Mathematik: Alternierende Multilinearformen
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Analysis

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[AG] Globale Analysis

Globale Analysis

Kapitel 1: Differentialformen



Abschnitt 1: Multilineare Algebra


Hermann GrassmannHermann Grassmann In diesem und den folgenden Artikeln wollen wir die Grundlagen legen für das Rechnen mit Differentialformen und ihre Anwendungen in der Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten, wobei wir hoffen, einmal bis zum Satz von Stokes zu kommen. Wir konstruieren zunächst die Graßmann-Algebra auf Vektorräumen mithilfe des Dachprodukts und stellen dann erstmal die wichtigsten Rechenregeln zusammen, bevor wir uns in höhere Gefilde aufmachen. Einige der Beweise sind sehr rechenintensiv, sie werden daher von Dozenten oft einfach weggelassen.

Wozu braucht man nun aber alternierende Formen? Ich gebe zu, die Motivation ist hier nicht ganz einfach, erstmal hält man das ganze Konzept für vollkommen unnatürlich und abstrakt, später wundert man sich aber, wie häufig es gebraucht wird. Und ist es nicht das, was einem in der Mathematik ständig begegnet? Gut, wüsste man nicht, wozu die alternierenden Formen da sind, wäre dies hier alles 'abstract nonsense', aber auch dieser kommt in der Mathematik häufig genug vor und zu Recht, wie ich finde. Schließlich war die Entwicklung der Differentialformen nicht möglich ohne alternierende Formen, auch wenn jene mehrere Jahrzehnte später entstanden.
Wenn man in der Physik lernt, dass die N-Teilchen-Wellenfunktion von Fermionen antisymmetrisch ist, stecken da ganz ähnliche Konzepte wie bei den alternierenden Formen hinter. Aus zunächst unabhängigen Einteilchenwellenfunktionen bildet man zunächst abstrakt das Tensorprodukt und macht es mittels der Slater-Determinante antisymmetrisch. Genau das gleiche tut das im Text vorgestellte Dachprodukt mit zwei alternierenden Formen.
Wir fangen natürlich wie immer ganz elementar an und setzen nur LA1-Kenntnisse voraus. Insbesondere ist kein Wissen über Tensoren nötig, da wir versuchen wollen, ohne die allgemeine Konstruktion des Tensorproduktes auszukommen. Dies macht es unter anderem nötig, dass wir uns auf den Dualraum zu V beschränken müssen. Auch wenn dieser Artikel praktisch gar nichts mit Analysis zu tun hat, so soll er doch der erste Teil unserer Reihe über Differentialformen sein und wir haben ihn daher der Analysis zugeordnet.

Vorkenntnisse: LA1, insbesondere Dualräume, Permutationsgruppen




Inhaltsverzeichnis:




1.0 Der Dualraum



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1.1 Multilineare Abbildungen




Zu den Multilinearen Abbildungen wollen wir hier nur das wichtigste sagen, das Übrige ist nämlich schon alles hier von Gockel getan worden.
Wir beschränken uns hier auf endliche Tensorprodukte und betrachten später nur noch Abbildungen in den Grundkörper.

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1.2 Alternierende Multilinearformen


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(Das wichtigste über Permutationen kann man hier nachlesen.)
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1.3 Das Dachprodukt


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1.4 Die Graßmannalgebra und eine Basis


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1.5 Der Pullback


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Ein Beispiel:
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Ich hoffe auf eure konstruktive Kritik.

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: Analysis :: Lineare Algebra :: Multilineare Algebra :: Reine Mathematik :
Alternierende Multilinearformen [von Mentat]  
Erster Artikel der Serie über globale Analysis. Es geht in diesem Teil um (Alternierende) Multilinearformen.
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"Mathematik: Alternierende Multilinearformen" | 13 Comments
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Re: Alternierende Multilinearformen
von: Wally am: Do. 10. April 2008 10:57:29
\(\begingroup\)
Hallo, Mirko,

ich finde den Artikel gut gelungen und keinesfalls zu ausführlich.

Es ist leichter, beim Lesen etwas wegzulassen, als sich die fehlenden Beweisteile selbst zu konstruieren.

Außerdem finde ich es gut, dass du Bezüge zu bereits existierenden Artikeln verwendest.

Wally/Peter\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: spitzwegerich am: Do. 10. April 2008 21:09:56
\(\begingroup\)
Servus,

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Re: Alternierende Multilinearformen
von: spitzwegerich am: Do. 10. April 2008 21:31:29
\(\begingroup\)
Jetzt bin ich da:


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Und habe zwei Fragen:

Was ist die Addition in dem Ring?
Ich kann Lemma 2.3 nicht finden.

Danke!\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Mentat am: Do. 10. April 2008 22:37:19
\(\begingroup\)
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Vielen Dank, Mentat\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: kostja am: Sa. 12. April 2008 09:46:06
\(\begingroup\)
Ich möchte betonen, dass die formale Addition auf dem Ring völlig irrelevant ist. Wirklich wichtig ist die von Elementen gleicher Ordnung. Und diese ist punktweise gegeben.

Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 11. Mai 2008 17:01:46
\(\begingroup\)
Hallo, Mentat!

Inhaltlich und äußerlich eine schöner Artikel! Wann kommen die folgenden Teile????\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Mentat am: Mi. 21. Mai 2008 19:31:58
\(\begingroup\)
Hallo anonymous,
vielen Dank, den kommenden Teil wird Kostja nachliefern. Ich schreibe dann wieder den übernächsten. Das dauert allerdings noch ein paar Wochen.\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: capo am: So. 31. August 2008 15:32:54
\(\begingroup\)
Hallo,

hab den Artikel grad erst gelesen. Ich habe das zwar alles in Diffgeo gehört, war aber von der Masse und den Details damals überfordert. Danke fürs "herunterkochen" auf die wesentlichen Ideen!\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Redfrettchen am: Do. 12. Februar 2009 23:57:21
\(\begingroup\)
Hallo Mentat,
endlich hatte ich mal Zeit, deinen Artikel verstehend zu lesen.
Ich finde ihn auch wunderbar! Du hast meiner Meinung nach eine gute Balance zwischen Nachvollziehbarkeit und Länge der Darstellung gefunden.

Einen kleinen Tippfehler konnte ich entdecken: Beim Beweis dafür, dass der Pullback mit dem Dachprodukt vertauscht, steht in der ersten Zeile als letzter Index (k+l), wo eigentlich (k+m) stehen müsste.

Beste Grüße!
Thomas

EDIT: Auch im Beweis der Graduierten Kommutativität sind ein paar Indizes verrutscht.\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Danol am: Mo. 27. September 2010 23:42:16
\(\begingroup\)
Moin,

etwas verspätet, ich weiß. Toller Artikel, ich hab' nur eine Frage. Es steht dort
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Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt. Beim vorhergehenden Beweis würde ich entweder
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erwarten. Wo liegt mein Denkfehler, oder ists tatsächlich falsch  :-?
Wenns richtig ist, warum beginnt die Summe über die Binomialkoeffizienten bei k=0?\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Gockel am: Di. 28. September 2010 11:50:37
\(\begingroup\)
Hi.

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mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Danol am: Di. 28. September 2010 21:46:07
\(\begingroup\)
Hi Gockel,

danke für die Info. :)\(\endgroup\)
 

Re: Alternierende Multilinearformen
von: Jogala am: Mi. 05. September 2012 15:22:41
\(\begingroup\)
Vielen vielen Dank für diesen tollen Artikel. Studiere Physik und mir hat das riesig geholfen. <3\(\endgroup\)
 

 
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