Mathematik: Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden
Released by matroid on So. 29. November 2009 12:31:15 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden Vorbemerkung: Mehrere in letzter Zeit auf dem Matheplaneten erschienene Artikel erfordern sehr spezielle Kenntnisse und sind dadurch vermutlich nur relativ wenigen verständlich. So ist es vielleicht ganz angenehm, zur Abwechslung wieder etwas Einfacheres zu lesen. Mein Thema sind zunächst nochmals die Hüllkurven, Einhüllenden oder Enveloppen, die auch schon in [1] und [2] behandelt wurden; darauf werde ich gelegentlich zurückgreifen. Bei fast allen der bisher betrachteten Beispiele bestanden die Scharen, zu denen die Hüllkurve gesucht wurde, aus geschlossenen Kurven (Ellipsen, Kreisen und anderen); nur beim letzten Beispiel von [1] handelte es sich um eine Geradenschar. Mit einer solchen möchte ich hier fortfahren.

Die Schargeraden sollen die Achsen so schneiden, daß die Summe der Achsenabschnitte xo und yo konstant bleibt, xo+yo=c, wobei das Vorzeichen zu berücksichtigen ist. So gehören, wenn z. B. c=5 ist, die beiden Geraden g1 mit xo=2, yo=3 und g2 mit xo=7, yo=-2 zu der Schar. Nimmt man mehr von ihr hinzu, entsteht dieses Bild: Bild Die rote Kurve sieht aus wie eine Parabel. Daß sie tatsächlich eine ist, soll jetzt gezeigt werden. Sei y=mx+b die Gleichung einer Geraden der Schar, dann schneidet sie die x-Achse bei x_o=-b/m und die y-Achse bei y_o=b. Aus x_o+y_o=c folgt m=b/(b-c), und durch Einsetzen in die Geradengleichung ergibt sich y=b/(b-c)|x+b. Dies ist die Gleichung der gesamten Geradenschar; b ist der Scharparameter und c eine Konstante. Die Schargleichung kann man schreiben als y-b/(b-c)|x-b=0, und dafür schreibt man abkürzend F(x,y,b)=0. Um auf die Einhüllende der Schar zu kommen, ist die partielle Ableitung von F nach b gleich 0 zu setzen. Wir erhalten - ((b-c-b)*x)/(b-c)^2-1=0, woraus b=+-sqrt(cx)+c folgt. Einsetzen in die Schargleichung ergibt die Gleichung der Hüllkurve; sie enthält nicht mehr den Parameter b : y=+-2 sqrt(cx)+x+c. Das ist die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel, der eine um c verschobene Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten überlagert ist. Führt man ein neues x^- , y^- -Koordinatensystem ein, das gegenüber dem gegebenen x,y-System um -45° gedreht ist, ergibt sich in ihm die Gleichung einer nach oben geöffneten und verschobenen, zur y^--Achse symmetrischen Parabel: y^-=x^-^2/(sqrt(2)|c)+c/(2|sqrt(2)). Bild
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Als nächstes betrachte ich eine Geradenschar, bei der das Produkt der Achsenabschnitte konstant ist: xoyo=c2. Analog zum Vorgehen bei der Parabel ergibt sich für die Einhüllende y=c2/(4x), d. h. die Gleichung einer Hyperbel mit folgendem Bild: Bild Kontrollieren kann man an der grünen und roten Gerade, daß in diesem Fall xoyo=16 ist, die gezeichnete Hyperbel also die Gleichung y=4/x hat.
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Bei der Geradenschar mit der etwas komplizierteren Beziehung b2xo2+ a2yo2= xo2 yo2 zwischen den beiden Achsenabschnitten (a, b konstant) ergibt sich nach demselben Schema die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b: x^2/a^2+y^2/b^2=1. Bild Die grüne Gerade erfüllt die Auswahlbedingung für die beiden Achsenabschnitte in der Form b2/yo2+a2/xo2=1. Wir lesen ab xo=6 und schätzen yo=5,4. Dann ist mit a=5, b=3: 9/5.4^2+25/36=1.003, wie es (angenähert) sein soll.
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Wenn man eine bestimmte Kurve zusammen mit den sie einhüllenden Geraden haben möchte, ist es, von Ausnahmen abgesehen, sehr schwierig bis unmöglich, sich eine Beziehung zwischen ihnen auszudenken, die genau die gewünschte Kurve ergibt. Viel einfacher ist es dagegen, man beginnt mit dieser und bestimmt die Schar ihrer Tangenten. Liegt die Gleichung der Hüllkurve in kartesischen Koordinaten und in expliziter Form y=f(x) vor, und ist P(xp,yp) ein Punkt, in dem eine beliebige Gerade der Schar die Kurve berührt; ist außerdem X(x,y) ein anderer Punkt auf dieser Tangente, dann gilt (y-y_p)/(x-x_p)=f'(x_p), \mixoff wobei f '(xp) die Ableitung der Hüllkurve an der Stelle xp bedeutet. Hieraus ergibt sich y = f '(xp) x - f '(xp) xp + f(xp) , und das ist die gesuchte Gleichung der einhüllenden Geradenschar mit xp als Parameter. Dies können wir bei der "Versiera" oder "Locke der Agnesi" [3] mit der Gleichung y=a/(1+x2) anwenden: Bild Die Tangenten verlaufen wegen der beiden Wendepunkte oberhalb und unterhalb der Kurve. Ihre Gleichung lautet: y=a/(1+x_p^2)^2*(-2x_p x+3 x_p^2+1) . \mixoff
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Bei der folgenden dekorativen Figur ist im unteren Bereich die Kurve mit der Spitze nicht die Hüllkurve von Geraden, sondern von gleich langen Strecken. Sie enden auf einer weiteren Kurve, die Ähnlichkeit mit einer Ellipse hat: Bild Abschließend eine Figur, die ebenfalls aus lauter Strecken besteht und einen eigentümlich-räumlichen Eindruck vermittelt: [4] \geo e(500,500) x(-1.5,1.5) y(-2.8,2.8) f(1,1,black) c(aqua) param(alpha,0,280,2,deg2rad) kurve(cos(alpha),sin(alpha)/4+2,k1) kurve(cos(80+alpha)/2,sin(80+alpha)/6.5-2,k2) makro(verb,p(k1,%1,p%{1}1,hide)p(k2,%1,p%{1}2,hide)s(p%{1}1,p%{1}2,,nolabel)) makro(verbx,verb(%{1}00)verb(%{1}05)verb(%{1}10)verb(%{1}15)verb(%{1}20)verb(%{1}25)verb(%{1}30)verb(%{1}35)verb(%{1}40)verb(%{1}45)verb(%{1}50)verb(%{1}55)verb(%{1}60)verb(%{1}65)verb(%{1}70)verb(%{1}75)verb(%{1}80)verb(%{1}85)verb(%{1}90)verb(%{1}95)) makro(verbx2,verb(%{1}00)verb(%{1}05)verb(%{1}10)verb(%{1}15)verb(%{1}20)verb(%{1}25)verb(%{1}30)verb(%{1}35)verb(%{1}40)verb(%{1}45)verb(%{1}50)verb(%{1}55)verb(%{1}60)verb(%{1}65)verb(%{1}70)verb(%{1}75)verb(%{1}80)) verbx(0) verbx(1) verbx2(2) \geooff geoprint() Hans-Jürgen [1] Über Hüllkurven [2] Die Kardioide als Hüllkurve [3] Kurvenverwandtschaft bei w=1/z Fig. 5 u. 2 Disk.beiträge v. 21.6. [4] fedgeo Parameterkurven Beitrag Nr. 49 von Matroid
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Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden [von Hans-Juergen]  
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"Mathematik: Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden" | 3 Comments
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Re: Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden
von: FlorianM am: So. 29. November 2009 12:39:38
\(\begingroup\)Netter, kleiner Artikel! 😄 Viele Grüße Florian\(\endgroup\)
 

Re: Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken erzeugt werden
von: kostja am: Mo. 30. November 2009 07:35:05
\(\begingroup\)Endlich mal wieder ein Artikel, den ich lesen wollte. 😄 Vielen Dank!\(\endgroup\)
 

Re: Über Kurven und Figuren, die von Geraden und Strecken er
von: Ex_Mitglied_25521 am: So. 06. Dezember 2009 22:48:00
\(\begingroup\)Interessant und vor allem einfach zu verstehen =) gefällt mir ;)\(\endgroup\)
 

 
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