Mathematik: Über Ketten- und Stammbrüche
Released by matroid on So. 03. Januar 2010 20:48:37 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Über Ketten- und Stammbrüche Bei dem - leider erfolglosen - Versuch, eine von Buri gestellte Aufgabe zu lösen, suchte ich im Internet nach einem Zusammenhang zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Reihen, fand aber außer ein paar Andeutungen kaum etwas dazu. Statt dessen stieß ich auf etwas wenig Bekanntes, über das hier kurz berichtet werden soll. Es handelt sich um Kettenbrüche in aufsteigender Form, wie sie von dem berühmten Mathematiker, Physiker und Astronom Christiaan Huygens (1629 - 95) bei seinen Untersuchungen von Planetenbewegungen und Zahnrädern verwendet wurden. Christiaan Huygens (Das Bild stammt aus Wikipedia und ist "gemeinfrei".)

Später scheint man wieder davon abgekommen zu sein. Viel mehr in Gebrauch sind heute die wohlbekannten absteigenden Kettenbrüche wie etwa dieser: 74/23=3+1/(4+1/(1+1/(1+1/2))) In der ausgedehnten Arbeit [1] über sie ist am Anfang von Abschnitt 2 ("Endliche Kettenbrüche") folgendes Beispiel eines aufsteigenden Kettenbruchs angeführt: 13/30=(1+(1+1/5)/5)/3|, auf den im weiteren Verlauf nicht mehr zurückgegriffen wird. Ein eigenes Beispiel soll zeigen, wie sich solch eine Form gewinnen läßt. 23/65~=0,345 ist etwas größer als 1/3, so daß man mit passendem, positivem x schreiben kann: 23/65=(1+x)/3 Nachrechnen ergibt x=4/65, und so entsteht: 23/65=(1+4/65)/3. 4/65~=0,0615 ist etwas größer als 1/17~=0,059, und es geht sinngemäß weiter mit 23/65=(1+(1+y)/17)/3|, wobei y=3/65 sein muß: 23/65=(1+(1+3/65)/17)/3|. 3/65~=0,046154 ist etwas größer als 1/22=0,0 45^-|, somit ist der nächste Schritt: 23/65=(1+(1+(1+z)/22)/17)/3|. Für z ergibt sich 1/65, und damit ist die Endform dieses aufsteigenden Kettenbruchs erreicht: 23/65=(1+(1+(1+1/65)/22)/17)/3|. Interessant ist nun, daß sich das Beispiel von [1], wie bereits dort erwähnt, und auch unser zweites Beispiel als Summe von Stammbrüchen schreiben lassen, d. h. Brüchen mit dem Zähler 1 und natürlichem Nenner. Mit ihnen rechneten gern die alten Ägypter. Es gilt 13/30=1/3+1/(3*4)+1/(3*4*5)=1/3+1/12+1/60 und 23/65=1/3+1/(3*17)+1/(17*65)=1/3+1/51+1/1105. Die Darstellung von Brüchen durch Stammbruchsummen ist nicht eindeutig, vgl. [2] mit einem diesbezüglichen, interaktiven Programm und weiteren Ausführungen dazu. Ein gesundes, gutes Neues Jahr 2010 wünscht allen Leserinnen und Lesern Hans-Jürgen. [1] Algorithmen für regelmäßige Kettenbrüche [2] Die Ägyptische Darstellung von Brüchen mit Stammbrüchen
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Über Ketten- und Stammbrüche [von Hans-Juergen]  
Bei dem - leider erfolglosen - Versuch, eine von Buri gestellte Aufgabe zu lösen, suchte ich im Internet nach einem Zusammenhang zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Reihen, fand aber außer ein paar Andeutungen kaum etwas dazu. Statt dessen stieß ich auf etwas wenig
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"Mathematik: Über Ketten- und Stammbrüche" | 7 Comments
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Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Bernhard am: Mo. 04. Januar 2010 00:51:11
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen! Das ist schon interessant, was Du da berichtest. Auf die Idee, die Kettenbrüche in die Zähler zu verlegen, wäre ich nie gekommen. Besonders schön ist auch Dein zweiter Link über die Darstellung von Brüchen mit Stammbrüchen. Ich habe zwar gewußt, daß diese nicht eindeutig ist, aber daß es teilweise so viele geben kann, hatte ich nicht geahnt. In diesem Zusammenhang noch zwei Fragen: 1.) Kann man die Zahl solcher aller Darstellungen für einen bestimmten Bruch berechnen (nicht ausprobieren!)? 2.) Gibt es überhaupt Brüche, die sich nur auf eine einzige Art als Summe von (verschiedenen) Stammbrüchen darstellen lassen? 3.) Könnte man eine eindeutige Darstellung bekommen, wenn man bestimmte Einschränkungen vornimmt? Ich denke insbesondere daran, daß man z.B. nur Primzahlen im Nenner zuläßt, aber dafür die gleiche Summanden auch mehrmals auftauchen dürfen. Vielen Danke für Deine Anregungen! Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Hans-Juergen am: Mo. 04. Januar 2010 10:55:34
\(\begingroup\)Ergänzungen: 1. Der aufsteigende Kettenbruch unseres letzten Beispiels läßt sich in einer Zeile übersichtlich so schreiben: 23/65 = (1+(1+(1+1/65)/22)/17)/3 . 2. Während man für einen anderen Bruch, nämlich 85/384, mit Hilfe des Interaktiv-Programms in [2] diese Darstellung als Summe von Stammbrüchen erhält: 85/384=1/5+1/47+1/12892+1/290843520 , ergibt sich über den Kettenbruch 85/384=(1+(1+(1+1/64)/15)/10)/5 = (1+(1+(1+1/64)/15)/10)/5 für ihn: 85/384=1/5+1/50+1/750+1/48000 mit erfreulich "glatten" Nennern. Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Kay_S am: Mo. 04. Januar 2010 22:37:17
\(\begingroup\)Es gibt unendlich viele Stammbruchentwicklungen. Denn hat man eine Entwicklung a/b = 1/m + ... + 1/n (1/n ist der kleinste Bruch) gefunden, so bekommt man mit 1/n = 1/(3n) + 2/(3n) eine neue Zerlegung, wobei 2/(3n) nach dem Greedy-Prinzip (wie im Beitrag von Hans-Juergen) weiter zerlegt wird (der Greedy-Algo bricht immer ab, da der Zähler verringert wird). Zu den ägyptischen Brüchen ist vielleicht auch das Applet auf meiner Webseite (Link) interessant 😄\(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Wauzi am: Di. 05. Januar 2010 01:17:54
\(\begingroup\)Eine sehr interessante und mir neue Betrachtungsweise von Kettenbrüchen. Diese Darstellungen muß man erstmal entdecken. Eine kleine Anmerkung zum Thema Stammbrüche: Die für mich schönste Eigenschaft ergibt sich aus dem Problem, die 1 von unten durch eine Summe verschiedener Stammbrüche optimal anzunähern. Es gibt eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen , so daß die Summe der Kehrwerte der ersten n Glieder die beste Annäherung der Zahl 1 mit n Stammbrüchen ist. (Annäherung heißt hier kleiner als 1). Das Bildungsgesetz ist leicht herauszubekommen. Ersetzt man den letzten Wert der n Folgenglieder durch den um 1 verminderten Wert, ergibt die oben beschriebene Summe genau den Wert 1. Diese Eigenschaft gilt für alle n \(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Bernhard am: Di. 05. Januar 2010 23:45:24
\(\begingroup\)Hallo Wauzi! Meinst Du die Potenzen von Zwei mit dem Exponent n>0 ? Also im Prinzip die Achilles-Annäherung ohne den Vorsprung der Schildkröte? 😁 Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Wauzi am: Mi. 06. Januar 2010 00:34:31
\(\begingroup\) Hallo Bernhard, nein, es geht um die Folge 1/2, 1/3, 1/7, 1/43 usw. Z.B ist 1/2+1/3+1/7 die beste Annäherung an die 1 mit drei Stammbrüchen Ersetzt man 1/7 durch 1/6 ergibt sich genau 1. Die Folge läßt sich rekursiv definieren. Es gibt keine zweite Folge von Stammbrüchen, die die 1 besser annähert. Der Beweis hierfür ist nicht einfach. Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: Über Ketten- und Stammbrüche
von: Bernhard am: Do. 07. Januar 2010 13:44:26
\(\begingroup\) Hallo Wauzi! 1/2 + 1/3 + 1/3 = 1 Übrigens hat jede vollkommene Zahl diese Eigenschaft, daß die Kehrwerte ihrer Teiler (mit der Zahl, aber ohne die Eins) zusammen 1 ergeben: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496 = 1 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/127 + 1/257 + 1/508 + 1/2032 + 1/4064 + 1/8128 = 1 ... Hierbei entspricht die Folge dann immer mehr den Kehrwerten der Zweierpotenzen. Die jeweils erste Hälfte davon bis auf eine sind es sogar immer. Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

 
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