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Das Gestrichelte im linken Bild soll andeuten, dass die Randpunkte nicht dazu gehören.
Hier ist Platz für eine kleine \red\ \big\ Warnung:
Man darf sich die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln nicht als Kugeln in dem Sinne vorstellen, wie der Begriff in unserem Sprachgebrauch benutzt wird. Um das zu verdeutlichen, zeichnet doch mal die Kugeln in der diskreten Metrik auf dem \IR^2 oder in der Produktmetrik (mit M=N=\IR und jeweils euklidischer Metrik auf M und N).
Wir wollen hier für die Normen abs(*)_1:=sum( abs(x_k),k=1,n), abs(*)_2:=(sum((x_k)^2,k=1,n))^(1/2) und abs(*)_(\inf ):=max_(1<=k<=n) abs(x_k) im \IR^2 die Einheitskugeln B(0,1)=menge(x: abs(*)_p <=1) mit p=1, 2, \inf skizzieren.
Die Metrik dazu entsteht jeweils wie in Beispiel 2 oben.
Dieses Bild zeigt die Einheitskugel der Metrik, die aus der Norm abs(*)_1:=sum( abs(x_k),k=1,n) hervorgeht. Alles andere als eine Kugel, oder?
Diese Abbildung zeigt eine Skizze der Einheits"kugel" zur Norm abs(*)_2:=(sum((x_k)^2,k=1,n))^(1/2).
Und schließlich die Norm abs(*)_(\inf ):=max_(1<=k<=n) abs(x_k).
Machen wir weiter mit den Definitionen:
\frame\black\big\ Definition der Umgebung:
Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U\subset\ M heißt Umgebung__ eines Punktes x\el\ M, falls ein \epsilon>0 existiert, so dass U(x,\epsilon)\subset\ U.
Insbesondere ist U(x,\epsilon) selbst eine Umgebung von x. Man nennt U(x,\epsilon) die (\epsilon-Umgebung)__.
\frame\black\big\ Definition einer offenen Menge:
Eine Menge \Omega\subset\ M eines metrischen Raums (M, d) heißt (offen)__, genauer (d-offen)__, wenn zu jedem x\el\ \Omega ein \epsilon>0 existiert, so dass U(x,\epsilon)\subset\ \Omega.
Wie kann man sich das also vorstellen? Eigentlich ganz einfach, wenn man den Begriff der Umgebung verstanden hat.
Malen wir uns mal ein Bildchen, und schauen, was diese Definition sagt:
Sie sagt einfach nur, dass eine Menge offen heißt, wenn zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung existiert, d.h. zu jedem Punkt kann man so eine offene Kugel finden, sodass diese noch in der Menge liegt.
\frame\black\big\ Definition der abgeschlossenen Menge:
Eine Menge A\subset\ M heißt abgeschlossen__, wenn das Komplement M\\A offen ist.
Dies bedarf keiner großen Erklärung. Wenn man also zeigen möchte, dass eine Menge abgeschlossen ist, zeigt man einfach, dass das Komplement offen ist. Und wie man das macht, werden wir uns an ein paar Beispielen etwas später noch genauer anschauen.
Noch eine wichtige (Anmerkung:)__
Wählen wir als Raum X z.B. die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3] mit euklidischer Metrik, so sind in diesem Raum die Teilmengen [0,1] und [2,3] beide sowohl offen, als auch abgeschlossen.
Außerdem ist in einem metrischen Raum die zugrundeliegende Gesamtmenge ebenso wie die leere Menge stets sowohl offen als auch abgeschlossen. Mengen können also durchaus beide Eigenschaften besitzen.
\big\ Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen.
Dies wollen wir nun \stress\ beweisen:
Dies ist erstaunlich einfach. Gegeben sei ein metrischer Raum (M, d) und zwei offene Mengen \Omega_1 und \Omega_2. Wir wollen nun zeigen, dass \Omega_1 \cut\ \Omega_2 offen ist.
Was bedeutet es nun, dass \Omega_1 und \Omega_2 offen sind? Ganz einfach: Nach Definition bedeutet das, dass \epsilon_1 und \epsilon_2>0 existieren mit U(x,\epsilon_1)\subset\ \Omega_1 und U(x,\epsilon_2)\subset\ \Omega_2.
Wählen wir nun \epsilon:=min{\epsilon_1, \epsilon_2 }, so gilt doch U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_1\cut\ \Omega_2. Damit haben wir also gezeigt, dass \Omega_1\cut\ \Omega_2 offen ist.
Induktiv folgt dann die Behauptung.
Stimmt es denn, dass der Durchschnitt von beliebig vielen, also z.B. von unendlich vielen offenen Mengen wieder offen ist?
Wenn man eine Aussage widerlegen will, dann konstruiert man einfach ein Gegenbeispiel. Machen wir dies also:
cut((-1/n, 1/n),n\el\ \IN)={0}, aber {0} ist nicht offen, wie man sich leicht überlegt.
Daher ist der Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen im Allgemeinen nicht__ wieder offen.
\big\ Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen.
\stress\ Beweis:
Sei I eine beliebige Indexmenge und für jedes \alpha\el\ I sei \Omega_\alpha eine offene Teilmenge. Ist x\el\ union(\Omega_\alpha,\alpha\el\ I), so existiert ein \alpha\el\ I mit x\el\ \Omega_\alpha und dann auch ein \epsilon>0 mit U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_\alpha. Daraus folgt nun, dass U(x,\epsilon)\subset\ union(\Omega_\alpha,\alpha\el\ I).
Damit folgt die Behauptung.
Dasselbe Spielchen können wir nun auch mit abgeschlossenen Mengen spielen. Hier ist es "umgekehrt", wie wir gleich sehen werden:
\big\ Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
\stress\ Beweis:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und seien U_0, U_1, ..., U_n mit n\el\ \IN abgeschlossene Mengen mit U_i \subset\ M für alle i=1, ..., n.
Dann sind die Komplemente M\\U_0, M\\U_1, ..., M\\U_n offene Mengen.
Nun wissen wir ja bereits, dass der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist, d.h. cut(M\\U_i,i=1,n) ist eine offene Menge und aus den Regeln von de Morgan folgt nun, dass cut(M\\U_i,i=1,n)=M\\ union(U_i,i=1,n).
Also ist die Menge union(U_i,i=1,n) abgeschlossen. Daraus folgt die Behauptung.
\big\ Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
\stress\ Beweis:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und seien U_0, U_1, ... beliebig viele abgeschlossene Mengen mit U_i \subset\ M für alle i\el\ I, wobei I eine beliebige Indexmenge ist.
Dann sind die Komplemente M\\U_0, M\\U_1, ... offene Mengen.
Nun wissen wir ja bereits, dass die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist, d.h. union(U_i,i\el\ I) ist eine offene Menge und aus den Regeln von de Morgan folgt nun, dass union(U_i,i\el\ I)=M\\ cut(U_i,i\el\ I).
Also ist die Menge cut(U_i,i\el\ I) abgeschlossen. Daraus folgt die Behauptung.
Die Vereinigung von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist im Allgemeinen aber nicht__ wieder abgeschlossen, wie das Gegenbeispiel union(([ 1/n, 1-1/n]),n\el\ \IN\\{1},)=(0,1) zeigt, denn (0,1) ist ein offenes__ Intervall, das nicht abgeschlossen ist. (bzgl. der Standardmetrik)
\frame\black\big\ Hausdorffsche Trennungseigenschaft:
Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gibt es zu je zwei beliebigen Punkten x, y\el\ M mit x!=y Umgebungen U von x und V von y, die punktfremd sind, d.h. U\cut\ V=\0.
\stress\ Beweis:
Sei \epsilon:=1/3*d(x,y). Dann ist \epsilon>0 und U:=U(x,\epsilon), V:=U(y,\epsilon) sind punktfremde Umgebungen von x bzw. y. Denn gäbe es einen Punkt z\el\ U\cut\ V, so würde mit der Dreiecksungleichung folgen 3\epsilon=d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)<\epsilon+\epsilon=2*\epsilon, also 3*\epsilon<2\epsilon.
Dies ist ein Widerspruch. Damit folgt die Behauptung. \bigbox
Das folgende Bild verdeutlicht den Satz nochmal.
Wir wollen nun einige Definitionen in metrischen Räumen geben, die euch schon aus der Analysis I bekannt sein sollten. Denn auch in metrischen Räumen und das ist ja gerade die Stärke dieser Räume, können wir die Konvergenz definieren. Wir verallgemeinern halt nur.
\frame\black\big\ Definition der Konvergenz:
Sei ((x_n))_(n \el\ \IN) eine Folge in M. Dann nennt man die Folge konvergent__ gegen den Punkt x \el\ M genau dann, wenn folgendes gilt:
\forall\ \epsilon>0 \exists\ N\el\ \IN: d(x_n,x)<\epsilon \forall\ n>=N
x heißt in diesem Fall Grenzwert__ der Folge.
In Worten: Für alle \epsilon>0 existiert ein N\el\ \IN mit der Eigenschaft, dass d(x_n,x)<\epsilon für alle n>=N.
Als Erläuterung stelle man sich folgendes vor:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Folge in M. Die Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) konvergiert gegen x\el\ M, wenn lim(n->\inf,d(x_n,x))=0. Wir schreiben lim(n->\inf,x_n)=x.
Hierzu muss aber noch gesagt werden, dass der Limes sich auf die Konvergenz bezüglich der euklidischen Metrik in \IR bezieht.
\frame\black\big\ Definition des Häufungspunktes:
Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ M eine Folge. Ein Punkt x\el\ M heißt Häufungspunkt__ der Folge ((x_n))_(n\el\ \IN), wenn es eine konvergente Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN) gibt, die gegen x konvergiert.
\frame\black\big\ Definition der Cauchy-Folge:
Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ M eine Folge. Wir sagen ((x_n))_(n\el\ \IN) ist eine (Cauchy-Folge)__, wenn es zu jedem \epsilon>0 ein N \el\ \IN gibt, sodass d(x_m,x_n)<\epsilon für alle m,n>=N.
\frame\black\big\ Vollständigkeit:
Ist K eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raums (M, d). Dann heißt K vollständig__, wenn jede Cauchyfolge ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ K auch einen Grenzwert in K besitzt. Ist M selbst eine vollständige Menge, so heißt der metrische Raum vollständig.
Nun weiter im eigentlichen Thema. Wir wollen nun ein paar weitere Definitionen geben.
\frame\black\big\ Definition des Randes:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Ein Punkt x\el\ M heißt Randpunkt__ von A, wenn für jedes \epsilon>0 sowoh U(x,\epsilon)\cut\ A!=\0 und U(x,\epsilon)\cut\ (M\\A)!=\0. Wir setzen \delta A:=menge(x\el\ M: x ist Randpunkt von A).
Der Rand ist also die Menge aller Randpunkte.
Verdeutlichen wir dies uns mal ein einem Bild. Ich denke, dann sollte alles klar sein.
\frame\black\big\ Definition des Inneren:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Das Innere__ von A ist definiert als A^( \circ\ ) :=A \\ \delta A.
Es ist also die Menge ohne den Rand.
\frame\black\big\ Definition des Abschluss:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Der Abschluss__ von A ist definiert als A^(-):=A \union\ \delta A.
Wir wollen im Folgenden ein paar Kompaktheitsdefinitionen geben. Der Begriff der Kompaktheit ist euch bestimmt schon in der Analysis 1 begegnet. Ein Intervall konnte dort kompakt sein, wenn es abgeschlossen und beschränkt war. Dass man hier vorsichtig sein muss und was wir unter der Kompaktheit im topologischen Sinne genau verstehen, dies wollen wir nun erläutern.
\frame\black\big\ Offene Überdeckung:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine beliebige Teilmenge. Sei weiterhin I eine beliebige Indexmenge und bezeichnen wir mit O die Menge aller offenen Teilmengen. Eine (offene Überdeckung)__ ((\Omega_i))_(i\el\ I) von K ist eine Familie von offenen Teilmengen \Omega_i, deren Vereinigung unser K umfasst, d.h. \Omega_i \el\ O für alle i\el\ I und K\subset\ union(\Omega_i,i\el\ I).
Auch dies macht man sich anschaulich sehr schnell klar. Wenn es möglich ist K durch offene Mengen zu überdecken, dann besitzt K eine offene Überdeckung. Schaut euch das folgende Bild an:
\frame\black\big\ Überdeckungskompakt:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine Teilmenge. K heißt überdeckungskompakt, wenn es zu (jeder beliebig vorgegebenen)__ offenen Überdeckung ((\Omega_i))_(i\el\ I) eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. eine endliche Teilmenge E\subset\ I, so dass K\subset\ union(\Omega_i,i\el\ E).
Diese Definition wird oft falsch verstanden. Es bedeutet nicht__, dass man K überdeckungskompakt nennt, wenn man K durch eine endliche Anzahl von offenen Mengen überdecken kann. Denn das ist sowieso immer möglich, nämlich durch die Menge selbst. Es bedeutet, dass zu jeder (beliebig vorgegebenen)__ offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existieren muss!
\frame\black\big\ Folgenkompaktheit:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine beliebige Teilmenge. Wir sagen K ist folgenkompakt__, wenn jede Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) eine konvergente Teilfolge in K besitzt, d.h. wenn der Grenzwert wieder in K liegt.
\stress\ Hier muss natürlich vorausgesetzt werden, dass überhaupt ein Grenzwert in K existiert.
\frame\black\big\ Total beschränkt:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine Teilmenge.
K heißt (total beschränkt)__, wenn es zu jedem \epsilon>0 eine endliche Anzahl von Punkten x_1, ..., x_n\el\ K und n=n(\epsilon)\el\ \IN gibt mit K\subset\ union(U(x_i,\epsilon),i=1,n).
Klingt vielleicht erstmal kompliziert. Aber schauen wir uns genau an, was dort eigentlich steht. Dort steht eigentlich nichts anderes, als dass man eine Menge K total beschränkt nennt, wenn es möglich ist K durch eine endliche__ Anzahl an offenen Bällen mit vorgegebenem Maximalradius zu überdecken. Folgendes Bild soll zum Verständnis beitragen.
Während bei der offenen Überdeckung beliebig viele offene Bälle die Menge überdecken können, wird hier gefordert, dass endlich viele reichen müssen.
\frame\black\big\ Definition der Beschränktheit:
Beschränkt im metrischen Sinne bedeutet die Existenz eines Punktes, der eine r-umgebung (mit selbstverständlich endlichem r) besitzt, die die Menge komplett umfasst.
Hier gibt es aber einen Unterschied, z.B. ist ein unendlicher Raum mit diskreter Metrik zwar beschränkt, aber niemals total beschränkt.
Nun haben wir verschiedene Begriffe für Kompaktheit. In Abschnitt 1.4 werden wir durch den sehr wichtigen Satz von Heine-Borel zeigen, dass diese äquivalent sind. Wenn ihr also zeigen sollt, dass eine Menge kompakt ist, dann könnt ihr euch aussuchen, ob ihr zeigt, dass sie folgenkompakt oder überdeckungskompakt ist. Dennoch sollte man natürlich von Fall zu Fall unterscheiden, was einfacher ist. Dazu aber später mehr.
\darkblue\ Übungsaufgabe: Zeige, dass abgeschlossene Bälle abgeschlossen sind.
\big\ Satz 1:
Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A\subset\ M ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes x\el\ M, welches Grenzwert einer Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A ist, sogar schon in A liegt.
\stress\ Beweis:
Wir haben zwei Richtungen zu beweisen.
"=>":
Sei A abgeschlossen, d.h. M\\A offen. Nach Definition der Offenheit gibt es zu jedem x\el\ M\\A ein \epsilon>0 mit U(x,\epsilon)\subset\ M\\A. Sei weiter ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A eine Folge. Dann gilt x_n\notel\ U(x,\epsilon) für alle n\el\ \IN und die Folge kann daher nicht gegen x konvergieren.
"<==":
Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wäre A nicht abgeschlossen, d.h. M\\A nicht offen, so gäbe es ein x\el\ M\\A mit der Eigenschaft, dass für kein n\el\ \IN die Inklusion U(x,1/n)\subset\ M\\A richtig wäre. Zu n\el\ \IN existiert also ein x_n\el\ A\cut\ U(x,1/n). Dann konvergiert die Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) gegen x, denn d(x_n,x)<1/n. Nach Voraussetzung liegt der Grenzwert aber wieder in A. Das ist ein Widerspruch.
Die Behauptung ist damit gezeigt.\bigbox
\big\ Korollar 1:
Jede endliche Teilmenge eines metrischen Raums (M, d) ist abgeschlossen. \bigbox
\big\ Satz 2:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Dann sind der Rand \delta A, der Abschluss A^(-) abgeschlossen und das Innere A^( \circ\ ) offen.
\stress\ Beweis:
\darkblue\ Der Rand \delta A ist abgeschlossen.
Um zu zeigen, dass \delta A abgeschlossen ist, müssen wir zeigen, dass
M\\\delta A offen ist.
Sei x\el\ M\\\delta A beliebig. D.h. x ist kein Randpunkt. Daher existiert ein offener Ball U(x,r), so dass U(x,r)\cut\ A =\0
oder U(x,r)\cut\ (M\\A) =\0 gilt.
Nun zeigen wir, dass für dieses r dann auch U(x,r)\cut\ \delta A =\0 gilt. Dies sieht man so ein:
Wäre y\el\ U(x,r)\cut\ \delta A, so würde wegen der Offenheit von U(x,r) zunächst ein \epsilon>0 mit U(y,\epsilon)\subset\ U(x,r) existieren. Da dann aber U(y,\epsilon) wegen y\el\ \delta A und nach Definition des Randes sowohl einen Punkt aus A, als auch einen Punkt aus M\\A enthielte, träfe dies auch auf U(x,r) zu. Dies ist aber ein Widerspruch. Daher gilt U(x,r)\cut\ \delta A=\0.
Es folgt nun, dass U(x,r)\subset\ M\\\delta A. Damit haben wir gezeigt, dass
M\\\delta A offen und folglich \delta A abgeschlossen ist.
\darkblue\ Der Abschluss (A\union\ \delta A) ist abgeschlossen.
Wir zeigen also, dass M\\(A\union\ \delta A) offen ist. Dazu sei x\el\ M\\(A\union\ \delta A) beliebig. Es gilt nun nach einfachen mengentheoretischen Aussagen
M\\(A\union\ \delta A) \subset\ M\\A und damit auch x\el\ M\\A. x ist aber kein Randpunkt, also muss eine offene Kugel U(x,r) mit U(x,r)\cut\ A=\0 existieren, also U(x,r)\subset\ M\\A.
Wie im ersten Teil folgt U(x,r)\cut\ \delta A=\0 und damit ist
U(x,r)\subset\ (M\\A)\\\delta A=M\\(A\union\ \delta A).
Also ist M\\(A\union\ \delta A) offen und (A\union\ \delta A) abgeschlossen.
\darkblue\ Das Innere A^( \circ\ ) ist offen.
Wir definieren B:=M\\A. Auf diese Mengen wenden wir nun das eben Bewiesene an. Es ergibt sich, dass B^(_) abgeschlossen ist. Da nun aber auch \delta (M\\A)=\delta A, ist B^(_)=B\union\ \delta B=(M\\A)\union\ \delta A=M\\(A^( \circ\ )). Also ist A^( \circ\ )=M\\B^(-) offen.
Wir sind fertig.\bigbox
Nun kommen wir endlich zum \big\ \red\ Satz von Heine-Borel:
\big\ Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann sind für eine Teilmenge K\subset\ M die folgenden Aussagen äquivalent.
\big\ i) K ist überdeckungskompakt.
\big\ ii) K ist folgenkompakt.
\big\ iii) K ist total beschränkt und vollständig.
Dieser Satz beantwortet nun endlich die oben gestellte Frage, ob die definierten Kompaktheitsbegriffe äquivalent sind. Der Beweis ist etwas länger, ich habe ihn aus [2] mit leichten Modifizierungen übernommen.
\stress\ Beweis:
Einige Implikationen sind zu beweisen.
\big\ i)=>ii):
Sei K überdeckungskompakt, d.h. zu jeder beliebig vorgegebenen Überdeckung existiert eine endliche Teilüberdeckung. Wir haben zu zeigen, dass K folgenkompakt ist. Dazu sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Folge.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wenn ((x_n))_(n\el\ \IN) keine in K konvergente Teilfolge besitzen würde, so existiere zu jedem x\el\ K ein r=r(x)>0, so dass U(x,r(x)) nur noch endlich viele Folgenglieder von ((x_n))_(n\el\ \IN) enthält. Da dann aber K\subset\ union(U(x,r(x)),x\el\ K) und K überdeckungskompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge E\subset\ K mit K\subset\ union(U(x,r(x)),x\el\ E).
Das kann aber nicht sein, da in wenigstens einer dieser endlich vielen Mengen unendlich viele Folgenglieder von ((x_n))_(n\el\ \IN) liegen müssten.
Damit ist die erste Implikation bewiesen.
\big\ ii)=>iii):
Sei K folgenkompakt. Wir haben zu zeigen, dass K a) total beschränkt und b) vollständig ist. Ran ans Werk:
Erstmal merken wir an, dass aus der Dreiecksungleichung ganz allgemein folgt, dass Cauchy-Folgen schon dann konvergent sind, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzen und dieser Grenzwert stimmt dann auch mit dem Grenzwert der konvergenten Teilfolge über ein.
Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Cauchy-Folge. Wegen der Folgenkompaktheit existiert eine in K konvergente Teilfolge. Mit obiger Bemerkung folgt, dass K vollständig ist.
Zeigen wir nun noch, dass K total beschränkt ist; und zwar durch einen kleinen Widerspruchsbeweis.
Angenommen, K wäre nicht total beschränkt. Dann existiert ein \epsilon>0, so dass K nicht von endlich vielen U(x_i,\epsilon) mit x_i\el\ K, i\el\ E, wobei E eine endliche Menge ist, überdeckt werden kann.
Sei x_1\el\ K beliebig. Induktiv definieren wir eine Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ K mit d(x_i,x_j)>=\epsilon für alle i!=j\el\ \IN.
Dies können wir machen, denn nach Annahme existiert für jede Auswahl von n Punkten x_1, ..., x_n\el\ K noch Punkte x\el\ K mit x\notel\ union(U(x_i,\epsilon),i=1,n).
Wir wählen jetzt für x_(n+1) irgendeinen Punkt aus der Menge K\\(union(U(x_i,\epsilon),i=1,n)) aus.
Die auf diese Weise erhaltene folge muss wegen der Folgenkompaktheit eine konvergente Teilfolge besitzen. Dies ist aber ein Widerspruch zu d(x_i,x_j)>=\epsilon. Daraus folgt, dass K total beschränkt ist.
Zweite Implikation fertig.
Wollen wir einen Ringschluss durchführen, so brauchen wir nur noch \big\ iii)=>i)
zu zeigen. Also los:
Sei K total beschränkt und vollständig. Wir zeigen, dass K dann auch überdeckungskompakt ist. Ebenfalls wieder durch einen Widerspruchsbeweis.
Angenommen K wäre nicht überdeckungskompakt. Dann existiert eine offene Überdeckung (U_i)_(i\el\ I) von K, welche keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Sei \eta>0. Weil K total beschränkt ist, existieren eine endliche Menge E und Punkt \xi_i\el\ K mit i\el\ E und K\subset\ union(B(\xi_i,\eta),i\el\ E).
Dann existiert aber wenigstens ein i\el\ E, so dass auch K\cut\ B(\xi_i,\eta) nicht durch endlich viele der U_i überdeckt wird, d.h. auch nicht überdeckungskompakt ist. Denn (U_i)_(i\el\ I) ist natürlich eine offene überdeckung von K\cut\ B(\xi_i,\eta). Auf diese Weise erhalten wir nun iterativ eine Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ K mit der Eigenschaft, dass K\cut\ B(x_n,1/2^n) nicht durch endlich viele der U_i überdeckt wird und K\cut\ B(x_(n+1),1/2^(n+1))\subset\ K\cut\ B(x_n,1/2^n).
Wegen dieser Inklusion gilt dann insbesondere d(x_n, x_(n+1))<=1/2^n für alle n\el\ \IN und hieraus folgt, dass ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Cauchy-Folge ist. Da K nach Voraussetzung vollständig ist, konvergiert sie gegen ein x\el\ K. Hierzu gibt es ein \alpha_x\el\ I mit x\el\ U_\alpha_x. Da U_\alpha_x offen ist, existiert ein \el\ >0, so dass B(x,\epsilon)\subset\ U_\alpha_x.
Da ((x_n))_(n\el\ \IN) gegen x konvergiert, existiert ein n_0\el\ \IN, so dass d(x_n,x)<\epsilon/2 für alle n>=n_0.
Für y\el\ B(x_n,1/2^n) mit n>=n_0 folgt aus der Dreiecksungleichung d(y,x)<=d(y.x_n)+d(x_n,x)<=1/2^n+\epsilon/2.
Wählen wir daher n_1\el\ \IN so groß, dass 1/2^(n_1)<\epsilon/2,
so gilt für alle n>=max{n_0, n_1 } die Inklusion B(x_n,1/2^n)\cut\ K\subset\ B(x,\epsilon)\subset\ U_\alpha_x.
Dies ist nun aber der gesuchte Widerspruch zur Konstruktion der B(x_n,1/2^n). Damit folgt, dass K überdeckungskompakt ist.
Und damit hätten wir den Satz von Heine-Borel bewiesen. \bigbox
\frame\black\big\ Definition Kompaktheit:
Eine Teilmenge K\subset\ M eines metrischen Raums (M, d) heißt kompakt__, wenn eine der äquivalenten Bedingungen im Satz von Heine-Borel erfüllt sind.
\big\ Lemma 2:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M kompakt. Dann ist jede abgeschlossene Menge A\subset\ K auch kompakt.
\stress\ Beweis:
Wir zeigen, dass A folgenkompakt ist. Sei ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A eine Folge. Da K kompakt, also insbesondere folgenkompakt ist und A\subset\ K eine Teilmenge von K ist, existiert eine Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN), die gegen ein x\el\ K konvergiert. Da nun A abgeschlossen ist folgt mit Satz 1, dass x\el\ A. Also ist A folgenkompakt und nach Heine-Borel kompakt.\bigbox
\big\ Korollar 2:
Sei \IR^n mit der Standardmetrik versehen. Dann ist eine Teilmenge K\subset\ \IR^n genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
\big\ \red\ Vorsicht!
Dass hier ein wenig Vorsicht geboten ist, zeigt der Artikel unter [3].
\stress\ Beweis:
"=>":
Sei K kompakt, insbesondere vollständig und total beschränkt. Da vollständige Mengen abgeschlossen und total beschränkte Mengen beschränkt sind, folgt die Behauptung.
"<==":
Sei K\subset\ \IR^n beschränkt und abgeschlossen. Dann existiert ein R>0, so dass K\subset\ B(0,R). Da K abgeschlossen ist, gen+gt es nach Lemma 2 zu zeigen, dass B(0,R) kompakt ist. Sei hierzu ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ B(0,R) eine Folge.
Schreiben wir x_k=((x_k)^1, ..., (x_k)^n), k\el\ \IN, so erhalten wir wegen norm(x_k)^2=sum(((x_k)^i)^2,i=1,n)<=R^2 insgesamt n beschränkte Folgen in \IR. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert daher eine konvergente Teilfolge ((y_n))_(n\el\ \IN) von ((x_n))_(n\el\ \IN), so dass ((y_n)^1)_(n\el\ \IN), d.h. die erste Komponenten von ((y_n))_(n\el\ \IN), konvergiert. Nach Auswahl einer weiteren Teilfolge ((z_n))_(n\el\ \IN) von ((y_n))_(n\el\ \IN) erhält man dann eine Teilfolge, bei der die ersten beiden Koordinantenfolgen ((z_n)^1)_(n\el\ \IN), ... konvergieren. Iterativ erhalten wir eine Teilfolge (((x^~)_n))_(n\el\ \IN) von ((x_n))_(n\el\ \IN), bei der sämtliche Koordinatenfolgen in \IR konvergieren. Da eine Folge genau dann bzgl. norm(*) konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen in \IR konvergieren, ist (((x^~)_n))_(n\el\ \IN) somit eine konvergete Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN).
Ferner ist norm((x^~)_k)^2<=R^2 für alle k\el\ \IN und daher auch mit den Grenzwertsätzen norm(lim(k->\inf,(x^~)_k))^2=lim(k->\inf,norm((x^~)_k)^2)<=R^2.
Dies impliziert lim(k->\inf,(x^~)_k)\el\ B(0,R) und daher ist B(0,R) kompakt.\bigbox
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