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Sesquilinear- und quadratische Formen I - Orthogonalität
Dieser Artikel soll als Teil der Reihe "Einfache Gruppen" wichtige Hilfsmittel zur Untersuchung der klassischen Gruppen liefern. Genauer gesagt werden wir uns in diesem Artikel mit Sesquilinearformen und quadratischen Formen beschäftigen, die den klassischen Gruppen über beliebigen Körpern eine geometrische Interpretation geben, sowie gewisse geometrische Konzepte verallgemeinern, die man aus der Betrachtung von und kennt, etwa den Begriff des Skalarprodukts und der davon induzierten Norm.
Diese verallgemeinerten Begriffe sind unser Studienobjekt für diesen (und folgende) Artikel. Während es dieses Mal vor allem um die Definitionen und ihre unmittelbaren Konsequenzen gehen soll, wird im zweiten Teil der Satz von Witt das Ziel sein, der ein Kriterium für die Fortsetzbarkeit von Isometrien liefert.
Ich habe mich bemüht, den Artikel so zu gestalten, dass er auch außerhalb der Reihe "Einfache Gruppen" mit einem gewissen Nutzen gelesen werden kann. Ich hoffe, es ist mir gelungen.
Definitionen
Kommen wir direkt zum Punkt und definieren, womit wir es zu tun haben. Eine Verallgemeinerung der aus der linearen Algebra wohlbekannten Bilinearformen sind die sogenannten ...
Sesquilinearformen
Wir werden von Zeit zu Zeit nicht nur lineare Abbildungen, sondern auch semilineare Abbildungen betrachten müssen. Würden wir uns auf die komplexen Zahlen beschränken, so wäre eine semilineare Abbildung eine Abbildung, die fast linear ist, abgesehen davon, dass Skalare komplex konjugiert werden müssen, wenn man sie "hinein- oder herausziehen" will.
Solche Abbildungen treten an einigen Stellen ganz natürlich auf, daher ist die Beschäftigung mit ihnen nicht nur unvermeidlich, sondern sogar recht nutzbringend
Definition: (Anti)Automorphismen von Schiefkörpern
Seien K, K' Schiefkörper. Ein \darkblue\ Isomorphismus____\black von K nach K' ist eine bijektive Abbildung \alpha: K\to\ K', die
\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y) und \alpha(xy)=\alpha(x)\alpha(y)
für alle x,y\in\ K erfüllt.
Ein Isomorphismus K\to\ K heißt \darkblue\ Automorphismus____\black||, ein Isomorphismus K\to\ K^op heißt \darkblue\ Antiautomorphismus____\black von K. Dabei ist K^op der entgegengesetzte Ring von K, d.h. die Elemente und die Addition sind dieselben, die Multiplikation wird jedoch durch die duale Variante x\circ\ y:=yx ersetzt. Das heißt im Klartext, dass ein Antiautomorphismus eine Bijektion K\to\ K ist, die additiv ist und
\alpha(xy)=\alpha(y)\alpha(x)
erfüllt.
Man kann ganz einfach zeigen, dass jeder Isomorphismus von Schiefkörpern
\alpha(0)=0 und \alpha(1)=1
erfüllt.
Definition: Semilineare Abbildungen
Seien V und W Linksvektorräume über K bzw. K', f:V\to\ W und \alpha:K\to\ K' ein Isomorphismus. Dann heißt f \darkblue\alpha\-semilinear____\black, falls
\ll(i)\forall\ v_1, v_2\in\ V: f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)
und zusätzlich
\ll(ii)f(x*v)=\alpha(x)*f(v)
für alle v\in\ V, x\in\ K gilt. Falls V und W Rechtsvektorräume sind, muss man die Reihenfolge der Faktoren in der offensichtlichen Weise ändern.
Offenbar sind die gewöhnlichen linearen Abbildungen einfach die id-semilinearen Abbildungen. Die meisten Sätze über lineare Abbildungen sind im identischen Wortlaut oder nur mit geringen Änderungen auch für semilineare Abbildungen korrekt. Es gelten beispielsweise die Dimensionsformeln.
Wir werden uns vor allem mit semilinearen Abbildungen bzgl. eines Automorphismus oder eines Antiautomorphismus beschäftigen. Es gibt Fälle, in denen es sinnvoll ist, mehr als einen Körper zu betrachten, aber die sind in der Unterzahl.
Eine semilineare Abbildung ist bei wörtlicher Übersetzung "einhalbfach" linear (semi = halb): besser als gar nicht, aber weniger als einfach linear. In dieser Namensgebungstradition sind Sesquilinearformen (sesqui = eineinhalb) nun Abbildungen, die aus einer linearen und einer semilinearen "zusammengesetzt" sind:
Definition: Sesquilinearformen
Sei K ein Schiefkörper und \alpha: K\to\ K sei ein Antiautomorphismus. Sei weiter V ein K\-Linksvektorraum.
Eine Abbildung \s: V\times\ V->K heißt \darkblue array(\alpha\-Sesquilinearform auf V)____\black||, wenn \s(v,w) linear in v und \alpha\-semilinear in w ist, d.h. wenn
\ll(i)\s(x_1\.v_1+x_2\.v_2,w)=x_1\.\s(v_1,w)+x_2\.\s(v_2,w) und
\ll(ii)\s(v,x_1\.w_1+x_2\.w_2)=\s(v,w_1)\alpha(x_1)+\s(v,w_2)\alpha(x_2)
für alle Vektoren v, v_1, v_2, w, w_1, w_2\in\ V und alle Skalare x_1, x_2\in\ K gilt.
Für Rechtsvektorräume ist eine Sesquilinearform entsprechend eine Abbildung, die semilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Doch nun von der Definition zu den Eigenschaften von Sesquilinearformen.
Da wir nie mehr als eine Sesquilinearform auf einem Vektorraum zugleich betrachten werden, vereinbaren wir zunächst, dass wir blf(\dot,\dot) für jede Sesquilinearform schreiben.
Definition: Alternierende und schiefsymmetrische Formen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
Eine Sesquilinearform heißt \darkblue\ alternierend____\black||, wenn
\forall\ v\in\ V: blf(v,v)=0
gilt, und \darkblue\ schiefsymmetrisch____\black||, wenn
\forall\ v,w\in\ V: blf(v,w)=-blf(w,v)
gilt.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
Man kann leicht nachrechnen, dass alternierende Formen schiefsymmetrisch sind, denn es gilt nach Definition:
0=blf(v+w,v+w)=blf(v,v)+blf(v,w)+blf(w,v)+blf(w,w)=0+blf(v,w)+blf(w,v)+0
Die Schiefsymmetrie ist für char(K)!=2 dazu gleichwertig, alternierend zu sein, andernfalls jedoch echt schwächer. Das sieht man wie folgt ein:
Es gilt blf(v,v)=-blf(v,v) wegen der Schiefsymmetrie. Umgestellt ist das 2*blf(v,v)=0. Wenn char(K)!=2, d.h. 2!=0 ist, dann folgt daraus blf(v,v)=0 für alle v.
Jedoch ist z.B. die Standardform blf(x,y):=x^T*y auf dem \IF_2^n schiefsymmetrisch \(weil -x=x ist\), aber nicht alternierend \(weil blf(e_1, e_1)=1\).
Definition: Hermitesche und schiefhermitesche Formen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
Eine \alpha\-Sesquilinearform heißt \darkblue\ hermitesch____\black||, wenn
\forall\ v,w\in\ V: blf(v,w)=\alpha(blf(w,v))
gilt.
Der Vollständigkeit halber seien auch die \darkblue\ schiefhermitesch____\black||en Formen erwähnt, die durch die leicht abgewandelte Forderung
\forall\ v,w\in\ V: blf(v,w)=-\alpha(blf(w,v))
definiert sind.
Es liegt kein wesentlicher Unterschied in diesen beiden Varianten vor, wie wir gleich sehen werden, da die schiefhermiteschen Formen nur Vielfache von hermiteschen Formen sind, was für unsere Betrachtungen genauso gut ist, als wären es selbst hermitesche Formen.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
Ist \alpha=id_K, so spricht man statt einer Sesquilinearform eher von einer \darkblue\ Bilinearform____\black||, denn solch eine Form wäre dann in beiden Argumenten linear, statt nur in einem. Weil \alpha ein Anti__automorphismus von K sein muss, kann dieser Fall nur eintreten, wenn id_K ein Antiautomorphismus, d.h. wenn K kommutativ ist.
Da die Theorie der Bilinearformen zuerst entwickelt wurde, hat sich da eine eigene Bezeichnungsweise durchgesetzt. So spricht man im bilinearen Fall z.B. nur von \darkblue\ \(schief\-\)symmetrischen____\black und nicht von \(schief\-\)hermiteschen Formen.
Wir halten ein paar einfache Beobachtungen über diese Formen fest:
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei \alpha ein Antiautomorphismus von K und (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Linksvektorraum mit einer von Null verschiedenen \alpha\-Sesquilinearform.
(a) Ist blf(\dot,\dot) \(schief\-\)hermitsch, so ist \alpha^2=id_K.
(b) Ist blf(\dot,\dot) \(schief\-\)symmetrisch, so ist \alpha=id_K und K kommutativ.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
Beides sind ganz einfache Rechnungen. Seien v,w\in\ V derart, dass blf(v,w)!=0 ist. Dann gilt in (a) für alle k\in\ K:
k*blf(v,w) = blf(kv,w)
| | = +-\alpha(blf(w,kv))
| | = +-\alpha(blf(w,v)*\alpha(k))
| | = \alpha^2(k)*+-\alpha(blf(w,v))
| | = \alpha^2(k)*blf(v,w)
=> k=\alpha^2(k) => \alpha^2=id_K
\blue\checked
In der Situation von (b) gilt für alle k\in\ K ganz analog:
k*blf(v,w) = blf(kv,w)
| | = +-blf(w,kv)
| | = +-blf(w,v)*\alpha(k)
| | = blf(v,w)*\alpha(k)
Indem man nun v durch ein geeignetes Vielfaches von sich ersetzt, kann man blf(v,w)=1 annehmen. Dann zeigt diese Gleichung, dass k=\alpha(k) für alle k\in\ K ist.
Nun ist \alpha=id_K jedoch ein Automorphismus und zugleich nach Voraussetzung ein Antiautomorphismus. Das geht nur, wenn K kommutativ ist.
\blue\ q.e.d.
Weil \alpha^2=id_K für \(schief\-\)hermitesche \alpha\-Sesquilinearformen gilt und wir selten mehr als einen Antiautomorphismus zugleich betrachten, erlauben wir uns, in Anlehnung an die Konjugation in \IC und \IH, ab sofort auch k^- statt \alpha(k) zu schreiben.
Nur wenn die betrachteten Antiautomorphismen extra betont werden sollen, werden wir dafür eigene Namen einführen.
Quadratische Formen
Ein verwandter Begriff ist der der quadratischen Form, welcher den Begriff der euklidischen Norm auf reellen Hilberträumen immitiert:
Definition: Quadratische Form
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei K ein Körper und V ein K\-Vektorraum. Eine \darkblue\ array(quadratische Form auf V)____\black ist eine Abbildung q: V->K, für die
q(kv)=k^2\.q(v) für alle k\in\ K, v\in\ V und
\beta_q(v,w):=q(v+w)-q(v)-q(w) bilinear in v und w
ist. Die Bilinearform \beta_q(\dot,\dot) wird auch \darkblue\ Polarisation____\black von q genannt.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Offenbar ist die so gewonnene Bilinearform stets symmetrisch.
Aus jeder symmetrischen Bilinearform \beta wird durch
q_\beta\.(v):=\beta(v,v)
eine quadratische Form. Wenn man die Polarisationsform hier ausrechnet, kommt genau
\beta_q_\beta\.(v,w)=\beta(v,w)+\beta(w,v)=2*\beta(v,w)
heraus.
Wendet man diese Konstruktion auf eine Bilinearform \beta_q an, die bereits durch Polarisation aus q entstanden ist, so gilt umgekehrt:
q_\beta_q(v)=\beta_q(v,v)=q(2v)-q(v)-q(v)=2^2*q(v)-2*q(v)=2q(v)
Für char(K)!=2 erhalten wir auf diese Weise eine Bijektion zwischen der Menge der quadratischen Formen V\to\ K und der Menge der symmetrischen Bilinearformen V\times\ V\to\ K und wir können beide Begriffe austauschbar benutzen.
Für char(K)=2 sind diese Konstrukionen offensichtlich nicht mehr invers zueinander.
Der Name "Polarisation" ist natürlich an die Polarisationsformel 2*blf(v,w)=norm(v+w)^2-norm(v)^2-norm(w)^2 angelehnt, die man von Skalarprodukten auf \IR^n \(und allgemeiner reellen Prähilberträumen\) kennt. Eine quadratische Form verallgemeinert daher das Normquadrat von Vektoren.
Um besser zu verstehen, weshalb wir so erpicht darauf sind, quadratische Formen zu benutzen, sehen wir uns genauer an, was in Charakteristik 2 denn schiefgeht mit dem Wechsel zwischen symmetrischen Bilinear- und quadratischen Formen:
Lemma
Sei char(K)=2 und V ein K\-Vektorraum. Definiere
\calS:=menge(b:V\times\ V\to\ K | b ist bilinear und symmetrisch) und
\calQ:=menge(q:V\to\ K | q ist eine quadratische Form).
Für \beta\in\calS definiere q_\beta\in\calQ durch
q_\beta\.(v):=\beta(v,v).
Für q\in\calQ definiere \beta_q\in\calS durch
\beta_q(v,w):=q(v+w)-q(v)-q(w).
Die Abbildungen Q:=\beta\mapsto\ q_\beta und B:=q\mapsto\beta_q sind linear. Es gilt weiter: ker(Q)=im(B)=\calA:=menge(b\in\calS | b ist alternierend) und ker(B)=im(Q).
Die Linearität der Abbildungen ist offensichtlich.
Es gilt für \beta\in\calS:
\beta\in\ ker(Q) <=> q_\beta=0
| | <=> \forall\ v: 0=q_\beta\.(v)=\beta(v,v)
| | <=> \beta\in\calA
Außerdem ist für q\in\calQ:
\forall\ v: \beta_q(v,v) = q(v+v)-q(v)-q(v)=2*q(v)=0
=> \beta_q alternierend => im(B)\subseteq\calA
sowie:
q\in\ im(Q) => \exists\beta: q=q_\beta
| | => \forall\ v: q(v)=q_\beta\.(v)=\beta(v,v)
| | => \forall\ v,w: \beta_q(v,w)=\beta(v+w,v+w)-\beta(v,v)-\beta(w,w)
| | =\beta(v,w)+\beta(w,v)
| | =2*\beta(v,w)
| | =0
=> q\in\ ker(B)
Also im(Q)\subseteq\ ker(B)
Die Aussagen \calA\subseteq\ im(B) und ker(B)\subseteq\ im(Q) beweisen wir indem wir eine Basis \calB von V und eine Totalordnung auf \calB wählen.
Ist nun \alpha\in\calA eine alternierende Bilinearform, so definiere eine quadratische Form wie folgt:
q(sum(x_b*b,b\in\calB)) := sum(x_b*x_c*\alpha(b,c),bb)
| | =sum(x_b*y_c*\alpha(b,c),b\,c\in\calB) - sum(\alpha(b,b),b\in\calB)
| | =sum(x_b*y_c*\alpha(b,c),b\,c\in\calB)
| | =\alpha(x,y)
Also ist q(x+y)-q(x)-q(y) tatsächlich bilinear, womit q eine quadratische Form ist. Außerdem ist \beta_q=\alpha, d.h. \alpha\in\ im(B). Damit haben wir \calA\subseteq\ im(B) gezeigt.
Zuletzt ist noch ker(B)\subseteq\ im(Q) zu zeigen. Ist q\in\ ker(B), so definiere \phi\in\calS durch
\phi(x,y):=sum(x_b*y_b*q(b),b\in\calB)
Bilinearität und Symmetrie sieht man \phi direkt an.
Sei nun x=sum(x_b*b,b\in\calB) und b_1
Motivation - Reflexive Formen
Okay, jetzt wissen wir, worüber wir reden. Aber warum gerade darüber? Was macht alternierende, hermitesche und quadratische Formen aus, dass man sich so für sie interessiert. Warum sind es genau diese und keine anderen?
(Schief-)Hermitesche und alternierende Sesquilinearformen haben die besondere Eigenschaft, dass man für sie einen "vernünftigen" Orthogonalitätsbegriff definieren kann, sie sind so genannte "reflexive" Formen:
Definition: Reflexive Sesquilinearformen, Orthogonalität
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Eine Sesquilinearform blf(\dot,\dot) auf V heißt \darkblue\ reflexiv____\black, falls
\forall\ v,w\in\ V: blf(v,w)=0 <=> blf(w,v)=0
gilt.
Ist blf(\dot,\dot) reflexiv und v,w\in\ V, so heißt \darkblue\ array(v orthogonal zu w)____\black, geschrieben v \senkrechtauf w, falls blf(v,w)=0 gilt.
Die Reflexivität sorgt also dafür, dass die Orthogonalitätsrelation symmetrisch wird. Natürlich könnte man die Forderung auch fallen lassen und Rechts- und Linksorthogonalität unterscheiden, Rechts- und Linksradikale etc. Solch eine Theorie liefert aber keine wirklich interessanten Resultate.
Diese unscheinbare Forderung der Symmetrie der Orthogonalität stellt allerdings schon große Anforderungen an die verwendeten Sesquilinearformen. Es stellt sich nämlich heraus, dass die eben genannten - von einigen Entartungsfällen abgesehen - die einzigen reflexiven Sesquilinearformen sind:
Satz (Birkhoff): Klassifikation der reflexiven Sesquilinearformen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei K ein Schiefkörper und (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Linksvektorraum mit einer reflexiven \alpha\-Sesquilinearform. Definiere R:=menge(v\in\ V | \forall\ w\in\ V: blf(w,v)=0).
Dann tritt eine der folgenden Möglichkeiten ein:
\ll(a)dim V\/R <= 1
\ll(b)blf(\dot,\dot) ist Vielfaches einer hermiteschen Form. Genauer: Es gibt ein b\in\ K^opimg(\times), sodass \beta(v,w):=blf(v,w)b hermitesch bzgl. \alpha^~(k):=b^(-1)\.\alpha(k)b ist.
\ll(c)blf(\dot,\dot) ist alternierend, \alpha=id_K und K kommutativ.
Man beachte, dass schiefhermitesche Formen hier nicht explizit auftreten, aber vom Satz trotzdem erfasst werden. Hier erhalten wir die zusätzliche Aussage, dass schiefhermitesche Formen (abgesehen von Randfällen) Vielfache von hermiteschen Formen sind.
Ebenso sind die symmetrischen Bilinearformen bereits völlig in Fall (b) erfasst, indem man für den Automorphismus die Identität wählt.
Wir werden uns ab nun vor allem mit den geometrisch bedeutsamen, also den hermiteschen und alternierenden Sesquilinearformen auseinandersetzen sowie mit den quadratischen Formen, die uns als Ersatz für symmetrische Bilinearformen im Fall char(K)=2 dienen.
Orthogonale Komplemente
Bevor wir uns den Beweis des Klassifikationssatzes ansehen, werfen wir noch einmal einen Blick darauf, was man mit reflexiven Formen so alles anfangen kann.
Ist ein vernünftiger Orthogonalitätsbegriff in obigem Sinne gegeben, so kann man die üblichen Definitionen aus der Theorie der Skalarprodukte übernehmen:
Definition: Orthogonales Komplement, Radikal, Nichtentartet
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Ist blf(\dot,\dot) eine reflexive Sesquilinearform auf V und X\subseteq\ V beliebig, so definiere das \darkblue\ array(orthogonale Komplement von X)____\black als
X^\perp:=menge(v\in V | \forall\ x\in\ X: x \perp v)
Für einelementige Mengen X=menge(x) schreiben wir der Kürze halber wie so oft auch einfach x^\perp anstelle von menge(x)^\perp.
V^\perp heißt auch das \darkblue\ Radikal____\black von (V, blf(\dot,\dot)). Für Unterräume U<=V definiert man das Radikal als
rad(U)=menge(u\in\ U | \forall\ u'\in\ U: blf(u,u')=0)=U\cap\ U^\perp
Ein Unterraum U<=V heißt \darkblue\ entartet____\black, falls rad(U)!=0, d.h. U\cap\ U^\perp!=0 ist, und \darkblue\ nichtentartet____\black andernfalls.
Falls ganz V nichtentartet ist, dann nennt man die Form blf(\dot,\dot) selbst nichtentartet.
Eine quadratische Form q auf V nennt man nichtentartet, falls die Polarisation von q nichtentartet ist, d.h. wenn V^\perp = 0 gilt. \red\(Achtung: Da gibt es abweichende Definitionen für Charakteristik 2\)
Damit kann man dann folgende Verallgemeinerung der analogen Sätze aus der Linearen Algebra beweisen:
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Ist blf(\dot,\dot) eine reflexive Sesquilinearform auf V, dann gilt für alle Unterräume U,U'<=V:
(a) U\subseteq\ U' => U^\perp\supseteq\ U'^\perp.
(b) U\subseteq\ U^\perp\perp und U^\perp=U^\perp\perp\perp.
Für endlichdimensionale V gilt außerdem:
(c) dim(U^\perp)=dim(V)-dim(U)+dim(U\cut\ V^\perp).
(d) U^\perp\perp=U <=> V^\perp\subseteq\ U.
(e) Ist U eine Hyperebene mit V^\perp<=U, so ist U=(Ku)^\perp für ein u\notin\ V^\perp.
(f) Ist U nichtentartet, so ist V=U\oplus\ U^\perp.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
\ref(a) und \ref(b) werden genauso bewiesen wie ihre Analoga für Skalarprodukte:
Ist v\in\ U'^\perp, so gilt blf(v,u')=0 für alle u'\in\ U', also erst recht für alle u'\in\ U. Also ist v auch ein Element von U^\perp. Das zeigt U'^\perp\subseteq\ U^\perp.
Sind u\in\ U und v\in\ U^\perp beliebig, so gilt blf(v,u)=0. Da v beliebig war, folgt u\in\ (U^\perp)^\perp. Da u beliebig war, folgt U\subseteq\ U^\perp\perp.
Wendet man diese Aussagen nun zweimal an, ergibt sich zum einen
U\subseteq\ U^\perp\perp => U^\perp \supseteq (U^\perp\perp)^\perp
aber auch
U^\perp \subseteq\ (U^\perp)^\perp\perp
also zusammen
U^\perp=U^\perp\perp\perp.
\blue\checked
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Um \ref(c) zu beweisen, definiere für alle Teilmengen A\subseteq\ V^\* den Annulatorraum durch
Ann(A):=menge(v\in\ V | \forall\alpha\in\ A: \alpha(v)=0)
Ist speziell A<=V^\* ein Unterraum, so gibt es also die Inklusion
\iota: 0\to\ A\hookrightarrow\ V^\*
die durch Dualisieren zu einer surjektiven Abbildung
\iota^\*: V^\*\* \twoheadrightarrow A^\*\to 0
wird. Der Kern dieser Abbildung berechnet sich nun wie folgt:
ker(\iota^\*) = menge(v\in\ V^\*\* | \iota^\*(v)=0)
| | = menge(v\in\ V^\*\* | v\circ\iota=0)
| | = menge(v\in\ V^\*\* | \forall\alpha\in\ A: v(\iota(\alpha))=0)
| | = menge(v\in\ V^\*\* | \forall\alpha\in\ A: v(\alpha)=0)
Unter der Identifikation V=V^\*\* \(die wir ja aufgrund der endlichen Dimension vornehmen dürfen\) ist das genau die Menge
| | = menge(v\in\ V | \forall\alpha\in\ A: \alpha(v)=0)
also der Annulator von A.
Die Dimensionsformel für Kern und Bild sagt uns nun
dim V = dim V^\*\*
| | =dim im(\iota^\*)+dim ker(\iota^\*)
| | =dim A^\*+dim Ann(A)
| | =dim A+dim Ann(A)
Das wenden wir nun an, indem wir die semilineare Abbildung
f:=cases(V\to\ V^\*; v\mapsto\ blf(v,\dot))
betrachten. Nach Definition ist ker(f)=V^\perp. Jetzt schränken wir f auf den Unterraum U ein. f_\|U hat den Kern U\cut\ V^\perp.
=> dim U = dim f(U)+dim U\cap\ V^\perp
Um nun an die Dimension von f(U) heranzukommen, benutzen wir die obige Formel und bestimmen deshalb Ann(f(U)):
v\in\ Ann(f(U)) <=> \forall\ u\in\ U: f(u)(v)=0
| | <=> \forall\ u\in\ U: blf(v,u)=0
| | <=> v\in\ U^\perp
Also ist Ann(f(U))=U^\perp. Setzen wir A=f(U) in die Dimensionsformel für Annulatoren ein, so erhalten wir:
dim$V = dim f(U) + dim Ann f(U)
| | = dim f(U) + dim U^\perp
Daraus folgt nun mit der Formel für die Dimension von U wiederum:
dim$U = dim f(U) + dim U\cap\ V^\perp
| | = dim$V-dim$U^\perp+dim$U\cut\ V^\perp
also die Behauptung.
\blue\checked
Der Rest ist nun einfach:
\ref(d) folgt sofort aus \ref(c). Es gilt immer U\subseteq\ U^\perp\perp und V^\perp\subseteq\ U^\perp. Daher ist:
\align\ U=U^\perp\perp <=> dim(U)><=dim(U^\perp\perp)
><=dim(V)-dim(U^\perp)+dim(U^\perp\cut\ V^\perp)
><=dim(V)-(dim(V)-dim(U)+dim(U\cut\ V^\perp))+dim(V^\perp)
><=dim(U)-dim(U\cut\ V^\perp)+dim(V^\perp)
\stopalign\ <=> dim(V^\perp)=dim(U\cut\ V^\perp)
<=> V^\perp\subseteq\ U
\blue\checked
\ref(e) ergibt sich jetzt, indem man \ref(c) und \ref(d) zusammensetzt:
dim(U^\perp)=dim(V)-dim(U)+dim(U\cut\ V^\perp)=1+dim(V^\perp)
Also gibt es ein u\in\ U^\perp \\ V^\perp. Da nun U^\perp=V^\perp+Ku ist, folgt v\perp\ U^\perp <=> v\perp\ u, woraus sich mit \ref(d) ergibt:
U=U^\perp\perp=Ku^\perp
\blue\checked
\ref(f) ergibt sich schlussendlich auch durch \ref(c):
Wenn U nichtentartet ist, dann ist U\cut\ U^\perp=0. Insbesondere muss V^\perp\cap\ U=0 sein, weil V^\perp<=U^\perp ist. Somit folgt aus \ref(c) die Gleichung dim(U^\perp)=dim(V)-dim(U). Beides zusammen ergibt U\oplus\ U^\perp=V.
\blue\ q.e.d.
Die letzte Teilaussage erklärt, wieso man vom orthogonalen "Komplement" spricht. Wir werden diese Aussagen über orthogonale Komplemente von nun an ohne weiteren Kommentar verwenden. Solche Zerlegungen werden uns noch öfter begegnen. Deshalb definieren wir eine Kurzschreibweise:
Definition: Orthogonale direkte Summen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer reflexiven Sesquilinearform. Wir schreiben
V=U_1 \perp U_2 \perp ... \perp U_n
und sagen V sei eine \darkblue\ array(orthogonale direkte Summe)____\black der U_i, falls
V=U_1 \oplus U_2 \oplus ... \oplus U_n
und
\forall\ i!=j: U_i\subseteq\ U_j^\perp
gilt.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Außerdem werden wir uns ab jetzt im Wesentlichen nur noch für nichtentartete Räume interessieren. Warum das?
Man überlegt sich leicht, dass durch
blf(v^-,w^-):=blf(v,w)
eine wohldefinierte Sesquilinearform auf V^-:=V\/V^\perp definiert ist, die V^- zu einem nichtentarteten Raum macht. Anders formuliert: Der Wert von blf(v,w) hängt nur von den Restklassen v^-, w^-\in\ V^- ab.
Das heißt etwas laxer formuliert, dass im Wesentlichen alles, was die Form blf(\dot,\dot) betrifft, in Wirklichkeit eine Eigenschaft von V^- und der dort induzierten Form ist. Jede sinnvolle Konstruktion im Zusammenhang mit blf(\dot,\dot) überträgt sich auf natürliche Weise auf V^-.
Wir können und werden daher von nun an annehmen, dass (V, blf(\dot,\dot)) nichtentartet ist, wann immer wir das gebrauchen können.
Im Hinblick auf die Klassifikation der reflexiven Formen vergeben wir für die auftretenden Standardfälle eigene Namen:
Definition: Geometrien
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer nichtentarteten, reflexiven Sesquilinearform.
Ist blf(\dot,\dot) alternierend, so nennen wir (V, blf(\dot,\dot)) eine \darkblue\ array(symplektische Geometrie)____\black.
Ist blf(\dot,\dot) hermitesch, so nennen wir (V, blf(\dot,\dot)) eine \darkblue\ array(unitäre Geometrie)____\black.
Ist (V, q) ein K\-Vektorraum mit einer nichtentarteten, quadratischen Form, so nennen wir (V, q) eine \darkblue\ array(orthogonale Geometrie)____\black.
Diese drei Geometrien sind es, die uns wirklich interessieren. So wird sich in den Artikeln über die klassischen Gruppen diesen drei Geometrien bedient, um die Einfachheit der zugehörigen Isometriegruppen Sp(V), U(V) und O(V) (eigentlich eines Subquotienten davon) zu beweisen.
Beweis der Klassifikation reflexiver Sesquilinearformen
Wir wollen nun den Klassifikationssatz beweisen.
Satz (Birkhoff): Klassifikation der reflexiven Sesquilinearformen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei K ein Schiefkörper und (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Linksvektorraum mit einer reflexiven \alpha\-Sesquilinearform. Definiere R:=menge(v\in\ V | \forall\ w\in\ V: blf(w,v)=0).
Dann tritt eine der folgenden Möglichkeiten ein:
\ll(a)dim V\/R <= 1
\ll(b)blf(\dot,\dot) ist Vielfaches einer hermiteschen Form. Genauer: Es gibt ein b\in\ K^opimg(\times), sodass \beta(v,w):=blf(v,w)b hermitesch bzgl. \alpha^~(k):=b^(-1)\.\alpha(k)b ist.
\ll(c)blf(\dot,\dot) ist alternierend, \alpha=id_K und K kommutativ.
Für den Beweis dieser Klassifikation benötigen wir folgendes Lemma:
Lemma
define(dot,opimg(*))
Sei K ein Schiefkörper, V ein K\-Linksvektorraum, \alpha und \beta seien Antiautomorphismen von K, \sigma eine \alpha\- und \tau eine \beta\-Sesquilinearform auf V. Sei weiter f die \alpha\-semilineare Abbildung V->V^\* \(wobei wir V^\* als K\-Rechtsvektorraum, d.h. als K^op-Linksvektorraum auffassen\) mit f(v)=\sigma(\dot,v)
Gilt nun \sigma(a,b)=0<=>\tau(a,b)=0, dann tritt einer der folgenden Fälle ein:
\ll(i)rg(f)<=1.
\ll(ii)\exists\ c\in\ K^opimg(\times): \sigma=\tau*c \and \forall\ x\in\ K: \alpha(x)=c^(-1)\.\beta(x)c.
define(dot,opimg(*))
Angenommen, dass der erste Fall nicht gilt. Wir zeigen, dass es dann ein c\in\ K^opimg(\times) gibt mit \sigma(v,w)=\tau(v,w)c für alle v,w\in\ V.
Die Gleichung ist für jedes c erfüllt, falls w ein Element des Rechtsradikals
R:=menge(w\in\ V | \forall\ v\in\ V: \sigma(v,w)=0)=menge(w\in\ V | \forall\ v\in\ V: \tau(v,w)=0)
ist.
Es ist nach Definition R=ker(f). Wir wählen nun ein Komplement W von R in V und zeigen, dass
\forall\ v\in\ V, w\el\ W: \sigma(v,w)=\tau(v,w)*c
für eine noch zu wählende Konstante c gilt. Da V=W\oplus\ R ist, folgt daraus die Gültigkeit der Gleichung für alle w\in\ V.
Es ist dim(W)=rg(f)>=2, weil wir den Entartungsfall rg(f)<=1 ausgeschlossen hatten.
array(Schritt 1)__:
Sei zunächst w\el\ W\\\{0\} fest. Es gilt
U:=ker(\sigma(\dot,w))=ker(\tau(\dot,w))!=V.
Wir wählen ein v_0\el\ V\\U. Da U als Kern einer semilinearen Abbildung Kodimension Eins hat, kann man nun jeden Vektor als u+kv_0 mit eindeutigen k\in\ K und u\in\ U schreiben.
Jetzt setzen wir
c_w:=\tau(v_0,w)^(-1)*\sigma(v_0,w)
Offenbar ist dies wohldefiniert und ungleich Null, denn nach Wahl von v_0 ist \tau(v_0,w)!=0 und \sigma(v_0,w)!=0.
Außerdem ist c_w und unabhängig von der Wahl des v_0\in\ V\\U, denn jedes v_1\in\ V\\U lässt sich eben als v_1=u+kv_0 darstellen mit u\in\ U und k!=0. Es folgt dann
\tau(v_1,w)^(-1)*\sigma(v_1,w) = (\tau(u,w)+k\tau(v_0,w))^(-1)*(\sigma(u,w)+k\sigma(v_0,w))
| | = (k\tau(v_0,w))^(-1)*(k\sigma(v_0,w))
| | = \tau(v_0,w)^(-1)*k^(-1)*k*\sigma(v_0,w)
| | = \tau(v_0,w)^(-1)*\sigma(v_0,w)
Das zeigt also, dass
\forall\ v\in\ V\\U: \sigma(v,w)=\tau(v,w)*c_w
gilt. Da diese Gleichung für v\in\ U=ker(\sigma(\dot,w))=ker(\tau(\dot,w)) sowieso gilt, haben wir also schon einmal
\forall\ v\in\ V: \sigma(v,w)=\tau(v,w)*c_w
gezeigt.
array(Schritt 2)__:
Wir werden nun zeigen, dass für zwei w,w'\el\ W\\\{0\} immer c_w=c_w' gilt. Dafür nehmen wir zunächst an, dass w und w' linear unabhängig sind. Dann ist insbesondere w+w'\in\ W\\\{0\} und c_(w+w') existiert.
Dann gilt für alle v\el\ V:
\sigma(v,w+w') = \tau(v,w+w')*c_(w+w')
| | =\tau(v,\beta^(-1)(c_(w+w'))*(w+w'))
\sigma(v,w+w') = \sigma(v,w)+\sigma(v,w')
| | =\tau(v,w)*c_w+\tau(v,w')*c_w'
| | =\tau(v,\beta^(-1)(c_w)*w+\beta^(-1)(c_w')*w')
Da dies nun für alle v\in\ V gilt, muss der Vektor
x:=\beta^(-1)(c_(w+w'))*(w+w') - \beta^(-1)(c_w)*w-\beta^(-1)(c_w')*w'
im Rechtsradikal R liegen. Es handelt sich jedoch auch um einen Vektor aus W. Also ist x\in\ W\cut\ K und daher x=0.
=> \beta^(-1)(c_(w+w'))*(w+w') = \beta^(-1)(c_w)*w+\beta^(-1)(c_w')*w'
Da w und w' linear unabhängig sind, erhalten wir durch Koeffizientvergleich
\beta^(-1)(c_(w+w')) = \beta^(-1)(c_w) und
\beta^(-1)(c_(w+w')) = \beta^(-1)(c_w')
=>
c_(w+w') = c_w und
c_(w+w') = c_w'
=> c_w=c_w'
Sind w und w' nun linear abhängig und ist dim(W)>=2, so gibt es ein w''\el\ W, sodass menge(w,w'') und menge(w',w'') linear unabhängig ist. Es gilt c_w=c_w''=c_w' nach der eben erfolgen Überlegung.
c_w ist also von w\in\ W\\\{0\} unabhängig und mit c:=c_w gilt nun
\forall\ v\in\ V, w\in\ W: \sigma(v,w)=\tau(v,w)*c
Damit haben wir die angestrebte Gleichung \sigma=\tau*c.
array(Schritt 3)__:
Es bleibt zu zeigen, dass mit diesem c auch \alpha(x)=c^(-1)\.\beta(x)c für alle x\in\ K erfüllt ist.
Es gibt wegen \sigma!=0 \(ansonsten wäre rg(f)=0 entgegen unserer Annahme\) Vektoren v,w\el\ V mit \sigma(v,w)!=0. Es gilt dann für alle k\in\ K:
\sigma(v,w)\alpha(k) = \sigma(v,kw)
| | =\tau(v,kw)*c
| | =\tau(v,w)*\beta(k)c
| | =\tau(v,w)*c*c^(-1)\.\beta(k)c
| | =\sigma(v,w)*c^(-1)\.\beta(k)c
=> \alpha(k) = c^(-1)\.\beta(k)*c
\blue\ q.e.d.
Damit lässt sich nun die Klassifikation der reflexiven Formen beweisen:
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Wir nehmen sofort an, dass der Entartungsfall (a) nicht eintritt.
Um Lemma 2 anzuwenden, setzen wir \sigma(v,w):=blf(v,w) und \tau(v,w):=\alpha^(-1)(\sigma(w,v)). Dann ist \sigma sesquilinear bzgl. \alpha und \tau bzgl. \alpha^(-1). Die Reflexivität zeigt, dass die Bedingung \sigma(v,w)=0 <=> \tau(v,w)=0 erfüllt ist.
Da der Entartungsfall nach Annahme nicht zutrifft, gibt es nach dem Lemma ein c\in\ K^opimg(\times), sodass für alle v,w\in\ V und alle k\in\ K gilt:
blf(v,w)=\alpha^(-1)(blf(w,v))*c \lr(1)
und
\alpha(k)=c^(-1)\.\alpha^(-1)(k)c \lr(2)
Also zusammen:
blf(v,w)=\alpha^(-1)(blf(w,v))*c | | nach (1)
| | = c*\alpha(blf(w,v))*c^(-1)*c | | nach (2)
| | = c*\alpha(blf(w,v))
| | = c*\alpha(\alpha^(-1)(blf(v,w)*c)) | | nach (1)
| | = c*\alpha(c)*blf(v,w)
Indem wir v,w\in\ V mit blf(v,w)!=0 einsetzen, folgt daraus
c*\alpha(c)=1 \lr(3)
Wir setzen nochmal ein und erhalten:
\alpha(k) = c^(-1)*\alpha^(-1)(k)*c | | nach (2)
=> \alpha^2(k) = \alpha(c)*k*\alpha(c^(-1))
| | = c^(-1)*k*c | | nach (3) \lr(4)
Wir unterscheiden zwei Fälle:
array(1.Fall)__: \forall\ k\in\ K: c^(-1)\.k+\alpha(k)=0
Dann folgt 1=\alpha(1)=-c^(-1)*1 => c=-1. Daraus wiederum ergibt sich \alpha(k)=-(-1)^(-1)\.a=a, d.h. \alpha=id_K. Das ist nur dann möglich, wenn K kommutativ ist.
Für unsere Sesquilinearform \(die jetzt eine Bilinearform ist\), ergibt sich:
blf(v,w)=\alpha^(-1)(blf(w,v))*(-1) = -blf(w,v)
Es ist also eine schiefsymmetrische Form. Falls char(K)!=2 ist, folgt daraus, dass blf(\dot,\dot) alternierend ist. Fall char(K)=2 ist, folgt daraus, dass blf(\dot,\dot) symmetrisch ist.
array(2.Fall)__: \exists\ k\in\ K: c^(-1)\.k+\alpha(k)=:b!=0
Es gilt dann:
\alpha(b)=\alpha(k)\alpha(c)^(-1)+\alpha^2(k)
| | =\alpha(k)c+c^(-1)\.kc | | nach (3) und (4)
| | =(\alpha(k)+c^(-1)\.k)c
| | =bc
Wir definieren dann \beta(v,w):=blf(v,w)b sowie \alpha^~(k):=b^(-1)\.\alpha(k)b und behaupten, dass \beta eine \alpha^~-hermitesche Form ist. Offenbar ist \alpha^~ ein Antihomomorphismus und es gilt
\beta(v,\mu*w)=blf(v,\mu*w)b
| | =blf(v,w)*\alpha(\mu)b
| | =blf(v,w)b*b^(-1)\.\alpha(\mu)b
| | =\beta(v,w)*\alpha^~(\mu)
sowie
\alpha^~(\beta(v,w))=b^(-1)*\alpha(\beta(v,w))*b
| | =b^(-1)*\alpha(blf(v,w)b)*b
| | =b^(-1)*\alpha(b)*\alpha(blf(v,w))*b
| | =b^(-1)*bc*\alpha(\alpha^(-1)(blf(w,v))c)*b | | nach (1) und (4)
| | =c*\alpha(c)*blf(w,v)*b
| | =blf(w,v)b
| | =\beta(w,v)
Also ist \beta sesquilinear bzgl. \alpha^~ \(und nicht bzgl. \alpha!\) und hermitesch. blf(\dot,\dot)=\beta*b^(-1) ist also ein Vielfaches einer hermiteschen Form.
\blue\ q.e.d.
Isotrope und singuläre Vektoren
Ein Phänomen, das man von den Standardräumen \IR^n und \IC^n nicht kennt, aber für uns von entscheidender Bedeutung sein wird, ist das der isotropen und singulären Vektoren und den damit verbundenen Konzepten.
Definition: (An)isotrope Vektoren
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein Vektorraum mit Sesquilinearform. Ein Vektor v\in\ V heißt \darkblue\ isotrop____\black, falls blf(v,v)=0 ist. Andernfalls heißt v \darkblue\ anisotrop____\black.
Bei alternierenden Formen ist also per Definitionem jeder Vektor isotrop. Wir werden sehen, dass über endlichen Körpern die Existenz isotroper Vektoren auch für hermitesche Formen der Normalfall ist.
Bei hermiteschen Formen und Bilinearformen in jeder Charakteristik ungleich 2 gibt es jedoch fast immer auch anisotropen Vektoren; die einzige Ausnahme ist jeweils die Nullform. Eine wichtige Zutat um Geometrien über endlichen Körpern zu verstehen, ist ein Verständnis, wie isotrope und anisotrope Vektoren zusammenwirken.
Es kann vorkommen, dass die Sesquilinearform nicht nur für einen einzelnen Vektor, sondern sogar auf einem kompletten Unterraum verschwindet. Auch dieser Fall ist eher die Regel als die Ausnahme und wir vergeben daher einen Namen dafür:
Total (an)isotrope Unterräume
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei wie eben (V, blf(\dot,\dot)) ein Vektorraum mit Sesquilinearform und U<=V ein Unterraum.
Ist blf(\dot,\dot)_array(\|U\times\ U)=0, so nennen wir U \darkblue\ array(total isotrop)____\black. Äquivalent dazu ist es, U\subseteq\ U^\senkrechtauf zu fordern.
Ist anders herum 0 der einzige isotrope Vektor in U, so nennen wir U \darkblue\ array(total anisotrop)____\black.
Wie so oft, tanzt der Fall, dass wir uns in Charakteristik 2 befinden, ein wenig aus der Reihe. Für symmetrische Bilinearformen als Spezielfall von hermiteschen Formen funktionieren obige Definition zwar uneingeschränkt, da jedoch quadratische Formen nicht eindeutig bestimmt sind durch die von ihnen induzierten Bilinearformen, muss man die Bedingung leicht abändern, um das richtige Konzept zu erhalten:
(Nicht)singuläre Vektoren und Unterräume
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>)
define(dot,opimg(*))
Sei wie eben (V, q) ein Vektorraum mit quadratischer Form, v\in\ V ein Vektor und U<=V ein Unterraum von V.
v heißt \darkblue\ singulär____\black||, wenn q(v)=0 ist. Andernfalls heißt v \darkblue\ nichtsingulär____\black.
U heißt \darkblue\ array(total singulär)____\black||, wenn q_\|U=0 ist.
U heißt \darkblue\ array(total nichtsingulär)____\black||, wenn 0 der einzige singuläre Vektor in U ist.
Die Eigenschaft "singulär" impliziert natürlich "isotrop" für die von q induzierte Bilinearform. Weil aber, wie gesagt, diese Bilinearform q nicht eindeutig bestimmt, ist die Umkehrung i.A. falsch.
In vielen Quellen wird statt von total anisotropen / total nichtsingulären Unterräumen auch von definiten Unterräumen gesprochen, in Anlehnung an den reellen und komplexen Fall, wo symmetrische bzw. hermitesche Formen positiv oder negativ definit heißen, wenn sie total anisotrop sind.
Ein bedeutsames Beispiel aus der Physik für eine Geometrie mit isotropen Vektoren ist die O_array(3\,1)(\IR)-Geometrie. Definiere dafür auf \IR^4 eine Bilinearform durch die Darstellungsmatrix
matrix(1,,,;,1,,;,,1,;,,,-1)
\(die umgekehrte Vorzeichenvariante ist ebenfalls häufig anzutreffen\)
Dies definiert eine nichtentartete, symmetrische Bilinearform auf \IR^4. Jedoch gibt es isotrope Vektoren, da die Gleichung 0=q(v)=v_1^2+v_2^2+v_3^2-v_4^2 nichttriviale Lösungen hat, etwa (1,0,0,1), (0,1,0,1) und (0,0,1,1).
Abschluss
Das war mein Artikel über Sesquilinear- und quadratische Formen. Ich hoffe, ich konnte euch einen guten Überblick darüber geben, wie man die grundlegende Theorie aus dem reellen bzw. komplexen Fall auf allgemeine Körper übertragen kann.
Im zweiten Teil werden wir uns das nächste Mal mit Isometrien und dem Satz von Witt beschäftigen. Seid gespannt.
\ q(mfg)=\
Die Reihe "Einfache Gruppen"
Inhaltsverzeichnis
Vorheriger Teil der Reihe: Einfache Gruppen aus 1001½ Nacht
Nächster Teil der Reihe: Sesquilinearformen und quadratische Formen II
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