*V sind aufsteigend, da V balanciert ist. Also besteht eine endliche Teilüberdeckung in der Tat nur aus einer einzigen Menge.\) => A\subseteq\ F+V\subseteq\l*V+V\subseteq\l*V+\l*V=\l(V+V)\subseteq\l*U. \blue\ (d) Sei ((x_i))_(i\in\ I) ein Netz mit x_i->x. Seien weiter U und V Nullumgebungen mit V-V\subseteq\ U. Dann gibt es ein i_0\in\ I, sodass \forall\ i>=i_0: x_i-x\in\ V. => \forall\ i,i'>=i_0: x_i-x_i'=(x_i-x)-(x_i'-x)\in\ V-V\subseteq\ U => ((x_i)) ist ein Cauchy\-Netz Ist analog \phi ein Filter mit \phi->x, so ist x+V\in\phi => (x+V)-(x+V)=V-V\subseteq\ U => \phi ist ein Cauchy\-Filter. \blue\ q.e.d. Für die Anwendung in Fixpunktsätzen sind besonders die Mengen interessant, die kompakt und konvex sind. Kompakte Mengen an sich sind in allgemeinen Räumen jenseits der einpunktigen Mengen schon nicht so "häufig" und nicht so einfach zu finden wie in endlichdimensionalen Räumen. Wie soll man nun erwarten, dass es wirklich viele kompakte und konvexe Teilmengen gibt? Es stellt sich heraus, dass zumindest lokalkonvexe Räume aber dennoch genügend viele konvexe Kompakta haben. Genauer werden wir aus den gleich folgenden Lemmata die Tatsache erhalten, dass der Abschluss der konvexen Hülle eines Kompaktums selbst kompakt ist: \blue\ Beweis: \blue\ (a) Offenbar reicht es, wenn wir uns zum Nachweis auf eine Umgebungsbasis zurückziehen. Wir benutzen dazu eine Nullumgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen. \(Da X T_3 ist, gibt es sowas\). Sei also U eine beliebige abgeschlossene Umgebung der 0. A ist total beschränkt, d.h. es gibt eine endliche Menge F=menge(x_1, ..., x_n)\subseteq\ X, sodass A\subseteq\ F+U ist. F+U=union(x_i+U,i=1,n) ist als endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen. => A^-\subseteq\ F+U => A^- ist total beschränkt. \blue\ (b) Kümmern wir uns nun um die konvexe Hülle. Es gibt eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen. Sei U eine davon und V eine weitere, sodass V+V\subseteq\ U \(das geht, da die Addition stetig ist\). Es gibt dann auch eine endliche Menge F mit A\subseteq\ F+V\subseteq\ co(F)+V. co(F) und V sind konvex, also ist es auch co(F)+V => co(A)\subseteq\ co(F)+V. co(F) ist aber nicht nur konvex, sondern auch kompakt: Dazu setzen wir \D:=menge(\l\in\IR^n | \l_i>=0, sum(\l_i,i=1,n)=1) und f: \D->X, \l\mapsto\ sum(\l_i*x_i,i=1,n). Dann ist f stetig und \D kompakt. co(F) ist nun genau das Bild von f, also kompakt. Das wiederum sagt uns, dass es eine endliche Menge F'\subseteq\ X gibt, sodass co(F)\subseteq\ F'+V ist. => co(A)\subseteq\ co(F)+V\subseteq\ (F'+V)+V\subseteq\ F'+U => co(A) ist total beschränkt. \blue\ q.e.d. Wir stellen nun einen Zusammenhang zwischen (Quasi-)Vollständigkeit, totaler Beschränktheit und Kompaktheit her, den man schon von den metrischen Räumen her kennt: \blue\ Beweis: \blue\ (a)=>(b) Wie gesehen ist jede kompakte Menge total beschränkt. Jedes Cauchy\-Netz ((x_i))_(i\in\ I) auf A besitzt ein konvergentes Teilnetz ((x_i_j))_(j\in\ J), da A kompakt ist. Wir imitieren den bekannten Beweis für metrische Räume, um zu zeigen, dass auch ((x_i)) konvergiert: Sei x Grenzwert dieses Teilnetzes. Seien U und V Nullumgebungen, sodass V+V\subseteq\ U. Seien weiter i_0\in\ I, sodass \forall\ i,i'>=i_0: x_i-x_i'\in\ V, und j_0\in\ J derart, dass \forall\ j>=j_0: x_i_j-x\in\ V. Für jedes i>=i_0 gibt es ein j\in\ J mit i_j>=i \(Definition eines Teilnetzes\), welches wir oBdA >=j_0 wählen. Dann ist \forall\ i>=i_0: x_i-x=(x_i-x_i_j)+(x_i_j-x)\in\ V+V\subseteq\ U. Da U beliebig war, gilt also x_i->x wie behauptet. \blue\ (b)=>(c) Das ist trivial. \blue\ (c)=>(a) Sei also A total beschränkt, quasi\-vollständig und oBdA nichtleer. Sei \phi ein Ultrafilter mit A\in\phi. Wir zeigen, dass \phi ein Cauchy\-Filter ist und daher in A konvergiert. Sei dazu U eine beliebige Nullumgebung und V eine Nullumgebung mit V-V\subseteq\ U \(die Subtraktion ist stetig\). Dann existiert eine endliche Menge F\subseteq\ X mit A\subseteq\ F+V=union(x+V,x\in\ F) A\in\phi => F+U\in\phi => \exists\ x\in\ F: x+V\in\phi, da \phi Ultrafilter. Für dieses x+V gilt nun: (x+V)-(x+V)=V-V\subseteq\ U. Da U beliebig war, ist \phi ein Cauchy\-Filter. Da \phi A enthält, A beschränkt und quasi\-vollständig ist, konvergiert \phi gegen ein a\in\ A. \blue\ q.e.d. \blue\ Beweis: Das ergibt sich sofort: Ist ((x_i)) ein \(beschränktes\) Cauchy\-Netz in A, dann konvergiert ((x_i)) in X. Weil die x_i aus A sind, ist jeder Grenzwert in A^-=A enthalten, also konvergiert ((x_i)) bereits in A. \blue\ q.e.d. Das liefert uns nun das schon angesproche Resultat darüber, dass in lokalkonvexen Räumen "genügend viele" Mengen existieren, die kompakt und konvex sind: \blue\ Beweis: \ref(Lemma 9) sagt, dass co(A) und damit auch co(A)^- total beschränkt sind. \ref(Lemma 11) sagt, dass co(A)^- quasi\-vollständig ist. Beides zusammen ergibt nach \ref(Lemma 10) die Kompaktheit. \blue\ q.e.d. Man kann Satz 12 auch mehr oder weniger direkt beweisen, indem man eine Familie von definierenden Halbnormen P benutzt. Zu jedem p\in\ P kann man dann den Raum X_p als die Vervollständigung des normierten Raums X \/ menge(x\in\ X | p(x)=0) definieren. Die Idee ist dann, X in das Produkt produkt(X_p,p\in\ P) einzubetten. co(A) ist dann in einem Produkt kompakter Mengen enthalten, also ist der Abschluss von co(A) im Produkt kompakt. Die Quasi\-Vollständigkeit braucht man dann, um zu zeigen, dass dieser Abschluss noch ganz in X liegt.

Beispiele

Nach all der Theorie wollen wir uns nun einmal anschauen, welche Räume denn nun lokalkonvex sind und welche nicht.

Beispiele für Lokalkonvexe Räume

Um eine lokalkonvexe Topologie auf einem \IK\-Vektorraum anzugeben, ist es äußerst komfortabel, eine Halbnormfamilie P anzugeben, sodass \tau_P die gewünschte Konvergenz erzeugt. Es sei auch nochmal daran erinnert, dass bzgl. \tau_P ein Netz ((x_i))_(i\in\ I) bzw. ein Filter \phi genau dann gegen x\in\ X konvergiert, wenn für alle p\in\ P das Netz p(x_i-x) bzw. der Filter p(\phi-x) gegen 0 konvergieren. Diese Eigenschaft lässt sich nutzen, um sehr elegant die Gleichheit von Topologien zu zeigen, denn zwei Topologien \tau und \tau^~ sind ja genau dann gleich, wenn die gleichen Netze \/ Filter gegen die gleichen Punkte konvergieren bzgl. beider Topologien. Fangen wir mit den Beispielen an: Die erste Aussage ergibt sich sofort, da man naheliegenderweise einfach P=menge(norm(opimg(*))) wählen kann. Für die zweite Aussage sei ((x_i))_(i\in\ I) ein Cauchy\-Netz. Wenn man die Definition auf diese Situation anwendet, kommt man zur wohlbekannten Bedingung: \forall\eps>0\exists\ i_0\in\ I\forall\ i,i'>=i_0: norm(x_i-x_i')<\eps Jetzt hilft ein Standardtrick, um aus der Konvergenz von Cauchy\-Folgen die von Cauchy\-Netzen zu bekommen: Wir wählen rekursiv für jedes k\in\IN ein i_k\in\ I, sodass i_k>=i_(k-1) und \forall\ i,i'>=i_k: norm(x_i-x_i')<1/2^k gilt. Die Folge ((x_i_k))_(k\in\IN) ist dann offenbar eine Cauchy\-Folge, also gegen ein x\in\ X konvergent. Ist nun k\in\IN beliebig, so gibt es ein N\in\IN mit norm(x_i_n-x)<1/2^k für alle n>=N. Für alle i>=i_k und >=i_N gilt dann: norm(x_i-x)<=norm(x_i-x_i_k)+norm(x_i_k-x)<1/2^k+1/2^k=1/2^(k-1) => ((x_i))->x Umgekehrt ist klar, dass in einem Raum, indem jedes Cauchy\-Netz konvergiert, erst recht jede Cauchy\-Folge konvergieren muss. Sehr viele Beispiele für lokalkonvexe Räume erhält man auf einen Schlag mit dem folgenden Satz: \blue\ Beweis: Dazu setzen wir P=menge(p_i\circ\ f_i | i\in\ I, p_i\in\ P_i) und behaupten, dass \tau_P gleich der initialen Topologie \tau ist. Dazu erinnern wir uns, dass ein Filter \phi auf X genau dann gegen x\in\ X bzgl. \tau konvergiert, wenn alle f_i(\phi) gegen f_i(x) konvergieren. Hat man nun einen Filter \phi auf X, so gilt: \phi->x bzgl. \tau_P <=>\forall\ i\in\ I\forall\ p_i\in\ P_i: (p_i\circ\ f_i)(\phi-x)->0 <=>\forall\ i\in\ I\forall\ p_i\in\ P_i: p_i(f_i(\phi)-f_i(x))->0 <=>\forall\ i\in\ I: f_i(\phi)->f_i(x) <=>\phi->x bzgl. \tau Also stimmt \tau_P mit der Initialtopologie \tau überein. Zur Vollständigkeitsaussage: Ist produkt(X_i,i\in\ I) \(quasi\-\)vollständig und ((x_j))_(j\in\ J) ein \(beschränktes\) Cauchy\-Netz in X_i, so ist durch x'_ij:=cases(0,i!=j;x_j,i=j) ein \(beschränktes\) Cauchy\-Netz im Produkt gegeben, welches dort also konvergiert. Damit konvergiert ((x_j)) auch in X_i. Ist umgekehrt jedes X_i \(quasi\-\)vollständig und ((x_ij))_(j\in\ J) ein \(beschränktes\) Cauchy\-Netz von X, so ist für festes i_0\in\ I offenbar ((x_(i_0\.j)))_(j\in\ J) auch ein \(beschränktes\) Cauchy\-Netz in X_i_0, d.h. es gibt ein x_i_0\in\ X_i_0, gegen das dieses Netz konvergiert. Damit konvergiert das Netz ((x_ij)) gegen das Element ((x_i_0))_(i_0\in\ I)\in\ produkt(X_i,i\in\ I). \blue\ q.e.d. Es ist X^\Omega=produkt(X,\omega\in\Omega) und die Topologie der punktweisen Konvergenz ist genau die Produkttopologie. Damit ergibt sich das aus \ref(Satz 13). Auch das ist sofort evident, weil man als Halbnormfamilie einfach die eingeschränkten Halbnormen nehmen kann. Der Dualraum X' ist ein Unterraum von \IK^X. Die schwach\-\*\-Topologie ist nur eine andere Bezeichnung für die Topologie der punktweisen Konvergenz. Dieser Raum ist nicht immer vollständig, da X' nicht abgeschlossen zu sein braucht, d.h. der punktweise Limes eines Netzes stetiger Funktionale muss nicht stetig sein \(Linearität der Grenzfunktion ist aber immer gegeben\). Unter relativ schwachen Zusatzvoraussetzungen an X \(die beispielsweise von vollständig metrisierbaren, lokalkonvexen Räumen mit Leichtigkeit erfüllt werden\) kann man aber etwa zeigen, dass der punktweise Limes einer Folge__ von stetigen Funktionalen selbst stetig ist. Dazu betrachten wir die Halbnormen p_x'(x):=abs(x'(x)) für x'\in\ X'. Offenbar induziert dies die schwache Konvergenz. Man kann es auch als weiteren Spezialfall von \ref(Satz 13) auffassen, denn die schwache Topologie ist die initiale Topologie auf X bzgl. der Menge X'. Ein Netz von Operatoren ((T_i)) konvergiert genau dann gegen T in der starken\/schwachen Operatortopologie, wenn \forall\ x\in\ X: T_i(x)->T(x) in Y bzw. \forall\ x\in\ X, y'\in\ Y': y'(T_i(x))->y'(T(x)) gilt. Jetzt kann man wieder \ref(Satz 13) einbringen: Die starke Operatortopologie ist die initiale bzgl. menge(T\mapsto\ T(x) | x\in\ X) und die schwache die bzgl. menge(y'(T(x)) | x\in\ X, y'\in\ Y'). Dazu kann man offenbar P={0} wählen. Dazu definieren für jeden Multiindex \a\in\IN^n und jedes Kompaktum K\subseteq\Omega die Halbnorm p_\a,K wie folgt: p_\a,K\.(f):=sup(x\in\ K,norm((D^\a f)(x))) Offenbar sorgt diese Halbnorm für die gleichmäßige Konvergenz der \a-ten \(gemischten\) Ableitung auf K. C^\inf statten wir nun mit der Halbnormfamilie P:=menge(p_\a,K | \a\in\IN^n, K\subseteq\Omega kompakt) aus. Der so definierte lokalkonvexe Raum wird auch mit \calE(\Omega) bezeichnet. Wir erkennen, dass \calE(\Omega) mit dieser Topologie vollständig ist, da ein Cauchy\-Netz ((f_i))_(i\in\ I) in \calE(\Omega) offenbar auch ein Cauchy\-Netz ((((f_i))_\|K))_(i\in\ I) bzgl. der Supremumsnorm induziert, welches konvergiert, da C(K) vollständig ist, wie wir oben bereits feststellten. Die entsprechend zusammengesetzte Grenzfunktion f liegt dann in \calE(\Omega), weil nicht nur die f_i, sondern auch alle Ableitungen gleichmäßig konvergieren, f also unendlich oft differenzierbar ist. Äquivalent könnte man die Halbnormen p_m,K(f):=sup(abs(\a)<=m,sup(x\in\ K, norm((D^\a f)(x)))) für m\in\IN, K\subseteq\Omega kompakt nehmen, das ist manchmal einfacher zu handhaben. Kommen wir nun zu C_c^\inf. Dazu stellt man sich vor, dass C_c^\inf\.(\Omega)=union(\calD_K(\Omega),array(K\subseteq\Omega;kompakt)) ist und die Topologie dies widerspiegeln sollte. Dabei ist \calD_K die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf \Omega, deren Träger in K enthalten ist. Wir oben kann man \calD_K durch die Halbnormen p_\a,K mit \a\in\IN^n lokalkonvex topologisieren. Bezeichne \tau_K diese Topologie auf \calD_K. Dann topologisieren wir C_c^\inf durch P:=menge(p:C_c^\inf->\IR | p ist Halbnorm, \forall\ K\subseteq\Omega kompakt ist p_\|\calD_K stetig bzgl. \tau_K) und nennen den entstehenden Raum \calD(\Omega). Diese zunächst nicht so naheliegende Vorgehensweise hat den Vorteil, dass \tau_K zur Teilraumtopologie von \calD_K wird, \calD_K abgeschlossen in \calD ist, sich lineare Abbildungen auf \calD einfacher beschreiben lassen, \calD und \calD_K vollständig sind etc. Technisch gesprochen handelt es sich hierbei um einen strikten, induktiven Limes. Darauf möchte ich jetzt aber nicht genauer eingehen. Es sei jedoch erwähnt, dass der Dualraum \calD(\Omega)' der Raum der array(Distributionen auf \Omega)____ ist und daher große Bedeutung etwa für die Physik hat. Der Raum \calE(\Omega) ist auch in der Distributionentheorie von Bedeutung, wo \calE(\Omega)' den array(Distributionen mit kompaktem Träger)____ entspricht. Nochmal zur Erinnerung: Eine Funktion f:\IR^n->\IK heißt schnell fallend, wenn lim(norm(x)->\inf, x^\a*f(x))=0 für alle Multiindizes \a\in\IN^n gilt. \(wobei x^\a als x_1^\a_1*...*x_n^\a_n zu verstehen ist.\) \calS(\IR^n) ist dann definiert als menge(f\in\ C^\inf\.(\IR^n) | \forall\b\in\IN^n: D^\b f ist schnell fallend) Man kann den Schwartz\-Raum nun mit Hilfe der Halbnormen p_\a,\b\.(f):=sup(x\in\IR^n,norm(x^\a*(D^\b f)(x))) lokalkonvex topologisieren. Auch dieser Raum ist nun vollständig. Der Schwartz\-Raum ist ebenfalls in der Distributionentheorie von Bedeutung: \calS(\IR^n)' entspricht den so genannten array(temperierten Distributionen)____.

Ein Beispiel für einen nicht-lokalkonvexen Raum

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