Mathematik: Einfache Gruppen - Alt(n)
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Mathematik

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Einfache Gruppen A

Hallo Gruppentheorie-Freunde. Dieser Artikel ist der erste der Reihe "Einfache Gruppen". Wir werden uns in diesem Artikel mit Gruppenoperationen und Permutationsgruppen auseinandersetzen. Das Hauptresultat für viele kommende Artikel wird dabei das Lemma von Iwasawa sein, welches wir hier beweisen werden. Außerdem sollen hier die neuen Hilfsmittel gleich angewendet werden, indem wir das Standardresultat beweisen, dass die alternierenden Gruppen Alt(n) für n≥5 einfache Gruppen sind.


Inhalt


Mehr über Gruppenoperationen

Wir kennen aus Teil VI des Gruppenzwangs bereits das Konzept der Gruppenoperationen. Wir wollen hier die Erinnerung daran auffrischen und noch ein paar vertiefende Begriffe einführen. Zunächst erinnern wir an die Definition:
Definition: Gruppenoperation
Ist G eine Gruppe und \Omega eine Menge, so ist eine \darkblue\ array(\(Links\-\)Gruppenoperation)____\black eine Abbildung G\times\Omega\to\Omega: (g,\omega)\mapsto\void^g\.\omega, die folgende Eigenschaften hat: \ll(a)\forall\ g,h\in\ G,\omega\in\Omega: \void^g(\void^h\.\omega)=\void^gh\.\omega \ll(b)\forall\omega\in\Omega: \void^1\.\omega=\omega Für \omega\in\Omega heißt \void^G\.\omega:=menge(\void^g\.\omega | g\in\ G) \darkblue\ Bahn____\black von \omega. Die Untergruppe G_\omega:=menge(g\in\ G | \void^g\.\omega=\omega) heißt \darkblue\ Stabilisator____\black von \omega.
Der wichtige Zusammenhang zwischen Stabilisator und Bahn ist die sogenannte Bahnenformel, die aussagt, dass die Größe der Bahn genau mit dem Index des Stabilisators übereinstimmt: \forall\omega\in\Omega: abs(\void^G\.\omega) = abs(G:G_\omega)

Kern und Treue

Wir wollen als nächstes den Begriff des Kerns einer Operation und den der treuen Operation einführen. Dazu betrachten wir zunächst ein zu Gruppenoperationen äquivalentes Konzept: Jede Gruppenoperation induziert einen Gruppenhomomorphismus G->Sym(\Omega), nämlich \phi: g\mapsto(\omega\mapsto\void^g\.\omega), was man anhand der Definition einer Gruppenoperation sofort sehen kann. Umgekehrt entspricht jedem Homomorphismus \phi:G->Sym(\Omega) eine Operation auf \Omega, nämlich die durch \void^g\.\omega:=\phi(g)(\omega) definierte. Diese Korrespondenzen sind zueinander invers, wie man sich leicht überzeugt. Man verwendet deshalb Homomorphismen in symmetrische Gruppen und Gruppenoperationen oft synonym.
Definition: Kern und Treue
G operiere auf \Omega. Der Kern des Homomorphismus G\to\Sym(\Omega) heißt \darkblue\ array(Kern der Operation)____\black. Die Operation heißt \darkblue\ treu____\black, wenn der Kern der Operation trivial ist.
Man sieht leicht ein, dass es sich beim Kern der Operation um den Durchschnitt aller Stabilisatoren, also um ker(\phi)=cut(G_\omega,\omega\el\Omega) handelt und die Operation genau dann treu ist, wenn (\forall\omega\el\Omega: \void^g\.\omega=\omega)=>g=1 gilt. Weil bei treuen Operationen der Homomorphismus G\to\ Sym(\Omega) eine Einbettung ist, bezeichnet man G in solch einem Zusammenhang auch als Permutationsgruppe auf \Omega, auch wenn diese Einbettung keine Inklusion zu sein braucht.

Transitivität

Ein weiteres wichtiges Prinzip ist das der Transitivität von Gruppenoperationen, welches uns ab jetzt ständig begleiten wird.
Definition: Transitivität
G operiere auf \Omega. Weiter sei k\in\IN_(>=1). Die Operation heißt \darkblue\ array(k\-fach transitiv)____\black, wenn abs(\Omega)>=k ist und für je zwei Tupel (\omega_1, ..., \omega_k) und (\nue_1, ..., \nue_k) von paarweise verschiedenen \(!\) Elementen von \Omega ein g\in\ G existiert, sodass \void^g\.\omega_i=\nue_i für 1<=i<=k gilt. Gibt es genau ein solches g, dann heißt die betreffende Operation auch \darkblue\ array(k\-fach scharf transitiv)____\black. Eine 1\-fach transitive Operation heißt kurz auch \darkblue\ transitiv____\black, eine 1\-fach scharf transitive Operation wird auch \darkblue\ regulär____\black genannt.
\(Mehrfache\) Transitivität sagt uns also, dass die Punkte von \Omega \(bzw. die k\-Tupel von Punkten\) in gewisser Weise "gleichberechtigt" sind. Jede mit der Operation zusammenhängende Eigenschaft, die für einen speziellen Punkt \(ein Punktepaar, ein Punktetripel, ...\) gilt, gilt auch für alle anderen Punkte, da man immer ein g\in\ G finden kann, welches den einen auf den anderen Punkt schickt. Beispielsweise sind bei einer transitiven Operation alle Punktstabilisatoren zueinander konjugiert, da allgemein gG_\omega\.g^(-1)=G_(\void^g\.\omega) gilt und \void^g\.\omega ganz \Omega durchläuft aufgrund der Transitivität. Weiter ist klar, dass G auf jeder Bahn in \Omega transitiv operiert nach Definition der Bahn. Daher werden Bahnen manchmal auch "Transitvititätsgebiete" genannt. Eine Operation ist nun genau dann auf ganz \Omega transitiv, wenn es genau eine Bahn gibt. Wir halten außerdem fest, dass (n+1)-fache Transitivität immer n-fache Transitivität impliziert. Jetzt wird es Zeit, ein Beispiel zu betrachten: So ist z.B. die symmetrischen Gruppen Sym(n) immer scharf n\-fach transitiv in ihrer natürlichen Operation auf der Menge menge(1,2,...,n). Das folgt sofort aus der Definition, weil es eben für je zwei n-Tupel von paarweise verschiedenen Punkten genau eine Permutation gibt, die die beiden Tupel ineinander überführt. Die alternierenden Gruppen Alt(n) sind scharf (n-2)-fach transitiv. Für jedes (n-2)-Tupel (\omega_1, ..., \omega_(n-2)) von paarweise verschiedenen Punkten in menge(1,...,n) gibt es genau zwei Permutationen, die (1,...,n-2) auf (\omega_1, ..., \omega_(n-2)) schicken. Die beiden Permutationen unterscheiden sich genau um die Transposition (n-1,n), also hat auch genau eine von diesen Permutationen das Signum +1. Das zeigt, dass Alt(n) scharf (n-2)-fach transitiv ist wie behauptet. Wir werden jetzt noch ein sehr einfaches, aber nützliches Lemma über Transitivität beweisen:
Lemma 1: Verallgemeinertes Frattini-Argument
G operiere transitiv auf \Omega, \omega\in\Omega sei fest gewählt. Eine Untergruppe H<=G operiert genau dann transitiv auf \Omega, wenn G=HG_\omega
Ist g\in\ G beliebig und H transitiv, so gibt es ein h\in\ H mit \void^g\.\omega=\void^h\.\omega => h^(-1)\.g\in\ G_\omega => g=h(h^(-1)\.g)\in\ HG_\omega => G=HG_\omega Ist umgekehrt G=HG_\omega und \omega^~\in\Omega beliebig, so gibt es ein g\in\ G mit \omega^~=\void^g\.\omega. Wegen G=HG_\omega gibt es h\in\ H, g'\in\ G_\omega mit g=hg'. =>\omega^~=\void^g\.\omega=\void^hg'\.\omega=\void^h\.\omega d.h. H ist auch transitiv auf \Omega. \blue\ q.e.d.
Dieses Lemma ist für den Spezialfall, dass \Omega die Menge Syl_p(N) der p\-Sylowgruppen eines Normalteilers N<|G ist, auf der G durch Konjugation transitiv operiert, auch als \darkblue\ Frattini\-Argument____\black bekannt. Eine Anwendung dieses Lemma, die für uns interessant sein wird, basiert auf der folgenden Idee: Wenn man beweisen will, dass H=G ist, dann reicht es aufgrund des Lemmas zu zeigen, dass H transitiv operiert und G_\omega<=H ist. Bei den klassischen Gruppen in den natürlichen Operationen wird es oft der Fall sein, dass G_\omega eine ähnliche Gruppe, aber in kleinerer Dimension ist, etwa G_\omega=Sp_(2n-2) falls G=Sp_2n war. Dann kann man einen Induktionsbeweis über die Dimension aufziehen. Wir werden das auch bei der ein oder anderen Gelegenheit tun.

Primitivität

Wir haben eben eingesehen, dass jede Bahn einer jeden Operation eine transitive Operation liefert. Das kann man positiv sehen, denn daher werden uns transitive Operationen wahrscheinlich oft begegnen. Das kann man aber auch negativ sehen und sagen, dass wir aufgrund dessen nur sehr wenig allgemeines über transitive Operationen werden sagen können. Wir sollten uns also mehr als nur Transitivität wünschen, wenn wir gute Resultate haben wollen. Es stellt sich heraus, dass höhere Transitivität ein zunehmend seltenes Phänomen ist. So selten in der Tat, dass man hoch transitive Gruppen sehr genau klassifizieren kann. In der Tat werden die natürlichen Operationen der klassischen Gruppen nur in kleinen Dimensionen mehrfach transitiv sein. Ein Mittelding zwischen einfacher und zweifacher Transitivität ist das Konzept der Primitivität einer Operation. Das wird für uns die gewünschte Verschärfung sein, die hinreichend oft auftritt, und viele nichttriviale Resultate zulässt.
Definition: Blocksysteme, Primitivität
G operiere auf \Omega\neq\emptyset. Eine Partition P von \Omega heißt \darkblue\ Blocksystem____\black der Operation, wenn für jedes \Delta\in\ P und jedes g\in\ G entweder \void^g\.\Delta\cap\Delta=\emptyset oder \void^g\.\Delta=\Delta gilt. Die Elemente von P heißen \darkblue\ Blöcke____\black. Die beiden Partitionen P_0 := menge(menge(\omega) | \omega\in\Omega) und P_1=menge(\Omega) sind natürlich immer Blocksysteme. Gibt es nur diese beiden trivialen Blocksysteme, so heißt die Operation \darkblue\ primitiv____\black.
Für einen Block gilt also das Prinzip "Ganz oder gar nicht": Wenn ein g\in\ G auch nur einen kleinen Teil des Blocks \Delta wieder in \Delta abbildet, wird bereits ganz B in sich abgebildet. Da Partitionen und Äquivalenzrelationen sich auf natürliche Weise entsprechen, kann man den Begriff der Primitivität auch an Äquivalenzrelationen festmachen. Man nennt eine Äquivalenzrelation ~ auf \Omega \darkblue\ G\-invariant____\black, wenn \forall\ g\in\ G: x~y<=>\void^g\.x$~\void^g\.y gilt. Man macht sich leicht klar, dass dies denselben Begriff liefert wie der Begriff des Blocksystems für Partitionen. P_0 ist die Entsprechung der Gleichheitsrelation, P_1 die der Allrelation. Primitivität kann also auch so definiert werden, dass eine Gruppe primitiv heißt, wenn sie nur mit diesen beiden trivialen Äquivalenzrelationen G\-invariant ist. Mit dieser Sichtweise ist der Begriff des Rangs einer Operation verbunden. G operiert ja auch auf \Omega\times\Omega durch \void^g\.(\omega,\nu):=(\void^g\.\omega,\void^g\.\nu). Die Anzahl der Bahnen von G auf \Omega\times\Omega heißt \darkblue\ Rang____\black der Operation auf \Omega. Eine der Bahnen ist immer die Diagonale \D:=menge((\omega,\omega) | \omega\el\Omega), d.h. der Rang ist eine Zahl größergleich 2. Aus der Definition folgt sofort, dass G genau dann 2\-transitiv operiert, wenn es abgesehen von der Diagonalen \Delta nur noch eine einzige Bahn gibt, d.h. wenn der Rang gleich 2 ist. Wenn man etwa Primitivität einer Operation beweisen will, dann sind die Bahnen auf \Omega\times\Omega interessant. Ist nämlich R\subseteq\Omega\times\Omega eine G\-invariante Äquivalenzrelation, so muss R aufgrund der Definition eine Vereinigung von Bahnen von G auf \Omega\times\Omega sein. Wenn man die Bahnen jetzt gut genug kennt, dann kann man so möglicherweise beweisen, dass nur R=\Delta oder R=\Omega\times\Omega möglich sind, d.h. G primitiv auf \Omega operiert. Der erste Schritt in vielen Primitivitätsbeweisen ist daher oft ein Beweis, das G als Rang\-3\-Gruppe auf \Omega operiert o.Ä. Wir werden dieser Art von Beweisen bei den klassischen Gruppen noch begegnen. Ich sagte eingangs schon, dass Primitivität ein "Mittelding" zwischen ein- und zweifacher Transitivität sei. Das wollen wir nun rechtfertigen: Jede 2\-fach transitive Operation ist nämlich auch primitiv, denn ist etwa \Delta irgendeine echte Teilmenge von \Omega mit mindestens zwei Elementen \omega_1 und \omega_2, dann gibt es ein \nu\in\Omega\\\Delta und wegen der 2\-Transitivität ein g\el\ G mit \void^g\.\omega_1=\omega_1 und \void^g\.\omega_2=\nu => \void^g\.\Delta\cap\Delta!=\emptyset und \void^g\.\Delta!=\Delta, also kann \Delta kein Block sein. Andererseits ist jede nichttriviale, primitive Operation stets 1\-fach transitiv, denn die Bahnen einer Operation bilden natürlich ein Blocksystem. Und wenn es nur triviale Blocksysteme geben soll, dann kann es auch nur eine Bahn geben. Wir wollen noch zwei Lemmata über Primitivität beweisen, bevor wir zum entscheidenden Satz dieses und der folgenden Artikel kommen, dem Lemma von Iwasawa. Wir werden die beiden nun folgenden Lemmata vor allem zum Beweis eben dieses Satzes brauchen, aber sie sind für die Theorie der primitiven Permutationsgruppen auch von eigener Bedeutung.
Lemma 2: Korrespondenzsatz für Gruppenoperationen
\ Sei G transitiv auf \Omega und \omega\in\Omega fest. Dann gibt es eine inklusionstreue Bijektion zwischen den G\-äquivarianten Äquivalenzrelationen, und den Untergruppen U mit G_\omega<=U<=G. Insbesondere ist die Operation genau dann primitiv, wenn G_\omega eine maximale Untergruppe von G ist.
Die Bijektionen sind schnell gefunden: Es ist in der einen Richtung die Abbildung R\mapsto\ U_R:=menge(g\in\ G | (\omega,\void^g\.\omega)\in\ R). Man überzeugt sich leicht, dass das eine Untergruppe von G ist, die G_\omega enthält. Ist umgekehrt U eine Untergruppe mit G_\omega<=U, dann definiere R_U:=menge((\void^g\.\omega,\void^gu\.\omega) | g\in\ G, u\in\ U). Wir überzeugen uns, dass R_U eine Äquivalenzrelation ist: Die Reflexivität folgt mit der Wahl u=1 daraus, dass G transitiv auf \Omega operiert. Symmetrie folgt daraus, dass für g':=gu ja auch g=g'u^(-1) gilt. Die Transitivität folgt so: Sind (\nu_1, \nu_2), (\nu_2, \nu_3)\in\ R_U, dann gibt es g,g'\in\ G sowie u,u'\in\ U mit \nu_1 = \void^g\.\omega \and \nu_2=\void^gu\.\omega \nu_2 = \void^g'\.\omega \and \nu_3=\void^g'u'\.\omega Daher ist u^(-1)\.g^(-1)\.g'\in\ G_\omega\subseteq\ U und somit ist auch v:=g^(-1)\.g'u' ein Element von U. => gv=g'u' und somit \nu_3 = \void^gv\.\omega => (\nu_1, \nu_3)\in\ R_U. Daher ist R_U eine Äquivalenzrelation. Die G\-Äquivarianz ist durch die Definition sichergestellt. Wir werden zeigen, dass R\mapsto\ U_R und U\mapsto\ R_U zueinander inverse Bijektionen sind. Sei U also eine beliebige Untergruppe mit G_\omega<=U. Dann gilt: g\in\ U_R_U <=> (\omega,\void^g\.\omega)\in R_U <=> \exists\ g'\in\ G, u\in\ U: \omega=\void^g'\.\omega \and \void^g\.\omega=\void^g'u\.\omega <=> \exists\ g'\in\ G_\omega, u\in\ U: g^(-1)\.g'u\in\ G_\omega <=> g^(-1)\in\ U, da G_\omega\subseteq\ U Das zeigt schon U_R_U=U, also eine der gewünschten Identitäten. Andererseits gilt für alle G\-äquivarianten Äquivalenzrelationen R: (\nu_1, \nu_2)\in\ R_U_R <=> \exists\ g\in\ G, u\in\ U_R: \nu_1=\void^g\.\omega, \nu_2=\void^gu\.\omega In dieser Situation gilt \void^u\.\omega R \omega aufgrund der Definition, also \nu_2=\void^gu\.\omega R \void^g\.\omega = \nu_1, da R ja G\-äquivariant ist. Das zeigt (\nu_1, \nu_2)\in\ R. Weil (\nu_1, \nu_2)\in\ R_U_R beliebig war, folgt R_U_R\subseteq\ R. Ist anders herum (\nu_1, \nu_2)\in\ R beliebig, dann gibt es wegen der Transitivität ein g\in\ G mit \nu_1=\void^g\.\omega und ein h\in\ G mit \nu_2=\void^h\.\omega. Daraus folgt u:=g^(-1)\.h\in\ G_\omega\subseteq\ U_R. Daher können wir auch \nu_2=\void^gu\.\omega schreiben und haben somit R \subseteq\ R_U_R gezeigt. Also gilt auch R=R_U_R und es ist bewiesen, dass die beiden Bijektionen zueinander invers sind. Anhand der Definitionen sieht man auch, dass sie beide inklusionserhaltend sind. \blue\ q.e.d.
Nun zum zweiten Lemma, das wir schneller beweisen können:
Lemma 3
G operiere primitiv auf \Omega. Ist N<|G, so operiert N seinerseits transitiv auf \Omega oder ist im Kern der Operation enthalten.
Die Bahnen unter der auf N eingeschränkten Operationen bilden ein Blocksystem auf \Omega. Dies sieht man wie folgt ein: \void^g\.menge(\void^n\.\omega | n\el\ N)=menge(\void^gn\.\omega | n\el\ N)=menge(\void^mg\.\omega | m\el\ N) \(Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen gN=Ng\) Also wird die N\-Bahn von \omega durch g auf die N\-Bahn von \void^g\.\omega abgebildet. Da insbesondere je zwei Bahnen disjunkt sind, bilden die Bahnen ein Blocksystem. Die Bahnen können somit nur eine der beiden trivialen Partitionen von \Omega induzieren. Ist jede N\-Bahn einelementig, dann hält N \Omega elementweise fest, ist also im Kern der Operation enthalten. Andernfalls kann es nur eine einzige Bahn von N auf \Omega geben und das heißt dann gerade, dass N transitiv operiert. \blue\ q.e.d.

Das Lemma von Iwasawa

Das Lemma von Iwasawa wird in diesem und den folgenden Artikel das beweistechnische Werkzeug sein, mit dem wir u.A. die Einfachheit der betrachteten Gruppen beweisen werden. Es sieht zunächst technisch aus, wird seine Stärken aber noch zeigen:
Lemma 4 - Lemma von Iwasawa
Sei G eine Gruppe, die auf \Omega mit Kern K operiert. Weiter gelte (i)$ G ist transitiv auf \Omega, (ii) Es gibt ein auflösbares A<|G_\omega der Auflösbarkeitsstufe <=m mit $ $ $ G=braket(gAg^(-1),g\in\ G) Unter diesen Voraussetzungen gilt: (a) Ist N<|G transitiv, so ist G\/N zu einem Quotienten von A isomorph. $ $ Insbesondere gilt G^(m)\subseteq\ N. (b) Ist G perfekt \(d.h. G^(1)=G\) und die Operation primitiv, so ist G\/K $ $ einfach. Dabei meint G^(m) die m\-te Kommutatorgruppe von G, d.h. G^(0):=G und G^array((m+1)):=(G^(m))'
N ist transitiv, also folgt aus \ref(Lemma 2) G=NG_\omega. Sei nun g\el\ G beliebig und g=ns mit n\el\ N, s\in\ G_\omega. Dann gilt gAg^(-1)=nsAs^(-1)\.n^(-1)=nAn^(-1) da A<|G_\omega. Also sind die Konjugierten von A gerade die N\-Konjugierten von A, welche wiederum in der Untergruppe NA enthalten sind. Da diese Konjugierten nun ganz G erzeugen, ist G=NA. Daraus schließen wir nun G\/N=NA\/N~=A\/(N\cut\ A). Daher ist G\/N auflösbar mit Auflösbarkeitsstufe <=m. Also gilt 1=(G\/N)^(m)=G^(m)\.N\/N => G^(m)\subseteq\ N. Das zeigt die erste Behauptung. \blue\checked Sei 1 Mit diesem Satz, speziell der Aussage (b), werden wir in der Tat die Einfachheit der meisten Gruppen nachweisen können, die wir betrachten werden. Die Voraussetzungen des Lemmas sind bei den klassischen Gruppen fast wie von selbst erfüllt, da es mehr oder weniger kanonische, primitive Operationen zu jeder dieser Gruppen gibt, die alle diese Voraussetzungen erfüllen. Das Schwierigste ist oft, nachzuweisen, dass G perfekt ist, aber das werden wir noch früh genug zu spüren bekommen. Wir können damit aber als besonderes Schmankerl auch die Einfachheit von Alt(5) nachweisen:
Satz 5: Kommutatoren und Einfachheit von Alt(5)
(a) Sym(n)'=Alt(n) für alle n>=3 und Alt(n)'=Alt(n) für n>=5. $ $ Insbesondere endet die Kommutatorreihe von Sym(5) bei Alt(5). (b) Alt(5) ist einfach.
a. Seien a,b,c\in\ menge(1,...,n) paarweise verschieden. Dann gilt: [(ab),(bc)] = (acb) Das zeigt, dass Sym(n)' alle 3\-Zyklen enthält, also auch Alt(n)\subseteq\ Sym(n)', weil Alt(n) von allen 3\-Zyklen erzeugt wird. Da Sym(n)\/Alt(n) abelsch ist, ist auch Sym(n)'\subseteq\ Alt(n). Sind a,b,c,d,e\in\ menge(1,...,n) paarweise verschieden, so gilt weiter [(abc),(cde)]=(abc)(cde)(abc)^(-1)(cde)^(-1)=(abcde)(baced)=(adc) Daher enthält (Alt(n))' alle 3\-Zyklen für n>=5. Also ist Alt(n)'=Alt(n) wie behauptet. \blue\checked. b. Alt(5) operiert 3\-fach transitiv und treu auf der Menge {1,2,3,4,5}. Insbesondere operiert G also primitiv darauf. Der Stabilisator Alt(5)_5 ist zu Alt(4) isomorph und enthält die kleinsche Vierergruppe V_4 = menge(id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)), welche abelsch und ein Normalteiler von Alt(4) ist. Wegen (12)(34)*(12)(45) = (345) erzeugen die Konjugierten der Doppel\-Transpositionen einen und daher alle 3\-Zyklen. Die Konjugierten von V_4 erzeugen also ganz Alt(5). Außerdem ist Alt(5) nach \ref(a) perfekt, daher folgt aus Iwasawas Lemma, dass Alt(5) einfach ist. \blue\ q.e.d.
Leider kann man das Verfahren nicht für die alternierenden Gruppen höheren Grades anwenden, denn deren Einpunkt-Stabilisatoren sind dann selbst nicht-abelsche, einfache Gruppen. Wir werden später andere Beweise angeben, die das Lemma von Iwasawa anwenden. Sie benutzen eine andere Operation von Alt(n) als die natürliche auf {1,2,...,n}. Mit einer ganz anderen Methode werden wir aber aus der Einfachheit von Alt(5) einen induktiven Einfachheitsbeweis basteln:

Äquivalenz

Wie eine Gruppe operiert, ist natürlich a priori nicht festgelegt, es gibt i.d.R. mehrere Möglichkeiten, eine Operation festzulegen. Meistens wird eine bestimmte Operation aus dem Kontext vorgegeben sein. Es wird uns während der kommenden Beweise allerdings auch ein, zwei Mal passieren, dass wir verschiedene Operationen miteinander in Verbindung setzen müssen. Dazu definieren wir uns nun den Begriff der Äquivalenz von Gruppenoperationen: define(labelOmega1,\Omega_1) define(labelOmega2,\Omega_2) define(labelphi,\phi2) define(labelg,g) define(labelphig,f(g)) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.2) konst(dy,0.2) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-1.25,1.45) y(-1.25,1.25) noaxis() ebene(280,250) nolabel() punktform(.) node(-1, 1,A) node( 1, 1,B) node(-1,-1,C) node( 1,-1,D) arrow(A.E,B.W,ar1) arrow(A.S,C.N,ar2) arrow(B.S,D.N,ar3) arrow(C.E,D.W,ar4) print(\labelOmega1,-1.10, 1.05) print(\labelOmega2, 0.90, 1.05) print(\labelOmega1,-1.10,-0.95) print(\labelOmega2, 0.90,-0.95) print(\labelphi,-0.05, 1.15) print(\labelphi,-0.05,-1.05) print(\labelg ,-1.10,0.05) print(\labelphig, 1.05,0.05) \geooff Sind G_1 und G_2 Gruppen, die auf den Mengen \Omega_1 bzw. \Omega_2 operieren, dann heißen diese Operationen \darkblue\ äquivalent____\black||, wenn es einen Gruppenisomorphismus f:G_1->G_2 und eine Bijektion \phi2:\Omega_1->\Omega_2 gibt, sodass \forall\ g\in\ G_1 \forall\omega\in\Omega_1: \phi2(\void^g\.\omega)=\void^array(f(g))\.\phi2(g) gilt. D.h. es ist egal, ob ich erst g in \Omega_1 anwende und dann zu \Omega_2 wechsele oder ob ich erst zu \Omega_2 wechsele und dort f(g) anwende: Das Diagramm geoprint() kommutiert. Oft wird in der Literatur nur der Fall G_1=G_2 und \phi2=id für Äquivalenzen betrachtet. Wir lassen hier den allgemeineren Fall zweier verschiedener Gruppen zu, weil es an ein, zwei Stellen vorkommen wird, dass wir zwei augenscheinlich verschiedene Gruppen, die auf verschiedenen Mengen operieren, als äquivalent erkennen müssen. Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff für Gruppen mit Operationen, denn die Definition sagt ja eigentlich nichts Anderes, als dass beide Gruppen auf ihren Mengen gleichwertig operieren, die Unterschiede sind rein kosmetischer Natur, liegen also nur in der Bezeichnung der Elemente, nicht in der Struktur an sich. Das macht auch klar, dass sich alle Begriffe, die wir für Operationen eingeführt haben, zwischen äquivalenten Operationen übertragen: Ist eine Operation treu/primitiv/k-fach transitiv/..., so ist dies auch die dazu äquivalente. Die Stabilisatoren und der Kern der einen Operation werden durch den Gruppenisomorphismus auf die Stabilisatoren und den Kern der anderen Operation abgebildet usw., etc., pp. Beispiel: Ist G transitiv auf \Omega und \omega\in\Omega fest gewählt, so ist die Operation von G auf \Omega äquivalent zu der auf den Nebenklassen G\/G_\omega. Im Zuge des Beweises der Bahnenformel hat man einmal nachgerechnet, dass xG_\omega \mapsto \void^x\.\omega eine Bijektion von G\/G_\omega auf die Bahn von \omega, d.h. wegen Transitivität auf ganz \Omega ist. Man sieht außerdem sofort, dass dies mit der Operation von G verträglich ist, also eine Äquivalenz \(mit G_1=G_2 und \phi2=id\).

Reguläre Normalteiler

Bei mehrfach transitiven Gruppen kann man \(und wir werden natürlich auch\) ein induktives Argument zur Beweis der Einfachheit heranziehen. Um das zu tun, widmen wir uns kurz der Untersuchung von Normalteilern N<|G, die regulär auf \Omega operieren:
Lemma 6
Sei G eine Gruppe, die auf \Omega operiert. Sei N<|G ein regulär operierender Normalteiler und \omega\el\Omega. Dann ist die Operation von G_\omega auf N\\{1} durch Konjugation äquivalent zur Operation von G_\omega auf \Omega\\{\omega}
Wir betrachten die Abbildung \phi: N->\Omega, die durch n\mapsto\void^n\.\omega gegeben ist. Da N regulär operiert, ist das eine Bijektion, da es immer genau ein n\el\ N gibt, welches \omega auf ein gegebenes \nue abbildet. Es gilt also \phi(n)=\nue <=>\void^n\.\omega=\nue. Diese Bijektion ist nun die Äquivalenz, die wir suchen. Sie bildet offenbar N\\{1} bijektiv auf \Omega\\{\omega} ab. Außerdem gilt für s\el\ G_\omega, n\el\ N\\{1} : \phi(sns^(-1))=\void^(sns^(-1))\.\omega=\void^sn\.\omega=\void^s(\void^n\.\omega)=\void^s\.\phi(n) \blue\ q.e.d.
Es gibt starke Einschränkungen, wie oft transitiv die Automorphismengruppen auf einer Gruppe operieren können. Daraus ergeben sich mittels des obigen Lemmas ebenso starke Einschränkungen für die Existenz und Struktur von regulären Normalteilern:
Lemma 7
Sei G eine endliche Gruppe und k\in\IN_>=1. (a) Aut(G) operiere k\-fach transitiv auf G\\\{1\}. Dann gilt: $ (i) $ G ist eine elementar\-abelsche p\-Gruppe. $ (ii) $Falls k>=2, dann ist p=2 oder G~=\IZ\/3. $ (iii) Falls k>=3, dann ist G~=V_4. $ (iv) $k>=4 kommt nicht vor. (b) G operiere k\-fach transitiv auf \Omega und N sei ein regulärer Normalteiler. $ (i) $ Falls k>=2, dann ist N eine elementar\-abelsche p\-Gruppe. $ (ii) $Falls k>=3, dann ist p=2 oder N~=\IZ\/3. $ (iii) Falls k>=4, dann ist N~=V_4. $ (iv) $k>=5 kommt nicht vor.
a.i. Ist Aut(G) transitiv auf G^\#:=G\\\{1\}, so heißt das u.A., dass alle Elemente von G^\# dieselbe Ordnung p>1 haben müssen. Wäre p zusammengesetzt, etwa p=ab mit a,b>1, dann hätte jedes Element der Form g^a, g\in\ G^\# die Ordnung 12. Wir zeigen abs(G)=3. Betrachte g\in\ G^\# und die Untergruppe \=menge(g,g^2,...)\subseteq\ G. Gäbe es mehr als die zwei Elemente g,g^2 in G^\#, etwa g!=h!=g^2, dann könnte man wegen der zweifachen Transitivität einen Automorphismus \alpha finden, sodass \alpha(g)=g, aber \alpha(g^2)=h. Das widerspricht \alpha(g^2)=\alpha(g)^2!=h. Also kann G^\# höchstens zwei Elemente enthalten, d.h. abs(G)=3, da p>2. \blue\checked a.iii. Ist Aut(G) sogar 3\-fach transitiv \(was abs(G^\#)>=3 voraussetzt\), dann betrachte zwei verschiedene Elemente g,h\in\ G^\#. Weil sie verschieden sind und nach ii. p=2 ist, ist gh weder gleich 1 noch g noch h. Gäbe es ein Element x\in\ G^\#\.\\\{g,h,gh\}, so könnte man wieder einen Automorphismus \alpha finden mit \alpha(g)=g, \alpha(h)=h, \alpha(gh)=x im Widerspruch zu \alpha(gh)=\alpha(g)\alpha(h)=gh. Also muss G^\#=\{g,h,gh\} sein, d.h. G ist die Klein'sche Vierergruppe.\blue\checked a.iv. 4\-fache Transitivität setzt abs(G^\#)>=4 voraus, was sich nicht mit iii. verträgt. \blue\checked b. folgt nun direkt aus a., denn wie in \ref(Lemma 6) bewiesen ist die Operation von G_\omega auf \Omega\\\{\omega\} äquivalent zur Operation von G_\omega auf N^\# per Konjugation. Operiert G k\-fach transitiv auf \Omega, so ist G_\omega (k-1)-fach transitiv auf \Omega\\\{\omega\} wie oben bereits einmal bemerkt. Also ist G_\omega (k-1)-fach transitiv auf N^\#. Da G_\omega<=G, operiert somit auch G (k-1)\-fach transitiv auf N^\# durch Konjugation. Konjugationen sind Automorphismen von N, also operiert Aut(N) (k-1)\-fach transitiv auf N^\#. Jetzt greift a. durch und zeigt alle Aussagen von b. auf einen Schlag. \blue\ q.e.d.
Da wir - wie oben gesehen - eine Bijektion von N auf Ω haben, wenn N regulär operiert, gibt es reguläre Normalteiler also nur vergleichsweise selten. Zusammen mit folgendem Satz wird diese Erkenntnis eine mächtige Waffe für Einfachheitsbeweise sein:
Lemma 8
Operiert G primitiv auf \Omega und sind alle G_\omega einfach, dann ist jeder echte Normalteiler N\subsetnoteq\ G entweder regulär oder im Kern der Operation enthalten.
Sei N<|G. Dann wissen wir, dass N entweder im Kern der Operation K enthalten ist oder selbst transitiv operiert. Wir nehmen also an, dass N transitiv ist und zeigen, dass N regulär ist. array(1. Fall)__: G_\omega\subseteq\ N für ein \omega\el\Omega. Wegen der Primitivität von G ist G_\omega maximal und wegen der Transitivität von N ist G_\omega!=N => N=G, was ein Widerspruch dazu ist, dass N echt in G enthalten ist. array(2. Fall)__: G_\omega\cut\ N eine echte Untergruppe von G_\omega für alle \omega\in\Omega. Da G_\omega eine einfache Gruppe ist, muss {1}=G_\omega\cut\ N=N_\omega sein. Da dies für alle \omega\el\Omega gilt, operiert N also regulär auf \Omega. \blue\ q.e.d.

Normalteiler in Sym(n) und Alt(n)

Mit Hilfe des eben bewiesenen Satzes können wir uns nun auch sofort den restlichen alternierenden Gruppen zuwenden:
Satz 9: Normalteiler von Sym(n) und Einfachheit von Alt(n)
Sei n>=5. (a) Alt(n) ist einfach. (b) Die einzigen Normalteiler von Sym(n) sind 1, Alt(n), Sym(n).
a. Den Fall n=5 haben wir schon. Den Rest bekommen wir durch Induktion und das vorherige Lemma, denn für n>=6 operiert A_n (n-2)\-fach, also mindestens 4\-fach transitiv auf {1,...,n}, also insbesondere primitiv. Die Stabilisatoren sind zu A_(n-1) isomorph, also nach Induktionsvorausetzung selbst einfach. Nach \ref(Lemma 7) kann es keine regulären Normalteiler in A_n geben. Gäbe es nämlich einen solchen, wäre A_n höchstens 4\-fach transitiv => n<=6. Für n=5 wissen wir, dass es keine regulären Normalteiler gibt, für n=6 müsste ein solcher isomorph zu V_4 sein => n=4 => \blitz Also ist A_n nach \ref(Lemma 8) einfach. \blue\checked b. Ist 1 Wir werden Lemma 7 und 8 auch benutzen, um die Einfachheit der Mathieu-Gruppen nachzuweisen, denn auch diese sind hochtransitive Gruppen. Es stellt sich in der Tat als Korollar von CFSG heraus, dass jede treue, mindestens vierfach transitive, endliche Gruppe entweder Sym(n), Alt(n) oder eine Mathieu-Gruppe ist. Als Zugabe möchte ich einen zusätzlichen Beweis vorstellen, der die Einfachheit von Alt(n) für n>5 nur durch das Lemma von Iwasawa beweist:
Satz 10: Einfachheit von Alt(n)
(a) Alt(6) ist einfach. (b) Für n>=7 ist Alt(n) einfach.
a. Wir benutzen hierfür nicht die natürliche Operation auf M:=menge(1,2,...,n), denn bei der haben wir schon festgestellt, dass die Voraussetzungen des Lemmas von Iwasawa nicht erfüllt sind. Stattdessen benutzen wir für n=6 die Operation von Alt(M) auf \Omega:=menge(A\subseteq\ M | abs(A)=2) Weil Alt(M) 4-transitiv ist, ist es auch transitiv auf \Omega. Wir zeigen, dass die OP in der Tat primitiv ist. array(Schritt 1:)__ Alt(M) operiert als Rang\-3\-Gruppe auf \Omega Man macht sich sehr leicht klar, dass die Bahnen von Alt(M) auf \Omega\times\Omega genau \Delta = menge((A,A) | A\in\Omega) X_0 = menge((A,B) | abs(A\cap\ B)=0) X_1 = menge((A,B) | abs(A\cap\ B)=1) sind: Man kann zu jedem Paar (A,B)\in\ X_0 eine Permutation angeben, die menge(1,2) auf A und menge(3,4) auf B schickt. Indem man nötigenfalls eine Transposition davorschaltet, die menge(1,2) und menge(3,4) festlässt \(z.B. (56)\), erhält man auch eine Permutation in Alt(M), die das erledigt. Ganz analog findet man zu jedem Paar (A,B)\in\ X_1 eine Permutation, die menge(1,2) auf A und menge(2,3) auf B schickt. Indem man nötigenfalls wieder die Transposition (56) dazuschaltet, landet man wieder in Alt(M). array(Schritt 2:)__ Alt(M) operiert primitiv auf \Omega Angenommen, es gibt eine Äquivalenzrelation R\subseteq\Omega\times\Omega, die invariant unter der Operation ist, d.h. eine Vereinigung von einigen der drei Bahnen aus Schritt 1. Wir zeigen nun die folgenden beiden Aussagen: array(Schritt 2.1:)__ X_0\subseteq\ R => X_1\subseteq\ R Weil Alt(M) transitiv auf X_1 und R invariant ist, reicht es uns zu zeigen, dass (menge(1,2), menge(2,3))\in\ R ist. Dazu beobachten wir: (menge(1,2), menge(4,5))\in\ X_0\subseteq\ R (menge(4,5), menge(2,3))\in\ X_0\subseteq\ R Weil R eine Äquivalenzrelation, also transitiv ist, folgt (menge(1,2), menge(2,3))\in\ R wie gewünscht. array(Schritt 2.2:)__ X_1\subseteq\ R => X_0\subseteq\ R Dies funktioniert analog. Wir zeigen, dass (menge(1,2), menge(3,4))\in\ R ist, indem wir beobachten, dass (menge(1,2), menge(2,4))\in\ X_1\subseteq\ R (menge(2,4), menge(3,4))\in\ X_1\subseteq\ R ist und somit aus der Transitivität wieder (menge(1,2), menge(3,4))\in\ R folgt. Beide Aussagen zusammen sagen uns, dass entweder R=\Delta oder R=\Omega\times\Omega ist. Das heißt also, dass Alt(M) primitiv auf \Omega operiert. array(Schritt 3:)__ Stabilisatoren Ist A\in\Omega, so ist der Stabilisator Alt(M)_A durch menge(\pi*\sigma | \pi\in\ Sym(A), \sigma\in\ Sym(M\\A), sgn(\pi)=sgn(\sigma)) ~= Sym(M\\A) gegeben. Weil abs(M\\A)=4 ist, enthält Sym(M\\A) eine Kopie der Klein'schen Vierergruppe als abelschen Normalteiler. Für A=menge(1,2) ist das etwa die Untergruppe menge(1, (34)(56), (35)(46), (36)(45)) Wir haben in Satz 5 schon einmal festgestellt, dass die Doppeltranspositionen alle 3\-Zyklen und daher ganz Alt(M) erzeugen. Das heißt unserer abelscher Normalteiler von Alt(M)_A erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas von Iwasawa. array(Schritt 4:)__ Einfachheit Jetzt haben wir alles zusammen. Aus \ref(Satz 5) wissen wir, dass Alt(6) perfekt ist. Wir haben eine primitive Operation und den abelschen Normalteiler in den Stabilisatoren, dessen Konjugierten ganz Alt(6) erzeugen. Das sind alle Zutaten, die wir für das Lemma von Iwasawa brauchen. Es folgt, wie gewünscht, dass Alt(6) einfach ist. \blue\checked b. Wir betrachten jetzt die Operation auf den drei__elementigen Teilmengen, d.h. auf \Omega:=menge(A\subseteq\ M | abs(A)=3) und gehen im Wesentlichen analog zu a. vor. Weil n-2>=5>3 ist, ist Alt(M) transitiv auf \Omega. Wir wollen zeigen, dass die Operation auch primitiv ist. array(Schritt 1:)__ Alt(M) operiert als Rang\-4\-Gruppe auf \Omega Man macht sich sehr leicht klar, dass die Bahnen von Alt(M) auf \Omega\times\Omega genau \Delta = menge((A,A) | A\in\Omega) X_0 = menge((A,B) | abs(A\cap\ B)=0) X_1 = menge((A,B) | abs(A\cap\ B)=1) X_2 = menge((A,B) | abs(A\cap\ B)=2) sind: Man kann zu jedem Paar (A,B)\in\ X_0 eine Permutation angeben, die menge(1,2,3) auf A und menge(4,5,6) auf B schickt. Indem man nötigenfalls eine Transposition davorschaltet, die menge(1,2,3) und menge(4,5,6) festlässt \(z.B. (12)\), erhält man auch eine Permutation in Alt(M), die das erledigt. Ganz analog findet man zu jedem Paar (A,B)\in\ X_1 eine Permutation, die menge(1,2,3) auf A und menge(3,4,5) auf B schickt. Indem man nötigenfalls (12) dazuschaltet, landet man wieder in Alt(M). Und zu guter Letzt kann man auch immer menge(1,2,3) auf A und menge(2,3,4) auf B schicken, wenn (A,B)\in\ X_2 ist. Mit der Transposition (23) kann man nötigenfalls das Signum korrigieren. array(Schritt 2:)__ Alt(M) operiert primitiv auf \Omega Angenommen, es gibt eine Äquivalenzrelation R\subseteq\Omega\times\Omega, die invariant unter der Operation ist, d.h. eine Vereinigung von einigen der vier Bahnen aus Schritt 1. Wir zeigen nun die folgenden drei Aussagen: array(Schritt 2.1:)__ X_0\subseteq\ R => X_1\subseteq\ R Weil Alt(M) transitiv auf X_1 und R invariant ist, reicht es uns zu zeigen, dass (menge(1,2,3), menge(3,4,5))\in\ R ist. Da n>=7 ist, haben wir noch die Positionen 6 und 7 übrig, mit denen wir jetzt arbeiten, denn nach Voraussetzung ist (menge(1,2,3), menge(4,5,6)) \in\ X_0\subseteq\ R (menge(4,5,6), menge(1,2,7)) \in\ X_0\subseteq\ R (menge(1,2,7), menge(3,4,5)) \in\ X_0\subseteq\ R Weil R eine Äquivalenzrelation, also transitiv ist, folgt (menge(1,2,3),menge(3,4,5))\in\ R wie gewünscht. array(Schritt 2.2:)__ X_1\subseteq\ R => X_2\subseteq\ R Das geht jetzt ganz ähnlich. Wir zeigen, dass (menge(1,2,3), menge(2,3,4))\in\ R ist. Das folgt analog aus (menge(1,2,3), menge(3,6,7))\in\ X_1\subseteq\ R (menge(3,6,7), menge(2,3,4))\in\ X_1\subseteq\ R und der Transitivität von R. array(Schritt 2.3:)__ X_2\subseteq\ R => X_0\subseteq\ R Auch das geht ähnlich: (menge(1,2,3), menge(2,3,7))\in\ X_2\subseteq\ R (menge(2,3,7), menge(3,4,7))\in\ X_2\subseteq\ R (menge(3,4,7), menge(4,5,7))\in\ X_2\subseteq\ R (menge(4,5,7), menge(4,5,6))\in\ X_2\subseteq\ R Mit der Transitivität folgt die Behauptung. Aus diesen drei Aussagen folgt nun, dass R entweder nur \Delta oder ganz \Omega\times\Omega sein muss. Das ist genau die Aussage, dass die Operation auf \Omega primitiv ist. array(Schritt 3:)__ Stabilisatoren Der Stabilisator von A\in\Omega ist, wie man sich leicht klarmacht, gleich menge(\pi*\sigma | \pi\in\ Sym(A), \sigma\in\ Sym(M\\A), sgn(\pi)=sgn(\sigma)) Insbesondere ist Alt(A) ein Normalteiler davon. Weil abs(A)=3, ist Alt(A) zyklisch von Ordnung 3, also insbesondere abelsch. Alt(A) enthält außerdem die beiden 3\-Zyklen, die A permutieren. Die Konjugierten diese beiden Zyklen sind alle anderen 3\-Zyklen, d.h. die Konjugierten von Alt(A) erzeugen ganz Alt(n). array(Schritt 4:)__ Einfachheit Alles zusammen liefert uns jetzt die gewünschte Aussage. Wir wissen aus \ref(Satz 5), dass Alt(M) perfekt ist. Wir haben gezeigt, dass die Operation auf \Omega primitiv ist, die Stabilisatoren einen abelschen Normalteiler haben, dessen Konjugierten ganz Alt(M) erzeugen. Das sind alle Zutaten, die man für das Lemma von Iwasawa benötigt. Es folgt, dass Alt(M) einfach ist. \blue\ q.e.d.

Abschluss

Nachdem wir nun das Lemma von Iwasawa kennen, haben wir das wesentliche Hilfsmittel für die kommenden Einfachheitsbeweise. Jetzt müssen wir "nur" noch dafür sorgen, dass die Voraussetzungen erfüllt sind. In den nächsten Artikeln werden wir Geometrien kennenlernen, aus denen heraus wir die klassischen Gruppen definieren werden und welche uns die natürlichen Operationen liefern, auf welche das Lemma von Iwasawa dann angewandt werden wird.

Die Reihe "Einfache Gruppen"

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: Mathematik :: Einfache Gruppen :: Gruppentheorie :: Permutationen :: Alternierende Gruppen :: Reine Mathematik :
Einfache Gruppen - Alt(n) [von Gockel]  
Erster Teil der Reihe über Gruppenoperationen. Die Einfachheit von Alt(n) wird auf zwei verschiedene Weisen bewiesen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Mathematik: Einfache Gruppen - Alt(n)" | 4 Comments
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Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von: Martin_Infinite am: So. 20. November 2011 20:04:05
\(\begingroup\)Vielen Dank für diesen interessanten Artikel. Ein paar Anmerkungen (teilweise auch für andere Leser): 1) Warum wird bei der Definition einer Gruppenoperation angenommen, dass $\Omega$ nichtleer ist? Das entspricht nicht wirklich der allgemeinen Definition aus der universellen Algebra und letzlich brauchst du es auch nicht, zumal transitive Gruppenoperationen per Definition genau eine Bahn haben, was schon $\Omega \neq \emptyset$ impliziert. In deinen vorigen Artikeln war das auch nie angenommen. 2) Die k-fache Transitivität auf $\Omega$ hatte ich erst verstanden, als mir jemand verraten hatte, dass dies einfach die Transitivität der Wirkung auf den k-elementigen Teilmengen von $\Omega$ ist ;). 3) Eine G-invariante Äquivalenzrelationen ist eine, welche $gx \sim x$ für alle $g,x$ erfüllt. Man sollte daher die im Artikel eher G-äquivariant nennen. 4) Genauso wie eine Primzahl eine Zahl ist, welche genau zwei Teiler hat, ist eine primitive Operation eine Operation, welche genau zwei Kongruenzrelationen besitzt (diese entsprechen den G-äquivarianten Äquivalenzrelationen). Die Kongruenzrelationen entsprechen den Äquivalenzrelationen, deren Quotient wieder eine Operation ist. Das motiviert den Begriff vielleicht etwas. 5) Was meinst du mit "nichttrivial" bei der Aussage, dass eine nichttriviale primitive Operation stets 1-fach transitiv ist? 6) Vielleicht solltest du noch Blöcke gesondert unabhängig von Blocksystemen definieren, weil du das z.B. bei Lemma 2 brauchst. 7) Lemma 2 ist ein Korollar aus dem Homomorphiesatz für G-Mengen und dem Isomorphismus $\Omega \cong G/G_{\omega}$ von $G$-Mengen. Damit will ich nur sagen, dass hier ein allgemeines Prinzip hinter steckt, dessen Inkarnationen man schon mehrmals gesehen hat und es unnötig ist, es immer wieder erneut durchzurechnen. 8) Die Formulierung "Ist zusätzlich ..." von (b) beim Lemma von Iwasawa klingt so, als ob man auch da noch die Transitivität von N annehmen müsste. Zugegeben das macht keinen Sinn. Aber ich würde noch klarer herausstellen, dass eigentlich (b) die Aussage des Lemmas ist und (a) eine Vorbereitung dafür ist. 9) Allgemeiner bilden die G-Mengen für variable G eine Kategorie. Das kommutative Diagramm für deren Vorstellung bleibt bestehen, und die Isomorphismen sind genau das, was du eine Äquivalenz genannt hast. 10) Mir gefällt dieser induktive Beweis für die Einfachheit von An. Sehe ich das richtig, dass man das Lemma von Iwasawa nur für den Fall n = 5 gebraucht hat und die Induktion dann unabhängig davon funktioniert hat? Gruß, Martin PS: Beim Lesen sind mir einige Tippfehler aufgefallen - Änderungsvorschläge sind bereits unterwegs.\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von: Gockel am: Mo. 21. November 2011 21:19:39
\(\begingroup\)Hi Martin. Ich möchte ein Dankeschön für dein (wie so oft) sehr aufmerksames Auge vorausschicken. 1. Pure Faulheit. Ich wollte nicht bei jedem Satz diesen Randfall der leeren Menge prüfen müssen. Jetzt, wo ich aber doch drüber nachdenke, stelle ich fest, dass ich dann auch bei den folgenden Lemmata an einigen Stellen fordern müsste, dass diese oder jene Menge nichtleer ist. Also werde ich die Definition ändern. 2. Nein, das stimmt so nicht. Transitivität auf k-elementigen Teilmengen ist schwächer, weil die Reihenfolge der Elemente ja nicht beachtet wird. Es gilt zwar die Implikation k-fach transitiv => transitiv auf k-elementigen Teilmengen, aber die Umkehrung ist falsch: Alt(n) operiert durchaus transitiv auf den (n-1)- oder n-elementigen Teilmengen von {1,2,...,n}, aber es operiert weder (n-1)- noch n-transitiv. 5. Die triviale Operation ist definiert durch gx:=x für alle g und x. "nichttrivial" ist definiert als "nicht trivial". 😄 Ich hätte an der Stelle auch feststellen können, dass eine primitive Operation, die nicht transitiv ist, sogar $|\Omega|\leq 2$ nach sich zieht, weil sonst $\{\{a\},\{a\}^c\}$ ein Blocksystem wäre, das der Definition widerspräche. Auch hier wieder pure Faulheit der Grund. 6.+7. Naja, "Block" alleine ist aber nicht sinnvoll. Ich glaube, es ist besser, Lemma 2 zu ändern und dort zu erläutern, dass bei einer transitiven Operation mit einem Block bereits das zugehörige Blocksystem eindeutig festgelegt ist (translatiere einfach den Block). Mit Hinblick auf deinen Punkt 7. ist es vielleicht cleverer die Formulierung gleich in "Es gibt eine Bijektion zwischen den G-äquivarianten Äquivalenzrelationen und ..." umzuändern. 4.+7.+9. Danke, das sind wichtige und sinnvolle Hinweise. Jetzt, wo du es sagst, ist es natürlich auch offensichtlich. Da hätte man sich bei Lemma 2 die Arbeit sparen können... Als ich mir die Äquivalenzdefinition so zusammengeschustert habe, dass sie auf meine Bedürfnisse passt, habe ich noch überlegt, ob es sinnvoll ist, eine Kategorie zu diesem Isomorphie-Begriff zu finden und damit zu arbeiten, aber irgendwie habe ich den Gedanke dann wieder vergessen. 10. Ja, man braucht Iwasawas Lemma nur für den Induktionsanfang bei dieser Beweisstrategie. Der Rest geht durch, sobald man weiß, dass Alt(5) einfach ist (was man natürlich auf vielfältige Weisen beweisen kann, etwa indem man einfach feststellt, dass keine Vereinigung von Konjugationsklassen eine echte, nichttriviale Untergruppe bilden kann). 3.+8.+PS Wird geändert. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von: Martin_Infinite am: Di. 22. November 2011 07:06:25
\(\begingroup\)Schön dass die Anmerkungen hilfreich waren. 2) Ich meinte natürlich Transitivitität auf der Menge der k-Tupel aus verschiedenen Elementen :). 5) Ja, das hatte ich mir schon gedacht. Ich war bloß etwas verwirrt wegen der Formulierung, zumal auch einige Bücher Transitivität bei der Primitivität voraussetzen. 6) Ein Block ist eine Teilmenge B mit der Eigenschaft, dass gB sich nur mit B schneidet, wenn gB = B. In diesem Sinne hast du es auch verwendet.\(\endgroup\)
 

Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von: Dune am: Mo. 30. Oktober 2017 00:29:45
\(\begingroup\)Mir ist gerade aufgefallen, dass die Einfachheit von $A_5$ auch eine unmittelbare Folgerung aus Lemma 7 ist. Man braucht für den Induktionsanfang in Satz 9 also gar keinen separaten Ansatz: Angenommen es gibt einen Normalteiler $1 \lneq N \lneq A_5$. Dieser ist transitiv, also gilt $5 \mid |N|$. Wegen $5 \nmid |G/N|$ müssen alle 24 Fünfzykel in $N$ enthalten sein. Es folgt $|N| = 30$. Nun ist $N \cap A_4$ ein Normalteiler der $A_4$, dessen Ordnung ein Teiler von $\mathrm{ggT}(30,12) = 6$ ist. Es folgt $N \cap A_4 = 1$, also ist $N$ ein regulärer Normalteiler der $A_5$. Das widerspricht allerdings Lemma 7.\(\endgroup\)
 

 
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