Mathematik: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
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Analysis

\(\begingroup\)\(- Student der Mathematik bis zum 5. Semester - Studium der Luft- und Raumfahrttechnik mit Schwerpunkt Luftverkehr - Quereinstieg in die Informationssicherheit - tätig als Consultant für Cyber Defense\)
da_bounce und FlorianM schreiben:

§2 Die Beweisverfahren




Im ersten Teil unserer Vorlesung über die Analysis I haben wir schon einige Sätze und Behauptungen bewiesen. Nun wollen wir nacheinander verschiedene Beweismethoden der Mathematik motivieren und einführen, damit wir ab Kapitel 3 diese dann im Schlaf beherrschen. Vor allem die vollständige Induktion muss euch in Fleisch und Blut übergehen. Deshalb wird es dazu auch die meisten Beispiele geben.
Es gab schon früher einen Artikel über "Die Beweisverfahren". Wenn man diesen auch noch liest und sich weitere Beispiele im Internet oder in Büchern anschaut, sollte man nach und nach das Beweisen lernen.
Wir geben aber auch zu, dass man bei einigen Behauptungen schon eine sehr pfiffige Idee braucht, und es für Anfänger fast unmöglich ist, ohne Hilfe auf diese Idee zu kommen. Aber nur durch kontinuierliches Üben kann man die Beweismethoden trainieren.



§2 Die Beweisverfahren



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In euer ersten Vorlesungswoche werdet ihr schnell feststellen, dass ihr eine komplett andere Mathematik lernen werdet. Diese besteht aus Definitionen, Sätzen und Beweisen. Es braucht eine gewisse Zeit bis ihr euch an das, was man als Universitätsmathematik bezeichnet, gewöhnt habt.
Wer Mathematik studiert, muss sich an den Stil der Vorlesung erstmal gewöhnen.
Das Tempo in der Universität ist schnell, wenn nicht sogar rasend schnell und einige werden damit zu kämpfen haben. Ja, auch uns ging das teilweise so.

Wie hat man sich das vorzustellen? Wenn man zuvor noch keine Uni geschnuppert hat, der wird sicher denken, dass man sich in eine Vorlesung reinsetzen wird und nach Ablauf der Zeit hat man das verstanden, was dort erzählt wurde. Sprich wie der Mathematikunterricht in der Schule. Der Lehrer erzählt was, gibt dann Beispiele zu dem Thema und danach darf der Schüler alleine rechnen.

Wir wollen euch nicht gleich entmutigen, aber vergesst einfach die Art und Weise wie "Mathematik" in der Schule euch beigebracht wurde. Nun wollt ihr an die Universität oder seid es bereits. Dort werdet ihr was anderes zu Gesicht bekommen.

An der Uni steht der Dozent an einer großen Tafel und schreibt meistens irgendwelche Definitionen, Sätze, Theoreme an. Ab und an werden dann noch diese Sätze oder Definitionen bewiesen. Es gibt aber auch Dozenten, die es sich ein wenig einfacher machen und dann Dinge sagen wie z.B. "Der Satz ist trivial und muss nicht bewiesen werden"; "Na, das folgt doch gerade aus dem Satz, den ich an die Tafel geschrieben habe" oder er sagt zu seinen Studenten: "Den Satz könnt ihr ganz leicht in der S-Bahn beweisen."
Es könnte also gut sein, dass damalige Überflieger, also damit meinen wir Schüler, die in Mathe immer durchweg 12-15 Punkte hatten, schnell an ihre Grenzen stoßen und das erste Mal wahrscheinlich dazu gezwungen werden, sich ausgiebig mit der Mathematik an der Universität zu beschäftigen.

Nach diesem weiteren kurzen Vorwort wollen wir nun endlich mit Kapitel 2 starten.

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2.1 Direkter Beweis

Man geht von der (gegebenen, wahren) Voraussetzung A aus und zeigt durch Umformen oder Folgern, dass aus A die Aussage B folgt.

Mathematisch ausgedrückt untersucht man:
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Starten wir mit einem Beispiel:

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Jetzt wollen wir noch einige Beispiele für direkte Beweise aus der Mengenlehre liefern, wie im ersten Kapitel versprochen, um die Vielfalt des direkten Beweises deutlich zu machen:

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1. Schritt: Wir tragen bekannte Wahrheitswerte ein:

Tabelle 1

2. Schritt: Auch die Wahrheitswerte der Negation können ohne Probleme eingetragen werden:

Tabelle 2

3. Schritt: Wir überlegen uns, was die Konjunktion bedeutet. Dazu können wir in unsere Tabelle im ersten Kapitel schauen oder wir wissen es noch:

Tabelle 3

4. Schritt: Was bedeutet das "Oder"?:

Tabelle 4

5. Schritt: Nun bleibt noch die Äquivalenz zu untersuchen. Das bedeutet, wir müssen schauen, ob die in vorigen Tabelle fett markierten Wahrheitswerte übereinstimmen:

Tabelle 5

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a) und b) stellen die sogenannten De Morgansche Gesetze dar.

Da man ganz einfach, so wie oben beschrieben, vorgehen kann, zeigen wir hier nur die fertigen Wahrheitstafeln auf, aber auch das, was wir zuletzt vergleichen müssen:

a)
Tabelle a)

b)
Tabelle b)

c)
Tabelle c)

d)
Tabelle d)

e)
Tabelle e)

So, nun haben wir also Beweise mit Wahrheitstafeln bewiesen. Die Aussagen wurden durch logische Schlussfolgerungen bewiesen. Wir fassen zusammen:
Beim direkten Beweis beweist man die Aussage durch logische Schlussfolgerungen.

Genau dies wollen wir anhand der Mengenlehre tun:

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Kleine Anmerkung: Bei den Beweisen zu den Aufgaben a) und b) haben wir die Distributivgesetze der Aussagenlogik verwendet.

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Das war der direkte Beweis.

Was wir eben gerade (in Beispiel 9) bewiesen haben, ist das Bildungsgesetz im Pascalschen Dreieck.
Schaut euch diese Bilder mal an und sucht nach Auffälligkeiten. Ihr werdet erstaunt sein, was im Pascalschen Dreiecks alles so versteckt ist.
Siehe dazu auch einen Artikel auf mathematik.de bzw. auf wikipedia.de.

Pascalsche Dreieck 1
Pascalsche Dreieck 2

2.2 Der indirekte Beweis

Der indirekte Beweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise.
Man geht dabei so vor:
1. Man geht einfach vom Gegenteil aus
2. Man versucht dann den Beweis zu einem Widerspruch zu führen
3. Da der Beweisgang legitim und logisch war, muss die Annahme falsch gewesen sein, also folgt die Behauptung des Satzes.

Wir betrachten einige Beispiele:

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by FlorianM
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2.3 Konstruktive Beweise

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Betrachten wir einmal den Funktionsgraphen der Funktion:
Konstruktiver Beweis

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Nicht-konstruktiver Beweis

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Wir hoffen, der Unterschied dieser beiden Methoden ist deutlich geworden.
by FlorianM
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2.4 Vollständige Induktion

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Eine Art Herleitung und Erklärung der vollständigen Induktion gibt es schon in dem alten Artikel "Die Beweisverfahren". Wir möchten uns der vollständigen Induktion nun mit Hilfe der Peano-Axiome annähern, die folgendes besagen:

Die natürlichen Zahlen können durch die folgenden Axiome charakterisiert werden:

• Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger. Zu jedem n existiert also ein n+1.
• 1 ist die kleinste natürliche Zahl.
• Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
• Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen nur endlich viele weitere natürliche Zahlen.
• Durch Abzählung, beginnend bei 1, durchläuft man in Einerschritten alle natürlichen Zahlen.

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Und das ist der ganze Trick bei der vollständigen Induktion. Denn wenn man zeigt, dass die Aussage auch für den entsprechenden Nachfolger gilt, hat man die Aussage für alle n bewiesen. Um dies nochmals zu verdeutlichen, sei euch dieser Artikel ans Herz gelegt.

Wir müssen nun einige Beispiele behandeln, damit das klar wird und werden uns zunächst dabei auf die klassischen Beispiele beschränken. Darüber hinaus werdet ihr sehen, dass die Induktion weite Anwendungen findet und dass dieses Hilfsmittel eine breite Anwendung in der Mathematik hat.

Beispiel 1:
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Beispiel 2:
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Beispiel 3: Bernoullische Ungleichung
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Beispiel 4:
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Beispiel 5:
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Beispiel 6:
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Beispiel 7:
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Beispiel 8:
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by FlorianM
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2.5 Lösungen zu den Übungsaufgaben

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Ihr seht, die Induktion wird auch bei allgemeinen Beweisen verwendet. Ingenieure bekommen meist Zahlen ;)
by FlorianM
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Abschluss und Literatur

Das war nun unser zweiter Teil. Das dritte Kapitel wird auch bald folgen und dort werden dann endlich die reellen Zahlen eingeführt. Wir werden alles auf ein mathematisches Fundament stellen, damit wir mit den reellen Zahlen so "rechnen" können, wie wir es von der Schule her gewohnt sind. Einige fragen sich vielleicht, warum wir das nicht jetzt schon können!? Na, dann lest den nächsten Artikel. ;)

Als Literaturempfehlung wollen wir diesmal ein englischsprachiges Werk geben und zwar "How to prove it". Denn auch im Studium kommt man nicht herum, englische Literatur zu lesen, denn ab gewissen Semestern gibt es einfach kaum noch deutsche Fachliteratur. Und warum sollten sich die Verlage die Mühe machen, diese Bücher zu übersetzen? ;)

Wir wünschen gutes Gelingen. :-)

Ein Danke geht natürlich auch wieder zu unseren fleißigen Testlesern.
by FlorianM
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Trennlinie
-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
-> §5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

by FlorianM
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :: Beweistechnik :: Binomialkoeffizienten :: Studium :
Analysis I - §2 Die Beweisverfahren [von da_bounce]  
Zweiter Teil der Artikelserie zur Analysis I. Hier geht es um die Beweisverfahren wie direkter Beweis oder vollständige Induktion. Wir geben sehr viele Beispiele mit ausführlichen (!) Lösungen an.
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"Mathematik: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren" | 15 Comments
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Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Martin_Infinite am: Fr. 04. April 2008 18:20:17
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Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: FlorianM am: Fr. 04. April 2008 18:25:29
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Hallo Martin,
danke für deine ausführlichen Ergänzungen und ich stimme dir auch in der Meinung zu, dass man nicht blind nur mit Induktion arbeiten sollte. Im Artikel selbst ging es uns aber in erster Linie um die Verdeutlichung des Prinzips der vollständigen Induktion. Deine Ausführung sind aber eine gelungene Ergänzung. Vielen Dank dafür! ;)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Jonathan_Scholbach am: Fr. 04. April 2008 18:55:04
\(\begingroup\)
Ihr schreibt


Wir geben aber auch zu, dass man bei einigen Behauptungen schon eine sehr pfiffige Idee braucht, und es für Anfänger fast unmöglich ist, ohne Hilfe, auf diese Idee zu kommen. Aber nur durch kontinuierliches Üben kann man die Beweismethoden trainieren.

Das stimmt. Aber man kann es auch so formulieren: Durch kontinuierliches Üben kann man tatsächlich die Beweismethoden trainieren und sich in beeindruckendem Maße verbessern.

In meinen Augen ist das die Hauptbeschäftigung während des Mathestudiums und es ist sehr verblüffend, welche Fortschritte man erzielen kann. Für mich ist es immer am interessantesten, wenn ich einen meiner (zahlreichen) Denkfehler entlarve.

Viele Grüße,

Jonathan\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: da_bounce am: Fr. 04. April 2008 21:16:10
\(\begingroup\)
Hallo Martin,

ich schließe mich schon deinen Ausführungen ab aber und jetzt kommt es, dass was du da hingeschrieben hast verstehen maximal 35% der Erstsemestler :) und natürlich gibt es andere Methoden um zum Ziel zu kommen, denn es heißt ja nicht umsonst viele Wege führen nach Rom!

Wie FlorianM schon sagte wir wollten die Vorgehensweise der Induktion beschreiben und das ist denke ich gelungen.

lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Redfrettchen am: Fr. 04. April 2008 21:36:48
\(\begingroup\)
Hallo,
gelungene Fortsetzung des ersten Teils, würde ich sagen :D - auch wenn ich zugegebenermaßen die Induktionsbeispiele und -aufgaben nur großzügig überfolgen habe.
Als Anfänger wäre ich wahrscheinlich von dem ersten Produktzeichen bei der Definition der Fakultät erschlagen worden. Wäre es nicht besser gewesen, das induktiv zu erklären (mit Hinweis auf den Text weiter unten)?

Grüße!
Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Wally am: Fr. 04. April 2008 22:57:04
\(\begingroup\)
Hallo, ihr beiden,

leider seid ihr einer (zugegeben sehr haüfigen) Unsauberkeit aufgesessen.

Man unterscheide den indirekten Beweis vom Widerspruchsbeweis.
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Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: cristiano am: Sa. 05. April 2008 11:11:26
\(\begingroup\)
Hallo zusammen
Ist ein wirklich guter Artikel, mit guten Beispielen!!
Gerade für Anfänger wirklich sehr gut geeignet!!
Ihr habt bei der Einführung des "Summenzeichens und des Produktzeichens" (Beweisart: Induktion, Bsp. 6) , beim Verschieben des Laufindex bei den Indizes Fehler gemacht (Laufindex k, aber in der Summe bzw. Produkt immer a_n).

Gruss cristiano\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Xerdon am: Sa. 05. April 2008 15:23:39
\(\begingroup\)
Vielen Dank für den tollen Artikel, der einfach schön die ganzen Beweisverfahren zusammenfasst :-)

Gruß
Xerdon\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: javra am: Sa. 05. April 2008 19:01:32
\(\begingroup\)
Vollständige Induktion beim Domino Day?
Wollen sie den Rekord jetzt also doch auf abzählbar unendlich viele Steine erhöhen!\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: sebastiano am: Sa. 31. Mai 2008 01:20:23
\(\begingroup\)
Hallo Jungs! Gute Arbeit!!!
Gruß Sebastian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: FlorianM am: Sa. 31. Mai 2008 08:13:28
\(\begingroup\)
Danke Sebastian. :)

Viele sonnige Grüße nach Düsseldorf!
Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: Mathador111 am: Sa. 13. September 2008 18:36:38
\(\begingroup\)
Hallo,
auch von mir ein großes Lob. Für mich, als einer der gerade den Mathematik Vorkurs belegt, eine sehr sehr schöne Sache eure Artikel.
Allerdings ist mir aufgefallen, dass in Kapitel 2 der Beweis zur Anzahl der Elemente einer Potenzmenge fehlt (es wurde zumindest in Kapitel 1 gesagt, dass er in 2 kommen wird unter Vollständige Induktion).

viele Grüße, Christian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: FlorianM am: Sa. 13. September 2008 19:18:13
\(\begingroup\)
Hallo Christian,
danke für das Lob. Hat uns sehr gefreut.  :-)

Das mit dem fehlenden Beweis stimmt. Das haben wir ganz groß in Kapitel 1 angekündigt, dann aber wohl vergessen. Wir werden dies bei Gelegenheit nachholen.

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: FlorianM am: So. 12. Oktober 2008 08:28:58
\(\begingroup\)
Hallo,
es steht jetzt auch eine pdf-Datei zur Verfügung. :)

Vielen Dank an Redfrettchen!

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §2 Die Beweisverfahren
von: mightym0e am: Di. 06. März 2012 19:23:44
\(\begingroup\)
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