Mathematik: Figurierte Zahlen
Released by matroid on Sa. 05. April 2008 19:35:06 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) In diesem Artikel geht es um verschiedene Arten von figurierten Zahlen. Dazu gehört natürlich zuerst einmal die Erklärung: Was ist eine figurierte Zahl? Wenn du dies wissen willst, lies die Einführung! Krischi



Figurierte Zahlen sind Zahlen, die sich in einer bestimmten Anordnung von Objekten darstellen lassen. Diese Objekte können beispielsweise Kreise sein, die Anzahl der Kreise ist dann der Wert der auf diese Weise figurierten Zahl.
Beispiel: Wir figurieren die Dreieckszahl von 5 (siehe Abschnitt "Dreieckszahlen").
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Ich wünsche viel Spaß beim Lesen dieses Artikels!


Die Dreieckszahl
Die Dreieckszahl d(n) mit n\el\ \IN ist die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, also: d(n)=sum(k,k=1,n)=1+2+3+...+n Als Grundschüler sollte Carl Friedrich Gauß alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100 addieren, also 1+2+3+...+100 berechnen. Anstatt aber brav Zahl für Zahl zu addieren, schrieb er auf seine Schiefertafel: 1+ 2+ 3+...+ 98+ 99+100 100+ 99+ 98+...+ 3+ 2+ 1 Diese beiden Terme addierte er folgendermaßen: 101+101+101+...+101+101+101=100*101=10100 Da er zwei Terme gleichen Wertes addiert und als Ergebnis 10100 herausbekommen hatte, folgerte er: 1+2+3+...+98+99+100=10100/2=5050 Dieses Ergebnis war richtig. Gauß beschäftigte sich daraufhin weiter mit Dreieckszahlen und erhielt die Formel: d(n)=sum(k,k=1,n)=(n*(n+1))/2 Diese lässt sich so zeigen: Man denke sich ein Rechteck mit den Kantenlängen n und n+1. Nun zerlegt man es so (Beispiel für n=5): Bild Wie man sieht, ist der Flächeninhalt des Rechtecks n*(n+1)=2*d(n) =>d(n)=(n*(n+1))/2 Die ersten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10, 15, ...


Die Quadratzahl
Eine Quadratzahl ist eine Zahl der Form n^2 mit n\el\ \IN. Es gilt auch: (-n)^2=n^2=sum((2i-1),i=1,n). Ferner ist n^2=2d(n)-n (siehe Dreieckszahlen). Die Quadratzahl heißt deshalb Quadratzahl, weil sich die Zahl auch in einem n*n-Quadrat darstellen lässt.


Die zentrierte Quadratzahl

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Beispiele für n=1, n=2, n=3 und n=4

Eine zentrierte Quadratzahl zu einer Zahl n mit n\el\ \IN (im Folgenden: q_z(n)) lässt sich wie oben darstellen. Für jede zentrierte Quadratzahl gilt: q_z(n)=1+4*(n*(n+1))/2=1+4*d(n) (siehe Dreieckszahlen) Außerdem gilt für jedes q_z(n) mit n>=3: q_z(n)=d(n)+2*d(n+1)+d(n+2) =(n*(n+1))/2+2*((n+1)*(n+2))/2+((n+2)*(n+3))/2 Das lässt sich umformen zu: ((n^2+n)+2*(n^2+3n+2)+(n^2+5n+6))/2 =(4n^2+12n+10)/2 =2n^2+6n+5 Außerdem ist q_z(n)=n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1 Die Folge der zentrierten Quadratzahlen ist 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, ...


Die Sechseckszahl

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Sechseckszahlen

Die n-te Sechseckszahl, p_6(n), ergibt sich aus einem Sechseck mit einer Kantenlänge von n Punkten (Eckpunkte mitgezählt), und p_6(n-1) innerhalb dieses Sechsecks, so, dass ein Eckpunkt der Sechsecke übereinstimmt. Die Definition einer k-Eckszahl ergibt sich, wenn man im letzten Satz jede sechs bzw. 6 durch k ersetzt.


Die zentrierte Sechseckszahl

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Sechseckszahlen

Die zentrierte Sechseckszahl von n (z_6(n)) kann man als Sechseck mit der Kantenlänge n Punkte (inklusive Eckpunkte) mit mit Kreisen ausgefüllter Fläche darstellen (siehe oben). Diese Definition kann man auch für die zentrierte k-Eckszahl anwenden, indem man im obigen Satz jede sechs bzw. 6 durch k ersetzt. Es gilt: z_6(n)=1+3n*(n+1)=1+6*d(n) Die ersten zentrierten Sechseckszahlen sind 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, ...
Die Tetraederzahl
Die n-te Tetraederzahl (t(n)) ist eine räumliche Erweiterung der Dreieckszahlen. Dabei werden die Dreiecksdarstellungen (in Kugeln, s.o.) der Dreieckszahlen von d(1) bis d(n) zu einem Tetraeder aufgestapelt. Man kann die Tetraederzahlen für die d-te Dimension erweitern. Dann gilt: (n+d-1;d)=(n*(n+1)*(n+2)*...*(n+(d-1)))/d! Die ersten Tetraederzahlen sind 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, ...


Die Kubikzahl Die Kubikzahl ist eine Zahl der Form n^3 mit n\el\ \IN. Sie ist die Summe der ersten n zentrierten Sechseckszahlen. Die ersten Kubikzahlen sind 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, ...


Schluss Ich danke allen, die diesen Artikel gelesen haben und hoffe, dass er interessant war. Als Quellen habe ich Wikipedia benutzt, die Bilder stammen ebenfalls von Wikipedia. Ich würde mich über positive sowie negative Kritik sehr freuen. Viele Grüße, Krischi
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: Mathematik :: Figurierte Zahlen :
Figurierte Zahlen [von krischi]  
In diesem Artikel geht es um verschiedene Arten von figurierten Zahlen. Dazu gehört natürlich zuerst einmal die Erklärung: Was ist eine figurierte Zahl?
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"Mathematik: Figurierte Zahlen" | 7 Comments
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Re: Figurierte Zahlen
von: KlausLange am: Mo. 07. April 2008 08:21:47
\(\begingroup\)Wenn ich mir die Folge der jeweils zentrierten Quadrat- und Sechseck-Zahlen anschaue und auf Primzahlen hin durchforste, dann gibt es leuchtende Augen... Gibt es dazu einige Sätze / Vermutungen ?\(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: krischi am: Mo. 07. April 2008 16:31:32
\(\begingroup\)Vermutungen sind mir keine bekannt, aber leuchtende Augen kriege ich auch! 😁 \(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: krischi am: Mo. 07. April 2008 16:35:59
\(\begingroup\)Haut wohl nicht hin... schau mal da unter "Zentrierte Sechseckszahlen und andere geometrische Zahlen"... Krischi 😮 \(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: Hyp am: Mo. 07. April 2008 21:55:01
\(\begingroup\)Thematisch passt hierzu auch von Conway und Guy "The book of numbers", Kapitel 2. Gruß, Hyp\(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: KlausLange am: Di. 08. April 2008 10:06:08
\(\begingroup\)@Krischi: Mmmm. Habe ich gelesen, aber das sagt nicht, dass daraus nicht unendlich viele Primzahlen generiert werden können. Jedenfalls habe ich viele gesehen in der verlinkten Liste...\(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 08. April 2008 11:13:00
\(\begingroup\)Eine Frage: Dreieckszahlen werden im Internet meist auf einem rechtwinkligen Dreieck angeordnet. Welche Rolle spielt in der Betrachtung von Dreieckszahlen das gleichseitige Dreieck als Fortsetzung der Tetraktys. Für eine Beantwortung meiner Frage wäre ich Ihnen sehr dankbar. Armin Rieble Lohholzstr.1 83071 Stepzhanskirchen ah.rieble@gmx.de\(\endgroup\)
 

Re: Figurierte Zahlen
von: ZetaX am: Sa. 12. April 2008 04:49:22
\(\begingroup\)Vielleicht erwähnenswert: In Analogie zu Dreiecks-, Quadrat- und Sechseckszahlen kann man, wie im Artikel genannt, allgemeiner auch n-Eckszahlen definieren, die Anordnung sieht dabei im Prinzip so aus wie bei den (gewöhnlichen, nicht zentrierten) Sechseckszahlen. Für diese gilt der folgende Satz: Sei n eine natürliche Zahl. Dann ist jede natürliche Zahl m Summe von höchstens n n-Eckszahlen. Außerdem gibt es derartige Zahlen m, die nicht Summe von weniger als n n-Eckszahlen sind. Der Fall n=4 ist der berühmte 4-Quadrate-Satz. Den Fall n=3 kannte bereits Gauß, dieser Fall ist aber wesentlich schwerer als der erstgenannte (er benötigt einen Teil des 3-Quadrate-Satzes). In der allgemeinen Version wurde diese Aussage bereits von Fermat vermutet (und wie so manch andere Behauptung irgendwo zusammen mit der Aussage, einen Beweis zu kennen, niedergekritzelt 😉 ). Eine wesentlich allgemeinere Fassung, aber ohne genauere Kenntnis der Konstante C findet sich durch: Sei f(x) ein ganzzahliges (oder etwas schwächer: eines, das nur ganzzahlige Werte annimmt) Polynom. Sei M = { f(n) | n \in IN } und sei d = ggT(M) der größte gemeinsame Teiler aller Elemente von M. Dann gibt es natürliche Zahlen C und D derart, dass alle Vielfachen von d, die größer als D sind, sich als Summe von höchstens C Elementen aus M schreiben lassen. Insbesondere gilt: Ist 1 \in M, so gibt es eine Zahl C, so dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens C Elementen aus M schreiben lässt. Alle hier genannten figurierten Zahlen lassen sich als Werte von Polynomen beschreiben, und bei allen ist 1 darstellbar. Somit gibt es also jeweils eine Konstante C, so dass sich alle natürlichen Zahlen als Summe von je höchstens C Tetraeder-, Kubik- oder zentrierten Sechseckszahlen schreiben lassen.\(\endgroup\)
 

 
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