Mathematik: Fibonacci-Folge
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Mathematik

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Fibonacci-Folge/Fibonacci-Zahlen

Ihre erste Erwähnung bekommt sie unter dem Namen „maatraameru“ um 450 v.Chr. bzw. 200 v.Chr. Ausführlicher behandelt wurde die Folgen dann auch von Virahanka(6. Jh.) und später dann auch von Acharya Hemachandra (1089-1172). Bild In der westlichen Welt war es zuerst Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci („figlio di Bonacci“, Sohn des Bonacci) der in seiner Liber abacci („Buch der Rechenkunst“) diese Folge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden wollte, wie viel Kaninchen aus einem einzigen Paar entstehen

Inhaltsverzeichnis

1. Wachstum einer Kaninchenpopulation -a)Veranschaulichung bei Kaninchen -b)Rekursive Darstellung 2. Goldener Schnitt -a)Welchen Zusammenhang gibt es? -b)Was ist der Goldene Schnitt? 3. Explizite Darstellung -a)Herleitung der expliziten Darstellung -b)Beweis durch vollständige Induktion -c)Beweis des Zusammenhangs mit dem Goldenen Schnitt

1. Wachstum einer Kaninchenpopulation

a)Veranschaulichung bei Kaninchen

Wie bereits in der Einleitung erwähnt beschäftigte sich Leonardo da Pisa mit der Frage:Wieviele Kaninchen entstehen aus einem einzigen Paar? Hierzu legte er vier Grundregeln fest, nach denen sich die Kaninchen vermehren. Wachstumsregeln: 1. Zu Beginn gibt es ein Paar neugeborener Kaninchen. 2. Jedes neugeborene Paar wirft nach 2 Monaten ein weiteres Paar. 3. Anschließend wirft jedes Kaninchenpaar jeden Monat ein weiteres. 4. Kaninchen leben ewig und haben einen unbegrenzten Lebensraum. Wenn wir diese Regeln berücksichtigen und uns dann von Monat zu Monat hangeln, können wir folgende Tabelle darstellen: Bild

b) Rekursive Darstellung

Aus vorheriger Veranschaulichung ergibt sich dann sofort die rekursive Darstellung der Folge. Rek: f(n) = f(n-1) + f(n-2) , mit f(1) = 1 und f(2) = 1 Diese Rekursive Formel möchte ich zudem noch aus späteren Gründen in folgender Form angeben. Rek: f(n+2) = f(n+1) + f(n) ,mit f(0) = 0 und f(1) = 1

2. Goldener Schnitt

a) Welchen Zusammenhang gibt es?

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Fibonacci-Folge und dem goldenen Schnitt? Der Zusammenhang in Worten: Je größer die Fibonacci-Zahl und dessen Vorgänger ist, desto mehr gleicht das Verhältnis derer beiden Zahlen, dem Verhältnis des goldenen Schnittes. Der Zusammenhang mathematisch: Für die Fibonacci-Folge gilt folgende Gleichung: lim(n->\inf,f_(n+1)/f_n)=\Phi, wobei f_n die Fibonacci-Zahl an der Stelle "n" beschreibt. Der Beweis dieses Satzes erfolgt später, nach der Herleitung der expliziten Formel.

b) Was ist der goldene Schnitt?

Definition: In Worten: Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Mathematisch: \Phi=a/b=(a+b)/a ; mit a>b => \Phi=1+b/a=1+1/\Phi <=> \Phi^2=\Phi+1 <=> \Phi^2-\Phi-1=0 Lösen dieser Gleichung ergibt: \Phi=(1+sqrt(5))/2~=1,618... \Phi^-=(1-sqrt(5))/2~=-0,618... Zwischen \Phi und \Phi^- ergeben sich daraus wichtige Zusammenhänge: \Phi+\Phi^-=(1+sqrt(5))/2+(1-sqrt(5))/2=(1+sqrt(5)+1-sqrt(5))/2=1 also: \blue\ \Phi+\Phi^-=1 und \Phi-\Phi^-=(1+sqrt(5))/2-(1-sqrt(5))/2=(1+sqrt(5)-1+sqrt(5))/2=sqrt(5) also: \blue\ \Phi-\Phi^-=sqrt(5) Diese Zusammenhänge werde ich später noch einmal aufgreifen.

3. Explizite Darstellung

a) Herleitung der expliziten Formel

\stress\ Idee: Nach 2a gilt: lim(x->\inf,f_(n+1)/f_n)=\Phi => mögliche Rekursive Formel: f_(n+1)= f_n * q (geometrische Folge) \stress\ Ansatz: f_n=a*q^n Bekannt: f_(n+2)=f_(n+1)+f_n einsetzen des Ansatzes: a*q^(n+2)=a*q^(n+1)+a*q^n ,mit a,q!=0 <=>q^2=q+1 <=>q^2-q-1=0 Lösung mit Mitternachtsformel ergibt: q_1=(1+sqrt(5))/2=\Phi q_2=(1-sqrt(5))/2=\Phi^- Rekursionsformel wird erfüllt, allerdings gibt es ein Problem mit den Anfangsgliedern: f_1=1 ; f_2=1 Funktioniert nicht, da: f_1=a*\Phi=1 =>a=1/\Phi!=1/\Phi^2=a<==a*\Phi^2=1=f_2 \stress\ Neuer Ansatz: Rekursionsgleichung: f_(n+2)=f_(n+1)+f_n wird auch durch eine Linearkombination erfüllt mit: a_1*\Phi^n+a_2*\Phi^-^n Einsetzen in Rekursionsgleichung ergibt: f_n+f_(n+1)=a_1*\Phi^n+a_2*\Phi^-^n+a_1*\Phi^(n+1)+a_2*\Phi^-^(n+1) f_n+f_(n+1)=a_1*(\Phi^n+\Phi^(n+1))+a_2(\Phi^-^n+\Phi^-^(n+1) f_n+f_(n+1)=a_1*\Phi^(n+2)+a_2*\Phi^-^(n+2)= f_(n+2) Auch neuer Ansatz erfüllt Rekursionsgleichung => f_(n)=a_1*\Phi^n+a_2*\Phi^-^n \stress\ Bestimmung der Koeffizienten Man weiß folgende Eigenschaften: f_(0)=0 f_(1)=1 Durch einsetzen in f_(n)= a_1*\Phi^n+a_2*\Phi^-^n erhält man ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten: f_(0)= a_1*\Phi^0+a_2*\Phi^-^0=a_1+a_2=0 f_(1)= a_1*\Phi^1+a_2*\Phi^-^1=a_1*\Phi+a_2*\Phi^-=1 a_2=-a_1 a_1*\Phi+a_2*\Phi^-=1 a_2=-a_1 a_1*\Phi-a_1*\Phi^-=1 a_2=-a_1 a_1*(\Phi-\Phi^-)=1 Bei der Sammlung von besonderen Zusammenhängen von \Phi und \Phi^- steht folgendes: \Phi-\Phi^-=sqrt(5) Dies wird in das Gleichungssystem eingesetzt und man erhält folgende Lösungen: a_2=-1/sqrt(5) a_1=1/sqrt(5) Eingesetzt in die Potenzfunktion gibt das: f(n)= 1/sqrt(5)*((1+sqrt(5))/2)^n-1/sqrt(5)*((1-sqrt(5))/2)^n oder faktorisiert: f(n)= 1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n) Damit ist gezeigt wie die explizite Formel der Fibonacci-Folge aussieht. Als erster hergeleitet hatte sich diese Formel der Mathematiker Abraham de Moivre im Jahr 1720 und von diesem unabhängig Jacques Philippe Marie Binet 1843, weshalb sie heute auch als „Formel von Moivre-Binet“ bekannt ist.

b) Beweis durch vollständige Induktion

Im folgenden möchte ich durch einen einfachen Beweis, nämlich durch vollständige Induktion beweisen, dass die Formel von Moivre-Binet tatsächlich gilt. Beweis der Formel von Moivre-Binet durch Vollständige Induktion: Annahme: f_n= 1/sqrt(5)*(\Phi^n-\Phi^-^n), mit \Phi=(1+sqrt(5))/2 und \Phi^-=(1-sqrt(5))/2 sei eine explizite Form der rekursiven Formel: f_(n+2)=f_(n+1)+f_n \big\ Induktionsanfang n=1 1=f_1=1/sqrt(5)*(\Phi^1-\Phi^-^1)=1/sqrt(5)*sqrt(5)=1 n=2 1=1/sqrt(5)*(\Phi^2-\Phi^-^2)=1/sqrt(5)*sqrt(5)=1 \big\ Induktionsschluss \stress\ Induktionsvoraussetzung f_n= 1/sqrt(5)*(\Phi^n-\Phi^-^n) f_(n+1)= 1/sqrt(5)*(\Phi^(n+1)-\Phi^-^(n+1)) \stress\ Induktionsbehauptung f_(n+2)= 1/sqrt(5)*(\Phi^(n+2)-\Phi^-^(n+2)) \stress\ Induktionsbeweis f_(n+2)= f_(n+1)+f_(n)=1/sqrt(5)*(\Phi^(n+1)-\Phi^-^(n+1)+\Phi^n-\Phi^-^n) f_(n+2)=1/sqrt(5)*(\Phi^n(\Phi+1)-\Phi^-^n(\Phi^- +1) Und es gilt nach der Herleitung und Definition von \Phi und \Phi^-: \Phi^2=\Phi+1 \Phi^-^2=\Phi^-+1 => f_(n+2)=1/sqrt(5)*(\Phi^(n+2)-\Phi^-^(n+2)) \bigbox Damit ist bewiesen, dass die explizite Formel die rekursive Formel genau beschreibt. Als nächsten Schritt, möchte ich mit dem Wissen der Gültigkeit dieser Formel, noch einmal den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem goldenen Schnitt aufgreifen und beweisen, dass obige Behauptung und Annahme tatsächlich zutrifft.

c) Beweis des Zusammenhangs mit dem goldenen Schnitt

Zu zeigen ist: lim(n->\inf,f_(n+1)/f_(n))= \Phi Lösungsansatz: f_(n)= 1/sqrt(5)*((1+sqrt(5))/2)^n-1/sqrt(5)*((1-sqrt(5))/2)^n f_(n)= 1/sqrt(5)*(\Phi^n-\Phi^-^n) und f_(n+1)=1/sqrt(5)*(\Phi^(n+1)-\Phi^-^(n+1)) \stress\ Bilden des Quotienten: f_(n+1)/f_(n)=(1/sqrt(5)*(\Phi^(n+1)-\Phi^-^(n+1)))/(1/sqrt(5)*(\Phi^n-\Phi^-^n)) f_(n+1)/f_(n)=((\Phi^(n+1)-\Phi^-^(n+1)))/(\Phi^n-\Phi^-^n)) f_(n+1)/f_(n)=(\Phi^n*(\Phi-(\Phi^-^(n+1))/\Phi^n))/(\Phi^n*(1-(\Phi^-^n)/\Phi^n)) f_(n+1)/f_(n)=(\Phi-(\Phi^-^(n+1))/\Phi^n)/(1-(\Phi^-^n)/\Phi^n) lim(n->\inf,f_(n+1)/f_(n))=lim(n->\inf,(\Phi-(\Phi^-^(n+1))/\Phi^n)/(1-(\Phi^-^n)/\Phi^n))=\Phi \bigbox Demnach gilt auch obige Aussage über diesen Zusammenhang. Dieser Zusammenhang war den Menschen schon früh klar, auch wenn sie diesen nicht beweisen konnten. So konnten sie, wenn sie zum Beispiel eine Kirche im Verhältnis des goldenen Schnittes bauen wollten,entweder die Streckenlängen mit Hilfe eines Pentagrams konstruieren, oder die Strecken mit großen Fibonacci-Zahlen wie 144 und 233 annähern.
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"Mathematik: Fibonacci-Folge" | 7 Comments
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Re: Fibonacci-Folge
von: bansh33 am: Mo. 17. November 2008 21:05:19
\(\begingroup\)schöner artikel 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: checkit am: Mo. 17. November 2008 21:48:53
\(\begingroup\)Hi! \ Damit man überhaupt von lim(n->\inf,f_(n+1)/f_(n)) sprechen kann, muss man die Konvergenz der Folge nachweisen. Das hast du nicht gemacht. Das tut man, indem man die Folge in zwei Teilfolgen zerlegt, von denen man dann leicht zeigen kann, dass die konvergieren. Siehe hier Gruss checkit \(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: Phi1 am: Mo. 17. November 2008 21:53:49
\(\begingroup\)Hi! Ein sehr netter und gelungener Artikel. Eine kleine Anmerkung möchte ich dennoch machen, auch wenn es nur eine Schönheitskorrektur ist. Bei der Herleitung der expliziten Formel im zweiten Ansatz könnte man wie folgt vorgehen: \ Mit den Ansatz x^n für F_n kommt man auf x^(n+1) =x^n +x^(n-1) also x^2=x+1. Diese Gleichung hat \lambda=1/2*(1+sqrt(5)) und \mue=1/2*(1-sqrt(5)) als Lösungen. Nun sieht man, daß nicht nur \lambda^n und \mue^n Lösungen sind, sonder auch eine beliebige Linearkombination c*\lambda^n +d*\mue^n mit c,d\el\IR. Mit den Anfangsbedingungen F_0 = 0 und F_1 = 1 kommt man auf c+d=0 sowie c*\lambda+d\mue=1. Löst man dieses Gleichungssystem, so folgt c=-d=sqrt(5)/5=1/(\lambda-\mue). Hieraus bekommt man nun die sogenannte Binetsche Darstellung F_n = (\lambda^n -\mue^n )/(\lambda-\mue). Dividiert man duch \lambda^n, so sieht man sofort, daß F_(n+1)/F_n ->\lambda gilt. Wie gesagt, ist das nur eine Schönheitskorrektur! MfG\(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: Diophant am: Mo. 17. November 2008 22:57:30
\(\begingroup\)Ein sehr schöner Artikel, der in kompakter Form wichtige Zusammenhänge rund um die Fibonacci-Folge vorstellt. Besonders gelungen finde ich die Herleitung der Binet'schen Darstellung. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: Hans-im-Pech am: Di. 18. November 2008 13:34:36
\(\begingroup\)schöner artikel!\(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: mathehorn am: Di. 18. November 2008 14:18:05
\(\begingroup\)Hallo! Für mich waren besonders die ersten beiden Sätze interessant. Ich finde es sehr schade, dass europäische Mathematiker oft "vergessen" zu erwähnen, dass sich ein indischer Mathematiker schon viele Jahrhunderte früher mit diesem Thema beschäftigt hat. Dass es auch bei den Fibonacci-Zahlen so war, hab ich noch nicht gewusst. Vielen Dank! Gruß vom Beatle \(\endgroup\)
 

Re: Fibonacci-Folge
von: cow_gone_mad am: Di. 18. November 2008 19:26:21
\(\begingroup\)Kettenbrueche? Partielle Brueche (werden "partiel quotients" so uebersetzt?)? Halllo? 😵 \(\endgroup\)
 

 
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