Mathematik: Algebraische Topologie 1
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Mathematik

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Algebraische Topologie 1 - Motivation



Kommt man zum ersten Mal mit algebraischer Topologie in Berührung, scheinen einige Resultate auf den ersten Blick wie Zauberei. Die verwendeten Methoden und Beweistechniken fallen geradezu vom Himmel, möchte man denken. Tatsächlich sind viele Ideen aber tatsächlich nur Weiterentwicklungen sehr naheliegender Überlegungen und Konstruktionen, die sich aus bestimmen Fragestellungen ganz natürlich ergeben.
Bevor die eigentliche Einarbeitung in die algebraische Topologie erfolgt, möchte ich daher den ersten Artikel nutzen, um einige dieser Ideen und Konstruktionen vorzuführen.

Es wird dabei unter anderem Beispiele aus Funktionentheorie, Graphentheorie und Fixpunkttheorie geben.



Was ist das eigentlich?



Der algebraischen Topologie und den meisten ihrer Ausprägungen wie etwa Homotopie-Gruppen, Homologien, Kohomologien, liegt der Gedanke zugrunde, topologische Objekte und Eigenschaften auf algebraische Entsprechungen abzubilden. Im einfachsten Fall sind das schlichtweg Zahlen, d.h. numerische Kenngrößen wie etwa die Betti-Zahlen eines Raumes. Es können aber auch komplexere Objekte etwa Gruppen oder Vektorräume sein, in denen die topologischen Informationen kodiert sind.

So wird etwa bei der (Ko)Homologie einem topologischen Raum X bzw. einem Paar (X,A) bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Unterraum A eine Folge von Moduln über einem festen Ring zugeordnet.
Das alleine ist natürlich lange keine eindeutige Beschreibung dafür, was "(Ko)Homologie" genau ist. Es gibt viele verschiedene Variationen dieses Themas. Eine Homologie- oder Kohomologie-Theorie zu definieren, ist auf vielfältige Weisen möglich. Je nach Anwendungsbereich sind auch verschiedene Varianten besser oder schlechter geeignet.
So arbeitet man im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten oftmals mit der de-Rham-Kohomologie. Besonders einfach gestrickte Räume wie Simplizial- und CW-Komplexe erlauben die Definition von simplizialer und zellulärer Homologie, die eine sehr einfache Berechnung erlaubt.
Für alle topologischen Räume ist die singuläre Homologie definiert, die zwar kompliziert direkt zu berechnen ist, dafür aber hervorragende mathematische Eigenschaften besitzt und sich daher für theoretische Überlegungen sehr gut eignet.
Es stellt sich oft heraus, dass speziellere Spielarten von Homologien nur isomorphe Varianten der singulären Homologie sind. Das trifft etwa auf die simpliziale und die zelluläre Homologie zu. So kommen eine vergleichsweise einfache Berechnung und gute abstrakte Eigenschaften gleichermaßen zum Tragen. Wir werden das später noch an konkreten Beispielen sehen.

Die vielfältigen Grundideen und Definitionsspielarten der Objekte der algebraischen Topologie spiegeln die ebenso vielfältigen Anwendungsbereiche und die verschiedenen Entstehungsgeschichten dieser Ideen wider.

Ich möchte diesen Artikel nutzen, um ein paar kurze, motivierende Beispiele für die Objekte und Grundgedanken der algebraischen Topologie zu geben.


Lokal-Global-Obstruktionen



Ein Aspekt, der in einigen (Ko)Homologien steckt, ist es, Zusammenhänge zwischen lokalen und globalen Eigenschaften eines Objekts zu untersuchen und Einschränkungen widerzuspiegeln, die sich dort ergeben.

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Weitere Beispiele für Lokal-Global-Obstruktionen sind etwa die Probleme von Cousin (siehe z.B. hier bei wikipedia), die ebenfalls durch eine geeignete Umformulierung auf kohomologische Objekte führen.


Windungszahlen



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Triangulierungen



In den vorangegangen Abschnitten haben wir bereits Invarianten gewisser topologischer Räume kennen gelernt, die als Homologie bzw. Kohomologiegruppen bezeichnet wurden.

Eine weitere bekannte Invariante ist die Euler-Charakteristik einer Fläche, die zu den historischen Wurzeln der algebraischen Topologie gehört.
Eine Möglichkeit, sie sich zu veranschaulichen, ist folgende: Man stelle sich eine endliche, glatte Fläche vor, d.h. eine kompakte, zweidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand. Viele Flächen (eigentlich alle, aber das ist schwer zu beweisen) lassen es zu, dass man sie "trianguliert", d.h. mit einem (nichtentarteten) Gitter aus Dreiecken überzieht.
Die Euler-Charakteristik solch einer Triangulierung ist nun die Zahl, die sich aus der bekannten Formel
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ergibt, wobei e die Anzahl der Knotenpunkte, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Flächen in unserer Triangulierung ist.
Man kann zeigen, dass die Eulercharakteristik nicht von der gewählten Triangulierung, sondern nur von der Geometrie der Fläche abhängt. So hat z.B. die Kugeloberfläche die Eulercharakteristik 2, die Oberfläche eines Torus jedoch 0.

Die Eulercharakteristik ist eine Homöomorphie-Invariante, denn ein Homöomorphismus zwischen zwei Flächen überführt eine Triangulierung der einen Fläche in eine Triangulierung der anderen und beide haben dieselbe Euler-Charakteristik. In der Tat stellt sich mit der entsprechenden Maschinerie in der Hinterhand heraus, dass sie, wie die vorangegangenen Beispiele ebenfalls, sogar eine Homotopie-Invariante der Fläche ist.

Hat man also eine Methode zur Berechnung dieser Euler-Charakteristiken zur Hand, kann man sie ggf. nutzen, um zwei Flächen topologisch zu unterscheiden.


Euler-Charakteristiken treten nicht nur in der Topologie auf. Sie sind mit geeigneten Methoden für sehr allgemeine Räume definierbar, die teilweise gar nicht mehr unbedingt topologische Räume sein müssen.
So führt der Versuch, die Idee der Triangulierungen ins Höherdimensionale zu verallgemeinern, sehr schnell zum Konzept des Simplizialkomplexes. Dabei werden die Punkte, Kanten und Dreiecke aus obigen Vorgehen durch Simplizes verschiedener Dimensionen ersetzt.
Was ein Simplex dabei genau ist, hängt von der Sichtweise auf dieses Konzept ab. Geometrisch mag man sich unter einem n-Simplex eine homöomorphe Kopie des Standard n-Simplex
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vorstellen.
Für topologische Räume, die sich auf eine gutartige Weise aus endlich vielen Simplizes zusammensetzen lassen, lässt sich nun ebenfalls die Euler-Charakteristik definieren. Für triangulierbare Flächen kommt wieder die obige Definition heraus.

Da man auf Simplizialkomplexe nicht nur geometrisch schauen kann, das Konzept im Gegenteil viel allgemeiner anwendbar ist, etwa in der Kombinatorik, lassen sich so Mittel der algebraischen Topologie auf auf andere Bereiche der Mathematik anwenden.
So ist etwa die Eulersche Polyeder-Formel e-k+f=2, die für planare Graphen gilt, bei geeigneter Sichtweise nur eine Umformulierung der topologischen Tatsache, dass die Euler-Charakteristik der Sphäre gleich 2 ist.
Gewissen Objekten der diskreten Mathematik wie partiellen Ordnungen lassen sich auf kanonische Weise Simplizialkomplexe zuordnen.
Hinreichend verallgemeinert tritt das Konzept z.B. auch in der Kategorientheorie auf.


Der Abbildungsgrad



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Weitere Anwendungen der Eigenschaften des Abbildungsgrades sind klassische Aussagen der algebraischen Topologie wie etwa die Invarianz der Dimension, der Satz über die Gebietstreue und der Brouwersche Fixpunktsatz:
Invarianz der Dimension

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Satz von der Gebietstreue

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Brouwer'scher Fixpunktsatz

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Sätze wie diese, die bereits Brouwer bekannt waren, und viele weitere, die sich mit Hilfe des Abbildungsgrades beweisen lassen, haben wesentlich zur Entwicklung der algebraischen Topologie beigetragen und zeigen, wie man mächtige Resultate mit den Mitteln der algebraischen Topologie gewinnen kann, solange man sich nur auf die etwas aufwändige Vorarbeit einlässt, die dafür zu leisten ist.

Den Satz von der Invarianz der Dimension und den Brouwerschen Fixpunktsatz werden wir im Laufe der folgenden Artikel auch noch beweisen, allerdings mit homologischen Methoden und nicht mit Hilfe des Abbildungsgrades.


Wie es weitergeht



Man könnte sicherlich noch viel, viel mehr Beispielanwendungen aufzeigen, die die Ideen hinter der algebraischen Topologie motiviert haben. Ich will es aber vorerst dabei bewenden lassen und hoffe, dass ich eine gute Motivation zum Weiterlesen gegeben habe.

Wir werden uns im nächsten Artikel der Reihe mit einem sehr vielfältig einsetzbaren Konstrukt der algebraischen Topologie auseinandersetzen, nämlich mit dem Konzept der Homologie und Kohomologie topologischer Räume.

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Die Reihe "Algebraische Topologie"



Inhaltsverzeichnis
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: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Windungszahlen :: Integration :: Vektoranalysis :: Abbildungsgrad :: Eulerscher Polyedersatz :: Funktionentheorie :: Graphentheorie :: Fixpunkte :: Reine Mathematik :: Homologie und Kohomologie :
Algebraische Topologie 1 [von Gockel]  
Dieser Artikel stellt den ersten Teil der Serie Algebraische Topologie dar und führt mit motivierenden Beispielen in die Ideen einiger Konstruktionen aus der Alg.Topologie ein. Beispiele aus Analysis, Funktionentheorie, Kombinatorik und anderen Bereichen werden gegeben.
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"Mathematik: Algebraische Topologie 1" | 2 Comments
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Re: Algebraische Topologie 1
von: Redfrettchen am: Sa. 14. November 2009 20:39:58
\(\begingroup\)
Sehr schön!

Algebraische Topologie möchte ich auch irgendwann einmal lernen :)\(\endgroup\)
 

Re: Algebraische Topologie 1
von: Curufin am: So. 15. November 2009 14:48:38
\(\begingroup\)
Hallo,

was mir an dem Artikel besonders gut gefällt, ist, dass er eine Lücke schließt, welche mir häufig in der Literatur begegnet ist.
Machen wir uns nichts vor: Die Methoden der algebraischen Topologie sind abgefahren. Es kommt nicht von ungefähr, dass die Kategorientheorie aus der algebraischen Topologie entstanden ist, um mit der Abstraktion fertig zu werden.
Trotzdem oder vielleicht auch gerade deswegen wird in der Literatur recht wenig motiviert, woher das alles kommt. Man baut erst eine riesige und furchtbar komplizierte Maschinerie auf und rechtfertigt diese erst im Nachhinein.
Vielen mag das genügen. Mir geht es aber so, dass ich wissen will: Hey, was kann ich Cooles mit dieser Theorie anstellen? Wo sind die bisher ungeahnten Zusammenhänge? Natürlich kann man diese Fragen letztendlich nur dann befriedigend beantworten, wenn man sich die Theorie aneignet. Dennoch finde ich eine Motivation, was man denn mit der Theorie grob anstellen kann, ziemlich wichtig.
Und genau auf diese Frage geht der Artikel ein.

Daumen hoch von mir dafür.

VG
Curufin\(\endgroup\)
 

 
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