Mathematik: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
Released by matroid on Sa. 21. Mai 2011 17:02:04 [Statistics]
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Lineare Algebra

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In diesem Artikel möchte ich über das Transformationsverhalten von Objekten aus der linearen Algebra am Beispiel von Vektoren, Dualvektoren, linearen Abbildungen und Bilinearformen sprechen und im Anschluss noch kurz an die in der physikalischen Literatur omnipräsenten Basisdarstellungen von Tensoren eingehen. Dieser Artikel richtet sich vornehmlich an junge Physikstudenten, denen dieses Thema häufig in einer für sie verwirrenden Weise nur in Form von oberen und unteren Indizes begegnet, sowie auch an interessierte Schüler. Ich ziele vorrangig auf das Verständnis der Zusammenhänge ab, sodass die mathematische Präzision an der einen oder anderen Stelle bewusst etwas leiden mag; dieser Punkt sollte jedoch nicht negativ ins Gewicht fallen, da genügend Darstellungen in der mathematischen Literatur verfügbar sind (vgl. etwa Fischer - Lineare Algebra).


Vorbereitungen


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Vektoren


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Dualvektoren


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Lineare Abbildungen


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Bilinearformen


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Ko- und kontravariant oder: wie führt man Indexschlachten?


Einstein'sche Summenkonvention?
Nach den besten Leuten sind häufig
die dümmsten Sachen benannt.

Hartmut Wiebe



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Nach dem Aufschlagen eines Buchs über Relativitätstheorie kann einem zartbesaiteten Studenten schwindlig werden und den Mathematiker packt der Fluchtinstinkt, so viele hoch- und tiefgestellte i,j,k,l sowie hier und dort mal ein Komma oder Semikolon bekommt er zu sehen. Wir wollen hier zumindest in unserem linear-algebraischen Umfeld für ein wenig Klärung sorgen. 
Zunächst ist folgendes zu sagen: Physiker verstehen, wenn sie von den oben betrachteten Objekten sprechen, darunter nie die Objekte selbst, sondern stets deren Komponenten bzgl. einer Basis. Soll heißen: wenn Physiker von ''dem Vektor'' \lambda^i sprechen, dann meinen sie, dass sie eine Basis menge(v_1,...,v_n) fixiert haben und eigentlich über den Vektor \sum(\lambda^i v_i,i=1,n) sprechen möchten. Mit dem hochgestellten Index soll ausgedrückt werden, dass sich die Zahlen \l^i transformieren wie die Komponenten eines Vektors, was dann kontravariant genannt wird. Zu allem Überfluss wird dann auch noch behauptet, dass sich der Vektor kontravariant transfomiere, obwohl es ja seine Komponenten sind, die sich unter einem Basiswechsel kontravariant (d.h. mit dem oben eingeführten S) transformieren. Die Basisvektoren selbst transformieren sich, wie wir oben festgestellt haben, mit S^(-1)^t, was kovariantes Verhalten genannt wird und zu tiefgestellten Indizes führt.
Mit dieser Schreibweise ist dann noch ein weitere Fußangel verbunden: über doppelt vorkommende \(und genaugenommen direkt nebeneinander zu schreibende) hoch- und tiefgestellte Indizes wird automatisch summiert, was als Einstein'sche Summenkonvention bekannt ist. Wir schreiben also 
x^'j = S^j\.\void_i \l^i .
Dabei ist stets daran zu denken, dass alle vorkommenden Objekte Zahlen sind, also beliebig verschoben werden können.
Die Komponenten eines Dualvektors \theta=\alpha_i v^\*i transformieren sich gemäß
\alpha_j^' = \alpha_i (S^(-1))^i\.\void_j = (S^(-1)^t)_j^i \alpha_i,
wobei wir die Konvention A_j^i=(A^t)^i\.\void_j eingeführt haben.
Die Invarianz eines Vektors unter Basistransformationen liest sich in diesem Kalkül als
v = \l^i v_i
 | | = \l^i \delta_i^j v_j=\l^i (S^t)_i^k ((S^(-1))^t)_k^j v_j
 | | = S^k\.\void_i \l^i ((S^(-1))^t)_k^j v_j = \l^'k v_k^'.
Wesentlich schlimmer wird es bei linearen Abbildungen. Betrachten wir der Einfachheit halber eine solche von V nach V und bezeichnen die Abbildungsmatrix mit A, so erhalten wir mit genügend Ausdauer
A^i\.\void_j \l^j v_i = A^i\.\void_j \delta^j\.\void_l \l^l \delta_i^n e_n
 |        | = A^i\.\void_j (S^(-1))^j\.\void_k S^k\.\void_l \l^l (S^t)_i^m (S^(-1)^t)_m^n v_n
 |        | = S^m\.\void_i A^i\.\void_j (S^(-1))^j\.\void_k S^k\.\void_l \l^l ((S^(-1))^t)_m^n v_n
 |        | = A^'m\.\void_l \l^'l v^'\.\void_m.

All diesen indexbehafteten Größen ist gemein, dass sie die Komponenten von Objekten sind, die man Tensoren nennt. Sehr einfach gesprochen lässt sich zu Vektorräumen V_1,...,V_k mit Basen \calB_(V_i) = menge(v_i1,...,v_id_i) und Dimensionen d_i=dim(V_i) ein Vektorraum V_1\otimes\cdots\otimes V_k konstruieren, dessen Basis 
menge(v_1j_1 \otimes\cdots\otimes v_kj_k| 1<= j_i <= dim V_i)
ist. Die Vektoren dieses Vektorraums haben die wesentliche Eigenschaft, dass das Tensorproduktsymbol \otimes durchlässig ist für Zahlen. Eine lineare Abbildung f:V->W mit Matrixdarstellung A bzgl. der Basen menge(v_1,...,v_n) und menge(w_1,...,w_m) lässt sich, wie oben bereits kurz erwähnt, auch als Tensor in V^\*\otimes W auffassen:
f=A^i\.\void_j v^j\* \otimes w_i.
Setzt man nun hier das Transformationsverhalten der (dualen) Basisvektoren ein, so erhält man aus der Invarianzforderung wieder sofort das Transformationsverhalten der Koeffizienten - die Matrixelemente sind wegen der Durchlässigkeit von \otimes gewissermaßen mobil und können beliebig verschoben werden. Auch hier sei wieder vor einer Unstimmigkeit gewarnt: das Element aus dem Tensorprodukt heißt Tensor, während die physikalische Literatur fälschlicherweise die Komponenten als Tensor bezeichnet.

Nun gehen wir kurz auf das allgegenwärtige ''Indexziehen'' ein. Hierzu benötigen wir eine nicht-ausgeartete Bilinearform \phi:V\times V->\IR; wir nehmen der Einfachheit halber ein Skalarprodukt braket(-,-).
Hält man eine der Komponenten fest, indem man einen Vektor v einsetzt, so erhält man eine lineare Abbildung
braket(v,-) : V->\IR, w\mapsto braket(v,w),
d.h. einen Dualvektor \(dies ist die aus der Quantenmechanik bekannte Bra-Ket-Korrespondenz). Ist menge(e_1,...,e_n) eine Orthonormalbasis von V, d.h. gilt
braket(e_i,e_j)=\delta_ij,
so liefert uns die Abbildung braket(v,-) die Dualbasis menge(e^1,...,e^n) in kanonischer Weise: es gilt ja einfach e^i = braket(e_i,-).
Das Adjektiv kanonisch ist hier wirklich entscheidend! Wir können ohne Skalarprodukt zwar stets die Dualbasis über e^i(e_j)=\delta_ij definieren; hierbei ist allerdings zu beachten, dass ein einzelner Dualvektor von ALLEN Basisvektoren abhängt. Diese Abhängigkeit ist in der neuen Situation durch die Existenz des Skalarprodukts verschwunden, d.h. e^i hängt tatsächlich nur von e_i ab.
Ist nun \Phi die Matrixdarstellung von braket(-,-) , so gilt
braket(v,w)=v^i \Phi_ij w^j =: v_j w^j.
Dabei haben wir rechts den zu v=v^i e_i dualen Vektor v_j e^j definiert, wobei konsequenterweise v_j vollständig durch v^j definiert ist. 
In der Praxis lässt man bekanntlich auch allgemeinere Bilinearformen zu: in der speziellen Relativitätstheorie betrachtet man die sog. Minkowskimetrik, die in einer gewählten Basis \calB von \IR^4 durch die Matrix diag(1,-1,-1,-1) induziert wird. Aus dem Vektor (v^0;v^1;v^2;v^3)_\calB wird dann durch Indexziehen der Dualvektor (v_0 ,v_1 , v_2 ,v_3)_(\calB^\*) = (v^0 ,-v^1 ,-v^2 ,-v^3)_(\calB^\*).

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Situation noch etwas vertrackter: man arbeitet nicht auf Vektorräumen als Modell für die Raumzeit, sondern auf semi-Riemann'schen Mannigfaltigkeiten M. In jedem Tangentialraum T_p M gibt es eine Bilinearform g_p mit derselben Signatur wie die Minkowskimetrik und diese Bilinearformen ''passen alle zusammen'', d.h. g_p hängt glatt von p ab. Nachdem man M mit Karten überdeckt und damit lokale Koordinaten gewählt hat, kann man zumindest lokal wieder auf obige Vorstellungen zurückgreifen; man macht sich hier die Sichtweise zunutze, dass M lokal ''so aussieht wie \IR^4''. Die Tensoren sind natürlich als Schnitte von entsprechenden Tensorbündeln über M aufzufassen und die vielleicht wesentlichste Komplikation ergibt sich aber aus der Tatsache, dass man auf Mannigfaltigkeiten die (Ko-)Tangentialräume in benachbarten Punkte nicht naiv vergleichen kann, sodass die Übertragung der aus der Schule bekannten Differentialrechnung nicht ohne weiteres funktioniert.
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Mit diesem kleinen Exkurs möchte ich den Artikel in der Hoffnung schließen, dass vor allem die Physiker profitiert haben - vielleicht sogar ein paar ältere Semester, denen Matrixdarstellungen in der Quantenmechanik, die Bra-Ket-Korrespondenz und vielleicht auch die Hauptachsentransformation des Trägheitstensors nie so ganz geheuer waren.
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: Lineare Algebra :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker [von DanielW]  
In diesem Artikel möchte ich über das Transformationsverhalten von Objekten aus der linearen Algebra am Beispiel von Vektoren, Dualvektoren, linearen Abbildungen und Bilinearformen sprechen und im Anschluss noch kurz an die in der physikalischen Literatur omnipräsenten Basisdarstellungen von Tensore
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"Mathematik: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker" | 8 Comments
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Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: gaussmath am: Sa. 21. Mai 2011 17:08:14
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Jetzt haust du es aber raus!  😁\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: Gockel am: Sa. 21. Mai 2011 20:48:26
\(\begingroup\)
Wenn ich nichts übersehen habe, fehlt der wichtigste Punkt von allen aber hier im Artikel. Was ist dieser Punkt? Frei nach Sun Tzu etwa "Schlage nur die (Index)Schlachten, die du auch gewinnen kannst" oder etwas weniger poetisch: Am besten ist, man verzichtet auf dieses Koordinatengerechne, wann immer man kann! Basisfrei zu argumentieren liefert in allen Fällen übersichtlichere, elegantere und auch einfach mit mehr Einsicht verbundene sowie in fast allen Fällen auch kürzere Beweise.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: DanielW am: So. 22. Mai 2011 00:57:32
\(\begingroup\)
Du hast natürlich vollkommen recht mit dieser Bemerkung. Dennoch lässt es sich in Anwendungssituationen (d.h. nicht in Beweisen, sondern in konkreten Rechnungen) oft nicht vermeiden, zu Koordinatendarstellungen überzugehen und du würdest dich vielleicht wundern, wie viele Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften keinerlei Verständnis für die in diesem Artikel erläuterten Zusammenhänge haben und nicht einmal präzise sagen können, was so ein Spaltenvektor sein soll.
Gerade auf die Beseitigung dieser Probleme habe ich abgezielt und dabei einen Zugang über den "gesunden Menschenverstand" gewählt.\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: briefkasten am: So. 22. Mai 2011 12:38:04
\(\begingroup\)
Danke Daniel für den Artikel, er ist für mich sehr hilfreich 😄\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: Redfrettchen am: So. 22. Mai 2011 22:49:45
\(\begingroup\)
Hallo Daniel,

ein schöner Artikel, auch wenn ich mich sehr ungerne mit Basistransformationen herumschlage.

Zwei Anmerkungen:
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Viele Grüße,

Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: gaussmath am: Mo. 23. Mai 2011 08:43:27
\(\begingroup\)
@Redfrettchen: Ich meine, es sind keine Zahlenvektoren(Koordinaten). Die Bezeichnung mit den Lambdas ist nicht ganz passend.\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: DanielW am: Mo. 23. Mai 2011 10:06:19
\(\begingroup\)
Ihr habt recht, dass dieser Punkt mathematisch nicht 100% sauber ist - aber das so etwas vorkommen kann, habe ich ja einleitend gesagt respektive entschuldigt.
Es ist zumindest unsere Erfahrung, dass die Studenten es sich auf diese Weise einigermaßen merken können. Im Rahmen des Artikels könnte man die Basisindizes weglassen - es handelt sich bei den Matrixmultiplikationen natürlich um Zahlenvektoren - und allein an den (un)gestrichenen Einträgen erkennen, was gemeint ist. Sobald dort aber "konkrete Zahlen", wie die Studenten sagen, stehen, weiß am Ende keiner mehr, bzgl. welcher Basis er seine Spaltendarstellung meint. Es ist also eine zumindest lokal erprobte Gedächtnisstütze um jederzeit zu wissen, was wo zu stehen hat.\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 09. September 2012 15:13:32
\(\begingroup\)
Danke für den Artikel. Für mich als Physiker in meiner ersten Relativistik-Vorlesung sehr hilfreich! Auf in die Indizes-Schlacht!

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