Mathematik: Geometrische Summen und Quadratzahlen
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Mathematik

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Geometrische Summen und Quadratzahlen

Die diophantischen Gleichungen der Form \big\ a*(x^n-1)/(x-1)=D*y^m sind seit vielen Jahrzehnten immer wieder im Fokus zahlentheoretischer Fragestellungen. Aber trotz erheblicher Bemühungen und bemerkenswerter Fortschritte sind diese und ähnliche Probleme noch immer nicht vollständig gelöst. Der erste Durchbruch gelang W. Ljunggren, der mit seiner Arbeit "Noen setninger om ubestemte likninger av formen (x^n-1)/(x-1) =y^q " Norsk. Mat. Tidsskr. 25(1943) das Problem für a=D=1 löste. Leider scheint diese Orginalarbeit mehr oder minder verschollen zu sein; zumindest ergibt sich dieser Eindruck aus Randbemerkungen in anderen Veröffentlichungen zu ähnlichen Themen. Dies war für mich Anlaß genug, zumindest für den Spezialfall m=2 einen eigenen Beweis zu erarbeiten, den ich im Folgenden vorstellen möchte. Die verwendeten Methoden sind bis auf eine Ausnahme absolut elementar, die Beweisführung ist extrem einfach, erfordert allerdings ein gewisses Durchhaltevermögen. Lediglich an einer Stelle wird auf ein bekanntes Ergebnis zurückgegriffen,

Im diesem Artikel soll folgende Aussage bewiesen werden: | | \red\frameon\darkred\big\ array(Satz:)__ | |Sei q\el\ \IN\\{1}, m\el\ \IN und m>=3 | | | |\darkred\big\Dann sind die einzigen Lösungen der Gleichung | |\darkred\big\(A) | |$ (q^m-1)/(q-1)=N^2 | |\darkred\big\die Paare (q,m)=(3,5) und (7,4)\frameoff | | | |
\big\ array(1. m gerade:)__ | | Als ersten Schritt führen wir die geraden Exponenten auf reine Zweierpotenzen zurück. Hierzu und auch für eine spätere Zerlegung werden einige Aussagen über die Zerlegbarkeit von (q^m-1)/(q-1) bewiesen. \ array(1.1 Hilfssätze:)__ | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.1:)__| |array(\black\ Für n\,t \el\ \IN mit t ungerade gilt: | |) \big\(1.1.1)| |q^(2^n*t)-1=(q^t-1)*produkt((q^(2^k*t)+1),k=0,n-1)| | \frameoff\ | | | | array(Beweis:)__ | |(1) klar für n=1 | |(2) n->n+1 | |q^(2^(n+1)*t)-1=(q^(2^n*t)-1)*(q^(2^n*t)+1) \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.2:)__| |array(\black\ Für n\,t \el\ \IN mit t ungerade gilt: | |) \big\(1.1.2)| |(q^t-1,q^(2^n*t)+1)=cases(1,q gerade;2,q ungerade) \frameoff\ | | | | array(Beweis:)__ | |Sei d\|(q^t-1,q^(2^n*t)+1) | |=>Es gibt ein kleinstes s>=1 mit d\|(q^(s*t)+1) | |Angenommen, s>1 | |=>d\|(q^t+q^(s*t))=>d\|q^t*(q^((s-1)*t)+1) | |=>d\|(q^((s-1)*t)+1) | |\array(Damit ist s-1 (>=1) eine kleinere Lösung\, also gibt es keine minimale >1) | |=>s ist minimal für s=1 => s=1 ist eine Lösung | |=>d\|(q^t+1) | |d\|(q^t-1)\and\ d\|(q^t+1)=>d\|2 | |Für gerades q muß dann d=1 sein \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.3:)__| |array(\black\ Für n\,t \el\ \IN mit t ungerade gilt: | |) \big\(1.1.3)| |((q^t-1)/(q-1) , produkt((q^(2^k*t)+1),k=0,n-1))=1| | \frameoff\ | | array(Beweis:)__ | | folgt wegen t ungerade direkt aus (1,1.2) | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.4:)__| |array(\black\ Seien n\,t \el\ \IN mit t ungerade. Dann gilt:| |) \big\(1.1.4)| |Es gibt N\el\IN mit (q^(2^n*t)-1)/(q-1)=N^2<=> \frameoff\big\ | |Es gibt N_1 ,N_2 \el\IN mit ((q^t)^2^n-1)/(q^t-1)=N_1^2 \and\ (q^t-1)/(q-1)=N_2^2 \ array(Beweis:)__ | | "<==" trivial | |"=>" N^2=(q^(2^n*t)-1)/(q-1)=(q^(2^n*t)-1)/(q^t-1)*(q^t-1)/(q-1)= | |=produkt((q^(2^k*t)+1),k=0,n-1)*(q^t-1)/(q-1) nach (1.1.1) | |Nach (1.1.3) sind die beiden Faktoren teilerfremd. | |Damit gibt es N_1 ,N_2 mit | |N_1^2=(q^(2^n*t)-1)/(q^t-1) und N_2^2=(q^t-1)/(q-1) \big\ array(Damit genügt es also\, Exponenten zu betrachten\, die Zweierpotenzen sind.)
\ array(1.2 Zweierpotenzen als Exponent)__ | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.5:)__| |array(\black\big\ Sei n \el\ \IN mit n>1 und q gerade. Dann gilt: | |) \big\(1.2.1)| |(q^2^n-1)/(q-1)=N^2 ist nicht lösbar \frameoff\ array(Beweis:)__ | |N^2=(q^2^n-1)/(q-1)=(q^2^(n-1)-1)/(q-1)*(q^2^(n-1)+1)=N_1^2*N_2^2 | |\array(Da q-1\|(q^2^(n-1)-1) und q gerade sind die beiden Faktoren teilerfremd.) | |=>q^2^(n-1)+1=N_2^2=>(q^2^(n-2))^2+1=N_2^2 => Widerspruch | | \big\Im Rest des Abschnitts 1 sei q stets ungerade. \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.6:)__| |array(\black\big\ Für t \el\ \IN_0 gilt: | |) \big\(1.2.2)| |(q+1,q^2t+1)=2 \frameoff\ array(Beweis:)__ | |Für t=0 ist die Aussage offensichtlich richtig | |Es gelte (q+1,q^2t+1)=2 | |Sei p>2 mit p\|(q+1,q^(2t+2)+1)=>p\|(q+1)\and\ p\|(q^(2t+2)+1) | |=>p\|(q^(2t+2)-q)=>p\|(q^(2t+1)-1) wegen p\teiltnicht\ q | |=>p\|((q^(2t+1)-1)+(q+1))=>p\|(q^2t+1)=> Widerspruch \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.7:)__| |array(\black\big\ Für t\,n \el\ \IN_0 mit t(q^2^n-1)/(q-1)=N^2 ist lösbar | |<=>produkt((q^2^k+1),k=0,n-1)=N^2 ist lösbar nach (1.1.1) | |Für k>=1 gilt: q^2^k+1==2 mod 4 also 2\|\|q^2^k+1 | |Damit ergibt sich nach (1.2.3): | |q^2^k+1=cases(2*N_k^2,k>0;2^n_0*N_0^2,k=0) | |mit (N_i ,N_j)=1 für i!=j | |Ist n_0 ungerade, ist (1.2.4) klar. | |\array(Ist n_0 gerade, muß k>=2 sein\, weil sonst eine ungerade Anzahl der 2) | |die Quadratzahl N^2 teilt. Dies ergibt den 2. Teil der Aussage \boxon\big\Offensichtlich genügt es, den Fall (1.2.4) zu betrachten, indem man ggfs im Beweis q^2 durch q ersetzt. Allerdings ist die Behandlung dieses Gleichungssystems nicht so unproblematisch, wie man meinen möchte. Wir werden zwei Fälle unterscheiden, die beide jeweils auf eine scheinbar simple Gleichung führen. \boxoff\Einfach ist davon aber nur eine... | | \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.9:)__| |array(\black\big\Für x\el\IN\\{1} ist $ 2(x^4-1) $ keine Quadratzahl | | \frameoff\ \array(Beweis:)__ | |Sei y^2=2*(x^4-1) => y=2z | |=>2z^2=x^4-1=(x^2+1)*(x^2-1) | |=>z^2=(x^2+1)/2*(x^2-1) | |=>x^2-1 ist Quadratzahl => Widerspruch \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.10:)__| |array(\black\boxon\big\Sei q!==7 mod 8. Dann hat das Gleichungssystem | |) | |q+1=2*r^2 | |$ \and\ q^2+1=2*s^2 \boxoff\frameoff | |für q>1 keine Lösung \array(Beweis:)__ | |Setze q=2t-1. Dann geht das Gleichungssystem über in | |t=r^2 \and\ 2t^2-2t+1=s^2 mit s ungerade | |=>r^4+(r^2-1)^2=s^2 | |=>r^4=s^2-(r^2-1)^2=(s-(r^2-1))*(s+(r^2-1))=:R*S | |Für q==3 mod 8 => r^2==2 mod 8 => Widerspruch | |=> q==1 mod 4 => r ungerade | |=> R und S ungerade und damit offensichtlich (R,S)=1 | |=>R=a^4 und S=b^4 sowie r=ab => r^2-1=a^2*b^2-1 | |s-(r^2-1)=a^4 \and\ s+(r^2-1)=b^4 => 1/2*(b^4-a^4)=r^2-1 | |=>b^4-a^4=2a^2*b^2-2 => b^4-2a^2*b^2-a^4+2=0 | |=>b^2=a^2+sqrt(2*(a^4-1)) | |\array(=>2*(a^4-1) ist Quadratzahl und dies ist Widerspruch zu Hilfssatz 1.9) \ \array(\boxon\big\Der folgende Hilfssatz ist die eingangs erwähnte Ausnahme. Auf einen Beweis\,) der den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, wird deshalb verzichtet. \boxoff \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.11:)__| |array(\black\boxon\big\Für x\,y\el\IN hat die Gleichung | | | | 2x^4-1=y^2 \frameoff\boxoff\ | |nur die beiden Lösungen (1,1) und (13,239) | | \array(Beweis:)__ | |Der Orginalbeweis von W. Ljunggren findet sich hier: | |"Zur Theorie der Gleichung x^2+1=D*y^4 " | |Avh. Norske Vid. Akad. Oslo I\, No 5 (1942)\, 27 pp. | |array(Diese Arbeit wird von anderen Autoren als augesprochen kompliziert bezeichnet.) | |Spätere Arbeiten liefern einfachere Zugänge zu dieser Aussage. | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 1.12:)__| |array(\black\boxon\big\Sei q==7 mod 8. Dann hat das Gleichungssystem | |) | |q+1=2*r^2 | |$ \and\ q^2+1=2*s^2 \boxoff\frameoff | |die einzige Lösung q=7 \array(Beweis:)__ | |Setze q=8t-1. Dann geht das Gleichungssystem über in | |4t=r^2 \and\ 8t^2-4t+1=s^2 mit r gerade und s ungerade | |=>r^4+(r^2-1)^2=s^2 | |Damit sind r^2, r^2-1 und s pythagoräische Zahlen | |=> es gibt a,b mit r^2=2ab und r^2-1=a^2-b^2 und (a,b)=1 | |Dabei ist entweder a oder b gerade weil r gerade ist | |=>a^2-b^2=2ab-1 | |=>a=b+sqrt(2*b^2-1) falls a gerade oder | |=>b=-a+sqrt(2a^2-1) falls b gerade | |Damit ist entweder a oder b eine Quadratzahl | |array(Hilfssatz 1.11 => Dieses a oder b kann nur die Werte 1 und 169 annehmen) | |=>a=1 und b=2 sowie a=169 und b=408 oder umgekehrt | |Da 408/2 keine Quadratzahl ist, bleibt nur die erste Lösung. | |=>r^2=2ab=4=>r^2=4=>r=2 | |a^2-b^2=r^2-1=3=>a=2 und b=1=>q=7 | |qed. | | \ \big\Damit ist alles gezeigt und wir erhalten: | | \red\frameon\darkred\big\ array(Satz:)__ | | Sei q\el\ \IN\\{1}, m\el\ \IN und m>3 gerade | | | |\darkred\big\Dann ist die einzige Lösung der Gleichung \darkred\big\(A1) | |$ (q^m-1)/(q-1)=N^2 | |\darkred\big\das Paar (q,m)=(3,5)\frameoff | | | |
\big\ array(2. m ungerade:)__ Für ungerades m müssen wir einen anderen Weg einschlagen. Sei m=2t+1. =>(q^(2t+1)-1)/(q-1)=N^2 <=>q*(q^t)^2-(q-1)*N^2=1 Damit können wir unser Problem auf die Lösung der Gleichung | |q*X^2-(q-1)*Y^2=1 zurückführen: Es gibt genau dann ein Lösungspaar (m,q) des Ausgangsproblems, wenn diese charakteristische Gleichung eine Lösung der Form X=q^r hat. Zuerst einige vorbereitende Aussagen: array(2.1 Hilfssätze)__ | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.1:)__| |array(\black\ Seien s\,t\el\ \IZ mit t!=-s^2/4| |) | |Für eine Folge (a(n))_(n\el\ \IN) sei | |a(n+1)=s*a(n)+t*a(n-1) | |Dann gibt es b,c\el\ \IR, so daß gilt: | |(2.1.1) |\big\ a(n)=b*B^n+c*C^n \black\ mit \frameoff\ | |B=s/2+sqrt(s^2/4+t) | |C=s/2-sqrt(s^2/2+t) array(Beweis:)__ | |folgt sofort durch Nachrechnen | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.2:)__| |array(\black\ Seien b\,c\el\ \IR\, u\,v\el\ \IZ\, D\el\ \IN keine Quadratzahl |) | |Sei a(n):=b*B^n+c*C^n | |mit B:=u+v*sqrt(D) | |C=u-v*sqrt(D) | |Dann gilt mit s:=2u und t=-(u^2-D*v^2) \frameoff\ | |(2.1.2)| |\big\ a(n+1)=s*a(n)+t*a(n-1) \array(Beweis:)__ | |folgt sofort durch Nachrechnen | | Bemerkenswert ist, daß weder b noch c Einfluß auf die Struktur, also auf s und t, der Folge haben. Sind die ersten beiden Folgeglieder ganzzahlig, so ist es die ganze Folge. array(Definition:)__ | |Die Gleichung x^2-D*y^2=1 mit der Grundmenge \IZ\cross\ \IZ | |heißt \blue\Pellsche Gleichung. | |Eine Lösung (u_0 ,v_0) mit minimalen v_0 >0 heißt \blue\Fundamentallösung. array(Bemerkung:)__ | |\array(Wenn D keine Quadratzahl ist\, ist die Pellsche Gleichung stets lösbar.) | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.3:)__| |array(\black\Sei D keine Quadratzahl und (u_0 ,v_0)| |) | |die Fundamentallösung der Pellschen Gleichung. | |Seien B:=u_0+v_0*sqrt(D) und C:=u_0-v_0*sqrt(D) | |\array(Dann ist für n\el\ \IN_0 jede Lösung (u(n),v(n))\el\ \IN\cross\ \IN_0 von der Form) (2.1.3) | |\big\u(n)=1/2*B^n+1/2*C^n | |\big\v(n)=1/(2*sqrt(D))*B^n-1/(2*sqrt(D))*C^n \frameoff\ | |Speziell ist (u(0),v(0))=(1,0) und (u(1),v(1))=(u_0, v_0) | | array(Beweis:)__ | |Dies ist allgemein bekannt. | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.4:)__| |array(\black\Sei D keine Quadratzahl und (u_0 ,v_0)| |) | |die Fundamentallösung der Pellschen Gleichung. | |Seien B:=u_0+v_0*sqrt(D) | |\array(Dann ist für n\el\ \IN_0 jede Lösung (u(n),v(n))\el\ \IN\cross\ \IN_0 von der Form) (2.1.4) | |\big\u(n)=1/2*(B^2n+1)/B^n \frameoff\ | |\big\v(n)=1/(2*sqrt(D))*(B^2n-1)/B^n | | array(Beweis:)__ | |Wegen u_0^2-v_0^2*D=1 und (2.1.3) ist C=1/B. | |
array(2.2 Die Lösungen der charakteristischen Gleichung)__ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.5 )__ array(\black\ Sei D:=q*(q-1) und (u_0 ,v_0) die Fundamentallösung | |) | |der Pellschen Gleichung x^2-D*y^2=1 \big\frameoff\(2.2.1)| | u_0=2q-1 und v_0=2 array(Beweis:)__ | |Dies ist klar durch Nachrechnen. | | \boxon\big\ Für den Rest des Kapitels 2 sei stets: | | D=q*(q-1) | | A=u_0+v_0*sqrt(D) | | u(n),v(n) die Lösungen von X^2-D*Y^2=1 \boxoff\ | | r(n),s(n) die Lösungen von q*X^2-(q-1)*Y^2=1 \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.6 )__ array(\black\ Es gilt: | |) \boxon\big| |(1) r(n)=u(n)+(q-1)*v(n) | | s(n)=u(n)+q*v(n) (2.2.2) | |(2) r(1)=4q-3 | | s(1)=4q-1 \frameoff\boxoff\ (2.2.3)| |(3) r(n)=1/A^n*(A^(2n+1)+1)/(A+1) | | array(Beweis:)__ | |Teil (1) und(2.2.2) sind klar durch Nachrechnen. | |Wegen 1/A=(u_0-v_0*D)/(u_0^2-D*v_0^2)=u_0-v_0*D | |ist nach 2.1.1 und (1) | |u(n)=1/2*(A^n+1/A^n) und v(n)=1/(2*sqrt(D))*(A^n-1/A^n) | |=>r(n)=1/2*( A^n+1/A^n+1/q*sqrt(D)*(A^n-1/A^n) | |=1/2*(A^n*(1+1/q*sqrt(D))+1/A^n*(1-1/q*sqrt(D))) | |Es ist | |(1+A)*(1+1/q*sqrt(D))= | |=u_0+1+v_0*(q-1)+sqrt(D)*(v_0+1/q*(u_0+1))= | |=2q-1+1+2*(q-1)+sqrt(D)*(2+1/q*(2q-1+1))= | |=4q-2+4*sqrt(D)=2*(u_0+v_0*sqrt(D))=2*A | |und genauso zeigt man | |(A+1)*(1-1/q*sqrt(D))= | |=u_0+1-v_0*(q-1)+sqrt(D)*(v_0-1/q*(u_0+1))=2 | |=>r(n)=1/2*(A^n*(2*A)/(A+1)+1/A^n*2/(A+1) | |Damit ist (2.2.3) bewiesen \ | | \ \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.7 )__ array(\black\ Für n\el\ \IN gilt | |) \big\frameoff\(2.2.4)| | r(n+1)=(4q-2)*r(n)-r(n-1) array(Beweis:)__ | | array(Mit b:=A/(A+1) und c:=1/(A+1) folgt dies direkt aus (2.1.2)) \blue\frameon\ array( array(Hilfssatz 2.8)__ \black\ Für die Folge r(n) gilt: | |) \boxon\big\ (2.2.5)| |(1) \big\ r(n)==(-1)^n*(2n+1) mod q (2.2.6)| |(2) (A) ist für gerades q nicht lösbar \frameoff\boxoff\ (2.2.7)| |(3) array(r(n)==0 mod q <=> n==(q-1)/2 mod q für ungerades q) \ \array(Beweis:)__ | |(1) Wegen r(0)=1 und r(1)=(A-1+1/A)=2u_0-1=4q-3 | |ist dies für n=0,1 richtig | |r(n+1)=2*u_0*r(n)-r(n-1)=(4q-2)*r(n)-r(n-1)== | |==(-2)*(-1)^n*(2n+1)-(-1)^(n-1)*(2n-1)== | |array(==(-1)^(n+1)*(4n+2-2n+1)==(-1)^(n+1)*(2(n+1)+1) mod q) | | | |(2) Gäbe es eine Lösung, wäre r(n)=q^t also gerade. | |=>$Widerspruch zu 2.2.5 | | | |array((3) "<==" r((q-1)/2+t*q)==(-1)^((q-1)/2+t*q)*(2*((q-1)/2+q*t)+1)==0 mod q) | |"=>" Sei r(n)==0 mod q => 2n+1==0 mod q nach (2.2.5) | |=>2n==q-1 mod q => n==(q-1)/2 mod q | |qed | |
\array(2.3 Teilbarkeitseigenschaften der Folge r(n))__ | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.9)__| | array(\black\ Sei B \el\IR \opimg(\ ){0}. Dann ist | |) \big\(2.3.1)| | 1/B^r*(B^(2r+1)+1)/(B+1)=(-1)^r*(1+sum((-1)^t*(B^t+1/B^t),t=1,r)) \frameoff\ array(Beweis:)__ | |B^r*(B^(2r+1)+1)/(B+1)=1/B^r*sum((-1)^t*B^t,t=0,2r)= | |=sum((-1)^t*B^(t-r),t=0,r-1)+(-1)^r+sum((-1)^t*B^(t-r),t=r+1,2r)= | |=sum((-1)^t*1/B^(r-t),t=0,r-1)+(-1)^r+sum((-1)^(t+r)*B^t,t=1,r)= | |=sum((-1)^(r-t)*1/B^t,t=1,r)+(-1)^r+sum((-1)^(t+r)*B^t,t=1,r)= | |=(-1)^r*(sum((-1)^t*1/B^t,t=1,r)+1+sum((-1)^t*B^t,t=1,r)) | |qed. \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.10)__| | array(\black\ Sei B=u+v*sqrt(D) mit u^2-v^2*D=1. Dann ist | |) \big\array((2.3.2) 1/B^r*(B^(2r+1)+1)/(B+1)=(-1)^r*(1+2*sum((-1)^t*sum((t;2s)*u^(t-2s)*v^2s*D^s,s=0,t/2),t=1,r))) \frameoff\ array(Beweis:)__ | |Wegen 1/B=u-v*sqrt(D) folgt dies aus Hilfssatz 2.9 | |qed. \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.11)__| | array(\black\ Seien m<=n beliebige natürliche Zahlen. Dann gilt: | |) \big\(2.3.3)| | n==m mod(2m+1) => r(m)\|r(n) \frameoff\ array(Beweis:)__ | |Sei n=m+(2m+1)*t mit t\el\ \IN_0 | |Nach (2.2.3) ist | |r(n)/r(m)=1/A^(n-m)*(A^(2n+1)+1)/(A^(2m+1)+1)=1/A^((2m+1)*t)*(A^(2*(m+(2*m+1)*t)+1)+1)/(A^(2m+1)+1)= | |=1/(A^(2m+1))^t*((A^(2m+1))^(2t+1)+1)/(A^(2m+1)+1) | |Mit B=A^(2m+1) ist dies nach Hilfssatz 2.10 ganzzahlig | |qed. \blue\frameon\ array(array(Hilfssatz 2.12:)__| |\black\ Zu k\el\ \IN_0 gibt es ein c(k)\el\ \IN mit (q,c(k))=1, so daß gilt: | | \big\(2.3.4)| | r((q^(k+1)-1)/2)=q*c(k)*r((q^k-1)/2) | |(1) Für q!==3 mod 9 ist: \big\(2.3.5)| | r((q-1)/2)=q*c(0) | |(2) Für q==3 mod 9 gibt es ein t\el\ \IN mit: \big\frameoff\ (2.3.6)| | r((q-1)/2)=3^t*q*c(0) \array(Beweis:)__| |Sei k>=1 | |array(Mit m=(q^k-1)/2 und n=(q^(k+1)-1)/2 sind die Voraussetzungen von 2.3.3 erfüllt) | |=>r((q^(k+1)-1)/2)/r((q^k-1)/2)=((A^q^k)^q+1)/(A^q^k+1)*1/(A^q^k)^((q-1)/2)=1/B^r*(B^(2r+1)+1)/(B+1) | |mit B:=A^q^k und r:=(q-1)/2 | |array(Da für B auch die Voraussetzungen von 2.3.2 erfüllt sind, ist dies) | |=(-1)^r*(1+2*sum((-1)^t*sum((t;2s)*u^(t-2s)*v^2s*D^s,s=0,t/2),t=1,r)) | |=(-1)^r*(1+2*sum((-1)^t*u^t,t=1,r)+2*sum((-1)^t*sum((t;2s)*u^(t-2s)*(u^2s-1),s=1,t/2),t=1,r)) | |=(-1)^r*(1+2*sum((-1)^t*u^t,t=1,r)+2*sum((-1)^t*sum((t;2s)*(u^t-u^(t-2s)),s=1,t/2),t=1,r)) | |mit A^q^k=u+v*sqrt(D) | |Wegen u+v*sqrt(D)=(u_0+v_0*sqrt(D))^q^k=sum((q^k;t)*u_0^(q^k-t)*v_0^t*sqrt(D)^t,t=0,q^k) | |=>u=sum((q^k;2t)*u_0^(q^k-2t)*v_0^2t*D^t,t=0,q^k/2) | |=>u==sum((q^k;2t)*u_0^(q^k-2t)*v_0^2t*D^t,t=0,2) mod q^2 | |=>u==u_0^q^k+(q^k;2)*u_0^(q^k-2)*v_0^2*q*(q-1)==u_0^q^k mod q^2 | |Wegen u_0=2q-1 ist | |u_0^q^k=(2q-1)^q^k=sum((q^k;t)*(2q)^t*(-1)^(q^k-t),t=0,q^k) | |=>u_0^q^k==(-1)^q^k+q^k*2q*(-1)^(q^k-1)==(-1)^q^k mod q^2 | |=>u==(-1)^q^k mod q^2 | |=>u^t-u^(t-2s)=(-1)^t-(-1)^(t-2s)==0 mod q^2 | |Setzen wir dies oben ein, ergibt sich mod q^2: | |r((q^(k+1)-1)/2)/r((q^k-1)/2)==(-1)^r*(1+2*sum((-1)^t*(-1)^t,t=1,r))== | |==(-1)^r*q mod q^2 | |Damit ist (2.3.4) bewiesen | |array(Für die beiden anderen Aussagen betrachten wir r((q-1)/2) mod q^2.) | |Nach (2.3.2) ist: | |abs(r((q-1)/2))=1+2*sum((-1)^t*sum((t;2s)*u^(t-2s)*v^2s*D^s,s=0,t/2),t=1,(q-1)/2)= | |=1+2*sum(v^2s*D^s*sum((-1)^t*(t;2s)*u^(t-2s),array(t=2s;t>=1),(q-1)/2),s=0,(q-1)/4)= | |=1+2*sum((-1)^t*(t;0)*u^t,t=1,(q-1)/2)+2*sum(v^2s*D^s*sum((-1)^t*(t;2s)*u^ (t-2s),t=2s,(q-1)/2),s=1,(q-1)/4)= | |==1+2*sum((-1)^t*u^t,t=1,(q-1)/2)+2*v^2*D*sum((-1)^t*(t;2)*u^(t-2),t=2,(q-1)/2)== | |array(==1+2*sum((-1)^t*u^t,t=1,(q-1)/2)+2*sum((-1)^t*(t;2)*(u^t-u^(t-2)),t=2,(q-1)/2) mod q^2) | |Es ist analog obigem: | |u_0^t=sum((t;j)*2^j*q^j*(-1)^(t-j),j=0,t)== | |==(-1)^t+2t*q*(-1)^(t-1)==(-1)^t*(1-2tq) mod q^2 | |Damit ist obiges | |==1+2*sum((-1)^t*(-1)^t*(1-2tq),t=1,(q-1)/2)+ | |+2*sum((-1)^t*(t;2)*((-1)^t*(1-2tq)-(-1)^(t-2)*(1-2*(t-2)*q)),t=2,(q-1)/2)== | |==1+2*(q-1)/2-4q*sum(t,t=1,(q-1)/2)-4q*sum(t*(t-1),t=2,(q-1)/2)== | |==q-4q*(sum(t,t=1,(q-1)/2)+sum(t*(t-1),t=1,(q-1)/2))==q-4q*sum(t^2,t=1,(q-1)/2)== | |==q*(1-4*1/6*(q-1)/2*((q-1)/2+1)*(2*(q-1)/2+1))== | |==q*(1-1/6*(q-1)*(q+1)*q) mod q^2 | | (1) 3\teiltnicht\ q | |=>1/6*(q-1)*(q+1)\el\ \IN und damit ist obiges | |==q (q^2) => abs(c(0))==1 mod q | | | |(2) 3\|q | |Sei q=3*r Dann ist | |abs(r((q-1)/2))==q*(1-((q-1)*(q+1))/2*r) mod q^2 | |=> abs(r((q-1)/2))/q==1-((3r-1)*(3r+1))/2*r mod(3r) | |array(=>abs(r((q-1)/2))/q==1(r) und abs(r((q-1)/2))/q==1-((3r-1)*(3r+1))/2*r mod 3) | |Sei 3\|r => Dann ist | |=>abs(r((q-1)/2))/q==1-((3r-1)*(3r+1))/2*r ==1 mod(r) | |=>(r((q-1)/2)/q ,3r)=1 => (c(0),q)=1 | |Ist r==+-1(3)=>r=3t+-1 | |=>abs(r((q-1)/2))/q==1-((9t+-3-1)*(9t+-3+1))/2*(+-1)== | |==1-+((9t+-3-1)*(9t+-3+1))/2 mod 3 | |Da q ungerade => r ungerade =>3t+-1 ungerade => t gerade | |array(Sei t=2s =>abs(r((q-1)/2))/q==1-+2*(9s+(+-3-1)/2)*(9s+(+-3+1)/2) mod 3) | |array("-": abs(r((q-1)/2))/q==1+2*(9s-2)*(9s-1)==1+2*2==-1 mod 3) | |array("+": abs(r((q-1)/2))/q==1-2*(9s+1)*(9s+2)==1-4==0 mod 3) | |array(Der letzte Fall bedeutet:r==1 mod 3 <=> 3r==3 mod 9 <=> q==3 mod 9) | |qed. \red\frameon\red array(Satz 2.1)__| | array(\darkred\big\ Für q!==3 mod 9 ist (A) nicht lösbar | |) \frameoff\ array(Beweis:)__ | |Wäre (A) lösbar, gäbe es n,t mit r(n)=q^t | | Nach (2.2.7)ist n==(q-1)/2 mod q | | (2.3.3) => r((q-1)/2)\|r(n) (=q^t) | | (2.3.4) => r((q-1)/2)=q | | array(Es ist wegen q>3: (q-1)/2>1 und damit ist wegen der Monotonie von r(n):) | | (2.2.2) => 4q-3=r(1)<=r((q-1)/2)=q =>q=3 | | Widerspruch qed
\array(2.4 Die restlichen Werte für q)__ | | Nun werden wir die verbleibenden Werte von q genauer untersuchen. Zuerst wird mit Hilfe der bereits bekannten Teilbarkeitseigenschaften von r(n) ein weiterer Teil der q-Werte eliminiert. Für den Rest muß dann die Struktur der Folge r(n) genauer analysiert werden. Dabei geht es speziell um die Verteilung der Dreierpotenzen. \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.13)__| | array(\black\ Ist (A) für (m,q)!=(5,3) lösbar\, so gibt es ein t\el\ \IN_0 mit:| |) \frameoff\big\(2.4.1)| | q=18t+3 und r(1)=9*(8t+1) array(Beweis:)__ | |Die Darstellung von q ergibt sich aus q==3(9) sowie q ungerade. | | Aus (2.2.2), nämlich r(1)=4q-3 folgt der Rest. \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.14)__| | array(\black\ Ist (A) für (m,q)!=(5,3) lösbar\, so gibt es ein t\el\ \IN_0 mit:| |) \frameoff\big\(2.4.2)| | q=9*(9^t-1)/4+3 und r(1)=9^(t+1) array(Beweis:)__ | |Wenn (A) lösbar => \exists\ n: r(n)=q^k mit k\el\ \IN | | (2.3.3) => r((q-1)/2)\|r(n) | | => r((q-1)/2)=3^s_1*q mit s_1\el\ \IN nach (2.3.5)) | | Es ist (q-1)/2-1=1/2*(q-3)==0 (3) | | (2.3.3) => r(1)\|r((q-1)/2) => 4q-3\|3^s_1*q | | Wegen (4q-3,q)=3 => r(1)=3^s_2 | | (2.4.1) => \exists\ s_3 mit 3^s_2=9*(8s_3+1) | | Angenommen 8s_3+1==+-3 (9)=>-s_3==+-3-1 (9) =>s_3==-+3+1(9) | | =>3^(s_2-1)=9*(24s_4-+8+3)=9*(3*(8s_4+1)-+8) | | array(=> Widerspruch\, da die Klammer >1 und nicht durch 3 teilbar ist.) | | =>r(1)=9^s_4 mit s_4>=1 | | Setze t:=s_4-1 | | q=1/4*(r(1)+3) ergibt die Beh. qed. \boxon\big\ array(Im Folgenden gehen wir von der Lösbarkeit von (A) für (m,q)!=(3,5) aus und setzen deshalb die dazu bereits nachgewiesene Einschränkung | |q=9*(9^t-1)/4+3 und \boxoff\ r(1)=9^(t+1) für t\el\ \IN_0 voraus | | \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.15)__| | array( \black\ Es gilt: | |) \big\(2.4.3)| | 3\|r(n) <=> n==1 mod 3 \frameoff\big\(2.4.4)| | 3\|r(n)=>9^(t+1) \|r(n) \array(Beweis:)__ | | Dies folgt direkt aus (2.2.7) und (2.3.3) | | \big\Um die Verteilung der Dreierpotenzen genauer untersuchen zu können, sieht man mit Hilfssatz 2.15, daß es reicht, nur jedes dritte, nämlich das durch 3 teilbare Glied der Folge zu betrachten. Die daraus entstandene Teilfolge läßt sich jetzt noch weiter vereinfachen, indem man sie durch 9^(t+1) teilt. Diese neue Folge wird uns dann alle Werte von q bis auf einen eliminieren. Die früher gemachten Aussagen über r(n) gelten analog für die neue Folge auch. Die enstprechenden Verweise auf frühere Aussagen sind in diesem Sinn zu verstehen, auf einen eigenständigen Beweis wird verzichtet. \ array(Definition:)__ | |Bei den Voraussetzungen für q sei | | r_1(n):=1/9^(t+1)*r(1+3*n) \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.16)__| | array( \black\ Es gilt: | |) \big\(2.4.5)| | r_1(n)\el\ \IN \big\(2.4.6)| | r_1(0)=1 und r_1(1)==0 mod 3 \big\array( (2.4.7)| | r_(n+1)=s_1*r_1(n)-r_1(n-1) mit s_1==-2 mod 3) \frameoff\big\(2.4.8)| | 3\teiltnicht\ r_1(1/3*((q-1)/2-1)) \array(Beweis:)__ (2.4.5) und r_1(0)=1 ist klar nach Definition. | |r_1(1)=1/9^(t+1)*r(4) | |Zur Vereinfachung sei x:=9^(t+1) | |\array(Wegen r(1)=4q-3=x => r(2)=(x+1)*x-1 nach (2.2.3) und (2.2.4)) | |Betrachte das Ganze mod 3^(t+1)=3*x | |=> r(2)==x^2+x-1==x-1 mod 3x | |\array(=> r(3)==r(2)*(x+1)-x==(x-1)*(x+1)-x==-1-x mod 3x) | |\array(=> r(4)==r(3)*(x+1)-r(2)==-x^2-2x-1-x+1==3x==0 mod 3x) | |Damit ist (2.4.6) bewiesen | |Es war nach (2.1.1) und folgendem für geeignetes a,b: | |r(n)= a*A^n+b*1/A^n | |Dabei war A=(2q-1)+2*sqrt(D) und 1/A=(2q-1)_2*sqrt(D) | |r_1(n)=1/3^t*(a*A^(3n+1)+b*1/A^(3n+1)) | |A^(3n+1)=A*(A^3)^n. Sei A^3=(u_3+v_3*sqrt(D)) | |Dann sind u_3 und v_3 Lösungen der entsprechenden Pellschen Gleichung | |(2.1.2)=>s_1=2*u_3 und das (oben bereits weggelassene) t_1=-1 | |=>u_3 ist der "Rationalteil" von A^3 also | |\array(u_3=u_0^3+3*u_0*v_0^2*D und wegen q==0 mod 3 und u_0=2q-1 ist dies) | |==(-1)^3 ==-1 mod 3. s_1=2*u_0 => (2.4.7) | |(2.2.7)=> (r_1(n)==0 mod 3 <=> n==1 mod 3) | |1/3*((q-1)/2-1=1/6*(q-3) | |Wegen q=9*(9^t-1)/4+3 => | | q-3=9*(9^t-1)/4 =>1/6*(q-3)==0 mod 3 | |qed. \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.17)__| | \array(\black\Für q=9*(9^t-1)/4+3 gilt | |) \frameoff\big\(2.4.10)| | r((q-1)/2)=9^t*3*q | | \array(Beweis:)__ Dies folgt aus (2.3.6) \blue\frameon\ array(Hilfssatz 2.18)__| | \array(\black\Es gilt:| |) \frameoff\big\(2.4.11)| | r(n)>=q^n | | array(Beweis:)__ | | Für n=0 und 1 ist dies klar | |(2.2.3)=>r(n)=1/A^n*(A^(2n+1)+1)/(A+1) | |=> r(n)>=1/2*A^n>=1/2*(2q-1)^n | | 1/2*(2q-1)^n>=q^n <=>(2-1/q)^n>=2 | | und dies ist für n>=2 klar \red\frameon\ array(Satz 2.2)__| | array(\big\darkred\ Für q==3 mod 9 ist (m,q)=(5,3) die einzige Lösung von (A)| |) \frameoff\ | | array(Beweis:)__ | |(2.4.10) und (2.4.11) => 3^(2t+1)*q>=q^((q-1)/2) | |=>3^(2t+1)>=q^((q-3)/2)>3^((q-3)/2) | |2t+1>(q-3)/2 => q<4t+5=>9*(9^t-1)/4+3<4t+5 | |9*(9^t-1)<16t+8=>9^(t+1)<16t+17 | |=> t=0 | |=>q=3; r(1)=9 und r_1(0)=1 | |r(1)=9 ist die bekannte Lösung. | |Gäbe es noch eine, müßte ein n'>1 existieren mit r(n')=3^s' | |=>es muß ein n existieren mit r_1(n)=3^s | |=> 3\|r_1(n)=>n=3k+1 | |und wegen r_1(1)\|r_1(3k+1) | |folgt wegen r_1(1)=363=3*121 ein Widerspruch | |=>Beh für q=3. \boxon\big\ Damit ist die Aussage (A) vollständig bewiesen. Das Ganze läßt sich problemlos auf negative q erweitern. Da hier geradzahlige Exponenten von vorneherein wegfallen, ist lediglich der Beweis mit der Pellschen Gleichung auszuweiten, was ohne Schwierigkeiten machbar ist. Ob sich allerdings die von mir gewählte Beweismethode auch auf höhere Potenzen als Quadrate erweitern läßt, halte ich zumindest für fraglich. Aber das Obige reicht ja eigentlich auch..... \boxoff
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Geometrische Summen und Quadratzahlen [von Wauzi]  
Die diophantischen Gleichungen der Form big a*(x^n-1)/(x-1)=D*y^m sind seit vielen Jahrzehnten immer wieder im Fokus zahlentheoretischer Fragestellungen. Aber trotz erheblicher Bemühungen und bemerkenswerter Fortschritte sind diese und ähnliche
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"Mathematik: Geometrische Summen und Quadratzahlen" | 3 Comments
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Re: Geometrische Summen und Quadratzahlen
von: Aikee am: Fr. 06. Februar 2009 09:27:49
\(\begingroup\)Lieber Wauzi, ich danke Dir für diesen Artikel. Du hast einen interessanten Sachverhalt sehr schön und übersichtlich dargestellt. LG, Aikee\(\endgroup\)
 

Bravo, Wauzi!
von: SchuBi am: Fr. 06. Februar 2009 15:22:38
\(\begingroup\)Einfach (und) schön.\(\endgroup\)
 

Re: Geometrische Summen und Quadratzahlen
von: elmio am: Fr. 15. Mai 2009 13:20:48
\(\begingroup\)Hej hej, ich hab die Originalarbeit gefunden, und könnte sie vielleicht wohl auch im Volltext besorgen. Allerdings ist sie in norwegisch geschrieben. Falls Interesse besteht (PM) versuche ich es. Ljunggren, Wilhelm Some theorems on indeterminate equations of the form $x\sp n-1/x-1=y\sp q$. Norsk Mat. Tidsskr. 25, (1943). 17--20. \(\endgroup\)
 

 
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