Mathematik: Ein Faserprodukt
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Mathematik

\(\begingroup\) Der chinesische Restsatz und die Berechnung der Galoisgruppe eines Kompositums finden in einem einfachen Lemma eine gemeinsame Verallgemeinerung. Anschließend wird der chinesische Restsatz geometrisch formuliert.

Was ist zunächst einmal ein Faserprodukt? Das Faserprodukt eines Diagramms der Form A bigop(\textrightarrow,,,f) C bigop(\textleftarrow,,,g) B in einer Kategorie besteht aus einem Objekt array(A opimg(\times)_C B) zusammen mit Morphismen A bigop(\textleftarrow,,,p_1) A opimg(\times)_C B bigop(\textrightarrow,,,p_2) B, das universell mit der Eigenschaft f p_1 = g p_2 ist. Es handelt sich also um Produkte in der Kategorie der Objekte über C. In der Kategorie der Gruppen (resp. R\-Moduln, Ringe) ist z.B. $ A opimg(\times)_C B = menge((a,b) \in A \times B : f(a)=g(b)) mit den evidenten Projektionen, und mehr werden wir hier nicht brauchen. Die Bezeichnung Faserprodukt rührt daher, dass A opimg(\times)_C B die Vereinung der Produkte von Fasern f^(-1)(c) \times g^(-1)(c) mit c \in C ist. \blue\Lemma 1\black Es seien G eine Gruppe und H,K Normalteiler von G. Dann ist die kanonische Abbildung $ G\/(H \cap K) \to G\/H opimg(\times)_(G\/(H \cdot K)) G\/K ein Isomorphismus. Entsprechendes gilt für Untermoduln eines R\-Moduls und für Ideale eines Ringes oder einer R\-Algebra. \darkblue\Beweis.\black Beachte, dass HK aufgrund der Normalität von H und K ein Normalteiler von G ist. Die Injektivität der Abbildung ist klar. Ist nun ([x],[y]) \in G\/H opimg(\times)_(G\/(HK)) G\/K gegeben, so folgt x^(-1) y \in HK, etwa y = x h k mit gewissen h \in H, k \in K. Dann ist [x h] \in G\/(H \cap K) ein Urbild. \bigbox Dieses Lemma scheint nur im Falle H \cdot K = G gut bekannt zu sein, bzw. bei Ringen für I+J=R, wo sich der übliche chinesische Restsatz R\/(I \cap J) ~= R\/I \times R\/J ergibt. Als weiterer Spezialfall ergibt sich folgendes Lemma, das nur für den Fall E \cap E' = K gut bekannt zu sein scheint. \blue\Lemma 2\black Seien E,E',E \cap E' endliche Galoiserweiterungen eines Körpers k. Dann ist die kanonische Abbildung $ Gal(E \cdot E'\/k) \to Gal(E\/k) opimg(\times)_(Gal(E \cap E'\/k)) Gal(E'\/k) ein Isomorphismus. \darkblue\Beweis.\black Setze G=Gal(E \cdot E'\/k), H = Gal(E \cdot E'\/E), K = Gal(E \cdot E'\/E'). Dann sind H,K Normalteiler von G mit G\/H ~= Gal(E\/k), G\/K ~= Gal(E'\/k). Die Inklusion H K \subseteq Gal(E \cdot E'\/E \cap E') ist bereits eine Gleichheit, denn wegen H \cap K = {1} und Gal(E \cdot E'\/E) ~= Gal(E'\/E \cap E') haben beide Gruppen dieselbe Kardinalität. Es folgt G\/(H \cdot K) ~= Gal(E \cap E'\/K). Aus Lemma 1 folgt somit die Behauptung. \bigbox Zwei Beispiele: \squaredot Die Galoisgruppe von (X^3-2) \cdot (X^3-3) berechnet sich zu array( ) Gal(\IQ(root(3,2),sqrt(3) i)\/\IQ) opimg(\times)_(Gal(\IQ(sqrt(3) i) \/ \IQ)) Gal(\IQ(root(3,3),sqrt(3) i) \/ \IQ) array( )~= S_3 opimg(\times)_(\IZ\/2) S_3 ~= A_3 \ltimes S_3 ~= \IZ\/3 \ltimes D_3 array( ) ~= < x,y,z | x^2 = y^3 = z^3 = 1, yz = zy, zxz = x, yxy= x > \squaredot Setzt man im vorigen Lemma K=\IQ, E = \IQ(\zeta_n), E' = \IQ(\zeta_m), so folgt $ (\IZ\/\kgV(n,m))^\* ~= (\IZ\/n)^\* opimg(\times)_((\IZ\/\ggT(n,m))^\*) (\IZ\/m)^\* Wieder sieht man, dass dies eine Folge aus Lemma 1 ist. \blue\Lemma 3\black Es seien X ein Schema und U,V quasi\-kohärente Untermoduln eines quasi\-kohärenten array(\calO_X)\-Moduls M. Dann ist die kanonische Abbildung $ M\/(U \cap V) \to M\/U opimg(\times)_(M\/(U+V)) M\/V ein Isomorphismus von array(\calO_X)\-Moduln. Entsprechendes gilt für quasi\-kohärente Ideale einer quasi\-kohärenten array(\calO_X)\-Algebra. \darkblue\Beweis.\black Zunächst einmal ist U \cap V schnittweise definiert, und U+V sei das Bild des kanonischen Morphismus U \oplus V \to M. Wenn nun auf einem offenen, affinen Teil \Spec(R) \subseteq X die array(\calO_X)\-Moduln M,U,V zu den R\-Moduln N,P,Q assoziiert sind, sodass P,Q Untermoduln von N sind, so ist M\/(U \cap V) auf \Spec(R) zu N\/(P \cap Q) assoziiert und M\/U opimg(\times)_(M\/(U+V)) M\/V zu N\/P opimg(\times)_(N\/(P+Q)) N\/Q. Die Behauptung folgt daher aus Lemma 1. \bigbox \blue\Lemma 4\black Es seien X ein Schema und I,J quasi\-kohärente Ideale von \calO_X. Dann gilt $ V(I) \cup V(J) = V(I) coprod(V(J),V(I) \cap V(J),opimg( )) in der Kategorie der über X affinen Schemata. Dabei ist V(I) = Spec array(\calO_X)\/I als abgeschlossenes Unterschema von X aufzufassen. \darkblue\Beweis.\black Das globale Spec liefert eine Antiäquivalenz zwischen der Kategorie der quasi\-kohärenten array(\calO_X)\-Algebren und der Kategorie der über X affinen Schemata. Mit Lemma 3 folgt somit $ V(I \cap J) = V(I) coprod(V(J),V(I+J),opimg( )). Es gilt aber V(I \cap J)=V(I) \cup V(J) und V(I+J)=V(I) \cap V(J), da dies auf offenen affinen Teilen klar ist. \bigbox Die Verallgemeinerung des chinesischen Restsatzes hat also eine anschauliche, geometrische Bedeutung gefunden: Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Unterschemata von X ist ihre amalgamierte Summe über ihrem Durchschnitt. Jedenfalls in der Kategorie der über X affinen Schemata. Ich weiß nicht, ob es auch in der Kategorie aller X\-Schemata gilt \(Nachtrag: Ja, siehe Karl Schwedes Paper "Gluing schemes and a scheme without closed points"\), geschweige denn ob da überhaupt amalgamierte Summen existieren \(Nachtrag: Nein!\). Lässt sich das alles irgendwie auf mehr als zwei Faktoren bzw. Summanden verallgemeinern? \(Nachtrag: Nein!\)
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Ein Faserprodukt [von Martin_Infinite]  
Der chinesische Restsatz und die Berechnung der Galoisgruppe eines Kompositums finden in einem einfachen Lemma eine gemeinsame Verallgemeinerung. Anschließend wird der chinesische Restsatz geometrisch formuliert.
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"Mathematik: Ein Faserprodukt" | 4 Comments
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Re: Ein Faserprodukt
von: Fragezeichen am: Mi. 26. März 2008 21:03:46
\(\begingroup\)Hi Martin, freut mich Dich wieder auf dem MP zu sehen. Leider komme ich die nächsten Tage nicht dazu den Artikel zu lesen, doch das werde ich nachholen. Herzliche Grüße, ?\(\endgroup\)
 

Re: Ein Faserprodukt
von: Martin_Infinite am: Mi. 19. August 2009 13:22:12
\(\begingroup\)die frage im artikel, ob es sich auch um ein pushout in der kategorie der schemata handelt, ist mit ja zu beantworten. siehe dazu www-personal.umich.edu/~kschwede/SchemeWithoutPoints.pdf 3.9.\(\endgroup\)
 

Re: Ein Faserprodukt
von: Martin_Infinite am: Mi. 12. März 2014 00:55:22
\(\begingroup\)Lemma 1 geht noch etwas allgemeiner: Es seien $H,K \subseteq G$ Untergruppen, wobei $HK=KH$ (damit das ebenfalls eine Untergruppe ist). Dann ist $\xymatrix{G/{H \cap K} \ar[r] \ar[d] & G/H \ar[d] \\ G/K \ar[r] & G/{HK}}$ in der Kategorie der $G$-Mengen ein kartesisches Diagramm (=Pullback=Faserprodukt). Das kann man sich so vorstellen, dass der Funktor $H \mapsto G/H$ das kartesische Diagramm $\xymatrix{{H \cap K} \ar[r] \ar[d] & H \ar[d] \\ K \ar[r] & {HK}}$ erhält. Und noch allgemeiner: Wenn $H \subseteq U \supseteq K$ Untergruppen von $G$ sind, so ist $\displaystyle G/H \times_{G/U} G/K \cong \coprod_{HaK \in H/U\backslash K} G/(H \cap aKa^{-1})$\(\endgroup\)
 

Re: Ein Faserprodukt
von: Martin_Infinite am: Di. 05. Januar 2016 21:12:18
\(\begingroup\)Eine weitere Verallgemeinerung: Sei $A$ eine algebraische Struktur (im Sinne der universellen Algebra). Es seien $U,V$ zwei Kongruenzen auf $A$. Es seien $U \wedge V$ und $U \vee V$ das Infimum bzw. Supremum von $U,V$ in der partiellen Ordnung der Kongruenzen auf $A$. Es ist also einfach $U \wedge V$ der Durchschnitt von $U,V$, aber $U \vee V$ ist etwas komplizierter zu beschreiben: $\displaystyle (a,b) \in U \vee V \Leftrightarrow \exists n \in \mathds{N}, x_1,\dotsc,x_n \in A: x_1 = a, x_n = b, (x_i,x_{i+1}) \in \left\{\begin{array}{cl} U & i \text{ gerade} \\ V & i \text{ ungerade}\end{array}\right.$ Das kommutative Diagramm von Inklusionen von Kongruenzen $\displaystyle \begin{tikzcd} U \wedge V \ar{r} \ar{d} & U \ar{d} \\ V \ar{r} & U \vee V\end{tikzcd}$ induziert ein kommutatives Diagramm von Projektionen: $\displaystyle \begin{tikzcd} A/(U \wedge V) \ar{r} \ar{d} & A/U \ar{d} \\ A/V \ar{r} & A/(U \vee V)\end{tikzcd}$ Wir erhalten damit einen Homomorphismus $\displaystyle \alpha : A/(U \wedge V) \longrightarrow A/U \times_{A/(U \vee V)} A/V,$ welcher sich auf Elementen durch $\displaystyle a \bmod (U \wedge V) \mapsto (a \bmod U, a \bmod V)$ beschreiben lässt. Offenbar ist $\alpha$ injektiv. Die Frage ist also: Wann ist $\alpha$ surjektiv? Eine hinreichende Bedingung ist $U \circ V = V \circ U$, wobei $\circ$ die übliche Komposition von Relationen bezeichnet. In diesem Falle vereinfacht sich nämlich $U \vee V = U \circ V$. Ist nun $(a \bmod U,b \bmod V) \in A/U \times_{A/(U \vee V)} A/V$ gegeben, so folgt $(a,b) \in U \vee V = U \circ V$. Es gibt also ein $c \in A$ mit $(a,c) \in U$ und $(c,b) \in V$. Also ist $c \bmod (U \wedge V)$ ein Urbild von $(a \bmod U,b \bmod V)$ unter $\alpha$. Dies zeigt: Chinesischer Restsatz. Sei $A$ eine algebraische Struktur. Es seien $U,V$ zwei Kongruenzen auf $A$ mit $U \circ V = V \circ U$. Dann sind $U \cap V$ und $U \circ V$ Kongruenzen auf $A$ mit $A/(U \cap V) \cong A/U \times_{A/(U \circ V)} A/V.$ Die Voraussetzung $U \circ V = V \circ U$ ist manchmal automatisch erfüllt, zum Beispiel für Gruppen, abelsche Gruppen, $R$-Moduln, Ringe, kommutative Ringe, Lie-Algebren. Hier erhält man also jeweils einen chinesischen Restsatz. Lemma 1 im Artikel ist ein Spezialfall dieser Beobachtung.\(\endgroup\)
 

 
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