Mathematik: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
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Mathematik

\(\begingroup\) by Klaus Lange Germany - 15831 Mahlow lange_klaus@hotmail.com \big\ Abstract A Wieferich prime number p has the criterion \lr(1)2^(p-1) == 1 mod p^2 Only two of those Wieferich prime numbers are known at the moment (2008). The prime number 1093 (found in year 1913 by Waldemar Meissner) and the prime number 3511 (found in year 1922 by N. G. W. H. Beeger) [1]. Analysing of the division properties of the exponent p - 1 from these two prime numbers leads to my suggestion to variate the Wieferich criterion (1) by using pairs of prime numbers. The new prime criteria will be discussed. This english article will be used to ask for a new search on Wieferich@home.

\big\ Observations about the Wieferich criterion In (1) we see on the Wieferich criterion the importance of the exponent in \ 2^(p-1) Looking the two known Wieferich primes leads to the prime faktors of these exponents \ p_a = 1093 p_a - 1 = 1092 = 2^2 * 3 * 7 * 13# (2) p_b = 3511 p_b - 1 = 3510 = 2 * 3^3 * 5 * 13# (3) It is clear that only for this two known Wieferich primes we cannot build a general system. But the equal prime faktors 2, 3, 13 for both exponents leads to an idea: The exponents have the structure \ p - 1 = 6n. We know that for twin primes. Here in the notation \ (p-2, p) \element\IP^2 with p - 1 = 6n. And this idea fits for the first Wieferich prime number, because of \ p_a = 1093 p_a - 2 = 1091 \element\IP \ but it does not fit for the second Wieferich prime, because of \ p_b = 3511 p_b - 2 = 3509 = 11^2 * 29 \ The directly neighbours of the second Wieferich prime number are \ 3499 = p_b - 12 3517 = p_b + 6 \ Because of this we reduce our variation of the Wieferich criterion only for prime brothers and sisters.
\big\ Suggestion for a new Wieferich like search criteria First of all we repeat the definition of brothers and sisters prime number set [1]. \ Definition of prime brother and sister: Be p_i, p_(i+1) two consecutive prime numbers with p_i > 3. We call p_i, p_(i+1) prime number brother and sister, if p_(i+1) - p_i = 2^n with n \el\ \IN. The set of those prime numbers called brother and sister primes \IB. Remark: (i) The twin primes greater than 3 are a subset of \IB. \ \big\ The new Wieferich like criteria Now we use the brother and sister primes to establish a new Wieferich like search: \ Wieferich like primes in \IB. Be p_i; p_(i+1) \el\ \IB with \lr(4)2^((p_i + p_(i+1))/2) == p_(i+1) - p_i - 1 mod (p_(i+1))^2 or \lr(5)2^((p_i + p_(i+1))/2) == p_(i+1) - p_i - 1 mod (p_i)^2 Remarks: (ii) For twin primes we have the known Wieferich criterion (1)! That means the first Wieferich prime 1093 as a part of the twin prime {1091; 1093} fulfills the new criterion (4). (iii) Using prime numbers not only in \IB we have to search for partner primes with the distance p - q = 2^n and p; q did not be consecutive primes at all, so called Cousin primes [2]. That means no more both primes need not to be in \IB. \ \big\ Conjecture for the new Wieferich like criteria There are more prime numbers of (4) and (5) as of (1), but the number of those primes in respect of (4) and (5) is only finite.
\big\ Sources [1] Wieferich@home [2] Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
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"Mathematik: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers" | 14 Comments
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Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: Wauzi am: Sa. 06. Dezember 2008 20:13:36
\(\begingroup\)Daß die Mehrheit wissenschaftlicher Veröffentlichungen in englischer Sprache formuliert wird, ist durchaus nachvollziehbar. Hier auf dem Matheplaneten aber halte ich das für Angeberei. Oder will der Autor zeigen, daß er Fremdsprachen kann? Ich hätte es ihm auch so geglaubt. Auch dann, wenn er nur aus "Deutschland" und nicht aus "Germany" kommen würde. Schade um das interessante Thema. Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: gaussmath am: Sa. 06. Dezember 2008 20:39:08
\(\begingroup\)@Wauzi: Ich verstehe nicht, wo das Problem ist. Englisch ist eine Selbstverständlichkeit und gilt quasi gar nicht als Fremdsprache. \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: TeaTime am: Sa. 06. Dezember 2008 21:03:16
\(\begingroup\)Der Artikel mag interessant sein, aber mir ist er etwas zu kurz geraten um mich hier als nicht Zahlentheorie-Kenner vernünftig reindenken zu können. @Wauzi: Vielleicht möchte er diesen Artikel auf englischen Seiten verlinken? Oder der Autor beherrscht Englisch besser als Deutsch? @Gaussmath: Das wäre eine schlechte Begründung, denke ich. Der Matheplanet gibt sich meiner Ansicht explizit als deutschsprachiges Forum.\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: gaussmath am: Sa. 06. Dezember 2008 21:27:10
\(\begingroup\)Meine Argumentation geht eher in die Richtung, dass man sich schlicht keine Argumente überlegen braucht, welche die Wahl der Sprache rechtfertigen. Darunter verstehe ich insbesondere Spekulationen. Ich unterscheide jetzt mal zwischen Artikeln und den restlichen Forenaktivitäten. Letzteres ist sicherlich ausdrücklich deutschsprachig. Ich könnte mich jetzt noch über die Vorteile der englischen Sprache auslassen, würde aber damit über das Ziel hinausschießen. \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: weserus am: So. 07. Dezember 2008 08:02:02
\(\begingroup\)@gaussmath: Du schreibst, dass in den Foren des MP die 'Sprache' ausdrücklich deutschsprachig sei. Das stimmt nicht. Für ausdrücklich steht synonym: wörtlich, klar bestimmt, nachdrücklich, namentlich usw. Weder in den Nutzungsbedingen des Matheplaneten noch in anderen Regeln dieses Forums ist die 'Schriftsprache' eindeutig bestimmt. Du kannst also zukünftig Deine Forenbeiträge in Englisch verfassen. Englisch hat sicher Vorteile, was wir alle wissen und ich freue mich auf Deine zukünftigen Beiträge in Englisch. Im übrigen haben wir sicher alle noch viel Zeit, bis Chinesisch der englischen Sprache den Weltrang abläuft. \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: gaussmath am: So. 07. Dezember 2008 13:23:21
\(\begingroup\)Hallo Wauzi, oh je, ich habe doch glatt aufgrund meiner durch Arroganz und Globalisierung geprägten Mentalität* vergessen, dass es Leute gibt, die sich für dieses Thema interessieren und nicht so gut Englisch können. Das ist nicht so nett von mir. @weserus: Hast Du Dir wirklich die Nutzungsbedingungen komplett durchgelesen? Ich habe das etwas praktischer durch Stichproben gemacht. ;) Du hast natürlich Recht. Deine scharfe Beobachtungsgabe trügt Dich nicht! Die indische Bevölkerung wird bzgl. ihrer Größe alle anderen bald überholt haben. Ja, so ist das. Das wird vieles verändern. Wir werden uns wohl oder übel alle neue PC/Mac-Tastaturen kaufen müssen. Klingt komisch, ist aber so. Klaus, please translate your article into indian. Thanks! Kind regards Marc *Geisteshaltung, Denkmuster, Einstellung usw.\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: Gockel am: So. 07. Dezember 2008 13:37:25
\(\begingroup\)Nur so: Klaus ist der deutschen Sprache mächtig. Zumindest ist er der deutschen wesentlich mächtiger als der englischen, wenn man diesen Artikel so liest... Ich schließe mich wauzi völlig an: Das ist Unfug und hat auf dem MP nichts zu suchen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: weserus am: So. 07. Dezember 2008 13:56:17
\(\begingroup\)@gaussmath: Wenn du mich schon so provokativ fragst: Ich habe die Nutzungsbedingungen des MP nicht nur gelesen, sondern meine Kanzlei hat sie entworfen; mit Ausnahme des oder der unwirksamen Teile, die Matroid anschliessend selbst eingefügt hat. Übrigens: indian heisst wohl auch indisch; die gesprochene Amtssprache -neben Englisch- heisst in Indien Hindi -neben ca 100 anderen Sprachen. Die Tableaus der PCs sind identisch mit englischen Versionen. Willst Du es Dir ansehen? Ich fahre im März wieder nach Indien und nehme Dich gern mit. Bitte, vorsicht mit (über-)mutigen Worten. \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: cow_gone_mad am: So. 07. Dezember 2008 20:27:19
\(\begingroup\)Artikel wie dieser lassen mich immer dadran zweifeln, ob ich noch etwas am MP verloren habe .... ☹️ \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: gaussmath am: So. 07. Dezember 2008 20:45:32
\(\begingroup\)Ich möchte jetzt mal ganz ernsthaft diskutieren. Man könnte doch auch hingehen und den Autor ganz freundlich bitten, den Artikel zu übersetzen. Also, ich tue das hiermit: Klaus, würdest Du bitte den Artikel ins Deutsche übersetzen? Es gibt Leute, und das ist nicht verwerflich, die können einfach nicht so gut Englisch, würden das aber gerne lesen. @cow: Deine Aussage verstehe ich nicht. Was meinst Du damit? :( @weserus: Meine bisherigen Kommentare hier zu dem Thema/"Problem", waren natürlich nicht ernst gemeint. War das angebracht? Ich denke schon!\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: Realshaggy am: Mo. 08. Dezember 2008 02:34:20
\(\begingroup\)Auch auf die Gefahr hin, dem Autor damit auf den Schlips zu treten: Meinen (natürlich völlig subjektivem) Empfinden nach ist dieser Artikel auf dem Matheplaneten irgendwie ein völliger Fremdkörper. Und das liegt nicht ausschließlich an der Sprache. Ich bin der Meinung, ein Forenpost im Zahlentheorie-Forum wie etwa "Ich hab da etwas rumprobiert, und eine Vermutung, fällt da irgendjemand etwas dazu ein?" wäre angemessener gewesen.\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime nu
von: seleneteam am: Mo. 08. Dezember 2008 05:59:02
\(\begingroup\)Wenn man international an einem Projekt arbeitet, ist Englisch ein Muss. Hier bin ich jedoch der Meinung, dass man sich die Muehe machen sollte, den Artikel ins Deutsche zu uebersetzen. Beim Drueberlesen fiel mir auf, es muss "for both exponents leads to an idea:" heissen. Markus\(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime numbers
von: KlausLange am: Mo. 08. Dezember 2008 11:29:32
\(\begingroup\)Nur mal kurz als Antwort an einige Kommentatoren: Der Matheplanet ist ein sehr brauchbares Hilfsmittel. Ich benötigte nun mal schnell ein Formeleditor und ein gutes Tool, um ein Artikel zu schreiben, weil dieser Artikel eigentlich eine Anfrage an Wieferich@home ist, wie im Abstract schon angemerkt. Wieferich@home, bzw. der zuständige Mitarbeiter dort an der Uni Brno, äußert sich selbst nur in Englisch, daher habe ich diese Anregung auch in dieser Sprache verfasst, so dass ich das bequem verlinken kann. Wer meine anderen Artikel gelesen hat, der weiß, dass ich dies sonst nicht mache. Übrigens kann jemand dann auch sehen, dass ich hier nicht alle meine Ideen erschöpfend preisgebe, ist eigentlich auch eine Selbstverständlichkeit. Jedenfalls wärme ich hier keinen kalten Kaffee auf, sondern versuche stets zumindest Neueres zu präsentieren, natürlich ohne mein volles Blatt auszureizen. Kurz noch zum Angebereivorwurf: Äh, wie bitte? Mit den paar hingeworfenen Brocken Englisch??? Naja, der Kommentierer hat wohl mit dieser Angeberei-Bemerkung ein Eigentor geschossen. Last but not least: Mir war durchaus bewusst, dass die Gefahr bestand, dass ich diesen Artikel nicht freigeschaltet bekommen werde, dann hätte ich mir etwas anderes ausdenken müssen. Daher bedanke ich mich recht herzlich für die Freigabe und gleichzeitig gebe ich den Kritikern zu bedenken: Über Sinn oder Unsinn eines Artikels zu spekulieren enthebt sich allein schon mit der Tatsache, dass der Artikel von einer Matheplaneten-Instanz freigegeben werden muss, die Unabhängig vom Autor ist. Dankenswerter Weise störte sich der Freigeber nicht an die Auswahl der Sprache. Ferner kann ich versichern, dass dem Matheplaneten keinen Schaden entstehen wird. Vielmehr werden demnächst - die email mit der Verlinkung geht heute noch raus - einige Mathematiker der Brno University of Technology auf diesen MP - Artikel zugreifen. In einer internen Diskussion werden sie erkennen, dass das hier kein Nonsense ist... \(\endgroup\)
 

Re: Variation of Wieferich criteria for consecutive prime nu
von: Janik am: Mo. 08. Dezember 2008 16:42:30
\(\begingroup\)Es gab übrigens schon einen englischen Artikel auf dem MP. Das müsste am 1. April 2006 gewesen sein... wobei ich mich im Jahr auch täuschen könnte... ;) Ansonsten: Eine Übersetzung erstellen und beide Versionen zum Lesen anbieten? (Eine als externen Link o.ä., damit zumindest auch die des englischen nicht mächtigen Matheplanet-Besucher den Artikel lesen können...). Gruß\(\endgroup\)
 

 
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