Mathematik: Einfache Gruppen - Inhalt
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Mathematik

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Einfache Gruppen

Hallo Gruppentheorie-Freunde. Es wurden vor (sehr) langer Zeit einmal Artikel über einfache Gruppen gewünscht. Aus persönlichem Interesse beschäftige ich mich schon über einige Jahre hinweg immer mal wieder mit diesem Thema. Zu Beginn des Jahres 2007 habe ich angefangen, die dabei gewonnenen Wissensbrocken zu sortieren und in Form einer Artikelserie sauber aufzuschreiben, welche zumindest die sogenannten klassischen Gruppen einführen und ihre Einfachheit beweisen sollte. Nachdem diese Artikelserie kurz vor ihrem Abschluss stand, ist mir jedoch irgendwie die Luft für die letzten Details ausgegangen und mein Interesse wanderte wieder zu anderen Fragestellungen. So versauerten zehn angefangene Artikel in der Matheplanet-Datenbank. Nach einigen gescheiterten Versuchen, die Arbeit doch nicht umsonst gewesen sein zu lassen und das Angefangene zu Ende zu bringen, bin ich stolz, euch nun diese (und weitere bei der Überarbeitung neu entstandene) Artikel doch noch präsentieren zu können.


Worum geht's?

Wir erinnern uns, dass es in Gruppen besondere Untergruppen, sogenannte Normalteiler, gibt. Ein Normalteiler N<|G erlaubt es uns oftmals, die Gruppe als aus den beiden Komponenten N und G\/N "zusammengesetzt" aufzufassen und so Probleme für größere Gruppen auf die analogen Probleme für kleinere Gruppen zurückzuführen, wo sie hoffentlich einfacher sind. Jede Gruppe G hat die Normalteiler menge(1) und G selbst. Damit N und G\/N wirklich echt kleinere Gruppen werden, muss N jedoch ein Normalteiler ungleich menge(1) und ungleich G sein. Es ist also naheliegend, sich zu fragen, wie die Gruppen aussehen, die keine Normalteiler außer menge(1) und G haben.
Definition: Einfache Gruppen
Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt.
Einfache Gruppen sind die "Bausteine", aus denen sich Gruppen zusammensetzen. Es wird hier oft der Vergleich dazu gezogen, dass sich die natürlichen Zahlen aus Primzahlen zusammensetzen. Der Vergleich ist in einigen Aspekten zutreffend, unterschätzt jedoch die Komplexität des Themas. Für endliche Gruppen kann man diese Intuition mittels des Satzes von Jordan-Hölder präzise machen:
Satz von Jordan-Hölder
Sei G eine endliche Gruppe. Dann gibt es eine Kette von Untergruppen 1=U_0 Dieser Satz und viele, ganz ähnlich geartete Argumente machen einfache Gruppen für die Theorie der Gruppen im Allgemeinen und für die Theorie der endlichen Gruppen im Besonderen so wichtig. Viele Sätze lassen sich durch Reduktion auf den Fall einer einfachen Gruppe behandeln. Einfache Gruppen sind andererseits oft Gegenbeispiele zu anderen Sätzen. In beiden Fällen ist eine genaue Kenntnis der einfachen Gruppen und ihrer Struktur oft unabdingbar. Einige gruppentheoretische Resultate lassen sich bis heute ausschließlich mit Hilfe einer vollständigen Klassifikation aller endlichen, einfachen Gruppen beweisen, etwa die Schreier'sche Vermutung. Genau wie auch die Primzahlen für die Zahlentheorie sind endliche, einfache Gruppen ein konstantes Faszinosum der Algebra. Ihre oft überraschenden Eigenschaften, die vielfältigen Varianten, in denen sie auftreten, genauso wie die Tatsache, dass sie trotzdem vollständig klassifiziert werden können. Der in absoluten Zahlen wohl spektakulärste Beweis der Geschichte ist der mehr als 10.000 Seiten umfassende Beweis des Klassifikationssatzes der endlichen, einfachen Gruppen:
Klassifikationsatz der endlichen, einfachen Gruppen
(CFSG - Classification theorem of finite simple groups)
Sei G eine endliche, einfache Gruppe. Dann tritt einer der folgenden Fälle ein: (a) G ist zyklisch: | | G ~= \IZ\/p für eine Primzahl p. (b) G ist eine alternierende Gruppe: | | G~=Alt(n) für n>=5. (c) G ist eine Gruppe vom Lie\-Typ, d.h. es gibt eine Dimension n>=2 | | und eine Primzahlpotenz q, sodass G eine der folgenden Gruppen ist. | | (i) $ $ Projektive spezielle lineare Gruppe: | | G~=PSL_n(q) | | \small\ Ausnahmen: (n,q)=(2,2), (2,3) | | (ii) $ $Projektive symplektische Gruppe: | | G~=PSp_n(q) mit n gerade | | \small\ Ausnahmen: (n,q)=(2,2), (2,3), (4,2) | | (iii) $ Projektive unitäre Gruppe: | | G~=PSU_n(q^2) | | \small\ Ausnahmen: (n,q)=(2,2), (2,3), (3,2) | | (iv) $ $Projektive orthogonale Gruppe: | | G~=P\Omega||array(\small\epsilon;n\normal)(q) mit \epsilon=cases(+-,n gerade;0,n ungerade) | | \small\ Ausnahmen: (n,q,\epsilon)=(2,beliebig,+-),(3,3,0), (4,beliebig,\+) | | (v) $ $ Eine der anderen Chevalley\-Gruppen bzw. ungetwisteten Lie\-Typ\-Gruppen: | | G~=E_6(q), E_7(q), E_8(q), F_4(q), G_2(q) | | \small\ Ausnahmen: G_2(2) | | (vi) $ $Eine der anderen Steinberg\-Gruppen bzw. getwisteten Lie\-Typ\-Gruppen: | | G~=\void^2\.E_6(q^2) | | G~=\void^3\.D_4(q^3) | | G~=\void^2\.B_2(q) mit q=2^(2m+1) | | G~=\void^2\.G_2(q) mit q=3^(2m+1) | | G~=\void^2\.F_4(q) mit q=2^(2m+1) | | \small\ Ausnahmen: \void^2\.B_2(2), \void^2\.G_2(3), \void^2\.F_4(2) | | \small\ Der Kommutator \void^2\.F_4(2)' ist jedoch nichtabelsch, einfach und wird entweder | | \small\ als Lie\-Typ\-Gruppe ehrenhalber oder als 27. sporadische Gruppe gezählt. (d) G ist eine von 26 so genannten sporadischen Gruppen. | | (i) $ $ Mathieu\-Gruppen: M_11, M_12, M_22, M_23, M_24 | | (ii) $ $Janko\-Gruppen: J_1, J_2 oder HJ, J_3 oder HJM, J_4 | | (iii) $ Conway\-Gruppen: Co_1 oder F_2\-, Co_2, Co_3 | | (iv) $ $Fischer\-Gruppen: Fi_22, Fi_23, Fi_24^' oder F_3\+ | | (v) $ $ Die Higman\-Sims\-Gruppe: HS | | (vi) $ $Die McLaughlin\-Gruppe: McL | | (vii) $ Die Held\-Gruppe: He oder F_7\+ oder F_7 | | (viii) $Die Rudvalis\-Gruppe: Ru | | (ix) $ $Die sporadische Suzuki\-Gruppe: Suz oder F_3\- | | (x) $ $ Die O'Nan\-Gruppe: O'N | | (xi) $ $Die Harada\-Norton\-Gruppe: HN oder F_5\+ oder F_5 | | (xii) $ Die Lyons\-Gruppe: Ly | | (xiii) $Die Thompson\-Gruppe: Th oder F_3\|3 oder F_3 | | (xiv) $ Die Baby\-Monster\-Gruppe: B oder F_2\+ oder F_2 | | (xv) $ $Die Fischer\-Griess\- oder Monster\-Gruppe: M oder F_1
Die Einfachheit der zyklischen Gruppen von Primzahlordnung ist z.B. eine unmittelbare Konsequenz des Satzes von Lagrange. Man kann sich auch leicht überlegen, dass diese Gruppen tatsächlich die einzigen einfachen, abelschen (oder allgemeiner: auflösbaren) Gruppen sind. Wir werden das zum Anlass nehmen, über die zyklischen Gruppen kein Wort mehr zu verlieren und uns statt dessen auf die nichtabelschen, einfachen, endlichen Gruppen konzentrieren. Falls ich es an der ein oder anderen Stelle vergessen sollte explizit aufzuschreiben, so erinnere man sich bitte daran, dass ab sofort immer nichtabelsche, einfache Gruppen gemeint sind, wenn von einfachen Gruppen die Rede ist. Ich kann nicht über all diese Gruppen ausführlich schreiben. Ich werde jedoch die klassischen Gruppen PSL, PSp, PSU und PΩ definieren und ihre Einfachheit beweisen, indem ich geometrische Interpretationen der Gruppen gebe. Ich werde auch ein paar Worte zu den anderen Gruppen vom Lie-Typ verlieren, sodass jede der unendlichen Serien endlicher, einfacher Gruppen hier auftauchen wird. Das (vorläufige? Man weiß nie ...) Ende der Serie werden ein paar Artikel zu den Mathieu-Gruppen als den zugänglichsten unter den sporadischen Gruppen sein. Da ich den Anspruch habe, die Beweise solange es nur irgendwie geht self-contained zu gestalten, wird es auch Artikel geben, in denen eine Einführung in neue mathematische Hilfsmittel zu finden sein wird, welche wir für die Beweise brauchen.

Inhalt


In den nächsten Wochen und Monaten werden nach und nach folgende Artikel zum Thema "Einfache Gruppen" veröffentlicht:

  1. Gruppenoperationen, Alternierende Gruppen
    In diesem Artikel werden - aufbauend auf das Wissen aus dem Gruppenzwang-Artikeln - neue Begriffe und Techniken zum Umgang mit Gruppenoperationen eingeführt. Insbesondere wird hier das Lemma von Iwasawa bewiesen. Alle Einfachheitsbeweise der klassischen Gruppen in dieser Reihe sind um dieses Lemma herum aufgebaut. Die gesamte Beweisstrategie hat zum Ziel, seine Voraussetzungen zu prüfen. Angewandt werden die neuen Erkenntnisse hier gleich auf die alternierenden Gruppen.
  2. Kleine Gruppenordnungen
    Die Suche nach einfachen Gruppen beginnt natürlich am Anfang und mit Erkenntnissen, welche Gruppen denn nicht einfach sind. In einer untergeordneten Mini-Serie entwickeln wir Techniken, um kleinen Gruppen bereits an ihrer Ordnung anzusehen, dass sie nicht einfach sein können. Ganz speziell werden wir elementar zeigen, dass Gruppen der Ordnung n<1001 nichteinfach sind, ausgenommen in den durch die Klassifikation gegebenen Ordnungen.
    1. Einfache Gruppen aus 1001 Nacht
      Vorstellung einiger Techniken, um Normalteiler zu konstruieren. Dabei wird der sehr nützliche Verlagerungshomomorphismus definiert. Für n=612 wird ein Spezialbeweis geführt.
    2. Einfache Gruppen aus 1001½ Nacht
      In diesem Artikel wird das Potenzial der Verlagerungsabbildung weiter ausgelotet und Frobenius' Satz über p-Komplemente bewiesen. Für n=756 wird ein Spezialbeweis geführt.
    3. Gruppen der Ordnung 720 und M_{10}
      Der letzte Wackelkandidat unterhalb von 1001 ist n=720. Alle bisherigen Techniken versagen, um Gruppen der Ordnung 720 allgemein darauf zu untersuchen, ob es Normalteiler gibt. In der Tat gibt es aber keine einfache Gruppe der Ordnung 720. Die Beweise dafür sind entweder tiefergehend, als wir es hier zulassen wollen (z.B. weil Charaktertheorie notwendig ist), oder elementar und dafür ziemlich länglich. Dieser Artikel präsentiert einen elementaren Beweis. Der kommt dafür mit einem zusätzlichen Bonus: Im Verlauf dieses Beweises konstruieren wir die Gruppe M_{10}, die später Ausgangspunkt der Konstruktion der kleinen Mathieu-Gruppen sein wird.
    Diese Mini-Reihe ist thematisch recht eigenständig. Man braucht jedoch etwas gruppentheoretisches Vorwissen, z.B. aus der Gruppenzwang-Reihe und dem Artikel über Gruppenoperationen und alternierende Gruppen.
  3. Geometrie und Kombinatorik
    1. Sesquilinear- und quadratische Formen I - Orthogonalität
      In diesem Artikel werden wir Sesquilinearformen und quadratischen Formen definieren und grundlegende Eigenschaften diskutieren. Diese werden es uns erlauben, die klassischen Gruppen als Isometriegruppen bestimmter Symmetrien zu definieren. Das Phänomen der isotropen Vektoren wird hier eingeführt. Es wird sich herausstellen, dass die Geometrie der isotropen Vektoren eine entscheidende Zutat für die Einfachheit der klassischen Gruppen hat.
    2. Sesquilinear- und quadratische Formen II - Der Satz von Witt
      In diesem Artikel soll der Satz von Witt bewiesen werden, der ganz fundamentale Transivitätsaussagen über Isometriegruppen macht und so die Basis für viele Argumente ist.
    3. Sesquilinear- und quadratische Formen III - Endliche Geometrien
      Dieser Artikel beschäftigt sich speziell mit den Geometrien über endlichen Körpern und deren Isometriegruppen. Es stellt sich heraus, dass sich die Geometrien vollständig klassifizieren lassen. Außerdem werden wir explizite Formeln für einige numerische Invarianten herleiten, die es uns erlauben, z.B. die Gruppenordnungen der Isometriegruppen zu berechnen.
    Die Geometrie-Artikel sind thematisch weitestgehend eigenständig und können problemlos auch fast ohne gruppentheoretischen Hintergrund gelesen werden. In der Tat sind einige der eingeführten Hilfsmittel auch außerhalb der Gruppentheorie sehr, sehr nützlich und werden in vielen anderen mathematischen Disziplinen benötigt. Trotzdem werden natürlich in erster Linie solche Ergebnisse entwickelt, die wir auch für die Analyse der einfachen Gruppen verwenden können.
  4. Die Klassischen Gruppen
    1. PSL
      Hier geht es um die erste Serie klassischer, einfacher Gruppen, nämlich um die projektiven speziellen linearen Gruppen. Der vorgestellte Beweis ist der Prototyp für die Einfachheitsbeweise der klassischen Gruppen. Das Schema bleibt stets gleich, wenn sich auch der Schwierigkeitsgrad immer weiter erhöht.
    2. PSp
      Die übrigen klassischen Gruppen treten im Zusammenhang mit speziellen Bi- oder Sesquilinearformen auf. In diesem Artikel soll es um die Isometriegruppen alternierender Bilinearformen gehen, die so genannten symplektischen Gruppen.
    3. PSU
      Nach den symplektischen Gruppen geht es hier um die unitären Gruppen, die als Isometriegruppen von hermitschen Formen auftreten. Allerdings wird es an dieser Stelle keine Behandlung der bekannten unitären Gruppen über \mathbb{C} geben. Es soll hier nur um solche Geometrien gehen, in denen es sogenannte isotrope Vektoren gibt.

    4. Die letzte(n) Serie(n) klassischer Gruppen sind die orthogonalen Gruppen, die durch quadratische Formen definiert werden. Auch hierbei wird es nicht um die bekannten orthogonalen Gruppen über \mathbb{R} gehen, sondern erneut um solche, deren Geometrie singuläre Vektoren besitzt. Das trifft aber z.B. auf die Lorentz-Gruppe O_{3,1}(\mathbb{R}) zu, welche eine Bedeutung für die mathematische Modellierung der allgemeinen Relativitätstheorie hat.
    5. Orthogonale und unitäre Gruppen über \mathbb{R} und \mathbb{C}
      Dieser Artikel ist den - zwar nicht endlichen, aber dafür umso wichtigeren - orthogonalen und unitären Gruppen der Standardskalarprodukte gewidmet, die zuvor ausgeklammert wurden. Außerdem wird in diesem Artikel intensiver beleuchtet werden, warum die Geometrien mit Witt-Index 0 bisher ausgeschlossen wurden.
    6. Alternative Ansätze
      Während wir die klassischen Gruppen hier rein geometrisch betrachtet und sie als Isometriegruppen von gewissen Geometrien konstruiert haben, gibt es andere Ansätze. So kann man die Gruppen vom Lie-Typ, d.h. die klassischen Gruppen, die Chevalley-, Steinberg-, Suzuki- und die Ree-Gruppen auch "in einem Rutsch" definieren, indem man die Theorie der komplexen Lie-Algebren benutzt. Dieser Artikel soll einen kleinen Ausblick darauf geben.
  5. Mathieu-Gruppen
    Ich habe fest vor, dieses Kapitel irgendwann zu schreiben... Es kann sich also nur noch um Jahre handeln. Wenn ich fertig bin, sollten aber mindestens zwei Artikel dabei herausgekommen sein:
    1. Die kleinen Mathieu-Gruppen M_{11}, M_{12}
    2. Die großen Mathieu-Gruppen M_{22}, M_{23}, M_{24}

(Ich werde die Artikel wahrscheinlich nicht ganz in der hier aufgelisteten Reihenfolge veröffentlichen.)


Literatur


Nun noch eine kleine Literaturliste zum Thema, die wie üblichen keinen Anspruch auf Vollständig- oder gar Nützlichkeit hat.

Gruppentheorie allgemein

  • Elementare Einführungen
  • Fortgeschritteneres
    • M. Aschbacher - Finite group theory, 1986, Cambridge University Press
      Ein sehr umfangreiches und tiefgehendes Buch, das in die elementare Gruppentheorie einführen will. Es ist meiner Meinung nach nicht wirklich für Anfänger geeignet, aber dafür eignet es um so mehr für Fortgeschrittene zum Nachschlagen und zur Vertiefung.
      Teile davon kann man bei Google Books einsehen.
    • D. Gorenstein - Finite Groups, 1968, Harper & Ray
      Dasselbe gilt für Daniel Gorensteins Buch. Es ist voller gruppentheoretischer Schmuckstücke, aber besser für Leute geeignet, die mit der elementaren Theorie schon sicher umgehen können. Teile der zweiten, korrigierten Auflage kann man bei Google Books einsehen.
    • Ein Skript von Prof. Külshammer aus Jena zur Gruppentheorie.
      Es beginnt mit den Grundlagen, ist dort zwar vollständig, aber doch recht kompakt gehalten. Das Skript behandelt aber auch durchaus nichttriviale Sätze wie Burnsides Verlagerungssatz und Frobenius' Satz über p-Nilpotenz.
    • Betram Huppert, Norman Blackburn - Finite Groups, I-III
      Die Bücher zur Theorie der endlichen Gruppen. Sehr umfassend, sehr tiefgehend und oft als Standardreferenz benutzt. Zumindest Band 1 sollte in jeder guten Uni-Bibliothek zu finden sein.
  • Darstellungstheorie und Charaktertheorie
    Richtige tiefe gruppentheoretische Resultate benötigen im Allgemeinen Darstellungstheorie. Auch wenn wir keinen der typischen Sätze aus der Darstellungstheorie wirklich benutzen werden (der p^a q^b-Satz von Burnside ist allerdings ganz nützlich bei der Analyse der kleinen Gruppen), gebe ich doch ein Paar Referenzen.
    • Es gibt auch zu diesem Thema Artikel auf dem MP von jannna "Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: Auf den Charakter kommt es an":
      1. Lineare Darstellungen
      2. Charaktere
      3. Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere
    • Noch ein Skript von Prof. Külshammer aus Jena: Darstellungstheorie
      Auch dieses Skript beginnt ganz vorne, stellt die Grundlagen aber ziemlich kompakt dar. Es werden schnell auch durchaus tiefe Sätze bewiesen, u.A. der CA-Satz von Suzuki (welcher der erste Schritt zum Satz von Feit-Thompson ist).
    • Charles Curtis, Irving Reiner - Representation theory of finite groups and associative algebras, 1962, Wiley
      Ein umfangreiches Buch zur Darstellungstheorie. Neben einem Crash-Kurs in elementarer Gruppentheorie werden alle Standardresultate der gewöhnlichen Gruppentheorie entwickelt. Zusätzlich werden allgemeine Sätze aus der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren und der modularen Darstellungstheorie von endlichen Gruppen entwickelt.
      Bei google books einsehbar.
    • Charles Curtis, Irving Reiner - Methods of Representation Theory, Vol. 1+2, 1990 bzw. 1994, Wiley
      Wer richtig in die Darstellungstheorie einsteigen will, dem seien diese Bücher empfohlen. Verwirrenderweise sind es drei Bücher, die alle unter dem Namen "Der Curtis-Reiner" laufen. Die beiden Bücher "Methods of Representation Theory" sind eine zweibändige "Neuauflage", die aber ein gänzlich neu geschriebenes und viel, viel umfangreicheres Werk ist (und als Referenz durchaus auch das alte Buch verwendet). Sehr umfassend, sehr tiefgehend, sehr gründlich. Die Bücher sind ebenfalls eine Standardreferenz, die in keiner guten Bibliothek fehlen dürften (es aber leider trotzdem oftmals tun).

Spezieller zum Thema einfache Gruppen

  • Einfache Gruppen allgemein
    • R. A. Wilson - The Finite Simple Groups, 2009, Springer
      Ein sehr umfassendes Buch, dass sich der Klassifikation als Ganzes widmet (natürlich nur dem Ergebnis, nicht dem Beweis). Es werden alle unendlichen Serien mit eigenen Kapiteln gewürdigt, in dem jeweils (mindestens) eine Konstruktion und ein Einfachheitsbeweis geführt wird. Es wird auch einiges an "Drum herum" entwickelt, etwa den Satz von O'Nan oder Aschbachers Theorem, Beschreibungen äußerer Automorphismen, universelle Überlagerungen etc. Zu vielen sporadischen Gruppen wird zumindest kurz je eine Konstruktion beschrieben. Teile davon kann man bei google books einsehen
    • Daniel Gorenstein - Finite simple groups : an introduction to their classification, 1985, Plenum Press
      Gorenstein war einer der ganz wenigen Gruppentheoretiker, die die Klassifikation wirklich überblickten. Er hat zusammen mit anderen Autoren diverse Bücher geschrieben, die nach Fertigstellung (die noch aussteht) den vollständigen Beweis enthalten sollen. Dieses Buch führt in die Aufgabe der Klassifikation ein, stellt die größten Hindernisse auf dem Weg dahin vor und erläutert einige der verwendeten Techniken.
    • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon - The classification of the finite simple groups No. 1-6, AMS
      Diese Bücher sind als Zusammenfassung des gesamten Beweises der Klassifikation gedacht. Das ist definitiv nur etwas für Gruppentheorie-Profis mit sehr, sehr viel Freizeit, aber ich finde, es sollte nicht in dieser Liste nicht fehlen. Der Aufschrieb des Beweises ist meines Wissens trotz des gewaltigen Umfangs dieser Buchreihe (und weiterer zugehöriger Bücher, wie etwa das zweibändige "The Classification of Quasithin Groups" von Aschbacher und Smith, welches als Teil dieser Buchreihe konzipiert ist) noch nicht abgeschlossen.
  • Zu den klassischen Gruppen
    • D. E. Taylor - The Geometry of the Classical Groups, 1992, Heldermann Verlag Berlin
      Dieses Buch behandelt ganz speziell die geometrische Interpretation der klassischen Gruppen als Isometriegruppen. Dabei werden unter anderem auch ein paar Worte zu BN-Paaren, polaren Räumen und Tits-Gebäuden verloren. Interessant an diesem Buch ist z.B. dass Beweisvarianten gewählt werden, die man so nur selten in der Literatur findet. Beispielsweise wird die Spinor-Norm nicht über die Clifford-Algebren, sondern über die Wall-Parametrisierung von O(V) konstruiert. Ebenfalls interessant: Im letzten Kapitel werden die Suzuki-Gruppen (oben als ^2 B_2(q) aufgeführt) geometrisch konstruiert und ihre Einfachheit bewiesen.
    • Larry C. Grove - Classical Groups and geometric Algebra, 2001, AMS
      Es wird in diesem Buch genau wie im Taylor die Einfachheit aller klassischen Gruppen über endlichen Körpern bewiesen. Allerdings sind hier alle Beweise vollständig am Standardvorgehen orientiert. Dadurch ist es deutlich dünner und schneller zu lesen als Taylor, aber man verpasst halt ein paar interessante Aussagen.
      Vorschau bei google books.
    • P. J. Cameron - Notes on classical groups
      Ein Skript, in dem die Einfachheit und geometrische Interpretation der klassischen Gruppen besprochen wird. Einige Beweise werden vorgeführt, wie etwa für PSL, PSp werden vollständig ausgeführt, die viel schwierigeren Beweise für PSU und PΩ werden jedoch mit "geht analog" abgehandelt.
    • P. J. Cameron - Projective and polar spaces
      Mehr Details zu den Geometrien hinter den klassischen Gruppen.
    • Kevin McGerthy - The Classical Groups
      Dieses Skript ist vor allem mit den klassischen Gruppen über den reellen und komplexen Zahlen befasst.
    • J. Dieudonné - Sur les groupes classiques, 1958, Hermann
      Oft referenziert, aber meines Wissens leider nie in eine anständige Sprache übersetzt. Es werden einige Randfälle näher besprochen, die sonst ausgelassen werden, wie unitäre Gruppen über Schiefkörpern.
    • Carter - Simple Groups of Lie Type, 1993, Wiley
      In diesem Buch wird die Konstruktion der endlichen, einfachen Gruppen vom Lie-Typ aus den komplexen Lie-Algebren vorgestellt. Während die Theorie der Lie-Algebren nur stichpunktartig zusammengefasst wird, sind die folgenden Einfachheitsbeweise für die ungetwisteten und getwisteten Gruppen vollständig und detailliert. Außerdem wird vollständig zusammengefasst, welche Typen der Lie-Algebra-Klassifikation zu welchen Typen der klassischen Gruppen gehören. Was fehlt, wozu aber wahrscheinlich kein Platz mehr war, ist die Verbindung der exzeptionellen Isomorphismen zwischen Lie-Algebren und Lie-Typ-Gruppen.
      Die ältere Auflage von 1989 kann bei google books eingesehen werden.
  • Andere einfache Gruppen
    • D. Passmann - Permutation Groups, 1968
      Ein Buch auf ebenfalls relativ elementarem Niveau mit speziellem Augenmerk auf Untergruppen von Sym(n). Es werden z.B. die Mathieu-Gruppen explizit als Untergruppen von Sym(11), Sym(12), Sym(22), Sym(23) bzw. Sym(24) konstruiert.
    • Joan Dixon, Brian Mortimer - Permutation groups, 1996, Springer
      Hier sind ebenfalls Konstruktionen der Mathieu-Gruppen zu finden sowie viele weitere, nützliche Sachen über Permutationsgruppen.
      Teile davon kann man bei google books einsehen.

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"Mathematik: Einfache Gruppen - Inhalt" | 9 Comments
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Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Martin_Infinite am: Do. 17. November 2011 17:50:38
\(\begingroup\)Da bleibt einem ja das Kinn auf dem Boden liegen. Der jahrelange Gärungsprozess dieses Projektes ist nun endlich abgeschlossen. Ich bin sehr gespannt und freue mich bereits über die kommenden Artikel. Jetzt weiß ich auch, warum du vor einiger Zeit auf einmal Fragen zu quadratischen Formen gestellt hast. Weil ich kein Gruppentheoretiker bin, werden für mich wohl eher nur A,B und C interessant sein. Aber man muss ja auch mal über seinen Tellerrand schauen und außerdem sitzt zur Zeit in meinem Büro eine Mathematikerin, die sich auf einfache Gruppen spezialisiert hat - das kann natürlich kein Zufall sein. Eine solch ambitionierte und weitreichende Artikelserie hat es bisher auf dem MP nicht gegeben. Alleine für das Durchhaltevermögen (vielleicht sollte ich das erst schreiben, nachdem die Artikel veröffentlicht sind) und deinen Anspruch, alles in eine lesbare, elementare (soweit überhaupt möglich) und verständliche Form zu bringen, verdienst du großen Respekt. Nebenbei bestechen deine Artikel ja auch durch ihre Optik. Wobei ich mich frage, warum du nicht das mittlerweile auf dem MP aktivierte LaTeX anstelle des fed nutzt :-). Sehr hilfreich ist auch die Literaturliste zusammen mit den kurzen Besprechungen dazu. Diese Zusammenstellung wird sicherlich noch vielen nützlich sein. Wobei ich dir aber für deine Bemerkung zu Dieudonnés "Groupes classiques" hiermit einen Platzverweis erteilen muss: Französisch ist wunderschön! 😄 Hast du mal darüber nachgedacht, einen Survey-Artikel über die endlichen einfachen Gruppen zu schreiben, den du dann (zumindest beim arXiv) veröffentlichst? Damit könntest du mehr Leute erreichen, vor allem wenn du auf englisch schreibst. Sicherlich gibt es so etwas auch schon, hast du da mal geschaut? Überhaupt interessiert mich noch, inwiefern sich deine Artikelserie von den Quellen unterscheiden wird. Welche Akzente setzt du wo? Hast du vielleicht einige Argumente vereinfachen können? Welche Beweise stammen von dir? Noch eine speziellere Frage: \quoteonEinige gruppentheoretische Resultate lassen sich bis heute ausschließlich mit Hilfe einer vollständigen Klassifikation aller endlichen, einfachen Gruppen beweisen, etwa die Schreier'sche Vermutung. \quoteoff Das ist faszinierend. Die Schreier-Vermutung besagt, dass die äußere Automorphismengruppe einer endlichen einfachen Gruppe auflösbar ist, und dies kann man also bisher nur damit zeigen, dass man die Gruppen in der Liste der Klassifikation durchgeht? Kann man aus der Schreier-Vermutung (die wohl dann keine Vermutung mehr ist) Aussagen über alle endlichen Gruppen treffen, indem man sie mit dem Satz von Jordan-Hölder als geschachtelte Erweiterung von einfachen Gruppen schreibt? Was gibt es sonst für Resultate über endliche Gruppen im Allgemeinen, die auf der Klassifikation beruhen und somit der Philosophie "einfache Gruppen sind die kleinsten Bausteine aller Gruppen" folgen? Gruß, Martin\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Gockel am: Do. 17. November 2011 19:00:50
\(\begingroup\)Hi Martin. @Durchhaltevermögen: Ja, bitte erst hinterher gratulieren. Mit ein Grund, dass ich das jetzt veröffentliche ist, dass ich mich selbst anstachle, endlich fertig zu werden. Schauen wir mal, ob das funktioniert oder ob der innere Schweinehund doch wieder gewinnt. :D @fed vs. LaTeX: Da die Artikel teilweise noch aus der Zeit stammen, als es "Niemals LaTeX auf dem MP" hieß, sind alle momentan vorhandenen im fed geschrieben. Ich habe mich noch nicht endgültig entschieden, ob ich bei den noch unfertigen Kapiteln wechseln werde. @arXiv+andere Artikel: Einen solchen Übersichtsartikel ins arXiv oder irgendwo anders hin zu stellen, habe ich nicht vor. Ein gewisser Vorteil von MP-Artikeln ist es, dass ich mich kurz fassen muss, damit das Ganze lesbar bleibt (auch wenn ich natürlich Wege gefunden habe, dabei zu schummeln). Ein PDF mit einem Gesamtartikel hätte keine derart restriktive Längenbeschränkung und ich wäre viel zu sehr versucht, alles, was ich irgendwie interessant finde, mit hinein zu tun. Das wäre dann aber zu weitreichend und nicht sinnvoll zu realisieren. Es wird in den Artikeln ein, zwei Beweise geben, die ich in der Tat selbst gefunden habe (was natürlich nicht ausschließt, dass irgendwer anders sie vor mir schon einmal fand). Ein großer Teil der Beweise ist aber irgendwie zusammengesucht aus den angegebenen Quellen (bzw. einer Teilmenge davon). Der Unterschied bei diesen Beweisen ist, dass ich versucht habe, wirklich die Details auszuarbeiten, über die z.B. bei Taylor drüber gegangen wurde (und bei Aschbacher sowieso). Bei einigen Beweisen steckt der Teufel wirklich im Detail, das sind keine Routinesachen. @Anwendungen von CFSG: Die Schreier-Vermutung kann man, wenn man mag, im Satz von Schur-Zassenhaus benutzen. Normalerweise wird der so formuliert: \frameon(Schur-Zassenhaus) Ist G eine endliche Gruppe, N<|G ein Normalteiler und Q:=G\/N der Quotient und gelten die beiden Voraussetzungen (i) ggT(abs(N), abs(Q))=1 (ii) N oder Q ist auflösbar Dann hat N ein Komplement in G, d.h. G ist das semidirekte Produkt N\rtimes\ Q, und je zwei solcher Komplemente sind konjugiert in G. \frameoff Ebenfalls üblich ist dann der Hinweis, dass (ii) eigentlich überflüssig ist, weil man ja zeigen kann, dass Gruppen mit ungerader Ordnung auflösbar sind und wegen (i) mindestens eine der beiden Gruppen auf jeden Fall ungerade Ordnung haben muss. Man kann (ii) jedoch auch durch die Schreier'sche Vermutung ersetzen. Wenn man also einen einfachen Beweis fände ohne die Klassifikation verwenden zu müssen, dann hätte man im Satz von Schur-Zassenhaus etwas gewonnen. Ein anderes interessantes Resultat, dass die Klassifikation benutzt und mir vor kurzem gerade begegnete, ist folgendes: \frameon(Malle+andere) Sei G irgendeine \(sic!\) Gruppe, K ein alg. abg. Körper und V ein endlichdimensionaler, irreduzibler KG-Modul ungleich dem trivialen Modul. Dann gibt es ein g\in\ G, sodass dim|menge(v\in\ V | gv=v) <= 1/3*dim(V) ist. \frameoff Der Beweis funktioniert dadurch, dass man schrittweise von beliebigen Gruppen erst auf endlich erzeugte, dann auf endliche, dann auf endliche, einfache, nichtabelsche Gruppen reduziert. Dann benutzt man die Klassifikation, um die sporadischen Gruppen direkt zu überprüfen. Für die Gruppen vom Lie-Typ findet man ein allgemeines Argument. Diverse andere Klassifikationssätze, z.B. von bestimmten Permutationsgruppen nutzen auch immer wieder die Reduktion auf endliche, einfache, nichtabelsche Gruppen und erledigen diese dann per Inspektion der Liste. Zur Frage, ob das mit Jordan-Hölder zusammenhängt... zum Teil. Die Beweise funktionieren sehr oft so, dass man sich minimale Gegenbeispiele ansieht und dann feststellt, dass die einfach sein müssen. Das ist natürlich eine Variante von Jordan-Hölder, aber es hat einen anderen Beigeschmack als ein direktes Argument a la "Wenn alle Kompositionsfaktoren Eigenschaft XYZ haben, dann hat auch G diese Eigenschaft" mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: XadraX am: Do. 17. November 2011 19:37:01
\(\begingroup\)Hallo Gockel, manchmal betrete ich den Matheplaneten und freue mich, da ein neuer Artikel erschienen ist. So auch diesmal. Da ich sehr an Gruppen interessiert bin, werde ich deine angekündigte Artikelserie genau verfolgen. Falls du ein kritisches Auge benötigst, würde ich mich freuen, helfen zu dürfen. Einen Daumen hoch gibt es auch von mir für die ausführliche, kommentierte Literaturliste. Viele Grüße, XadraX\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 17. November 2011 19:50:39
\(\begingroup\)Ich freue mich auch schon. Ein Buch folgender Art fehlt meiner Meinung aber auf der Liste: Es zeigt die Existenz und Eindeutigkeit aller(naja fast..) sporadischen Gruppen und berechnet Charaktere etc.: www.amazon.de/Theory-Finite-Simple-Mathematical-Monographs/dp/0521866251/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1321555499&sr=8-1 Es ist nebenbei auch eine der besten Einführungen in die modulare Darstellungstheorie,die ich kenne. gruß,rene. \(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Morris am: Do. 17. November 2011 22:02:51
\(\begingroup\)Hallo Gockel, allzu viel werde ich von der Serie wohl nicht lesen, denn in Algebra habe ich bestenfalls Halbwissen. Umso mehr freue ich mich, daß Deine Einleitung so gut verständlich ist auf für jemanden wie mich. In diesem Sinne ein kleiner Verbesserungsvorschlag: Erwähne doch in der Formulierung des Klassifikationssatzes in Teil b), wofür A_n steht (alternierende Gruppe?). Kleiner Fehler in der Literaturliste: Spezieller zum Thema einfachen Gruppen -> "einfache Gruppen" (ohne "n") oder "der einfachen Gruppen" Gruß Morris\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 14. Januar 2013 14:45:59
\(\begingroup\)Hallo Ihr Lieben, ich weiß nicht ob das Problem bei mir nur existiert, aber ich bräuchte einen bestimmten Link, der leider nicht vorhanden ist: Es handelt sich um: Inhalt -> (4) Die Klassischen Gruppen -> (iv) PSU wurde dieser Abschnitt nicht verfasst, oder kann es sein dass er gelöscht wurde...? Vielen Dank für eure Mühe! \(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Gockel am: Mo. 14. Januar 2013 16:03:22
\(\begingroup\)Der Artikel ist einfach noch nicht erschienen. Er wird aber der nächste in der Reihe sein, der veröffentlicht wird. Ich denke in einer, vielleicht zwei Wochen werde ich ihn veröffentlichen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 17. Januar 2013 10:13:44
\(\begingroup\)Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Mühe die Ihr/du euch/dir macht/machst. \(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Inhalt
von: Gockel am: Di. 12. Februar 2013 13:21:52
\(\begingroup\)Heute ist der PSU-Artikel erschienen. Der Artikel für PΩ ist als nächstes an der Reihe. Fertig geschrieben ist er schon, ich werde ihn aber mit etwas Abstand zu PSU veröffentlichen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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