Mathematik: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff
Released by matroid on So. 18. Januar 2009 13:06:01 [Statistics]
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Mathematik

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Einführung in die Stochastik (Teil I)

Galtonsches Brett

0 Vorbemerkung

\Dies ist der erste aus einer Reihe von Artikeln zu den Grundlagen der Stochastik. In ihm werde ich mich dem Wahrscheinlichkeitsbegriff von Kolmogorov und dem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum widmen. Wichtig ist noch zu bemerken, dass gänzlich auf die Maßtheorie verzichtet wird. Damit erhoffe ich mir eine gute Leserlichkeit auch für niedrigere Semester und interessierte Schüler. Diese Arbeit wird mit dem Laplaceraum enden und in den darauffolgenden Artikeln werde ich an dieser Stelle mit Wahrscheinlichkeitsberechnungen in eben diesem fortfahren.

1 Der empirische Wahrscheinlichkeitsbegriff

\big Definition 1 (Zufallsexperiment) Ein Experiment heißt \light\ Zufallsexperiment\white, wenn vor der Durchführung jeder mögliche Ausgang des Experimentes bekannt ist, aber nicht feststeht, welches Ergebnis eintreten wird. Weiters bezeichnen wir die Menge \light\Omega\white als die \light\Menge aller möglichen Ergebnisse \white und \light\0\white als die \light\Menge aller unmöglichen Ergebnisse \white, das heißt, \light\0\white sind alle Versuchsergebnisse die niemals eintreten können. \big Definition 2 (empirische Wahrscheinlichkeit) Sei E ein Zufallsexperiment, das n-mal durchgeführt wird. Weiters sei \omega:=(\omega_1,...,\omega_n) der Ergebnisvektor des Zufallsexperiments, wobei \omega_j das Versuchsergebnis im j-ten Versuch darstellt, und \Omega_E sei der Ergebnisraum von E. Die Abbildung P_\omega: \calP(\Omega_E)->[0,1], A\mapsto\ P_\omega (A):= abs({j\;\omega_j \el A}) /n heißt \light\empirische Wahrscheinlichkeit \white; hierbei ist \calP(\Omega) die Potenzmenge von \Omega. \red\double\frame\darkred\big Satz 1 Sei \Omega abzählbar und h: \calP(\Omega)->[0,1], A\mapsto\ h(A). Folgende Aussagen sind äquivalent: (1) h ist eine empirische Wahrscheinlichkeit. (2) h hat folgende Eigenschaften: (i)\ \ 0<=h(A)<= 1 für alle A\subsetequal\ \Omega (ii)\ \ h(\Omega)=1 (iii)\ \ h(biguplus(A_k,k=1,\inf ))=sum(h(A_k),k=1,\inf) für alle \(A_k \)_(k>=1) aus \Omega so, daß A_i \cut A_j = \0 für i!=j (iv)\ \ \exists\ n \el \IN, sodass h:\calP(\Omega)->\{ l/n \;l=0,1,...,n\}, A\mapsto\ h(A) gilt Beweis__: \big\1=>2: \normal Sei h wie in (1) vorgegeben. Somit gibt es ein \omega:=(\omega_1,...,\omega_n) \el \Omega^n und weiter gilt nun für A \el \calP(\Omega) Folgendes: Für die Kardinalität der Menge \calB:={j;\omega_j \el A} gilt abs(\calB) \el {0,1,...,n}. Somit ist 0<=h(A)<=1 und (i) daher gezeigt. Ist nun A=\Omega, so gilt abs({j;\omega_j \el \Omega}) = n. Dies zeigt jetzt (ii). Betrachtet man zum Abschluss noch eine Familie (A_k )_(k>=1) von Teilmengen von \Omega, die paarweise disjunkt sind, dann sieht man sofort, dass h(biguplus(A_k,k>=1)) = (abs(\{j\;\omega_j \el biguplus(A_k,k>=1)\}))/n = sum(abs(\{j\;\omega_j \el A_k \})/n,k>=1) = sum(h(A_k),k>=1) ist. Für diese Umformungen wurden die Disjunktheit der A_k und Definition 2 verwendet. Somit ist auch (iii) gezeigt. Die vierte Aussage ergibt sich sofort aus der Tatsache, dass abs(\calB) \el {0,1,...,n} ist. Somit ist die erst Implikation gezeigt. \big\1<==2:\normal Sei uns nun eine Abbildung von h:\calP(\Omega)->[0,1],A\mapsto\ h(A) mit den Eigenschaften (i) bis (iv) vorgelegt. Um (1) zu zeigen, müssen wir nachweisen, daß es ein \omega_0 =(\omega_1,...,\omega_n) gibt, sodaß h(A)=abs({j\;\omega_j \el A})/n für alle A \el \Omega ist. Von (iv) ausgehend ergibt sich nun unter Verwendung von (ii) und (iii) und unter Berücksichtigung der Definition 2 sofort, dass 1=h(\Omega)=h(biguplus(\{\omega\},\omega \el \Omega))=sum(h(\{\omega\}),\omega \el \Omega) \(\*\) ist. Mit (iv) lässt sich nun h(\{\omega\})=l_\omega /n für alle \omega \el \Omega schreiben. Durch Multiplikation mit n ergibt sich aus \(\*\) die Beziehung n=sum(l_\omega, \omega \el \Omega). Dies bedeutet, dass ein \omega \el \Omega bei n Versuchsdurchführungen nun l_\omega - mal auftritt. Also ist die Existenz von \omega_0 gezeigt. Seien weiter A \el \Omega, dann gilt für h(A)=h(biguplus(\{\omega\},\omega \el A))=sum(h(\{\omega\}),\omega \el A)=sum(l_\omega /n,\omega \el A)=1/n*sum(l_\omega,\omega \el A). Da l_\omega angibt, wie oft ein \omega \el \omega_0 in A enthalten und \Omega abzählbar ist, lässt sich die letzte Summe umschreiben zu 1/n*abs(\{j\;\omega_j \el A\}). Somit ist alles gezeigt. \bigbox
2 Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogorov \Um den Wahrscheinlichkeitbegriff auf ein festes mathematisches Fundament zu stellen werden wir ähnlich wie Andrey Nikolaevich Kolmogorov vorgehen und die in Satz 1 (2) genannten Eigenschaften als Axiome definieren. Jedoch werden wir den Wahrscheinlichkeitsbegriff gleich allgemein für beliebige Ereignisräume formulieren und später zeigen, daß sich hieraus die diskreten und überabzählbaren Ereignisräume sowie der Laplaceraum ableiten laßen. \big Definition 3 (\sigma - Mengenalgebra) Sei \Omega eine beliebige Menge. \calF heißt \light\ \sigma - Mengenalgebra\/ \sigma - Algebra \white\ von Teilmengen von \Omega, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (i)\ \ !0\el\calF (ii)\ \ \(B \el \calF\) => \(B^c \el \calF\) (iii)\ \ \(\(A_k \)_(k>=1) \el \calF\) => \( vereinigung(A_k,k>=1) \el \calF \) \red\double\frame\darkred\big Satz 2 Sei \Omega eine beliebige Menge und \calF \subsetequal \calP(\Omega) eine \sigma - Algebra, so ist \Omega \el \calF. \Beweis__: Sei \calF \subsetequal\ \calP(\Omega) eine \sigma-Algebra, dann gilt wegen (i), daß es eine Menge A \el \calF gibt. Somit ist auch A^c \el \calF, und hieraus folgt wegen (iii), daß auch \Omega = A \union\ A^c \el \calF ist.\bigbox\ \Mit Hilfe dieser Definition kann man nun allgemein das Wahrscheinlichkeitmaß\/die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer beliebigen Menge \Omega definieren. \big Definition 4 (Wahrscheinlichkeitsmaß) Sei \Omega eine beliebige Menge. Die Abbildung P:\calF -> [0,1],A|->P(A) mit folgenden Eigenschaften (i)\ \ P(\Omega)=1, (ii)\ \ P(biguplus(A_k,k>=1))=sum(P(A_k),k>=1) für alle \(A_k \)_(k>=1) aus \Omega so, daß A_i \cut A_j = \0 für i!=j heißt, \light\Wahrscheinlichkeitsmaß \white\ auf \calF. \big Bemerkung 1 Die Eigenschaft (i) aus Definition 4 wird oft Nomiertheit__ und (ii) (\sigma - Additivität)__ genannt. \big Definition 5 (Wahrscheinlichkeitsraum) Ein \light\ Wahrscheinlichkeitsraum \white\ ist ein Tripel (\Omega,\calF,P) bestehend aus einer beliebigen Menge \Omega, einer \sigma - Algebra \calF von \Omega und einem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf \Omega. \red\double\frame\darkred\big Satz 3 (Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes) Sei (\Omega,\calF,P) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, A,B \el \calF, (A_k )_(1<=k<=n) \el \calF und \(B_k \)_(k>=1) \el \calF. (i)\ \ P(A^c)=1-P(A) (ii)\ \ (A \subsetequal\B) => (P(B\\A)=P(B)-P(A)) (iii)\ \ (A \subsetequal\B) => (P(A)<=P(B)) (iv)\ \ P(B\\A)=P(B)-P(A \cut\ B) (v)\ \ P(A \union\ B)<=P(A)+P(B) (vi)\ \ P( vereinigung(A_k,k=1,n))<=sum(P(A_k),k=1,n) (vii)\ \ P( vereinigung(B_k,k>=1))<=sum(P(B_k),k>=1) Beweis__: Sei nun ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \calF, P) vorgelegt. Wir betrachten eine Familie \(A_k \)_(k>=1) von Teilmengen aus \calF mit A_1:=A, A_2:=A^c=\Omega \\A und für alle k>=3 soll A_k:=\0 sein. Mit der \sigma - Additivität folgt sofort die Behauptung unter Berücksichtigung der Tatsache, daß P(\Omega)=1 und \Omega = A \union A^c ist. Damit ist (i) gezeigt. Betrachtet man nun B=\(B\\A\) \union\A mit A \subsetequal\ B, so ist auch (ii) einsichtig. Aus (ii) folgt sofort (iii). Mit der Beziehung B=B\\A \union\ \(A \cut\ B\) wird (iv) gezeigt. (v) ergibt sich jetzt aus (iv) und (vi) leitet man induktiv aus (v) ab. Um (vii) zu zeigen werden wir zuerst vereinigung(B_k ,k>=1) in eine disjunkte Vereinigung von Mengen umschreiben. Denn es ist vereinigung(B_k ,k>=1)= biguplus(\(B_j \\ vereinigung(B_k,k=1,j-1) \),j>=1) und hieraus folgt die Behauptung unter Zuhilfenahme von (iv). Somit sind alle Eigenschaften gezeigt und der Satz bewiesen. \bigbox \Zum Abschluß dieses Abschnittes soll noch die Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes angeführt und bewiesen werden. \big Definition 6 (Aufsteigende und absteigende Folge von Mengen) Sie \Omega eine Menge. Eine Familie \(A_k \)_(k>=1) von Teilmengen von \Omega heißt \light\ aufsteigend\white\, wenn A_1 \subsetequal\ A_2 \subsetequal\ A_3 \subsetequal\ ... gilt. Weiters heißt eine Familie \(B_k \)_(k>=1) von Teilmengen von \Omega \light\ absteigend\white\ , wenn B_1 \supersetequal\ B_2 \supersetequal\ B_3 \supersetequal\ ... gilt. \red\red\double\frame\darkred\big Satz 4 (Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes) Sei (\Omega,\calF,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A_k \)_(k>=1) \el \calF aufsteigend. Nun gilt lim(n->\inf,P(A_n)=P( vereinigung(A_k,k>=1)). Wenn \(B_k \)_(k>=1) \el \calF absteigend ist, dann ergibt sich lim(n->\inf,P(B_n)=P( schnitt(B_k,k>=1)). \Beweis__: Es wird nur die erste Behauptung gezeigt, da die zweite analog bewiesen wird. Vorweg formen wir vereinigung(A_k,k>=1) in eine disjunkte Vereinigung biguplus(\(A_k \\A_(k-1) \),k>=1) um. Es folgt somit, daß P( vereinigung(A_k,k>=1))=P(biguplus(\(A_k \\A_(k-1) \),k>=1))=sum(P(A_k \\A_(k-1)),k>=1)= lim(n->\inf,sum(P(A_k \\A_(k-1)),k=1,n))=lim( n->\inf,P( biguplus(\(A_k \\ A_(k-1) \),k=1,n)))=lim(n->\inf,P(A_n)) ist.\bigbox\
3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume \big Definition 7 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \calF, P) heißt \light\diskreter Wahrscheinlichkeitsraum \white\:<=>\(\(\exists\ \Sigma \subsetequal\ \Omega\):\(\Sigma höchstens abzählbar unendlich\)\):\(\(P(\Sigma)=1\) und \(\calP(\Sigma) \subsetequal\ \calF \)\) Für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum schreiben wir (\Omega,\Sigma,\calF,P). \big Definition 8 (Diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß) Ein Wahrscheinlichkeismaß P auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum heißt \light\diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß \white\ . \red\double\frame\darkred\big Satz 5 Sei (\Omega,\Sigma,\calF,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Für \Sigma^c \subsetequal\ \Omega gilt P(\Sigma^c)=0. \Beweis__: Der Beweis ist einfach, denn es ist ja 1=P(\Omega)=P(\Sigma \union\ \Sigma^c)=P(\Sigma)+P(\Sigma^c). Hieraus folgt die Behauptung.\bigbox\ \Um nun noch den Laplaceraum zu definieren, wird noch der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunkion für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume definiert. \big Definition 9 (Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume) Sei (\Omega,\Sigma,\calF,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Die Abbildung f:\Omega -> \IR, \omega |-> f(\omega):=P({\omega}) heißt \light\Wahrscheinlichkeitsfunktion \white\ zum Wahrscheinlichkeitsmaß P. \big Bemerkung 2 Die Wahrscheinlichkeitfunktion wird oft auch Zähldichte__ genannt. \big Lemma 1 Sei (\Omega,\Sigma,\calF,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und f die zu P gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion. (i)\ \ \(\forall\A \el \Omega \):\(P(A)=sum(f(\omega),\omega \el A)\) (ii)\ \ f hat folgende Eigenschaften: (a)\ \ f(\omega)=0 bis auf abzählbar viele \omega \el \Omega (b)\ \ f(\omega)>=0 für alle \omega \el \Omega (c)\void \void sum(f(\omega),\omega \el \Omega)=1 \Beweis__: Sei A \el \Omega. Es ist P(A\cut\Sigma^c)=0, da nach Satz 3 (iv) P(A\cut\Sigma^c)<=P(\Sigma^c) gilt. Somit ist P(A)=P((A\cut\Sigma)\union\(A\cut\Sigma^c))=P(A\cut\Sigma)+P(A\cut\Sigma^c)=P(A\cut\Sigma). Für alle \omega \el (A\cut\Sigma^c) gilt f(\omega)=0. Weiters ist A\cut\Sigma eine abzählbare Menge und nur für endlich viele \omega \el A\cut\Sigma gilt f(\omega)!=0. Weiter ist A\cut\Omega die abzählbare Vereinigung ihrer Elemente; somit erhält man P(A)=P(A\cut\Sigma)=sum(f(\omega),\omega\el\A\cut\Sigma)=sum(f(\omega),\omega \el A). Damit wurde (i) bewiesen. Die zweite Aussage folgt direkt aus Definition 4. Es ist sofort einsichtig, daß sum(f(\omega),\omega \el \Omega)=sum(P({\omega}),\omega \el \Omega)=P( \biguplus({\omega\},\omega \el \Omega))=P(\Omega)=1 und f(\omega)=P({\omega}) \el [0,1] für alle \omega \el \Omega ist. Weiters ist wegen P(\Sigma^c)=0 für alle \omega \el \Sigma^c nun f(\omega)=0. Da zusätzlich 1=P(\Omega)=sum(P({\omega}),\omega \el \Sigma) und die Menge \Sigma höchstens abzählbar ist, kann es nur eine höchstens abzählbare Teilmenge von \Sigma geben für deren Elemente f(\omega)!=0 ist. Somit ist das Lemma bewiesen. \bigbox\ \red\double\frame\darkred\big Satz 6 Sei \Omega eine beliebige Menge eine abzählbare Teilmenge und \calF eine \sigma - Algebra von \Omega. Jede Funktion f:\Omega -> [0,1], \omega |-> f(\omega) mit den Eigenschaften (a) bis (c) aus (ii) von Lemma 1 definiert ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß auf \calF. \Beweis__: Wir definieren P:\calF->[0,1], A|->P(A):=sum(f(\omega),\omega \el A), daraus folgt die Behauptung. \bigbox\
4 Der Laplaceraum \big\Definition 10 (Laplaceraum) Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,\calF,P) heißt \light\Laplaceraum\white\, wenn für die zu P gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion f für alle \omega \el \Omega gilt, daß f(\omega)=1/(\|\Omega\|) ist. \big\Bemerkung 2 Daß für einen Laplaceraum \|\Sigma\| <\inf folgt, ist klar. Aus diesem Grund schreiben wir für einen Laplacraum auch kurz (\Sigma,P). \big\Bemerkung 3 Wenn man einen Laplceraum (\Sigma,P) betrachtet und A \subsetequal\ \Sigma sowie f seine Zähldichte ist, dann folgt wegen Lemma 1 sofort, daß P(A)=sum(f(\omega),\omega \el A)=sum(1/(\|\Sigma\|), \omega \el A)=\|A\|/\|\Sigma\| ist. Man kann diesen Sachverhalt auch verbal als (Anzahl der günstigen Fälle)__ ((das ist \|A\|) durch die Anzahl der möglichen Fälle (das ist \|\Omega\|) )__ ausdrücken.

5 Elemente der Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein altes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Lehre des systematischen Zählens beschäftigt und zur diskreten Mathematik gezählt wird. Mit den Methoden der Kombinatorik werden wir die Mächtigkeit von endlichen Ereignisräumen und Ereignissen berechnen können. Zu Beginn soll ein einfacher, aber wichtiger Satz über elementare Beziehungen von endlichen Mengen Auskunft geben. \red\double\frame\darkred\big Satz 7 Sei \Omega eine endliche Menge und A, B und C Teilmengen von dieser, dann gilt: (i)\ \ Zwei Teilmengen A und B von \Omega haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine Abbildung gibt, die A bijektiv auf B abbildet. (ii)\ \ Sollte A\cut\B =\0 gelten, so ist Card(A\union\B)=Card(A)+\Card(B). (iii)\ \ Card(A\cross\B)=Card(A)*Card(B). (iv)\ \ Card(\Omega\\A)=Card(\Omega)-Card(A). (v)\ \ Card(A\union\B)=Card(A)+Card(B)-Card(A\cut\B). \Beweis__: Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach und wird deshalb weggelassen. \bigbox\ 5.1 Urnenmodelle \Eine der wichtigsten Methoden in der elementaren Stochastik ist die Rückführung wahrscheinlichkeitstheoretischer Fragestellungen auf geordnete und ungeordnete Stichproben. In der Regel unterscheidet man: \big (i)\ \ Geordnete Stichproben vom Umfang k aus n mit Wiederholung Solch eine Ziehung von k Kugeln aus einer Urne, die n Kugeln enthält und wo nach jedem Zug die Kugelnummer notiert und anschließend die gezogene Kugel vor der nächsten Ziehung wieder in die Urne zurückgelegt wird, lässt sich durch \Omega_I :={(a_1 ,...,a_k );\forall\ i \el {1,...k}: a_i \el{1,...,n}} beschreiben. Die Mächtigkeit von \Omega_I ist n^k. \big (ii)\ \ Geordnete Stichprobe vom Umfang k aus n ohne Wiederholung Wie unter (i) ergibt eine mengentheoretische Formulierung der Ziehung die Menge \Omega_II :={(a_1 ,...,a_k);\forall\ i,j\el{1,...,k} mit i!=j gilt a_i !=a_j, wobei \forall\ l\el{1,...,k}: a_l \el{1,...,n}}. \Omega_II hat die Mächtigkeit n!/(n-k)!. \big (iii)\ \ Ungeordnete Stichprobe vom Umfang k aus n ohne Wiederholung Die mengentheoretische Modellierung ist einfach und ergibt \Omega_III :={(a_1 ,..., a_k); \forall\ i,j\el{1,...,k} mit i!=j gilt a_i !=a_j, wobei \forall\ l\el{1,...,k}: a_l \el{1,...,n}}. Um die Mächtigkeit von \Omega_III zu bestimmen führt man eine Äquivalenzrelation ~ auf \Omega_II ein. Hierbei sollen (a_1 ,...,a_k ), (b_1 ,...,b_k )\el \Omega_II genau dann äquivalent sein, im Zeichen (a_1 ,...,a_k )~(b_1 ,...,b_k ), wenn es eine bijektive Abbildung \pi:[1,...,k}->{1,...,k} gibt, sodaß für alle i\el{1,...,k} nun b_i = a_(\pi(i)) gilt. Weiters soll jede Äquivalenzklasse durch das lexikografisch kleinste Element in ihr repräsentiert werden. Wie man sich leicht überlege, enthält jede Äquivalenzklasse genau k! Elemente. Daraus ergibt sich (Prinzip des Schäfers) Card(\Omega_II )=k!*Card(\Omega_III ) und hieraus \Omega_III =(n;k). \big (iv)\ \ Ungeordnete Stichprobe vom Umfang k aus n mit Wiederholung Für das mengentheoretische Modell findet man, wenn man die unter (iii) eingeführte Äquivalenzrelation auf \Omega_I anwendet, sofort \Omega_IV :={[a_1 ,...,a_k ]; \forall\ l\el{1,...,k}:a_l \el {1,...,n} mit a_1 <=...<=a_k }. Hierbei ist [a_1 ,...,a_k ] die Äquivalenzklasse, die die Relation aus (iii) auf \Omega_I erzeugt. Um von \Omega_IV die Mächtigkeit zu bestimmen ordnet man jedem a_i \el [a_1 ,..., a_k ] einfach a'_i :=a_i +i-1 zu. Nun hat man eine bijektive Abbildung zwischen \Omega_IV und \Omega_III gefunden, wobei für a'_i \el {1,...,n+k-1} für alle i\el{1,...,k} gilt. Somit ist Card(\Omega_IV ) = Card(\Omega_III)=(n+k-1;k). \Zum Abschluss dieses Artikels soll ein historisches Beispiel die eben angeführten Sachverhalte demonstrieren. \big\Beispiel 1 (Das Würfelproblem von De Méré) Im 17. Jahrhundert gab es in Frankreich ein Wettspiel, bei dem der Spieler sich zwischen zwei Spielvarianten entscheiden musste. In der ersten kann man mit einem Würfel vier mal hintereinander werfen und hat gewonnen, wenn man mindestens eine Sechs würfelt, im zweiten wirft man mit zwei Würfeln gleichzeitig 24-mal hintereinander und hat gewonnen, wenn man einen Sechserpasch würfelt. Der Chevalier de Méré (nach dem dieses Problem benannt wurde) glaubte, dass die Wahrscheinlichkeiten in beiden Fällen gleich sei. Blaise Pascal, dem er dieses Problem schilderte, bewies jedoch, dass de Méré nicht richtig lag. Nun werden wir die Überlegungen von Pascal nachvollziehen. Dazu betrachten wir zuerst die erste Würfelvariante. Für die Modellierung gehen wir von einem Laplaceraum aus; dessen Ereignisraums ist klarerweise \Omega :={1,2,3,4,5,6}^4 und für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt f(j):=1/\|\Omega\|=1/6^4 für alle j \el {1,...,6}. Wir interessieren uns nun für das Ereignis A, dass unter vier Würfen mindestens eine sechs auftritt. Mit Satz 3 (i) finden wir eine einfachere Methode für die Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit, nämlich die Gegenwahrscheinlichkeit. Um diese zu finden, müssen wir nun abs(A^c) :=abs({(a_1,a_2,a_3,a_4); a_j \el {1,...,5} für j \el {1,...,4}}) berechnen. Die gesuchte Kardinalität ist 5^4 und die (Wahrscheinlichkeit für A)__ ist P(A)=1-P(A^c)=1-5^4/6^4=1-(5/6)^4 \approx\ 0,517746... > 1/2. Die zweite Spielvariante lässt sich nun, ebenfalls als Laplaceraum gedeutet, auf gleiche Weise berechnen; in diesem Fall haben wir jedoch den Grundraum \Omega:={(a_1,...,a_48);a_j \el {1,...,6}} und als gesuchtes Ereignis die Menge B, die das eintreten mindestens eines Sechserpaschs beschreibt. Wir wenden wieder Satz 3 (i) an und finden B^c:={((a_1 ,b_1),...,(a_24 ,b_24));(a_j ,b_j) \el {1,...,6}^2 mit a_j!=6 \or b_j!=6 für j \el {1,...,24}}. Somit ist die gesuchte (Wahrscheinlichkeit für B)__ P(B)=1-P(B^c)=1-(35/36)^24 \approx\ 0.491404<1/2. Mit diesen Überlegungen sehen wir ein, warum de Méré öfter verlor als gewann.

Schlussbemerkung

\Das obige Beispiel zeigt eine häufige Methode um Wahrscheinlichkeiten in einem Laplaceraum zu berechnen. Durch systematisches Zählen aller Elemente im Grundraum, sowie das Auffinden aller möglichen Elementarereignisse, die das gesuchte Ereignis (das sind in Beispiel 1 die Mengen A und B) darstellen, kann schließlich durch die Annahme einer Gleichverteilung einfach die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis berechnet werden. Die Methoden, die das Abzählen von Elementen einer Menge ermöglichen, werden durch die Kombinatorik bereitgestellt.

Literatur

Ulrich Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, Vieweg Herold Dehling, Beate Haupt, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage, Springer Hans-Otto Georgii, Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 3. Auflage, de Gruyter Karl Bosch, Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, 9. Auflage, Vieweg Norbert Henze, Stochastik für Einsteiger, 6. Auflage, Vieweg
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Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff [von Phi1]  
Einführung in die Stochastik (Teil I). Enthält Definitionen von Wahrscheinlichkeitsräumen allgemein, diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen, einige einfache Sätze und Beispiele
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"Mathematik: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff" | 4 Comments
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Re: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff
von: maschi am: So. 18. Januar 2009 13:15:02
\(\begingroup\)Im zweiten Satz muss es -widmen- heißen. Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff
von: AnnaKath am: So. 18. Januar 2009 19:09:03
\(\begingroup\) \ Satz 6 ist sprachlich etwas durcheinander geraten; in Definition 9 muss man m.E. noch die Messbarkeit von set(\omega) für \omega \el\ \Sigma^c fordern oder \calF als vollständig voraussetzen um die Wohldefiniertheit der Zähldichte zu gewährleisten; in Lemma 1 (i) muss etweder ein \subset oder besser \el\ \calF stehen. Alles in allem erscheint es mir nicht sonderlich hilfreich, überabzählbare \Omega für diskrete W'Räume zuzulassen, ausser technischen Schwierigkeiten gewinnt man dadurch doch praktisch nichts. lg, AK. \(\endgroup\)
 

Re: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff
von: freeclimb am: Do. 22. Januar 2009 09:21:46
\(\begingroup\)Hallo! Sehr schöner Artikel! Eine Frage hab ich dazu. Sollte beim letzten Spiel nicht viermal gewürfelt werden, im Text steht sechsmal? lg freeclimb\(\endgroup\)
 

Re: Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff
von: Phi1 am: Fr. 23. Januar 2009 23:18:42
\(\begingroup\)Hi! Danke an jeden, der bei der Fehlersuche geholfen und noch helfen wird! Ich werde im zweiten Teil der Serie eine Errataliste angeben und dort auch eine hoffendlich befriedigende Lösung für die Einführugn des diskreten W-Raums anbieten können. MfG\(\endgroup\)
 

 
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