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In einer Algebra-Vorlesung etwa werden viele Objekte durch universelle Eigenschaften charakterisiert. Dieser Artikel richtet sich an die Studenten, die sich für den allgemeinen Hintergrund davon interessieren.
Zunächst definieren wir allgemein, was universelle Morphismen sind und interpretieren einige bekannte universellen Eigenschaften in dieser Sprache. Schließlich wird gezeigt, wie nützlich die funktorielle Sichtweise für den Umgang mit universellen Objekten ist.
1. --> Universelle Morphismen <--
Wir benutzen die Sprache der Kategorientheorie, worüber bereits hier ein einführender Artikel geschrieben wurde. Von der Fortsetzung werden wir natürliche Transformationen und das Yoneda-Lemma benötigen. Die bereits dort gegebene Sichtweise von universellen Objekten (als initiale bzw. terminale Objekte in geeigneten Kategorien) wird hier durch eine ausgearbeitete bzw. handlichere Definition ersetzt.
Beginnen wir mit einer universellen Eigenschaft, die aus der linearen Algebra bekannt ist: Sei V ein Vektorraum mit einer Basis B. Wir haben eine Inklusionsabbildung B -> V, oder genauer |V|, wobei |V| die Trägermenge des Vektorraumes V bezeichnet (es wird also die Vektorraumstruktur vergessen), die im folgenden Sinne universelle ist: Ist W ein Vektorraum und B -> |W| eine Abbildung, so gibt es genau eine lineare Abbildung V -> W, die B -> |W| fortsetzt, d.h. das Diagramm
kommutiert. Dabei induziert jede lineare Abbildung V -> W auch eine Abbildung |V| -> |W| (es wird die Linearität einfach vergessen). Wir können also sagen, dass | | ein Funktor von der Kategorie der Vektorräume (über einem fixierten Körper) in die Kategorie der Mengen ist, und im obigen Fall entsprechen Morphismen B -> |W| (von Mengen) in bijektiver Weise den Morphismen V -> W (von Vektorräumen).
Dasselbe Konzept findet sich bei Polynomringen: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über R. Genauer gesagt handelt es sich sogar um eine R-Algebra, d.h. der Polynomring trägt eine mit der Ringstruktur verträgliche R-Modul-Struktur. Für jede R-Algebra S und jedes Element a in S gibt es bekanntlich genau einen R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S, der X auf a abbildet (den Einsetzungshomomorphismus). Dies lässt sich auch so formulieren:
Wir betrachten den Vergißfunktor | | : R-Algebren -> Mengen und betrachten eine einelementige Menge *. Es gibt eine Abbildung * -> |R[X]| (nämlich welche den Wert X besitzt), derart dass es für jede Abbildung * -> |S| mit einer R-Algebra S (das entspricht einem Element a in S) genau ein R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S gibt, sodass
kommutiert. Dies motiviert nun die allgemeine
\stress\Definition. \normal\Sei F : C \to D ein Funktor und d \in D. Ein \blue\universeller Morphismus\black von d nach F besteht aus einem Objekt c \in C und einem Morphismus d \to F(c) derart, dass es für jedes Objekt c' \in C mit einem Morphismus d \to F(c') genau einen Morphismus c \to c' gibt, sodass das Diagramm
kommutiert. Dies wird universelle Eigenschaft von c bzw. d \to F(c) genannt. Sie lässt sich auch so formulieren, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt
Hom_D(d,F(-)) ~= Hom_C(c,-).
\blue\Grob gesagt geht es hier darum, aus einem Objekt der Kategorie D auf
\blue\bestmögliche Weise ein Objekt aus C zu gewinnen, wobei deren Zusammenhang durch F kodiert ist.
\stress\Eindeutigkeit. \normal\Sind d \to F(c), d \to F(c') zwei universelle Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus c \to c' bzw. c' \to c, sodass
kommutiert. Dann kommutiert aber ebenso
.
Die Eindeutigkeit bei der universellen Eigenschaft von d \to F(c') liefert daher c' \to c \to c' = id_(c'). Analog ergibt sich c \to c' \to c = id_c.
Es gibt also genau einen Isomorphismus c \to c', sodass
kommutiert. In diesem Sinne sind universelle Morphismen eindeutig.
\stress\Darstellende Objekte: \normal\Wichtig ist der Spezialfall D = Set und d = \* \(der in Wirklichkeit alle Fälle abdeckt). Ein universeller Morphismus von \* nach F : C \to Set ist also ein Objekt c \in C zusammen mit einem r \in F(c) derart, dass es für jedes Objekt c' \in C und einem Element r' \in F(c') genau einen Morphismus c \to c' gibt, sodass r von F(c) \to F(c') auf r' abgebildet wird. Oder anders formuliert, es gibt einen Isomorphismus von Funktoren
\blue F ~= Hom_C(c,-).
Dieses \(bis auf Isomorphie eindeutige\) Objekt c heißt dann \blue\darstellendes Objekt\black für F, und man nennt F darstellbar. Das \blue\Yoneda\-Lemma\black besagt, dass x \to Hom_C(x,-) einen voll\-treuen Funktor C \to (Set^op)^C definiert, ein Objekt x also mit dem durch ihn dargestellten Funktor Hom_C(x,-) identifiziert werden darf. Ohne dies genauer auszuführen, sei darauf hingewiesen, dass die Mathematik durch diese Sichtweise revolutioniert wurde: Im Vordergrund stehen nicht mehr die Objekte, sondern die Funktoren \(mit denen es sich manchmal besser arbeiten lässt\) und gegebenenfalls die Frage nach deren Darstellbarkeit.
2. --> Beispiele <--
Der Leser mag mit einigen dieser Beispiele noch nicht vertraut sein, aber die Idee wird jeweils erläutert. Gegebenenfalls ist nur die kurz angedeutete Konstruktion des universellen Objektes unklar, aber auch nicht so wichtig.
\stress\1. \normal\ Sei R ein Ring \(hier immer kommutativ und mit 1\). Wir haben oben gesehen, dass der Vergißfunktor abs( ): R\-Alg \to Set durch die \blue\Polynomalgebra\black R[X] dargestellt wird. Man könnte sagen, dass R[X] die kleinste R\-Algebra ist, die ein gewisses Element X enthält. Dass sich die Elemente in einer expliziten Konstruktion von R[X] als Polynome schreiben lassen, ergibt sich automatisch.
\stress\2. \normal\ Das \blue\Koprodukt\black von zwei Objekten a,b einer Kategorie C ist per Definition ein darstellendes Objekt a \oplus b des Funktors Hom(a,-) \times Hom(b,-), also sozusagen das kleinste Objekt über a,b. Das heißt es gibt Morphismen a,b \to a \oplus b derart, dass es für jedes Paar von Morphismen a,b \to c genau einen Morphismus a \oplus b \to c gibt, sodass das entsprechende Diagramm kommutiert. Zum Beispiel ist das Koprodukt von Mengen oder topologischen Räumen die disjunkte Vereinigung und das Koprodukt von zwei abelschen Gruppen A,B menge((a,b) : a \in A , b \in B) mit der offensichtlichen Addition.
\stress\3. \normal\Sei G eine Gruppe und M \subseteq G. Die \blue\Quotientengruppe\black G\/M ist per Definition ein darstellendes Objekt des Funktors menge(f \in Hom(G,-) : M \subseteq ker(f)), also die kleinste Gruppe über G in der die Elemente von M neutralisiert werden. Zur Konstruktion bildet man die normale Hülle N von M und definiert G\/M := G\/N als Menge von Linksnebenklassen von G modulo N. Die zu
verifizierende universelle Eigenschaft ist als Homomorphiesatz bekannt. Analoges gilt für Quotienten von anderen algebraischen Strukturen.
\stress\4. \normal\Für eine Gruppe G ist die \blue\Abelisierung\black G \to G^ab := G\/[G,G] ein universeller Morphismus von G zum Vergißfunktor Ab \to Grp, wobei Grp \(Ab\) die Kategorie der \(abelschen\) Gruppen ist. Das heißt G\/[G,G] ist gewissermaßen die beste Lösung dafür, aus einer Gruppe eine abelsche Gruppe zu basteln.
\stress\5. \normal\Sei E eine Menge. Die \blue\freie Gruppe\black F(E) über E ist ein universeller Morphismus von E zum Vergißfunktor Grp \to Set, also die beste Möglichkeit aus der Menge E eine Gruppe zu bauen. Explizit kann man F(E) als Menge von Wörtern über dem Alphabet E modulo Kürzungsrelationen konstruieren. Wenn nun R eine Teilmenge von F(E) ist, ist die durch Erzeuger E und Relationen R definierte \blue\Gruppenpräsentation\black ein darstellendes Objekt des Funktors menge(f \in Abb(E,-) : f annulliert die Relationen R). Es geht also darum, aus den bisher relationslosen Wörtern aus F(E) gewisse Relationen R einzufügen, aber nur soviel wie nötig. Eine Konstruktion ist natürlich durch < E : R> = F(E) \/ R gegeben. Zum Beispiel gilt für die Diedergruppe D_n = < \sigma, \tau : \sigma^n = \tau^2 = 1 , (\tau \sigma)^2=1 >, d.h. es gibt eine für Gruppen G natürliche Bijektion zwischen Homomorphismen D_n \to G und Paaren a,b in G mit a^n = b^2 = 1 , (ba)^2=1. Und \IZ\/n = braket(x : x^n = 1) besagt gerade, das \IZ\/n ein darstellendes Objekt der n\-Torsion Grp \to Set, G \mapsto menge(x \in G : x^n=1) ist.
\stress\6. \normal\ Sei B eine Menge. Die \blue\freie abelsche Gruppe\black über B ist per Definition ein universeller Morphismus von B zum Vergißfunktor Ab \to Sets, also die beste Möglichkeit aus B eine abelsche Gruppe zu gewinnen. Explizit kann man \IZ[B] = menge(f : B \to \IZ : f(b) = 0 für fast alle b), also die Menge der formalen Summen sum(z_b b, b \in B,<\inf) , z_b \in \IZ, betrachten. Ersetzt man \IZ durch einen Körper, erhält man das anfangs genannte Beispiel über Basen von Vektorräumen.
\stress\7. \normal\ Sei R ein Ring und S \subseteq R eine multiplikative Teilmenge. Die \blue\Lokalisierung\black
S^(-1) R ist der kleinste Ring über R, in der die Elemente von S invertierbar sind, also per Definition ein darstellendes Objekt des Funktors menge(f \in Hom_Rng(R,-): f bildet S auf Einheiten ab).
\stress\8. \normal\Das \blue\Tensorprodukt\black von zwei R\-Moduln A,B ist per Definition ein darstellendes Objekt A \otimes B der bilinearen Abbildungen auf A \times B.
Die universelle Eigenschaft von universellen Objekten ist zunächst einmal das Wichtigste, was man über sie wissen muss. Die zumeist unhandlichen Konstruktionen (z.B. beim Tensorprodukt) sind unwichtig. Nichtsdestotrotz ist es natürlich oft wichtig zu wissen, wie Elemente in universellen Objekten aussehen, um überhaupt etwas Neues herauszufinden (zum Beispiel Normalformen für Elemente in gewissen Gruppenpräsentationen). Aber selbst da spielen explizite Konstruktionen eine untergeordnete Rolle. Insofern sollte man etwa bei der Faktorgruppe G/N zuerst an den Homomorphiesatz, und nicht etwa an Linksnebenklassen denken. Leider wird in vielen Vorlesungen und Büchern zu viel Wert auf das Elementniveau gelegt, was bei komplizierten Objekten den wohl unabdingbaren gedanklichen Sprung auf das Niveau der Morphismen und Funktoren erschwert.
Für den Leser nun ein paar Fragen zum Mitdenken:
a) Wie kann man einen nichtkommutativen Ring "am besten" zu einem kommutativen Ring machen? Und wie findet man zu einem Ring ohne 1 "am besten" einen Ring mit 1?
b) Inwiefern ist die Vervollständigung eines metrischen Raumes universell?
c) Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge (oder dem topologischen Raum) X. Wie lässt sich X/~ als universelles Objekt beschreiben?
d) Ist der algebraische Abschluss eines Körpers K in einem gewissen Sinne universell?
3. --> Umgang mit universellen Objekten <--
In diesem Abschnitt soll anhand von ein paar Beispielen gezeigt werden, wie man mit universellen Eigenschaften umgeht. Dabei wird das Yoneda-Lemma benutzt, dessen Argumente bei anderen Darstellungen dieser Beispiele umständlicherweise immer wiederholt werden (vgl. z.B. Bosch, 7.2 (Tensorprodukte), 7.4 (Derivationen)).
\stress\1.\normal Sei G eine Gruppe und M \subseteq N Normalteiler von G. Dann ist (G\/M)\/(N\/M) ~= G\/N. Denn die universelle Eigenschaft für Faktorgruppen liefert
Hom((G\/M)\/(N\/M),-) ~=menge(f \in Hom(G\/M,-) : N\/M \subseteq ker(f))
array( ) ~=menge(f \in Hom(G,-) : M \subseteq ker(f) und N \subseteq ker(f))
array( ) ~=Hom(G\/N,-),
also nach dem Yoneda\-Lemma die Behauptung. Eine Inspektion des Beweises liefert auch den konkreten Isomorphismus mit seinem Inversen, wenn man mit konkreten Faktorgruppen arbeiten möchte. Der einzige Schritt, bei dem man nachdenken muss, ist dass bei der Korrespondenz zwischen array(f : G \to H)
und f`: G\/M \to H die Bedingung N\/M \subseteq ker(f') der Bedingung N \subseteq ker(f) entspricht, was aber klar ist \(und zwar auch ohne Elemente, indem man mit N \to G komponiert\). Genauso sieht man:
\stress\2.\normal Sind T \subseteq S multiplikative Teilmengen eines Ringes R, so gilt
T^(-1) S^(-1) R ~= T^(-1) R.
\stress\3.\normal Die Gruppen < a,b : a^2 = b^2 = 1 >, < a,b : b^2 = 1 , b^(-1) a b = a^(-1) > sind isomorph.
Denn a \mapsto ba, b \mapsto b liefert eine Bijektion zwischen Paaren von Gruppenelementen mit diesen Relationen. Übrigens handelt es sich um die unendliche Diedergruppe, die sich explizit als Isometriegruppe von \IZ realisieren lässt.
\stress\4.\normal Die Abelisierung der freien Gruppe über einer Menge E ist die freie abelsche Gruppe über E.
Denn für abelsche Gruppen T gilt, wobei wir die zugehörige Gruppe bzw. Menge auch mit T bezeichnen,
Hom_(Ab)(\IZ[E],T) ~= Hom_(Set)(E,T) ~= Hom_(Grp)(F(E),T) ~= Hom_(Ab)(F(E)^ab,T)
und damit \IZ[E] ~= F(E)^ab.
\stress\5.\normal Das Tensorprodukt von Moduln kommutiert mit direkten Summen, d.h. es gilt A \otimes (B \oplus C) ~= (A \otimes B) \oplus (A \otimes C).
Denn es gilt
array( ) Hom(A \otimes (B \oplus C),-) ~= Bilin(A \times (B \oplus C),-) ~= Hom(A,Hom(B \oplus C,-))
array(array( )~=Hom(A,Hom(B,-)\times Hom(C,-)) ~= Hom(A,Hom(B,-)) \times Hom(A,Hom(C,-)))
array( )~= Hom(A \otimes B,-) \times Hom(A \otimes C,-) ~= Hom((A \otimes B) \oplus (A \otimes C),-),
und eine Inspektion liefert die Gestalt a \otimes (b + c) \mapsto a \otimes b + a \otimes c des Isomorphismus.
\stress\6. \normal Sei L\/K eine Körpererweiterung, a algebraisch über K und f das Minimalpolynom von a über K. Dann entsprechen K\-Homomorphismen K(a) \to L den Nullstellen von f in L.
Denn zunächst einmal gilt Hom_K(K[x],L) ~= L, \alpha \mapsto \alpha(X), und \alpha(f)=0 ist damit äquivalent, dass \alpha(X) eine Nullstelle von f ist. Also ist
Hom_K(K(a),L) ~= Hom_K(K[x]\/f,L) ~= menge(\alpha \in Hom_K(K[x],L) : \alpha(f)=0)
array( )~= Nullstellen von f.
\(\begingroup\)Na,
die Konstruktionen sind schon wichtig, damit man weiss, dass man nicht nur heiße Luft produziert hat. Die Kategorien sollten schon nichtleer sein und das universelle Objekt bzw. der entsprechende Funktor sollten auch existieren.
Für alle, denen die kategorielle Charakterisierung der Tensoralgebra zu einfach ist: Ich suche gerade eine "Überkategorie" für die Darstellung der Clifford-Algebren als universeller Funktor, die Darstellung als universelles Objekt ist ja Standardwissen.---Die untergeordnete Kategorie ist klar, die Vektorräume mit quadratischer Form bzw. symmetrischer Bilinearform darauf, also Paare (V,q). Also muss auch auf der Algebra A eine quadratische Form Q existieren, damit der "Vergiß-Funktor" angewandt werden kann. Diese muss, in einem Morphismus j:(V,q)-> F( (A,Q) ), mit derjenigen des eingebetteten Vektorraums V übereinstimmten, Q(j(v))=q(v). Irgendwie sollte Q mit der Multiplikation der Algebra noch verträglich sein, sowas wie Q(a*b)=Q(a)*Q(b)?
Ciao Lutz\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
sehr guter Artikel, besonders die vielen Beispiele haben mir geholfen zu sehen dass universelle Objekte wirklich überall auftauchen. Irgendwo in der mitte des Artikels ist zu lesen:
Darstellende Objekte: Wichtig ist der Spezialfall D = Set und d = * (der in Wirklichkeit alle Fälle abdeckt)...
Wie genau ist das mit alle Fälle abdecken gemeint und wie sieht man es ein?
Gruß jan\(\endgroup\)
\(\begingroup\)schön, dass dir der artikel etwas gebracht hat.
der spezialfall beinhaltet darstellbare funktoren. ein universeller morphismus von d nach F ist eine darstellung des funktors Hom(d,F(-)).\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke :), hast du vor noch mehr Artikel in diese Richtung zu schreiben, z.B. die im Abschluss angesprochenen Themen?
Gruß jan\(\endgroup\)
\(\begingroup\)der artikel ist im rahmen einer algebra-übungsleitung entstanden, wo ich den eindruck hatte, dass studenten kategorielles denken guttun würde, um nicht immer dieselben umständlichen rechnungen machen zu müssen, die auch in den meisten algebrabüchern stehen, und natürlich um einen besseren überblick über die vielen strukturen zu bekommen. ich sehe aber zur zeit keinen anlass dafür, einen artikel über adjunktionen oder limites zu schreiben. du kannst ja mal in die wikipedia-artikel reinschauen, oder noch besser in das buch categories for the working mathematician von mac lane. wenn du fragen hast, stelle sie gerne hier oder im forum.\(\endgroup\)
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kommutiert. Dabei induziert jede lineare Abbildung V -> W auch eine Abbildung |V| -> |W| (es wird die Linearität einfach vergessen). Wir können also sagen, dass | | ein Funktor von der Kategorie der Vektorräume (über einem fixierten Körper) in die Kategorie der Mengen ist, und im obigen Fall entsprechen Morphismen B -> |W| (von Mengen) in bijektiver Weise den Morphismen V -> W (von Vektorräumen).
Dasselbe Konzept findet sich bei Polynomringen: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über R. Genauer gesagt handelt es sich sogar um eine R-Algebra, d.h. der Polynomring trägt eine mit der Ringstruktur verträgliche R-Modul-Struktur. Für jede R-Algebra S und jedes Element a in S gibt es bekanntlich genau einen R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S, der X auf a abbildet (den Einsetzungshomomorphismus). Dies lässt sich auch so formulieren:
Wir betrachten den Vergißfunktor | | : R-Algebren -> Mengen und betrachten eine einelementige Menge *. Es gibt eine Abbildung * -> |R[X]| (nämlich welche den Wert X besitzt), derart dass es für jede Abbildung * -> |S| mit einer R-Algebra S (das entspricht einem Element a in S) genau ein R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S gibt, sodass
kommutiert. Dies motiviert nun die allgemeine
\stress\Definition. \normal\Sei F : C \to D ein Funktor und d \in D. Ein \blue\universeller Morphismus\black von d nach F besteht aus einem Objekt c \in C und einem Morphismus d \to F(c) derart, dass es für jedes Objekt c' \in C mit einem Morphismus d \to F(c') genau einen Morphismus c \to c' gibt, sodass das Diagramm
kommutiert. Dies wird universelle Eigenschaft von c bzw. d \to F(c) genannt. Sie lässt sich auch so formulieren, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt
Hom_D(d,F(-)) ~= Hom_C(c,-).
\blue\Grob gesagt geht es hier darum, aus einem Objekt der Kategorie D auf
\blue\bestmögliche Weise ein Objekt aus C zu gewinnen, wobei deren Zusammenhang durch F kodiert ist.
\stress\Eindeutigkeit. \normal\Sind d \to F(c), d \to F(c') zwei universelle Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus c \to c' bzw. c' \to c, sodass
kommutiert. Dann kommutiert aber ebenso
.
Die Eindeutigkeit bei der universellen Eigenschaft von d \to F(c') liefert daher c' \to c \to c' = id_(c'). Analog ergibt sich c \to c' \to c = id_c.
Es gibt also genau einen Isomorphismus c \to c', sodass
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