Physik: Relativitätstheorie - Verkürzungen
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Physik

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Relativitätstheorie - Teil 2

Verkürzungen

Bild In diesem zweiten Teil über die Relativitätstheorie geht es um die Verkürzung des Raumes und die Dehnung der Zeit. Anhand von geometrischen Skizzen werden zunächst die verschiedenen Phänomene dargestellt und der Verkürzungsfaktor berechnet. Zu den oft besprochenen Themen auf diesem Planeten gehört das Massstabparadoxon, daher wird es hier eingehend behandelt. Der letzte Abschnitt behandelt die Lorentz-Transformation. Mit dieser wird dann auch das Massstabparadoxon noch einmal überprüft. Inhalt
  • Geschichtliches
  • Herleitung der Verkürzung
  • Das Massstabparadoxon
  • Die Lorentztranformation
  • Literatur, Webseiten, Programme


  • Geschichtliches

    Das Experiment von Michelson zeigte, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht von der Bewegung relativ zu einem Äther abhängig ist (sondern immer gleich). Darauf hin versuchte man die physikalischen Eigenschaften des Äthers so anzupassen, dass die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erklärt werden konnte (zum Beispiel sollte der Äther von der Erde mitgerissen werden). Ebenfalls um die Äthertheorie zu retten schlugen G.F.Fitzgerald und Antoon Lorentz unabhängig voneinander eine Längenkontraktion in Bewegungsrichtung vor, um den Faktor \sqrt(1-v^2/c^2) Diese Längenkontraktion und später auch die Einführung der Ortszeit durch Lorentz (veröffentlicht 1904) waren zunächst rein empirische Formeln, ohne bzw. mit einer völlig falschen physikalischen Begründung. Einstein hat schliesslich 1905 die Relativitätstheorie (wahrscheinlich ohne die Arbeit von Lorentz zu kennen) aufgrund der folgenden Postulate hergeleitet: a) Alle gleichförmig zu einander bewegten Bezugssysteme sind gleichwertig und b) Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen gleich Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten die Formel für die Verkürzung herzuleiten. Der einfachste Weg ist, man setzt die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit voraus (Postulat b) und zeichnet sich die Situation auf:

    Herleitung der Verkürzung

    Die Verlangsamung der Zeit lässt sich geometrisch einfach gewinnen. Daraus kann man dann auch die räumliche Verkürzung ableiten. Um ein einfaches Beispiel zu rechnen, muss man die Gravitationsfelder weglassen. Wir vereinfachen daher: Die Erde sei für diese Betrachtung eine Scheibe und ohne Gravitation. Wir stellen uns die Situation in einer Rakete vor, welche zunächst still am Boden liegt. Ein Lichtstrahl werde von einem Laser auf die andere Seite der Rakete geschickt und von dort wird er wieder an das selbe Ort zurück gespiegelt. Der Lichtstrahl legt die Länge l mit Lichtgeschwindigkeit zurück (in der Zeichnung links). Bild Nun fliege die Rakete über uns vorbei. Das Licht in der Rakete legt für uns am Boden einen grösseren Weg zurück, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Für die Weltraumtouristen muss die Lichtgeschwindigkeit aber gleich bleiben. Dies kann man folgendermassen erklären: \Die Zeit muss für die Weltraumfahrer langsamer vergehen, so dass der längere Lichtweg (l_R) in der gleichen, eigenen Zeit zurückgelegt wird: l=c*t_R und l_R=c*t l_R sei der verlängerte Weg für das Licht von der Erde aus gesehen. t_R sei die (langsamere) Zeit im Raumschiff auch von der Erde aus gesehen. Für uns am Boden Gebliebenen hat sich der Weg l für das Licht zwar verlängert, nicht aber für die Astronauten. Diese sehen die Wand gegenüber immer noch gleich. Für uns ist nach Pythagoras: l_R^2=c^2*t^2=l^2+v^2*t^2 oder l^2=c^2*t^2-v^2*t^2=c^2*t_R^2 etwas umgestellt: t_R^2/t^2=1-v^2/c^2 Der Kehrwert 1/sqrt(1-v^2/c^2) des Faktors sqrt(1-v^2/c^2), um den die Zeit langsamer abläuft, wird häufig mit \gamma bezeichnet.
    Räumliche Verkürzung
    Die Zeit vergeht im Raumschiff also langsamer als auf der (vereinfachten) Erde. Das Raumschiff überfliege jetzt Frankreich Richtung Deutschland mit 36'000km/h. Da eine Sekunde im Raumschiff etwas länger dauert, wird es aus seiner Sicht nicht nur 1000km über Frankreich fliegen, sondern noch ein Stück über die deutsche Grenze. Die Geschwindigkeit soll vom Raumschiff aus gesehen natürlich auch 36'000km/h sein. Somit sehen die Astronauten den zurückgelegten Weg auf 1000km zurück geschrumpft. Wieviel mehr, als die 1000km wird das Raumschiff nun also zurücklegen? \ Hat das Raumschiff eine um den Faktor \gamma längere Flugzeit, so wird es einen um den Faktor \gamma längeren Weg zurücklegen. In diesem Fall wären das: s=1000km/(sqrt(1-v^2/c^2)) Bei einer Geschwindigkeit von 10km/s sind es somit 1000000.00056m, welche von den Raumfahrern aus auf 1000km geschrumpft sind. Für diese Kompression um einen halben Millimeter lohnt sich der Aufwand einer Weltraumfahrt eigentlich nicht. Man könnte denken, die Relativitätstheorie hätte keine Bedeutung in unserem Alltag. Die Verkürzung des Raumes ist schliesslich sehr gering. In einem späteren Artikel möchte ich zeigen, wie aus einem elektrischen Feld durch die Lorentztransformation ein magnetisches wird, und die magnetischen Felder spielen in unserem Alltag ohne Zweifel eine wichtige Rolle.
    Raumzeit-Diagramm
    Im Raumzeit-Diagramm kann man die Verkürzung ebenfalls ablesen. Der ruhende Beobachter "sieht" die Rakete über die schiefe Weltlinie (also dort, wo sie früher gewesen ist), und somit ist sie für ihn verkürzt. Die Astronauten sehen den Boden über die senkrechten Linien, so dass auch der Boden verkürzt ist. Bild Wer gerne Trigonometrie betreibt, kann den Verkürzungsfaktor auch über eine solche Grafik herleiten was zum Beispiel im Gerthsen [1] durchgeführt ist. Möglicherweise geht es auch ohne Trigonometrie. Die Linien e-f und e'-f' sind parallel und daher kann der Strahlensatz angewendet werden.

    Massstabparadoxon

    Immer wieder taucht die Frage auf, ob ein schnell bewegter Gegenstand durch einen Spalt passt, weil er verkürzt ist, oder auch nicht, da ja auch der Spalt verkürzt ist, aus der Sicht des Stabes. Bild In den Diagrammen ist nicht gezeigt, was wir sehen würden, sondern was die Relativitätstheorie ohne optische Verzerrungen bewirkt. Im linken Teil sieht man den Stab, wie er auf den Spalt zu fliegt. Der Stab ist verkürzt, da man das hintere Ende später "sieht" wie das vordere. Durch die Geschwindigkeit zum Spalt hin scheint er auch etwas verdreht. Allerdings ist er nicht, wie oft fälschlich dargestellt, zum Spalt hin gedreht, sondern davon weg. Im rechten Teil ist die Situation in Raum und Zeit dargestellt. Allerdings ist dieses Schema stark vereinfacht. Aus der Drehstreckung bzw. Drehung um einen imaginären Winkel habe ich eine einfache Drehung gemacht, um das Prinzip darzustellen. Der Stab ist zudem nur zu den beiden Zeitpunkten dargestellt, wenn er auf die Enden im Spalt trifft. Optischer Effekt Was wir optisch sehen, ist nochmals etwas ganz anderes. Kommt der Stab auf uns zu, so sehen wir den hinteren Teil, wo er in der Vergangenheit war. Den vorderen Teil sehen wir später, da das Licht von vorne weniger lang braucht bis zu uns. Der Stab erscheint somit länger. Entfernt sich der Stab wieder, so erscheint er aus dem gleichen Grund verkürzt. Die Skizze zeigt dies etwas vereinfacht. Genauer ist dies in [3] zu sehen. Bild Der optische Effekt ist übrigens viel stärker als der relativistische. Die Laufzeit des Lichtes geht ja auch direkt linear in die Verzerrung ein. Im Beispiel aus dem letzten Kapitel würde es auf die 1000km Länge des Seiles mehr als 3cm ausmachen: \Delta l=(10000|m/s*1000|m)/(300000|km/s)=3.33...cm Ball Noch eine abschliessende Frage zu den Verzerrungen: Was passiert mit einem Ball? Die Antwort ist etwas verblüffend: Ein Ball bleibt immer rund, wenn auch seine Oberfläche ziemlich übel verzerrt wird. Dies sieht man auch in [3].

    Die Lorentztranformation

    Bis jetzt habe ich Grafiken verwendet, um die Effekte der Relativitätstheorie darzustellen. Das ist zwar anschaulich, zeigt aber immer nur einen Teilaspekt. Daher soll nun noch das mathematische Schema, die Lorentztransformation, nachgeliefert werden. Was wir suchen ist eine lineare Transformation. Diese soll auf Raumzeitpunkte angewendet werden. Man will die neuen Koordinaten kennen, aus der Sicht eines gleichförmig bewegten Bezugssystems. Die Raum-Zeit-Punkte sind keine normalen Vektoren, da räumliche und zeitliche Koordinaten gemischt werden. Man fasst die vier Koordinaten aber trotzdem zusammen zu einem so genannten Vierervektor: (ct;x_1;x_2;x_3) Durch die Multiplikation der Zeit mit c stimmen die Einheiten wieder überein (man kann so zB. Raum und Zeit in Metern rechnen). Für die Herleitung begnüge ich mich damit, nur noch zwei Koordinaten zu behandeln: die Zeitkoordinate und die räumliche Koordinate in Richtung der Geschwindigkeit. Die anderen beiden räumlichen Koordinaten werden von der Lorentztransformation nicht verändert. Die Aufgabe besteht also darin, irgend einen Punkt (zB. die Nabe der Zeiger einer Kirchturmuhr) von der Sicht am Boden mit (ct,x), zu der Sicht aus dem Raumschiff (ct',x') zu transformieren: matrix(c*t';x')=matrix(A,B;C,D)*matrix(c*t;x) Die Lichtgeschwindigkeit bleibt konstant. Es muss also folgende Gleichung erfüllt sein für +c, wie auch für -c: matrix(c*t';+-c*t')=matrix(A,B;C,D)*matrix(c*t;+-c*t) Ausgerechnet: A*c*t+B*c*t=c'*t' C*c*t+D*c*t=c'*t' A*c*t-B*c*t=c'*t' C*c*t-D*c*t=-c'*t' Gleich setzen: A*c*t+B*c*t=C*c*t+D*c*t A*c*t-B*c*t=-C*c*t+D*c*t und daraus A=D und B=C Man kann nun schreiben: matrix(c*t';x')=matrix(A,B;B,A)*matrix(c*t;x) Um weiter zu kommen benutzen wir das Resultat aus den geometrischen Überlegungen. Wir wissen, dass zeitliche Ereignisse durch die Transformation um den Faktor \gamma verkürzt werden. Eine Uhr im Raumschiff soll vom Boden aus beobachtet werden: matrix(c*t/\gamma;0)=matrix(A,B;B,A)*matrix(c*t;v*t) Löst man dieses Gleichungssystem, erhält man die gesuchte Transformation: \Lambda(v)=(\gamma,-v/c*\gamma;-v/c*\gamma,\gamma) Die Matrix kann auf drei Dimensionen erweitert werden, und durch Drehung kann man die Transformation für beliebige Richtungen der Geschwindigkeit angeben. Ohne Herleitung sei diese nun angegeben. Die Lorenztransformation im Raum lautet: \Lambda_\nue^\mu=(\gamma , -v_x /c*\gamma , -v_y /c*\gamma , -v_z /c*\gamma ; -v_x /c*\gamma , 1+(\gamma-1)*v_x^2/v^2 ,(\gamma-1)*(v_x*v_y)/v^2,(\gamma-1)*(v_x*v_z)/v^2 ; -v_y /c*\gamma , (\gamma-1)*(v_x*v_y)/v^2 , 1+(\gamma-1)*v_y^2/v^2 , (\gamma-1)*(v_y*v_z)/v^2 ; -v_z /c*\gamma , (\gamma-1)*(v_x*v_z)/v^2 , (\gamma-1)*(v_y*v_z)/v^2 , 1+(\gamma-1)*v_z^2/v^2 ) Jetzt sind wir in der Lage, das Massstabparadoxon mit Hilfe der Lorenztransformation nochmals zu überprüfen. Dazu wird ein Koordinatensystem mit Ursprung in der linken Ecke des Spaltes eingeführt: Bild Der 1m lange Massstab fliege mit v_x=2*10^8 m/s und v_y=1*10^8 m/s auf den 1m langen Spalt zu. Der Stab soll durch seine Endpunkte im System des Stabes dargestellt werden. Er sei mit seinem linken Ende S_l genau im Ursprung. Die Endpunkte sind S_l=(0;0;0;0) und S_r=(0;1;0;0). Mit der Lorentztransformation können wir nun vom Stab aus den Spalt betrachten. Wir befinden uns jetzt am linken Ende auf dem Stab und stellen fest: P_l=\Lambda(-v_x ,-v_y)*S_l=(0;0;0;0) und P_r=\Lambda(-v_x ,-v_y)*S_r (Die Geschwindigkeiten sind aus Sicht des Stabes negativ. Zu beachten ist auch das gespiegelt Koordinatensystem mit -y gegenüber den ersten Grafiken, was das Vorzeichen von v_y ändert) Als Resultat für P_r erhält man: P_r=(ct;x;y;z)=(-1m;1.4m;0.2m;0m) Vom Stab aus gesehen ist der Spalt in x-Richtung auf 1m/1.4 verkürzt (oder anders formuliert: Das rechte Stabende wird auf den Punkt x=1.4m des Spaltes projiziert), was aber nicht weiter schlimm ist, bzw. nicht zu einem Crash führt, da er die rechte Ecke des Spaltes bereits zum Zeitpunkt von (jetzt-1m/c) passiert hat und damals war der ganze Stab noch weiter links. Aus der Sicht des Stabes ist er zum Spalt hin gedreht und kommt so trotz verkürztem Spalt durch. Für den ruhenden Beobachter hingegen erreicht der Stab zuerst mit dem hinteren Ende die linke Ecke des Spaltes und dann erst die rechte Ecke mit dem rechten Stab-Ende. Der Stab erscheint vom ruhenden Beobachter weggedreht und kommt nur dank der Verkürzung durch den Spalt. Die Reihenfolge der Ereignisse und die Drehung im Raum ist für die beiden Beobachter somit unterschiedlich. Damit will ich die Behandlung des Massstabparadoxons abschliessen. Noch ein paar Anmerkungen zur Lorentztransformation: 1. Rücktransformation Die inverse Lorentztransformation lässt sich einfach bestimmen, man braucht nur die Geschwindigkeit umzukehren: \Lambda(v)^(-1)=\Lambda(-v) 2. Mehrfach-Transformation Will man zwei Transformationen hintereinander ausführen, so kann man diese nicht einfach durch eine Transformation mit der Summe der Geschwindigkeiten ersetzen. Es gilt (Additionstheorem für Geschwindigkeiten): \Lambda(v_2)\kringel\Lambda(v_1)=\Lambda((v_1+v_2)/(1+(v_1*v_2)/c^2)) 3. Invarianz Im dreidimensionalen Raum bleibt der Abstand zweier Punkte konstant, wenn der Raum einer Drehung unterzogen wird. In der Relativitätstheorie gibt es eine weitere Invariante. Man nennt den raum-zeitlichen Abstand "Intervall". Bedingt durch die Sonderstellung der Zeit lautet das Intervall: I^2=ct^2-x^>^2 Ist das Intervall I=0, so sind die beiden Punkte lichtartig miteinander verbunden. Punkte mit I>=0 können durch bewegte physikalische Objekte verbunden werden. Eine tiefer gehende Behandlung der Lorentztransformation, auch in Bezug auf ihre Gruppeneigenschaften findet sich in [2].

    Literatur, Webseiten, Programme

    [1] Vogel, Gerthsen Physik, Springer, 19.Auflage, ISBN 3-540-62988-2 oder in der neuen Version hier. [2] Kompakt und didaktisch ausgezeichnet finde ich das Lehrbuch von U.E.Schröder: Spezielle Relativitätstheorie, ISBN 978-3-8171-1724-6 [3] Fantastische Bilder und Animationen finden sich in http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de [4] Ein Planetarier hat mich auf das folgende Programm aufmerksam gemacht. Damit kann man durch unseren Weltraum fliegen und die einzelnen Effekte zu- oder abschalten. Eine Testversion kann gratis heruntergeladen werden. www.starstrider.com
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    "Physik: Relativitätstheorie - Verkürzungen" | 4 Comments
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    Re: Relativitätstheorie - Verkürzungen
    von: briefkasten am: Mo. 23. November 2009 00:52:25
    \(\begingroup\)Hallo Ueli, der Artikel gefällt mir sehr gut. Ich habe ihn erst jetzt durchgelesen, weil ich zufällig von deinem Artikel der Fouriertransformation dazu gestoßen bin. Ich werde deine anderen Artikel natürlich auch durchlesen 😄 Aber jetzt geht es ab ins Bett ... mfg, briefkasten\(\endgroup\)
     

    Re: Relativitätstheorie - Verkürzungen
    von: digerdiga am: Mo. 04. September 2017 14:32:07
    \(\begingroup\)Hey du, Schöner Artikel. Eine Frage: Muss nicht $P_r^2 = S_r^2 = -1 $ sein??? Für S passt das, aber nicht für P ☹️ Der 2. Punkt unten "Mehrfach-Transformation" ist nicht ganz richtig. Für beliebige Boosts, so wie du sie hingeschrieben hast, kommt noch eine Drehung dazu.\(\endgroup\)
     

    Re: Relativitätstheorie - Verkürzungen
    von: Ueli am: So. 03. Dezember 2017 16:10:56
    \(\begingroup\)Vielen Dank an digerdiga und julian-apostata für die Korrekturhinweise. Julian hat die Transformation korrigiert, so dass auch $P_r^2 = S_r^2 = -1 $ herauskommt (in Punkt 3 (Invarianz) habe ich das zwar gefordert, aber bei meiner Rechnung nicht nachgeprüft.) Der Hinweis von digerdiga zu den Drehungen ist mir noch nicht klar. Wie soll man es hinschreiben, wenn man nur die Geschwindigkeitstransformationen betrachten will und keine weiteren Elemente der Lorentz-Gruppe? Denn dann müsste ich den Artikel noch erweitern.\(\endgroup\)
     

    Re: Relativitätstheorie - Verkürzungen
    von: digerdiga am: Mi. 06. Dezember 2017 01:34:50
    \(\begingroup\)Naja, da du speziell Boosts betrachtest die in 2D beliebige Richtungen annehmen können, sollte man auch beachten, dass die Hintereinanderausführung nicht paralleler Boosts nicht auf die obige Geschwindigkeitsaddition führt (oder hast du nur parallele Boosts betrachtet?). In deiner Formel ist es jedenfalls egal ob ich erst mit v1 booste und dann mit v2 oder erst mit v2 und dann mit v1. Tatsächlich aber macht dies einen Unterschied denn die Geschwindigkeitsaddition ist im allgemeinen nicht kommutativ. Schau mal hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity-addition_formula Das führt dann dazu, dass wenn IS1 parallele Achsen zu IS2 hat und IS2 parallel zu IS3 ist, dann ist nicht zwangsläufig IS1 parallel zu IS3 sondern über eine Rotation verknüpft, der Thomas Präzision. Deswegen kannst du bei einem Boost von IS1 nach IS3 den Rückwärtsboost IS3 nach IS1 nicht einfach durch einen Vorzeichenwechsel des Hinboosts erhalten. Vielleicht hat jemand der mehr darüber weiß noch interessante Einsichten.\(\endgroup\)
     

     
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