Mathematik: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Released by matroid on Do. 19. Mai 2011 12:53:53 [Statistics]
Written by DanielW - 9253 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Analysis

\(\begingroup\) Obwohl ich erst relativ kurze Zeit auf dem Matheplaneten aktiv bin, fiel mir auf, dass Hilfesuchende bei einem ganz bestimmten Thema die Suchfunktion scheuen wie der Teufel das Weihwasser. Daher soll mein zweiter (es sollte ursprünglich der erste werden) Artikel von dem engumrissenen und häufig nachgefragten Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenität vom Pseudopolynomtyp" handeln. Einerseits soll dem Anwender ein präzises Rezept an die Hand gegeben werden, um derartige Problem schnell und effizient zu bewältigen, andererseits sollen die Methoden auch fundiert werden. Hierbei werden lediglich Grundkenntnisse der linearen Algebra vorausgesetzt, wie sie in Anfängervorlesungen des ersten Studienjahres vermittelt werden. Dieses Thema ist technisch relevant, da die Modellklasse des gedämpften harmonischen Oszillators mit periodischem Antrieb (und damit z.B. auch der elektrische Schwingkreis) hierunter fällt, den wir auch am Ende des Artikels besprechen. Oder pragmatisch betrachtet: solche Aufgaben lösen zu können sichert leichte Klausurpunkte ;-)

1. Definition

\ Unter einer homogenen linearen Differentialgleichung n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten verstehen wir eine Gleichung der Form y^(n) + a_(n-1) y^((n-1)) + ... + a_1 y' + a_0 y = 0 mit a_i \in \IC für eine Funktion y\in C^n\.(I), I\subset \IR. Mit dem Differentialoperator D:C^\inf->C^\inf; y\mapsto y' schreiben wir die Differentialgleichung kompakt als P(D)(y)=0 mit einem Polynom P(X)=sum(a_i X^i,i=0,n) , a_n=1. Bemerkung: Sind y_1, y_2 Lösungen der Differentialgleichung, so ist aufgrund der Linearität a y_1 + b y_2 für alle a,b\in\IC ebenfalls eine Lösung. Da die Nullfunktion trivialerweise eine Lösung ist, bilden alle Lösungen einen Vektorraum.

2. Der Lösungsraum der homogenen Gleichung

Da jedes Polynom mit konstanten Koeffizienten über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt, können wir uns mit Hilfsmitteln aus der linearen Algebra (Satz über die Primärzerlegung) relativ einfach eine Basis des komplexen Lösungsraums beschaffen. \ Satz \(Struktur des komplexen Lösungsraums). Die Differentialgleichung P(D)(y)=0 hat über \IC einen n\-dimensionalen Lösungsraum. Ist P(X)=prod((X-\lambda_i)^(m_i),i=1,r) mit paarweise verschiedenen \lambda_i\in\IC und \sum(m_i,i=1,r)=n, so ist eine Basis des Lösungsraums gegeben durch L=menge(x^i exp(\lambda_j x)|j=1,..,r, i=0,...,m_(j-1)). Beweis: Wir verwenden den Satz über die Primärzerlegung \(siehe Anhang). V_j = ker (D-\lambda_j \I1)^(m_j) seien die höheren Eigenräume, dann gilt L=ker P(D) = V_1 \oplus ... \oplus V_r. Wir müssen also nur noch zeigen, dass für ein gewisses V_j die Basis die Gestalt menge(x^i exp(\lambda_j x)|i=0,...,m_(j-1)) hat. Für \lambda_j = 0 gilt V_j=ker(D-\lambda\I1)^m=ker D^m, also V_j=menge(x^i|i=0,...,m_(j-1)). Ist \lambda_j != 0, so sieht man zunächst induktiv, dass (D-\lambda\I1)^m (f(x) exp(\lambda x))=(D^m f)(x) exp(\lambda x) gilt. Multiplikation mit der Funktion \exp(\lambda x) ist aber andererseits ein Automorphismus von C_\IK^\inf\.(I), sodass also folgendes Diagramm kommutiert: define(labelXA,C_\IK^\inf\.(I)) define(labelAO,C_\IK^\inf\.(I)) define(labelYB,C_\IK^\inf\.(I)) define(labelBO,C_\IK^\inf\.(I)) define(pd,exp(\lambda x)) define(pd2,exp(-\lambda x)) define(fast,D^m) define(fAast,(D-\lambda\I1)^m) \geo konst(dx,0.4) konst(dy,0.2) makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) x(-0.4,2.1) y(-0.4,1.7) ebene(350,160) noaxis() nolabel() punktform(.) node(0.0,1.5,XA) node(1.5,1.5,AO) node(0.0,0.0,YB) node(1.5,0.0,BO) print(\labelXA,-0.35,1.6) print(\labelAO, 1.2,1.6) print(\labelYB,-0.35,0.1) print(\labelBO, 1.2,0.1) print(\pd, 0.7, 1.75) print(\fast,-0.3, 0.9) print(\fAast,1.6, 0.9) print(\pd2, 0.7,-0.1) punktform(of) pfeil(XA.E,AO.W) pfeil(XA.S,YB.N) pfeil(AO.S,BO.N) pfeil(YB.E,BO.W) \geooff geoprint() Somit sind ker D^m und ker (D-\lambda\I1)^m dimensionsgleich und die Behauptung folgt aus dem Fall für \lambda_j=0. Bemerkung \(Struktur des reellen Lösungsraums). Sind in der Differentialgleichung alle a_i \in\IR, so gilt (P(X))^- = P(X^-), d.h. komplexe Nullstellen von P kommen nur in komplex konjugierten Paaren vor. Ersetzt man nun für \lambda=a+ib, a,b\in\IR, Paare der Form x^k exp(\lambda x) und x^k exp(\lambda^- x) mit Hilfe der Eulerformel durch x^k exp(ax)sin(bx) und x^k exp(ax)cos(bx), so hat man eine n\-dimensionale reelle Lösungsbasis \(die natürlich weiterhin auch als komplexe Lösungsbasis verwendet werden kann).

3. Lösungsmethode für die inhomogene Gleichung

In diesem Abschnitt wollen wir nun letztlich spezifizieren, was man in der anwendungsorientierten Literatur häufig unter einem "Ansatz vom Typ der rechten Seite" versteht. Damit haben wir alle Werkzeuge an der Hand, um jede inhomogene Differentialgleichung dieses Typs zumindest im Prinzip lösen zu können - technische Schwierigkeiten können sich dann nur noch bei der Nullstellensuche für das charakteristische Polynom ergeben. \ Definition. Ist F(x) ein Polynom, so nennen wir Ausdrücke der Form F(x)\.exp(\mue x) Pseudopolynome. Satz. Für eine Inhomogenität vom Pseudopolynomtyp F(x)\.exp(\mue x) ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung P(D)(y)=F(x)\.exp(\mue x) gegeben durch y(x)=x^m G(x) exp(\mue x), wobei gilt P(X)=(X-\mue)^m Q(X), Q(\mue)!=0, G(x)=sum(a_i x^i,i=0,k), k=grad F. Beweis. Der Beweis erfolgt durch kunstloses Nachrechnen mit der Produktregel: P(D)(x^m G(x) exp(\mue x))=Q(D)(D-\mue)^m (x^m G(x) exp(\mue x)) =Q(D)(D^m(x^m G(x)) exp(\mue x)) = Q(D)(H(x) exp(\mue x)) =Q(D)(H(x)) exp(\mue x) + H(x) Q(\mue) exp(\mue x) =exp(\mue x) (Q(D)(H(x)) + H(x) Q(\mue)) Hierbei ist H(x) ein Polynom vom selben Grad wie G \(und damit wie F) mit ebensovielen freien Parametern, Q(D)(H(x)) hat auch maximal denselben Grad wie F. Damit ist das aus Q(D)(H(x)) + H(x) Q(\mue) = F(x) durch Koeffizientenvergleich folgende lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar.

4. Beispiele

\ 1) y^(4) +4y^(2) +4y =0 Hier ist das charakteristische Polynom P(X)=X^4+4X^2+4=(X^2+2)^2=(X+\sqrt(2)i)^2(X-sqrt(2)i)^2. Die doppelte Nullstelle \sqrt(2)i liefert für die Lösungsbasis die Funktionen exp(\sqrt(2)i x) und x exp(\sqrt(2)i x), analog für -\sqrt(2)i. Die allgemeine komplexe Lösung lautet also y(x)=c_1 exp(\sqrt(2)i x) + c_2 x exp(\sqrt(2)i x) + c_3 exp(-\sqrt(2)i x) + c_4 x exp(-\sqrt(2)i x) mit c_i\in\IC. Da die Koeffizienten der DGL aber reell sind, können wir nach obigem Schema auch eine allgemeine reelle Lösung angeben: y(x)=c_1 cos(\sqrt(2)x)+ c_2 x cos(\sqrt(2)x) + c_3 sin(\sqrt(2)x) + c_4 x sin(\sqrt(2)x) mit c_i\in\IR. \ 2) y'+20y=10sin(2x) Das charakteristische Polynom ist X+20=0, d.h. die Lösung der homogenen DGL ist c exp(-20x). Die rechte Seite schreiben wir als 10 Im(exp(2ix)) und da 2i keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, können wir als Lösungsansatz a exp(2ix) verwenden. Einsetzen ergibt: a(2i+20) exp(2ix) = 10 exp(2ix) <=> a = 5/(i+10) = 50/101 - 5/101 i. Wir sind allerdings nur am Imaginärteil der Lösung interessiert: Im((50/101 - 5/101 i) exp(2ix)) = Im((50/101 cos(2x) + 5/101 sin(2x))+i(50/101 sin(2x)-5/101 cos(2x))) = 50/101 sin(2x) - 5/101 cos(2x). Insgesamt erhalten wir also die Lösung y=c exp(-20x) + 50/101 sin(2x) - 5/101 cos(2x). 3) y^(3)-3y'+2y=sin(x) P(X)=(X-1)^2(X+2) => Lösungsbasis exp(x), x exp(x), exp(-2x) Die rechte Seite schreiben wir zunächst als Im(exp(ix)). i ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, d.h. wir können den einfachstmöglichen Ansatz a exp(ix) in die DGL einsetzen, komplex rechnen und nachher wieder den Imaginärteil nehmen: a(-i exp(ix) - 3 i exp(ix) + 2 exp(ix)) = exp(ix) <=> a(2-4i)=1 <=> a = 1/10 + 1/5 i Eine Lösung der komplexen DGL ist also (1/10+1/5 i) exp(ix). Wegen exp(ix)=cos(x)+i\.sin(x) erhalten wir also als spezielle reelle Lösung Im((1/10+1/5 i) exp(ix))=1/5 cos(x) + 1/10 sin(x). Die vollständige Lösung lautet daher y(x)=1/5 cos(x) + 1/10 sin(x) + c_1 exp(x)+ c_2 x exp(x)+ c_3 exp(-2x). \ 4) y''-4y=x exp(2x)+2 P(X)=(X+2)(X-2) => Lösungsbasis exp(2x), exp(-2x) Wegen der Linearität können wir jeden Summanden auf der rechten Seite getrennt betrachten. i) 2 fassen wir als 2 exp(0x) auf. 0 ist keine Nullstelle von P, der geeignete Ansatz ist daher eine konstante Funktion a, was auf -4a=2 <=> a=-1/2 führt. ii) x exp(2x) hat die Form F(x)\.exp(\mue\ x), F vom Grad 1 und \mue=2 ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von Ordnung m=1. Wir müssen also mit G(x)=ax+b ansetzen x^m G(x) exp(\mue\ x)= x (ax+b) exp(2x). Einsetzen in die DGL ergibt 2 exp(2x) (4ax+a+2b) = x exp(2x) und daher durch Koeffizientenvergleich 8a = 1 2a+4b=0 und damit die spezielle Lösung x(1/8 x - 1/16) exp(2x). Ingesamt ergibt sich somit y(x)=-1/2 + x(1/8 x - 1/16) exp(2x) + c_1 exp(2x) + c_2 exp(-2x). \ 5) Der harmonische Oszillator mit periodischem Antrieb. Das folgende Beispiel ist physikalisch motiviert. Ein Massenpunkt der Masse m>0 sei mit einer Feder \(Federkonstante k) verbunden. In einem reibungsfreien System lautet die Bewegungsgleichung für die Auslenkung y dann my''+ky=0. Die Lösung bereitet uns keinerlei Schwierigkeiten mehr, es ist y(x)=c_1 sin(\omega x)+ c_2 cos(\omega x) mit \omega^2 = k/m. Ein reales System wird jedoch dem Einfluss der Reibung unterliegen, die man hier am besten proportional zur Momentangeschwindigkeit y' ansetzt. Darüber hinaus soll das System noch periodisch angetrieben werden, sodass sich insgesamt folgende Differentialgleichung ergibt: y''+ 2\delta y' + \omega^2 y = f_0 cos(\Omega x), \delta, \omega, \Omega >0. Charakteristisches Polynom: X^2 -2\delta X+\omega^2 Nullstellen: X_(1\|2)= -\delta +- sqrt(\delta^2-\omega^2). Wir haben drei Fälle zu unterscheiden: i) \delta^2-\omega^2 < 0 \(Schwingfall) Mit \omega\.':=sqrt(\omega^2-\delta^2) haben wir als allgemeine Lösung der homogenen DGL c_1 exp(-\delta x) cos(\omega\.' x) + c_2 exp(-\delta x) sin(\omega\.' x) ii) \delta^2-\omega^2=0 \(aperiodischer Grenzfall) Die doppelte Nullstelle führt auf c_1 x exp(-\delta x) + c_2 exp(-\delta x). iii) \delta^2-\omega^2 > 0 \(Kriechfall) Mit \alpha:=\sqrt(\delta^2-\omega^2) haben wir c_1 exp(-(\delta+\alpha) x) + c_2 exp(-(\delta-\alpha) x). Die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung können wir uns wieder wie in Beispiel 2 beschaffen, allerdings mit etwas mehr Schreibarbeit. Auf der rechten Seite steht f_0 Re(exp(i\Omega x)). Daher setzen wir den Ansatz a exp(i\Omega x) in die DGL ein und erhalten a exp(i\Omega x) (-\Omega^2 + 2i\delta \Omega + \omega^2) = f_0 exp(i\Omega x). Auflösen nach a ergibt also die \(komplexe) partikuläre Lösung f_0/(-\Omega^2 + 2i\delta \Omega + \omega^2) exp(i\Omega x). Die Bestimmung der Realteils gestaltet sich einfacher, wenn wir stattdessen für a,b,c,d\in\IR den Ausdruck (a+ib)/(c+id) betrachten: (a+ib)/(c+id) = ((a+ib)(c-id))/(c^2+d^2)=(ac+bc)/(c^2+d^2)+i (bc-ad)/(c^2+d^2). Setzen wir nun alles zusammen, so erhalten wir als reelle partikuläre Lösung Re(f_0/(-\Omega^2 + 2i\delta \Omega + \omega^2) exp(i\Omega x))=((\w^2-\Omega^2) cos(\Omega x) +2\d\Omega sin(\Omega x))/((\w^2-\Omega^2)^2 + (2\d\Omega)^2) f_0. Zum Abschluss gönnen wir uns noch eine kurze Diskussion der Ergebnisse im Schwingfall: Der fatale reibungsfreie Fall \d=0 kann in der Realität nicht auftreten, d.h. wir dürfen \d!=0 annehmen. Die Lösung der homogenen Gleichung beschreibt dann eine mit dem Faktor exp(-\delta\ x) gedämpfte Schwingung, deren Scheitelwert nach einer Zeit x=1/\d auf 1/\ee seines Ausgangswerts abgesunken ist. Nach einer hinreichend langen Einschwingphase wird die Bewegung des Systems also vollständig durch die extern vorgegebene Frequenz \Omega bestimmt, wobei die Bewegung des Systems jedoch nicht synchron, sondern mit einer Phasenverschiebung \phi=arctan(2\d\Omega/(\w^2-\Omega^2)) erfolgt. Die Amplitude f_0/sqrt(4\d^2 \Omega^2+(\w^2-\Omega^2)^2) nimmt ihren Maximalwert f_0/(2 \d sqrt(\omega^2-\d^2)) an für die Antriebsfrequenz \Omega=sqrt(\omega^2 -2\d^2), d.h. schwach gedämpfte Systeme werden durch Antrieb mit der "richtigen" Frequenz in der Realität zerstört, da hier keine beliebig großen Auslenkungen zulässig sind.

A. Anhang

\ Satz über die Primärzerlegung. Sei f:V->V \IK\-linear, sei P\in K[x] ein Polynom mit P(f)=0, sei P(X)=prod((X-\lambda_i)^m_i,i=1,r) eine Zerlegung in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen Linearfaktoren und sei V_i:=ker(f-\lambda_i \I1)^(m_i). Dann folgt (1) V_i ist f\-invariant (2) V=V_1 \oplus ... \oplus V_r (3) Die Projektionen p_i von V auf V_i sind Polynome in f, vertauschen also mit f.
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :: Differentialgleichungen :: Lineare Algebra :: Leicht verständlich :: Grundstudium Mathematik :: Reine Mathematik :
Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten [von DanielW]  
Die Theorie linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Angabe der Standardlösungen für die homogene Gleichung und Beweis dessen. Lösungen für die inhomogene Gleichung.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 9253
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 769 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2023.02 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com384.9%4.9 %
https://matheplanet.com20.3%0.3 %
https://google.de303.9%3.9 %
http://google.de66386.2%86.2 %
http://google.fr172.2%2.2 %
https://google.it20.3%0.3 %
https://www.ecosia.org10.1%0.1 %
http://www.search.ask.com10.1%0.1 %
http://google.ch10.1%0.1 %
http://ecosia.org10.1%0.1 %
http://www.bing.com30.4%0.4 %
http://search.conduit.com10.1%0.1 %
http://isearch.avg.com30.4%0.4 %
http://search.babylon.com10.1%0.1 %
http://de.search.yahoo.com10.1%0.1 %
https://yandex.ru10.1%0.1 %
https://google.at10.1%0.1 %
http://google.at10.1%0.1 %
http://search.incredimail.com10.1%0.1 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 7 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2023.02.02-2023.02.06 (3x)https://google.com/
2023.02.06 09:28links.php?op=viewslink&sid=67
2023.02.03-2023.02.04 (3x)https://google.de/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 741 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2016 (116x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2013-2014 (72x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spezielle lösung dgl konstante koeffizie...
201210-10 (38x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare differentialgleichung höherer or...
2020-2022 (35x)https://google.com/
201212-12 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mit konstanten koeffizienten doppelte nulls...
201206-06 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineares differentialgleichungssystem erste...
201301-01 (30x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=struktur des lösungsraums bei linearen d...
201407-07 (26x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCEQFjAB
201207-07 (24x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare differentialgleichungssysteme mit k...
201401-01 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare homogene dgl mit konstanten koeffiz...
201306-06 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=theorie lineare differentialgleichungssyste...
2020-2023 (22x)https://google.de/
201307-07 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe forum :lineare differentialgleichunge...
201205-05 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=primärzerlegung matrix doppelte nullstel...
201406-06 (20x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CDoQFjAH
201201-01 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=partikuläre lösung dgl harmonischer O...
201202-02 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matriods dgl
201402-02 (18x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=dgl linear konstante koeffizienten sin
201404-04 (17x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201305-05 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare diffrentialgleichung mit konstanten...
201302-02 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sind die Lösungen einer homogenen Differ...
201203-03 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=standardlösung mathe
201211-11 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare differentialgleichungen mit kosntan...
201304-04 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=oszillator cos(x)+i sin(x)
201303-03 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare differentialgleichungen mit konstan...
201208-08 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineares dgl mit konstanten koeffizienten
201209-09 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare differentialgleichung konstanten ko...
201204-04 (9x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=partikuläre lösung dgl sinus mit vers...
201308-08 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare dgl mit konstanten koeffizienten
202101-05 (5x)https://google.de

[Top of page]

"Mathematik: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten" | 9 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 20. Mai 2011 18:24:58
\(\begingroup\)Ich finde den Artikel sehr gelungen, eignet sich gut um das Ganze zu repetieren. Ich habe noch eine Frage zu Artikel, du schreibst: Ersetzt man nun für \lambda=a+ib, a,b\in\IR, Paare der Form x^k\.exp(\lambda x) und x^k\.exp(\lambda^- x) mit Hilfe der Eulerformel durch x^k\.exp(ax)sin(bx) und x^k\.exp(ax)cos(bx), so hat man eine n\-dimensionale reelle Lösungsbasis \(die natürlich weiterhin auch als komplexe Lösungsbasis verwendet werden kann). Wie funktioniert das? Ich komme auf: x^k exp(\lambda^- x)+x^k exp(\lambda x)= x^k*(exp((a+ib)*x)+exp((a-ib)x))= x^k*exp(ax)*(cos(bx)+isin(bx)+cos(-bx)+isin(-bx))= x^k*exp(ax)*2cos(bx) Wo liegt mein Denkfehler? Lg giuli \(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: Gockel am: Fr. 20. Mai 2011 19:36:09
\(\begingroup\)@giuli: Kein Denkfehler, das stimmt so. Berechne jetzt x^k*exp(\lambda^-\.x)-x^k*exp(\lambda\.x) genauso und du erhälst die andere Funktion. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: DanielW am: Fr. 20. Mai 2011 19:40:46
\(\begingroup\) \ Du hast keinen Denkfehler gemacht, vielleicht sollte ich noch einen Halbsatz einfügen. Es geht natürlich um die Summe c^- x^k*exp(\lambda^- x)+cx^k*exp(\lambda x) = 2exp(ax)(c cos(bx)-d sin(bx)). Gruß, Daniel \(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 20. Mai 2011 20:30:06
\(\begingroup\)hey danielW, Gockel Danke für die Antworten, dass c^- x^k*exp(\lambda^- x)+cx^k*exp(\lambda x) = 2exp(ax)(c cos(bx)-d sin(bx)) habe ich durch nachrechnen \(Koeffizienten, c und d sind unglücklich gewählt, da c bereits vorher bei c^- x^k*exp(\lambda^- x)+cx^k*exp(\lambda x) auftaucht\) verstanden. Was ich noch nicht verstehe,ist wieso die Koeffizienten bei x^k*exp(\lambda^- x) und x^k*exp(\lambda x) gerade komplex konjugiert sein müssen. lg giuli \(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: DanielW am: Fr. 20. Mai 2011 21:13:38
\(\begingroup\)Du kannst überprüfen, dass nur genau auf diese Weise die Lösung reell wird.\(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: gaussmath am: Sa. 21. Mai 2011 12:02:18
\(\begingroup\) \ z+z^- ist stets reell und (a*b^-)^-=a^-*b. \(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: GrandPa am: Sa. 21. Mai 2011 18:40:14
\(\begingroup\)Gute Ergänzung zu Pendragons Artikel über DGL. Zur Schwingungs-DGL: Ist es korrekt das Wort "Reibung" allgemein für die Dämpfung zu verwenden? Lg GrandPa \(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: gonnabphd am: So. 22. Mai 2011 09:01:45
\(\begingroup\)Musst man für den Satz über die Primärzerlegung nicht schon wissen, dass der zugrundeliegende Vektorraum endlichdimensional ist? Wenn ja, weshalb darfst du das annehmen im Beweis über die Struktur des komplexen Lösungsraumes?\(\endgroup\)
 

Re: Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
von: Gockel am: So. 22. Mai 2011 16:39:34
\(\begingroup\)@gonnabphd: Nein, die Aussage funktioniert für beliebige Vektorräume. Die wichtige Endlichkeitsbedingung ist P(f)=0, nicht die Dimension. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]