Mathematik: Über Pi, den Zufall und das Leben
Released by matroid on Mo. 02. November 2009 21:06:04 [Statistics]
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Mathematik

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Über Pi, den Zufall und das Leben

Pi ist irrational (und sogar transzendent, was aber für das Weitere keine Rolle spielt). Seine Nachkommastellen, von denen inzwischen viele Milliarden berechnet wurden, weisen wie die Augenzahlen beim Würfeln keinerlei Regelmäßigkeit auf.

Regellosigkeit bedeutet nicht nur, daß die Ziffern 0 bis 9 im Schnitt gleich oft vorkommen, d. h., daß keine von ihnen auf die Dauer unter- oder überrepräsentiert ist, sondern daß das auch für beliebig geformte, kürzere oder längere Ziffernfolgen wie 123, 98765 oder 459107777753 gilt. Folgen mit solchen Eigenschaften nennt man "zufällig".

Über die Nachkommastellen von π sagte Herr Professor Thomas Weth, Universität Erlangen-Nürnberg, in einem Vortrag über das Unendliche: [1]

"... Aus der Irrationalität folgt, dass die Dezimalbruchentwicklung von π nicht abbricht und keine Periodizität aufweist. Von π weiß man zudem, dass es eine normale Zahl ist, d.h.: jede gleichlange Zahlenfolge kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit in der Ziffernfolge von π vor." ... "Und diese Eigenschaft hat erstaunliche und bemerkenswerte Konsequenzen. Jede Dezimalzahl ... lässt sich binär – also computerlesbar – darstellen. Gleiches gilt für Buchstaben und Wörter. Damit kommt z.B. das Geburtsdatum jedes einzelnen Menschen (ohne Trennzeichen geschrieben) irgendwo in π vor" ... "Aber auch längere als nur 6-stellige Zeichenkombinationen kommen in π vor: So findet sich z.B. jedes beliebige Buch, das je geschrieben wurde ... in π. Da sich auch Bilder digitalisieren … lassen, findet sich auch IHR Passbild in π." ... "Oder Bilder, die Sie an ihrem persönlichen letzten Schultag zeigen. Und mit Sicherheit auch das Bild, das Sie an ihrem letzten Arbeitstag zeigt: egal was kommen wird: π hält bereits das passende exakte Bild parat. Und nicht nur das: Filme lassen sich auf DVDs brennen, also als endlich lange Folge von Nullen und Einsen codieren. Also finden sich in π auch alle Filme, die jemals gedreht wurden oder gedreht werden." ... "Und in π findet sich auch ein Film, der IHR persönliches ganzes Leben von der ersten bis zu dieser Sekunde original so zeigt, als wäre eine Kamera die ganze Zeit neben Ihnen hergeschwebt und hätte Sie gefilmt. ..."

Das klingt phantastisch – zu phantastisch, und das ist es auch. Es ist nämlich falsch.




Anders, als oben zu lesen, weiß man gerade nicht, daß π normal ist; die Forschung darüber hält an. Zahlreiche Internetseiten bringen dies zum Ausdruck, z. B. hier [2] und [3]. Mehrfach heißt es darin, man sei dem angestrebten Nachweis in den letzten Jahren ein gutes Stück nähergekommen; doch reicht das zur Begründung der wiedergegebenen, fast gespenstisch wirkenden Folgerungen nicht aus. Dies betrifft insbesondere das eigene "Paßfoto" und den "Lebensfilm" für jeden einzelnen Menschen innerhalb der Dezimalen von π. Nichts spricht gegenwärtig für ihr Vorhandensein.

Sollte es eines Tages gelingen, die vermutete Normalität der Kreiszahl zu beweisen, ist noch folgendes zu bedenken: Zu jeder "in π enthaltenen" Aussage gäbe es dann auch ihre Negation. Persönliche Eigenschaften, dazu Orte und Zeiten, ausgeführte und unterlassenene Handlungen usw. fänden Alternativen, die ebenfalls irgendwo versteckt wären. Manche Details, in ihrem Auftreten gleichwahrscheinlich, würden sich widersprechen und gegenseitig aufheben. Klare, zuverlässige Informationen, die über Triviales hinausgehen, wären dadurch nicht zu erwarten. Das bedeutet: ob die Kreiszahl normal ist oder nicht – in beiden Fällen spielt sie weder für die Betrachtung von Vergangenem noch für Zukünftiges eine Rolle.

Bei oberflächlicher, nicht genügend durchdachter Lektüre der oben teilweise zitierten Ausführungen von Herrn Professor Weth könnte der Eindruck entstehen, als wäre unser Schicksal in den Dezimalen von π gewissermaßen gespeichert und durch sie vorherbestimmt. Anzunehmen, daß die Wechselfälle des Lebens, der Zeitpunkt und die Umstände des Todes von den Eigenschaften irgendwelcher Zahlen abhängen, ist jedoch reiner Aberglaube.

*

Um die Zufälligkeit der Ziffern in einer langen Folge zu testen, gibt es viele Methoden. Eine davon besteht darin, daß man die gesamte Folge in Dreierblöcke aufteilt und die relative Häufigkeit derjenigen Blöcke bestimmt, deren mittlere Ziffer größer ist als die beiden äußeren Ziffern. Was wäre theoretisch bei einer tatsächlich zufälligen, unendlich langen Ziffernfolge zu erwarten? Zur Prüfung, ob man richtig überlegt hat, können die folgenden 999 ersten Dezimalen von π dienen:

Bild
Sie liefern den gesuchten theoretischen Wert bereits recht genau.

Das Verfahren wird in einem alten Basic-Aufgabenbuch erwähnt (mit nicht ganz korrektem Ergebnis). - Welchen Eindruck gewinnt man von der "Zufälligkeit" der Kreiszahl, wenn bei einem anderen Test ihre ersten 1000 Nachkommastellen in Viererblöcke aufgeteilt

Viererblöcke

und diejenigen markiert werden, bei denen die mittleren zwei Ziffern dieselbe Summe haben wie die äußeren?

Hans-Jürgen

[1] Unendlich viel unendlich Kleines – über die Struktur des Unendlichen
[2] Wie zufällig ist die Kreiszahl Pi? Ist Pi "normal"?
[3] Wie normal ist Pi? - Rätsel um die dritte Eigenschaft der Kreiszahl

Nachtrag (13.12.09):
Jörg Resag: "Die Grenzen der Berechenbarkeit", Kap. 3, Über die Komplexität und Zufälligkeit von Zahlen

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Über Pi, den Zufall und das Leben [von Hans-Juergen]  
Pi ist irrational (und sogar transzendent, was aber für das Weitere keine Rolle spielt). Seine Nachkommastellen, von denen inzwischen viele Milliarden berechnet wurden, weisen wie die Augenzahlen beim Würfeln keinerlei Regelmäßigkeit auf. Regellosigkeit bedeu
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"Mathematik: Über Pi, den Zufall und das Leben" | 36 Comments
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Mo. 02. November 2009 23:21:26
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Hallo Hans-Jürgen!

Wiedermal ein interessanter und anregender Artikel!

Jetzt hätte ich aber eine Rückfrage dazu:
Muß eine solche Zahl bzw. Ziffernfolge wirklich "normal" sein, um die oben genannten Beispiele wie Texte oder Bilder zu enthalten?
Ist es nicht gerade ein Charakteristikum einer zufälligen Ziffernfolge, daß es beliebig große endliche Teilfolgen darin geben kann, die von der Durchschnittswahrscheinlichkeit abweichen?
Dann wäre es doch durchaus denkbar, daß z.B. die Ziffer 9 im Schnitt zwar nur halb so oft vorkommt wie die anderen (denkbar: 19 Kugeln, 1-8 jeweils doppelt), aber es Teilabschnitte gibt, die der Gleichwahrscheinlichkeit genügen.
Man muß nur lange genug suchen... :-D

Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Curufin am: Di. 03. November 2009 00:48:23
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Hallo,

ich habe den Artikel gelesen und - am Ende angelangt - hielt ich inne, um zu reflektieren, was denn die Botschaft des Artikels gewesen ist. Ich muss leider feststellen, dass er ziemlich inhaltsleer ist.
Aus mathematischer Sicht ist er natürlich nur Geschwafel, da kein einziger Beweis und viele Behauptungen, die teils überhaupt nicht mathematischer Natur sind, aufgeschrieben wurden.
Aber gut, es ist ja erst einmal kein Beinbruch, wenn man sich mathematischen Resultaten aus anderer Perspektive nähert und sie aus philosophischer Sicht verarbeitet.
Aber auch hier stellte sich mir die Frage: Was genau will mir dieser Artikel sagen? Worüber soll er mich zum Denken anregen? Dass es unbekannt ist, ob π normal ist? Und dass aus der Normalität zwar folgt, dass man jede Ziffernfolge in π finden könnte, aber auch dieser Umstand es unmöglich macht, sinnvolle Informationen aus dieser Zahl zu beziehen?


Mit irritiertem Gruß
Curufin\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: jannna am: Di. 03. November 2009 00:51:42
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 03. November 2009 01:07:09
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Hallo Curufin!

So habe ich das nicht verstanden oder gelesen.
Wenn Du weiterführendes willst, hättest Du übrigens auch in die Links 'reinschauen können.
Dieser Artikel aber nimmt nicht für sich in Anspruch, Dir etwas "beizubringen" oder zu "beweisen" - abgesehen daß, wie erwähnt, der Sachverhalt ob Pi diese Eigenschaft ("normal") wirklich hat, noch gar nicht bewiesen ist.
Hier aber ist jemand, der von den Eigenschaften und Merkwürdigkeiten der Zahl Pi fasziniert ist und - vielleicht, weil er gerade noch mehr darüber gehört hat - das uns weitergeben möchte. Als Denkanstoß und damit auch wir daran teilhaben können.
Wenn Dir das zu primitiv erscheint oder Du in Artikel hier grundsätzlich höhere Ansprüche stellst, dann übergehe sie, aber beklage dich nicht darüber.

Bernhard
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Curufin am: Di. 03. November 2009 02:37:03
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Hallo Bernhard,

ich verstehe nicht ganz. Mit welcher Logik darf ein Artikel denn nur gelobt und nicht kritisiert werden? Wieso ist dein Lob, das in meinen Augen völlig ungerechtfertigt ist, erlaubt, während meine Kritik es nicht ist?
Wenn man nicht auf Kritik stoßen will, sollte man auch nichts veröffentlichen.

Ich bin doch etwas verwundert über die Reaktion.

MfG\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 03. November 2009 09:18:00
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Hallo Curufin!

Wieso ist dein Lob, das in meinen Augen völlig ungerechtfertigt ist, erlaubt, während meine Kritik es nicht ist?

Klar, Lob und Kritik sind gleichermaßen erlaubt.
Man sollte da aber vorher beachten, an wen sich der Artikel richtet und mit welcher Intention er geschrieben wurde. Wenn Du die Latte zu hoch legst, darfst Du Dich nicht wundern, daß sie nicht erreicht wird. Einen Artikel, der von Anfang an nicht dazu konzipiert wurde, Deinen hohen Ansprüchen zu genügen, kannst Du nicht kritisieren, wenn er das nicht tut. Du kannst ihn aber loben, wenn er innerhalb des Rahmens, den der Autor sich gegeben hat, gut gelungen ist. Und das habe ich getan.

Bernhard
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Curufin am: Di. 03. November 2009 11:09:03
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Hallo Bernhard,

das ist für mich die letzte Nachricht dazu.
Wie ich schon im ersten Kommentar von mir schrieb, halte ich es für nicht schlim, wenn man mathematische Sachverhalte einem breiten Publikum zugänglich machen will (das wird leider viel zu wenig getan).
Dennoch: Selbst wenn ich diese Maßstäbe anlege, ist der Inhalt des Artikels darauf beschränkt, sich darüber zu wundern, was man alles in irrationale Zahlen hinein interpretieren könnte, nur um am Ende festzustellen, dass das doch nicht verlässlich funktioniert. Das ist ziemlich inhaltsleer und zudem abstrus aufgeschrieben.

MfG
Curufin  \(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bilbo am: Di. 03. November 2009 13:22:42
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Hallo Hans-Jürgen,

danke für den interessanten Artikel! Ich möchte noch ein paar weiterführende Gedanken vorbringen.

Ich habe etwas gestutzt, als ich gelesen habe, dass die Ziffernfolge von Pi als "zufällig" bezeichnet wird. Denn dass diese Folge keinerlei Regelmäßigkeiten aufweist, stimmt natürlich nur, wenn man den Begriff "Regelmäßigkeit" sehr eng fasst. Immerhin handelt es sich um die Ziffernfolge von Pi, und Pi lässt sich auf sehr regelmäßige Weise etwa durch das Wallissche Produkt oder die Reihendarstellung nach Leibnitz beschreiben.
Oder, aus einer etwas anderen Perspektive: Zufällig ist für mich die Folge der Zahlen beim Roulette (sofern das Casino fair spielt). Diese Zufälligkeit äußert sich darin, dass ich - gegeben beispielsweise 100 Euro Startkapital -, es ohne hellseherische Fähigkeiten nicht sicher schaffen werde, mein Kapital beim Roulettespiel  beliebig groß werden zu lassen. Wäre nun allerdings der Roulettetisch defekt und würde die Ziffern von Pi eine nach der anderen anzeigen, dann wäre es für mich mit hinreichend guten Kopfrechenfähigkeiten ein Leichtes, in jeder Runde zu gewinnen.

Von diesem Standpunkt aus genügt es für eine Zahl also nicht, normal zu sein, damit sie im intuitiven Sinne zufällig ist. Man betrachtet solche verschärften Zufälligkeitsbegriffe in der theoretischen Informatik, wo sie auf dem Prinzip der Berechenbarkeit beruhen (und natürlich ist auch die Definition von "Regelmäßigkeit" als "algorithmisch beschreibbare / berechenbare Regelmäßigkeit" eine, die sich noch weiter verschärfen ließe).

Viele Grüße,
Bilbo\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 03. November 2009 14:14:52
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Hallo Bilbo!

Ich habe damit auch manchmal Schwierigkeiten. Aber hier ist mit "zufällig" nicht gemeint "nicht voraussagbar" (was ja bei Pi theoretisch möglich ist), sondern hier wird danach gefragt, ob diese Ziffernfolge die gleichen Eigenschaften hat, wie eine Zufallsfolge, also wenn Du sie z.B. aus einer Urne gezogen hättest.
Es gibt im Gegenteil dazu sogar sehr regelmäßige irrationale (sogar transzendente) Zahlen:
1,10100100010000100000100000010000000100... oder
0,123456789101112131415161718192021222324...

Bernhard
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Hans-Juergen am: Di. 03. November 2009 16:43:05
\(\begingroup\)
@ Bernhard und Bilbo
Danke für die freundlichen Worte, Bemerkungen und weiterführenden Hinweise.

Der Artikel enthält am Ende indirekt zwei kleine Aufgaben, auf die bisher noch niemand eingegangen ist. Dazu hier nur kurz: Wenn die angegebenen Pi-Dezimalen mit den Ausfällen eines idealen Glücksrades für die Ziffern 0 bis 9 verglichen werden können, sind beim ersten Test 95 Blöcke und beim zweiten 17 mit der jeweils genannten Eigenschaft zu erwarten; die Auszählung ergibt 96 bzw. 13 Blöcke.

Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Delastelle am: Di. 03. November 2009 18:12:33
\(\begingroup\)
Hallo,

mit der Begründung "da ist zuwenig Mathematik drin" könnte man auch viele Montagsreporte kritisieren. Aber warum soll ein Artikel nicht auch mal mehr Unterhaltung oder populäre Wissenschaft sein?

Viele Grüße
Ronald
\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Hans-Juergen am: Di. 03. November 2009 18:37:03
\(\begingroup\)
Danke, Ronald, für Deine Unterstützung.

Mit Vergnügen stöberte ich auf den reichhaltigen französischen Kryptographie-Seiten von M. Didier Müller, deren URL Du bei Deinen MP-Personalien angegeben hast.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 03. November 2009 19:05:10
\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen!

Auf den ersten Blick scheint diese Abweichung eine Art von Rhythmus zu suggerieren. Ich würde aber nicht allzu voreilig urteilen.
Was kommt z.B. heraus, wenn Du die Blöcke verschiebst? Also erst mit der zweiten oder dritten Nachkommastelle anfängst aufzuteilen?
Probe a) 4159 2653 5897 9323 ... (1 Stelle verschoben)
Probe b) 1592 6535 8979 3238 ... (2 Stellen verschoben)
Oder wenn Du nur jeden zweiten Block, aber bis 2000 auszählst?
Probe c) 1415 3589 3846 3832 2884 ...
Wenn wirklich eine Gesetzmäßigkeit mit 4 dahintersteckt, sollte bei a) ein anderes Ergebnis herauskommen, bei b) müßten es entsprechend mehr sein (21), weil jetzt die äußeren und inneren Zifern vertauscht sind. Bei c) sollte aber wieder das gleiche herauskommen.

Ähnliche Gegenproben könnte man sich für die Dreierblöcke überlegen.

Schließlich möchte ich nochmals darauf hinweisen, was ich oben bereits erwähnt habe: Daß Zufallsfolgen eben auch beliebig große Teil(!)bereiche enthalten können, die von der anzunehmenden Zufälligkeit abweichen.

Viele Grüße, Bernhard

PS.: Zu der Zufälligkeit von Zahlenfolgen und insbesondere von Pi hatte ich hier mal einen Thread aufgemacht - und ganz interessante Antworten bekommen:
Was versteht man unter "Zufallszahlen"?

\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Hans-Juergen am: Mi. 04. November 2009 14:29:35
\(\begingroup\)
Hallo Bernhard,

Du hast natürlich recht: bei dem 2. Test ändert sich die Anzahl der besonderen Blöcke, wenn man anders anfängt. Beginnt die Untersuchung z. B. nicht mit 1415 9265 und endet mit 6420 1989, sondern eine Stelle weiter rechts : 4159 2653 bis 4201 9893, dann kommen zwei Blöcke hinzu, und man hat insgesamt 15. Bei Verschiebung von Anfang und Ende um zwei Stellen sind es wieder 13, bei Verschiebung um drei Stellen 18 und bei Verschiebung um vier Stellen ebenfalls 13. Bei diesen vier Versuchen wird der theoretische Wert von 17 Blöcken mit der genannten Eigenschaft nur einmal überboten; ansonsten bleibt man deutlich darunter. Das aber kann – und wird – sich später ändern, falls sich die Dezimalen von Pi wie die regellosen Ausfälle beim (idealen) Glücksrad verhalten, was ja vermutet wird..

Und was das Auftreten längerer, scheinbar regelmäßiger Teilfolgen betrifft, nach denen es dann wieder unregelmäßig weitergeht, so gibt es bereits unter den ersten tausend Dezimalen von Pi eine diesbezügliche Merkwürdigkeit: sechs Neunen hintereinander!

Danke für den für den Link zu der von Dir 2006 begonnenden Diskussion mit interessanten Details.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Mi. 04. November 2009 14:42:46
\(\begingroup\)
Hallo Jürgen!

so gibt es bereits unter den ersten tausend Dezimalen von Pi eine diesbezügliche Merkwürdigkeit: sechs Neunen hintereinander!

Sechs Neuen hinternander sind genauso merkwürdig wie die Teilfolge 141592! :-D

Bernhard
\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: janschnei am: Mi. 04. November 2009 15:13:46
\(\begingroup\)
Hallo,

ich fand den Artikel durchaus ganz interessant.

Unabhängig, davon ob Pi nun die genannten Eigenschaften besitzt oder nicht, bin ich aber der Meinung, dass es in keinster Weise überraschend sein sollte, dass in einer "unendlich langen" Zahl jeder x-beliebige Botschaft vorkommt. Nehmen wir z.B. die von Bernhard erwähnte "Champernowne-Zahl"
0,12345678910111213141516... (Bernhard du hast die 11 vergessen ;) )
Daran ist nun wirklich nicht viel mysteriöses und doch enthält die Ziffernfolge ganz offensichtlich jede in Zahlen codierbare Information inklusive meines ganz persönlichen Lieblingsfilms und noch wilderer Dinge. Weiter ist diese Information sogar unendlich oft enthalten und es ist ein Leichtes die Position des ersten Auftretens exakt anzugeben ohne danach suchen zu müssen.

Übrigens sagt die Normalität einer Zahl rein gar nichts darüber aus, ob jede Ziffernfolge enthalten ist oder nicht. So kann ich beispielsweise die offensichtlich nicht normale Zahl
0,1020304050607080901000110012001300... (wie oben nur mit Nullen als Trennzeichen)
konstruieren, die immer noch die erwähnte Eigenschaft hat. Umgekehrt kann natürlich eine normale Zahl eine ganz bestimmte Ziffernfolge nicht enthalten (z.B. indem ich aus einer beliebigen normalen Zahl immer die Folge 0123456789 streiche).

Gruß, Jan


[edit]: Um sicher zu gehen, dass meine als zweites Beispiel konstruierte Zahl auch wirklich nicht normal ist, habe ich noch ein paar mehr Nullen hinzugefügt.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Hans-Juergen am: Mi. 04. November 2009 15:16:32
\(\begingroup\)
@ Bernhard,

na klar. Aber wußtest Du schon - um ein wenig vom Thema abzuschweifen -, daß die Folge 314159 entsteht, wenn man für die Buchstaben des Wortes "geheim" deren ASCII-Code aufsucht und davon jeweils die letzte Ziffer nimmt? ;-)

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: janschnei am: Mi. 04. November 2009 15:40:25
\(\begingroup\)
So, bevor mir jemand zuvor kommt, korrigiere ich mich gleich selbst:

Mein letzter Satz des vorherigen Beitrags ist falsch. Ich war davon ausgegangen, dass in einer normalen Zahl lediglich alle Ziffern gleichhäufig vorkommen müssen. Die Definition von Normalität setzt aber ein gleichhäufiges Auftreten jedes k-stelligen Ziffernblocks für alle k voraus.

Damit enthält eine normale Zahl per Definition alle endlichen Ziffernfolgen (wie leicht zu zeigen ist sogar unendlich oft). Es bleibt aber dabei, dass Normalität kein notwendiges Kriterium hierfür ist.

Gruß, Jan\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Mi. 04. November 2009 19:23:29
\(\begingroup\)
Hallo Jan!

Ich war davon ausgegangen, dass in einer normalen Zahl lediglich alle Ziffern gleichhäufig vorkommen müssen. Die Definition von Normalität setzt aber ein gleichhäufiges Auftreten jedes k-stelligen Ziffernblocks für alle k voraus.

Also ich glaube nicht, daß die Gleichhäufigkeit der Ziffern eine zwingende Bedingung sein muß. Das hatte ich oben bereits erwähnt. Wenn aber, wie in Deinem Beispiel, die Folge nach einem bestimmten Prinzip regelmäßig unterbrochen wird, ist das nicht der Fall.
Trotzdem sollten alle beliebigen Teilfolgen (z.B. Bilder und Texte) auch hier enthalten sein, da man aus jeder endlichen Zahlenfolge eine natürliche Zahl machen kann - und die muß ja irgendwann mal kommen. Aber "normal" würde ich sie trotzdem nicht mehr nennen.
Übrigens ist bei der "Champernowne-Zahl" die Gleichhäufigkeit der Ziffern auch nicht vorhanden. Da die Null in der ersten Stelle nie auftreten kann, ist sie unterrepräsentiert.

Viele Grüße, Bernhard

PS.: Danke für den Hinweis mit der fehlenden 11! Ich habe sie jetzt eingefügt. Am Charakter der Zahl selber hätte das aber nichts ausgemacht.. :-P

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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: janschnei am: Mi. 04. November 2009 20:03:54
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Hallo Bernhard,

ich glaube du hast mich falsch verstanden (oder ich dich). Ich meinte jedenfalls genau das, was du auch geschrieben hast. :)

Nur in einem möchte ich dir widersprechen: Die Champernowne-Zahl ist auf jeden Fall normal (Champernowne hat sie extra so konstruiert) und damit sind insbesondere die asymptotischen relativen Häufigkeiten der einzelnen Ziffern gleich. Die Null ist nicht unterrepräsentiert! Dass sie nie als erste Ziffer eines "Abschnitts" auftauchen kann, ändert daran nichts, da die Länge der Abschnitte gegen unendlich geht. Die Menge der "ersten Ziffern" ist damit vernachlässigbar klein gegen den Rest. Ich könnte auch vor jedem Abschnitt eine zusätzliche Null einfügen, ohne etwas an den relativen Häufigkeiten zu ändern .

Gruß, Jan\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Mi. 04. November 2009 22:08:52
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Hallo Jan!

Stimmt, was Du da von der Null sagst.

Interssant wird die Sache natürlich, wenn nicht alle Ziffern dabei sind.
Dazu folgendes Gedankenexperiment:
a) Wir nehmen die Ziffern 0 und 9 heraus uns ziehen dann eine Folge unter den Ziffern 1-8 aus meiner Urne.
Anschließend errechnen und bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit für die erste Probe (die mittlere Ziffer im Dreierblock ist größer als beide anderen).
b) Dann machen wir dasselbe Expriment mit den Ziffern 2-9. Die Wahrscheinlichkeit sollte dieselbe sein.
c) Jetzt nehmen wir stattdessen die 7 und die 8 heraus und ziehen aus den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,9. Jetzt wird die Wahrschienlichkeit größer geworden!

Nun könnte ich aber z.B. die Folge aus a) eindeutig auf die Folge c) abbilden, indem ich jede 7 durch eine 0 und jede 8 durch eine 9 ersetze.
 
Was ist passiert???

Viele Grüße, Bernhard

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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Ueli am: Sa. 07. November 2009 10:42:59
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Hallo Hans-Juergen,

nochmals zum Artikel: Lob und Kritik sind oft nicht sehr differenziert. Ich versuche das nachzuholen, weil ich finde, wenn man sich die Mühe macht einen Artikel zu schreiben, sollte man auch eine konstruktive Kritik erhalten.
Mir gefällt die Einleitung sehr gut, es wird eine gewisse Spannung aufgebaut. Leider wird diese dann nicht genügend aufgelöst. Der Artikel bricht unvermutet ab. Ich muss dazu allerdings sagen, dass ich den Abschluss auch immer am schwierigsten finde, vom Thema her gibt es ja auch kein happy-end.
Inhaltlich hätte es gut getan, den Begriff "normal" ausführlich darzulegen, denn das ist der zentrale Begriff des Artikels.
Viele mathematische Ausführungen werden zwar oft in der Kritik gefordert, werden aber dann gar nicht gelesen. Ich behaupte mal die wenigsten Leser werden komplizierte Ausführungen nachvollziehen mit zwei Ausnahmen:
- Sie brauchen die Beweise fürs Studium oder
- Sie kennen die Herleitungen schon so gut, dass sie nur schnell testen wollen, ob sie auch stimmen.
Der erste Grund kommt für deinen Artikel kaum in Frage. Den zweiten Grund finde ich gar nicht schlecht, Fehler können aufgedeckt werden. In diesem Artikel hätte es meiner Ansicht nach aber genügt, besser auf den einen Begriff einzugehen und vielleicht noch ein anderes Beispiel zu bringen.

Ich hoffe mein Kommentar war dir hilfreich
Gruss Ueli
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Sa. 07. November 2009 17:17:55
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Hallo Ueli!

Es liegt auch am Thema, das einerseits sehr fasziniert (mich jedenfalls), anderseits teilweise noch ungeklärt ist, so daß der Artikel in gewisser Hinsicht offen bleiben muß. Und damit auch zum Nachdenken anregt.
Andererseits hätte ich mir - genau wie Du - eine exaktere Definition gewünscht, was man unter "normal" in diesem Zusammenhang zu verstehen hat. Ich hatte da ja einige Beispiele gebracht, die es nötig machen, den Begriff genauer einzugrenzen oder zu erweitern. Aber irgendwie habe ich den Eindruck bekommen, in dieser Definition haben sich auch andere Mathematiker (noch?) nicht oder verschieden festgelegt.
Die Links zeigten jedenfalls auch nichts genaueres.

Kannst Du da noch was ergänzen oder finden?
Weißt Du was zu sagen, zu den Fragen, die ich noch eingebracht hatte?

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: huepfer am: Sa. 07. November 2009 19:51:10
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Hallo Bernhard,

einen Link habe ich Dir jetzt dazu herausgesucht, aber eine normale Zahl ist eine Zahl bei der jede Ziffernfolge endlicher Länge asymptotisch so oft in der Darstellung der Zahl vorkommt, wie das von ihrer Länge zu erwarten wäre.
Manche fordern zusätzlich, dass dies nicht und in der Dezimaldarstellung sondern in der b-adischen Darstellung zu jeder Zahl b gilt.

Hallo Bilbo,

aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und aus der Chaostheorie kenne ich den Begriff einer "zufälligen" Zahl folgendermaßen:
Eine Zahl heißt zufällig, wenn es für die Berechnung der n-ten Stelle der Zahl keinen weniger aufwendigen Weg gibt, als die n-1 Stellen davor zu berechnen. Auf normale Zahlen sollte das zutreffen.

@alle:
man kann zeigen, dass die Menge der nicht-normalen Zahlen Zahlen in IR eine lebesgue-Nullmenge ist. (möglicherweise gar abzählbar) Allerdings gibt es meines Wissens keine Zahl, von der bekannt wäre, dass sie normal ist im Sinne der erweiterten Definition. Laut Wikipedia ist die Champernowne-Zahl normal zur Basis 10, aber nicht zu anderen Basen. (de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl)

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: So. 08. November 2009 01:32:51
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Hi Felix.

Wikipedia ist nicht gleich Wikipedia :-)
en.wikipedia.org/wiki/Normal_number gibt sehr wohl Beispiele für normale Zahlen an: Chaitin's Konstante (die eigentlich viele Konstanten ist) und jede "algorithmisch zufällige" Zahl. Obwohl das zugegebenermaßen nicht sonderlich konkret ist, da diese Zahlen typischerweise nicht berechenbar sind (und auch sonst ziemlich wenig von dem haben, was sie haben sollten, um sie irgendwie "zugänglich" zu machen)
Es werden auch Hinweise gegeben, wo man konkretere Beispiele für normale Zahlen finden kann.
Es wird dort auch begründet, dass die nicht-normalen Zahlen - obwohl  Nullmenge - durchaus überabzählbar sind.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: So. 08. November 2009 19:44:54
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Hallo Gockel!
Bestätigtbsich damit nicht auch meine Vermutung, die ich oben schonmal geschrieben habe:
Aber irgendwie habe ich den Eindruck bekommen, in dieser Definition haben sich auch andere Mathematiker (noch?) nicht oder verschieden festgelegt.
Die Links zeigten jedenfalls auch nichts genaueres.

> jede "algorithmisch zufällige" Zahl
Hä? Algorithmisch und zufällig - wiederspricht sich das nicht?
Es sei denn, man betrachtet die Aktion des Würfelwerfens an sich als eine Art "Funktion" innerhalb eines Algorithmus - vergleichbar dem random o.ä. beim Programmieren. Nur richtiger Zufall ist das ja dort auch nicht. ;-)

Bernhard
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: So. 08. November 2009 20:36:18
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Hi Bernhard.

Die Wortwahl ist vielleicht nicht ideal, aber die Definition steht bei Wikipedia relativ eindeutig da. Grob formuliert ist eine Zahl algorithmisch zufällig genau dann, wenn es kein Programm gibt, dass die ersten n Stellen der Zahl ausrechnet und gleichzeitg "wesentlich kleiner" als n ist.
Man könnte das sinnvollerweise auch "algorithmisch inkompressibel" nennen, das spiegelt den Inhalt der Definition etwas besser wieder.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: So. 08. November 2009 23:08:13
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Hallo Gockel!

Danke für die Info!
Anders gesagt soll das wohl folgendes heißen:
Wenn die Zahl/Zahlenfolge sich weder ganz noch in einem Teilabschnitt einfacher darstellen läßt, als durch die Aufzählung ihrer Ziffern.
Das leuchtet ein.

Nur wie (oder ob) das mit der von Hans-Jürgen beschriebenen Prüfung über 3er- und 4er-Blöcke zu tun hat, verstehe ich nicht, da es sich dabei ja um eine statistische Beurteilung handelt.

Beispiel 1)
Nehmen wir aus Pi einen Bereich von 2000 Stellen heraus, der nur die Ziffern 0-7  enthält. Als normale "zufällige" Zahl sollte sie solche Bereiche ja haben.
Jetzt setzten wir diese 2000 Stellen den ersten Nachkommastellen voran. Jetzt macht ein anderer einen Häufigkeitstest der Ziffern, sagen wir in den ersten 1000 Stellen und wird sehr erstaunt darüber sein. Aber es hat sich nichts geändert am Status dieser Zahl.

Beispiel 2)
Wieder von Pi ausgehend, ersetzen wir jetzt jede 8 durch eine 0 und jede 9 durch eine 1. Die Chance für den 3er-Block-Test ist größer geworden! "Algorithmisch zufällig" ist die Zahl aber geblieben.

Beispiel 3)
Jemand kommt auf die Idee, die Zahl aus 3) als Darstellung auf der Basis 8 zu verstehen und überträgt sie ins Dezimalsystem.
Dann werden die Proben abermals anders ausfallen, obwohl die Übertragung in andere Zahlensysteme doch eine durchaus algebraische Umformung ist, die die Transzendenz und damit die angesprochenen Eigenschaften nicht berühren sollte.

Wo ist (m)ein Denkfehler?

Viele Grüße, Bernhard


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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: So. 08. November 2009 23:30:25
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Hi Bernhard.

Dein Beispiel 1. ist korrekt: Eine Überprüfung eines endlichen Abschnitts der Dezimalentwicklung (z.B. der ersten 2000 Zeichen) ist niemals ausreichend, um auf Normalität und/oder algorithmische Zufälligkeit zu testen. Auch nicht die Überprüfung ausschließlich kleiner Blöcke (3er und 4er z.B.)
Sonst wäre ja auch völlig unverständlich, wieso soviel noch unbekannt ist. Die ersten paar Milliarden Ziffern von Pi kennt man z.B. bestens, wenn es so einfach wäre, hätte man absolut kein Problem damit, die Normalität von Pi zu überprüfen.

Dein Beispiel 2. stimmt nicht. Da du damit jede 8 und 9 entfernst, sinken die Wahrscheinlichkeiten, dass 8 und 9 in der Dezimalentwicklung vorkommen auf 0, d.h. die Normalität der Zahl ginge flöten. Auch algorithmisch zufällig wäre die Zahl demzufolge nicht mehr (denn jede solche Zahl ist normal).

Dein Beispiel 3. verstehe ich nicht. Du willst die Dezimalentwicklung der Zahl aus 2. als Oktalentwicklung interpretieren, ja?
In wiefern ist das eine "algebraische Umformung" ? Der Wechsel der Basis lässt sich nicht durch Polynomfunktionen oder rationale Funktionen ausdrücken. Zumal da noch das Problem mit der Uneindeutigkeit der b-adischen Entwicklung besteht, sodass eine solche Abbildung überhaupt nur auf allen reellen Zahlen bis auf eine abzählbare, aber dichte Ausnahmemenge definiert ist.
Sowas gibts bei dem, was ich so unter "algebraischen Umformungen" verstehe, ja nun gleich gar nicht.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Mo. 09. November 2009 14:00:15
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Hallo Gockel!

Darauf lief ja meine Frage hinaus: Ist die "Normalität" an die Gleichwahrscheinlichkeit aller Ziffern gebunden?

Es ist doch jede aus einem Zufallsexperiment mit n Ziffern entstanden gedachte Zahl algorithmisch zufällig - unabhängig, ob ich diese als Zahl zur Basis n oder >n interpretiere.
Wenn ich jetzt, statt zu ersetzen einzelne Ziffern aus Pi einfach streichen würde, müßte das doch dem entsprechen.

Zu Deinem Hinweis zur "algebraischen Umformung":
Wir rechnen ja eher zufällig im Dezimalsystem. Hätten wir auf Leibniz gehört, hätten wir das Zwölfersystem, hätten wir auf die Computer gehört, das Dualsystem. :-P
Wenn die Umrechnung keine algebraische Umformung wäre, so müßte das bedeuten, daß es Zahlen gibt, die in einem System transzendent sind und in einem anderen nicht. Bei dem Gedanken bekomme ich aber Bauchschmerzen.. :-(

Viele Grüße, Bernhard


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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: Mo. 09. November 2009 14:57:04
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Hi Bernhard.

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mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 10. November 2009 00:05:33
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Hallo Gockel!

Das ist ein Konzept, das völlig unabhängig von Dezimal- oder sonstigen Entwicklungen funktioniert.
Genau darauf wollte ich hinaus.
Vielleicht war "algebraische Umformung" ein unglücklich oder mißverständlich gewählter Ausdruck. Ich meinte die Umrechnung oder besser Übertragung einer Zahl von einem in ein anderes Zahlensystem.
Ich wollte einerseits betonen, daß dadurch die Zahl anders aussieht und deshalb z.B. in diesen Blockprüfungen andere Ergebnisse zeigt, andererseits daß dadurch ihr Charakter hinsichtlich Transzendenz nicht berührt wird, was eben nur bei algebraischen Funktionen möglich ist.

Algebraisch bzw. transzendent zu sein, hat a priori mit b-adischen Entwicklungen ziemlich wenig am Hut.
Transzendenz muß dann wohl eine schwäbische Erfindung sein.. :-D
 
Viele Grüße, Bernhard
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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: Di. 10. November 2009 01:09:57
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mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 10. November 2009 13:50:38
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Hallo Gockel!

Ich muß zur Klärung eine Rückfrage stellen, vielleicht liegt mein Mißverständnis daran:

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Viele Grüße, Bernhard


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Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Gockel am: Di. 10. November 2009 13:56:05
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Das sind einfach zwei natürliche Zahlen größer 1. Die Tilde sagt nur "ich bin b-Tilde und nicht b". ;-)

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über Pi, den Zufall und das Leben
von: Bernhard am: Di. 10. November 2009 19:33:16
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Ach so, zur Unterscheidung wie eine Art Index.
Hab' ich mir fast schon gedacht, da ich keine andere Funktion darin erkennen konnte.

Vielen Dank!
Bernhard\(\endgroup\)
 

 
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