Mathematik: Differentialformen
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Analysis

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[AG] Globale Analysis

Globale Analysis

Abschnitt 2: Differentialformen


Elie CartanElie Cartan Nach all der Mühe mit der Linearen Algebra kommen wir nun endlich dazu den Begriff Differentialform zu definieren, um den es sich in den folgenden Artikeln immer wieder drehen wird. Weiterhin wollen wir auch die Cartan Ableitung einführen und den Pullback einer Differentialform erklären. Mit diesen Begriffen ausgerüstet, werden wir dann auch schon recht bald den Satz von Stokes - zunächst noch in einer schwachen Version - formulieren und beweisen können.

Inhaltsverzeichnis:






2.1 Differentialformen



Rekapitulieren wir noch einmal den Begriff der alternierenden Multilinearform. Wie aus der analytischen Geometrie bekannt ist, ordnet die Determinante - die normierte alternierende Multilinearform auf einem n-dim reellen Vektorraum - einem n-Tupel von Vektoren das orientierte Volumen des von den Vektoren aufgespannten parallel Epipeds zu. Setzt man einen der Basisvektoren in die Determinante ein, so erhält man daraus die Determinante auf dem Teilraum, der von den übrigen Basisvekotren aufgespannt wird. Wir können uns also vorstellen, dass alt. Multilinearformen eine Art gewichtetes Volumen"maß" (wir möchten hier nicht über Maßtheorie sprechen, obwohl wir sicher von diesem Thema nicht allzu weit entfernt sind) auf affinen Unterräumen beschreiben. Dies geht uns aber noch nicht weit genug, da das "Gewicht" - die Koeffizienten aus der Basisdarstellung - fest gegeben ist. Um zum Beispiel ein nicht homogenes Material, oder eine Ladungsverteilung mit Hilfe einer Dichte beschreiben zu können, wollen wir den Punkten im Raum unterschiedliches Gewicht zuordnen. Dazu bedienen wir uns der folgenden


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2.2 Das Dachprodukt



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Genau wie bei Addition und Multiplikation, definieren wir das Produkt einfach punktweise:
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Rechenregeln und die Gewissheit, dass alles wohldefiniert ist. :o)






2.3 Die Cartan-Ableitung



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Wie wir in Beispiel \blue\ref(b)\black gesehen haben, existiert eine Abbildung 
$ $ $ d: A_m^0(U) \to A_(m-1)^1(U), die einer Funktion f ihr Differential df zuordnet. Wir möchten diese Abbildung nun für alle k im Sinne von 
$ $ $ d: A_m^k(U) \to A_(m-1)^(k+1)(U) so fortsetzen, dass sie ihren ''derivativen Charakter'' behält. Dazu gehört, dass d \blue\big linear\black\normal ist, also für ein k-Form \w = sum(\w_I dx^I, abs(I) = k,) die Formel
$ $ $ d \w = sum(d (\w_I dx^I), abs(I)=k)
gilt.

Da das Differential \(für Funktionen\) bekanntermaßen die \blue\big Produktregel\black\normal 
d(fg) = g df + f dg erfüllt, wollen wir diese Eigenschaft auch auf die Fälle übertragen, wenn g eine k-Form ist. Daraus erhält man dann bereits
$ $ $ d \w = sum((d \w_I \wedge dx^I+\w_I d dx^I), abs(I)=k)

Die Abbildungen dx^I: U \to \L^abs(I)(\IR^n^\*) sind konstant, denn sie ordnen jedem Punkt x \in U die gleich Form dx^I(x) = e^I zu. Deswegen setzen wir deren Ableitung d dx^I = 0. Mit diesen drei Überlegungen erhalten wir schließlich die
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2.4 Pullback von Differentialformen



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Sehr häufig können Probleme dadurch gelöst werden, dass man zu anderen Koordinaten übergeht, die dem Problem besser angepasst sind. Im Falle einer offenen Menge U \subset \IR^n bedeutet es, dass man einem Punkt x \in U, mit x = (x^1, ..., x^n) in eindeutiger Weise einen anderen Punkt y = f(x) zuordnet, der die ''neuen'' Koordinaten (y^1, ..., y^n) besitzt. Die Menge U hat unter f betrachtet nun eine neue Gestalt f(U) = V. Und Funktionen \phi, die auf V leben, kann man mit \phi \circ f auf U zurückholen.

In diesem Kapitel wollen wir uns damit beschäftigen, wie sich Differentialformen verhalten, wenn man sie mittels einer Abbildung f zurückzieht \(engl.:\blue\big pull back\black\normal\). Im Gegensatz zum oben beschriebenen Fall, könnte es aber auch sein, dass man daran interessiert ist, eine Differentialform auf eine Teilmenge V \subset U zurückzuziehen, wenn man V durch eine Abbildung f: W -> V parametrisiert hat. In diesem Fall ist f: W -> U nicht mehr bijektiv und aus diesem Grund wollen wir diese Voraussetzung für die folgenden Betrachtungen fallen lassen.
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(*) vgl. Hilfssatz

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Zum Schluss noch einige Bemerkungen. Das Vorhaben mit den Differentialformen eine Art gewichtetes Volumenmaß einzuführen scheint sich in Anbetracht der Transformationsformel als geglückt erwiesen zu haben. Wir werden bald sehen, wie uns diese Formel ermöglichen wird ein Integral über sog. Mannigfaltigkeiten zu definieren.

Die Beispiele (c) und (d) deuten mit Kenntniss des Stokesschen- und Gaußschen Integralsatzes auf einen verallgemeinerten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hin, dessen schwache Version auch schon im nächsten Artikel vorgestellt und bewiesen wird.

Insgesamt gelingt es - auch im Hinblick auf die Transformationsformel - durch die starken Eigenschaften der Differentialformen, eine elegante, kurze und ausdrucksstarke Notation zu entwickeln. Beispielsweise lassen sich damit die vier bekannten Maxwellgleichungen in zwei einfache Formeln packen und die gesamte Elektrodynamik lässt sich komplett im Differentialformen-Kalkül formulieren, wie es z.B. im Buch von Martin Zirnbauer ab März 2009 zu lesen sein wird. (Bis dahin wird wohl noch sein Skript online verfügbar sein.)




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"Mathematik: Differentialformen" | 7 Comments
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Re: Differentialformen
von: Mentat am: Do. 28. August 2008 23:39:39
\(\begingroup\)
Ich bin beeindruckt, ein klasse Artikel. Wann kommt die Fortsetzung? 😄\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Hanno am: Fr. 29. August 2008 17:05:28
\(\begingroup\)
Hallo Konstantin,

auch wenn es nur abstrakter Nonsens ist, ist die Formulierung beim Pullback vielleicht etwas unglücklich: der Pullback selbst ist kein Funktor. Zusammen mit dem Pullback wird die Zuordnung [Mannigfaltigkeit -> Algebra der Differentialformen] zu einem kontravarianten Funktor [Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten -> graduierte R-Algebren].

Liebe Grüße,
Hanno\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: zxy am: Fr. 29. August 2008 19:17:38
\(\begingroup\)
Am Ende von Beispiel (c) nach Lemma 2.4 fehlt was.\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: kostja am: Fr. 29. August 2008 23:55:00
\(\begingroup\)
Hallo!

Danke zxy, ich habe das dx1,...,n ergänzt.

@Hanno: Danke, Du hast natürlich Recht. Werde es vlt. irgendwann ändern. Es ist Dir aber natürlich freigestellt einen Änderungsvorschlag einzureichen.

Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: NurSo am: So. 31. August 2008 13:39:19
\(\begingroup\)
Ein wirklich hilfreicher Artikel. Als alleinige Einführung in das Gebiet ist er für mich zu knapp, aber mit einem Buch ergänzt er sich ausgezeichnet.\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Redfrettchen am: Fr. 13. Februar 2009 17:46:11
\(\begingroup\)
Hallo Konstantin,
auch dein Artikel in dieser Reihe gefällt mir sehr gut!
Du hast am Anfang kurz angerissen, dass man sich auch schnell in der Maßtheorie wiederfinden kann. Die Transformationsformel gibt es ja in dieser Form auch in der Integrationstheorie. Wie kommt man von einem zum anderen? Kennst du eine gute Quelle, die diesen Übergang beschreibt?

Noch eine Kleinigkeit: Müsste in der vorvorletzen und vorletzten Zeile des Beweises der Transformationsformel nicht das Signum der Permutation jeweils noch auftreten als Faktor?

Beste Grüße!
Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Martin_Infinite am: Sa. 26. März 2011 21:51:03
\(\begingroup\)
Wann kommt Teil 3? ;)\(\endgroup\)
 

 
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