Mathematik: Der Satz des Jahres 2012
Released by matroid on Mo. 30. Januar 2012 16:47:24 [Statistics]
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Matroids Matheplanet

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Die 10 Kandidaten sind ausgesucht!
>>> zur Wahl



Der Satz des Jahres
Ein Projekt des Matheplaneten




Im vergangenen Jahr hat die Matheplanet-Community zum ersten Mal dazu aufgerufen den Satz des des Jahres zu wählen und erfreulich viele sind dem Aufruf gefolgt. Der Residuensatz wurde zum Satz des Jahres 2011 gewählt.

Die Mitglieder und Besucher des Matheplaneten wählen auch dieses Jahr wieder den 'Satz des Jahres'. Wir wollen das mathematische Ergebnis finden, herausstellen und erklären, das den Abstimmenden als das Bedeutendste im Jahr 2012 erscheint. Unsere Initiative dient der Förderung des Ansehen der Mathematik.

Alle an Mathematik Interessierten können sich auch in diesem Jahr an der Wahl zum 'Satz des Jahres' beteiligen und je mehr es sein werden, desto besser.
Der eigentlichen Wahl voraus geht eine Nominierungsphase, in der Sätze vorgeschlagen werden können.

Nominierungen zum 'Satz des Jahres' sind ab sofort erwünscht und herzlich willkommen! Anschließend kann vier Wochen unter den nominierten Sätzen gewählt werden.

Zusammenfassung:
1. Nominieren von Sätzen bis 10.2.2012
2. Jury trifft eine Auswahl von 10 Sätzen aus den nominierten.
3. Allgemeine Abstimmung vom 15.2.-14.3.2012.
4. Der Satz des Jahres 2012 steht fest.
5. Kurz darauf: Ein Artikel, der diesen Satz vorstellt, erscheint.


Wir freuen uns auf eure Vorschläge und Beteiligung. :-)




Ein Gedanke vorweg




Liebe Community!

Ich bin gebeten worden, auch ein paar Worte zur Wahl zu verlieren und der Grund ist lustigerweise der, dass ich diese dereinst für totalen Humbug hielt, woraus ich im kleinen und privaten Kreis auch kein Hehl gemacht habe. Inzwischen ist diese Ansicht überholt und Respekt und Hochachtung gewichen.
Woher rührt nur dieser Sinneswandel?

Nun, zu Beginn dachte ich, dass diese Wahl einfach nichts sei, das dem MP und seiner Gemeinschaft zustehen würde. Die Schuhe, die wir uns da angezogen haben, schienen mir einfach ein paar Nummern zu groß. Wer sind wir denn, dass wir in der Lage sein sollten, hier eine Auswahl zu treffen, die selbst die Leuchttürme der mathematischen Gemeinschaft vor Schwierigkeiten stellen würde: Mathematisch Interessierte, Schüler, Studenten, ein paar Lehrer, Diplomanden, Diplomer, hier und da ein Doktorand, ab und an ein Promovierter.
Doch dann wurde mir klar, dass wir hier nicht für die internationale mathematische Gemeinschaft oder die DMV sprechen, dass wir hier keinen Abel-Preis und keine Fields-Medaille vergeben.
Nein, der MP und seine Mitglieder suchen einen Satz, der zu IHNEN passt und dieses Recht und die Kompetenz darüber zu befinden, was ihr preiswürdig erscheint, hat diese Gemeinschaft sehr wohl. Mich hat die Art und Weise, wie im letzten Jahr abgestimmt und der gewählte Satz dann letztendlich präsentiert wurde, davon überzeugt, dass es keineswegs eine lächerliche Sache ist, auch wenn ich das selbst anfangs so gesehen habe. Das Herzblut, die Ernsthaftigkeit und die ehrliche Liebe zur Mathematik, die von diversen MPlern hier an den Tag gelegt wird, haben mich eines Besseren belehrt. Aus diesem Grund wünsche ich mir, dass diese zweite Wahl der Anfang zur Institutionalisierung einer Sache ist, die dem MP gut zu Gesicht steht, die ihn schmückt und auch dem Siegersatz einen gewissen Glanz verleiht. Deshalb unterstütze ich diese Aktion und rufe Euch zur Wahl auf, denn MPler, das sind wir ja schließlich alle.

Liebe Grüße

Michael aka mire2


Wie wird das ablaufen?




Ab sofort hat jedes Mitglied und jeder Besucher des Matheplaneten die Gelegenheit, seinen Lieblingssatz zur Wahl zu stellen. Dafür ist eine Nominierung bis spätestens 10. Februar erforderlich. Erwünscht ist, dass jede Nominierung auch mit einer kleinen "Lobrede" begründet wird.

Aus den Nominierungen wählt die siebenköpfige Jury - dieses Jahr bestehend aus Buri, Gockel, Kitaktus, PhysikRabe, TomS, Wally und Wauzi - zehn besonders bestechende Nominierungen aus.

Diese Zehn werden vom 15. Februar bis zum 14. März zur allgemeinen Abstimmung gestellt und mit Ablauf dieser Frist steht der Satz des Jahres 2011 fest.

Sozusagen das Überreichen der Urkunde für den Sieger wird kurz darauf die Veröffentlichung eines Artikels hier auf dem Matheplaneten sein, in dem der Gewinnersatz vorgestellt wird.


Was und wie soll ich vorschlagen?



Vorschlagen kannst du prinzipiell jeden mathematischen Satz (oder eine Gruppe sehr eng verwandter Sätze).
Damit aber die Jurymitglieder ihre Vorauswahl aufgrund von fundierten Argumenten treffen können und wissen, was Du Dir bei Deinem Vorschlag gedacht hast, bitten wir Dich, Deinen Vorschlag kurz zu begründen, der Jury also mitzuteilen, warum Dein Favorit zum Satz des Jahres 2012 werden sollte.

Es gibt natürlich ganz verschiedene Gründe, einen Satz auszuwählen:
  • weil er in vielen mathematischen Disziplinen benutzt werden kann
  • weil er heute relativ unbekannt ist, aber früher von Bedeutung war
  • weil er viele andere Ergebnisse verallgemeinert
  • weil er für einen bestimmten speziellen Zweck unumgänglich ist
  • weil er klassisch ist
  • weil er ganz neu ist
  • weil er so einen schwierigen Beweis hat
  • weil er einen überraschend einfachen Beweis hat
  • weil er einen überraschend schönen Beweis hat
  • weil er so elementar ist, dass ihn jeder versteht
  • weil er eine neue Epoche der Mathematik eingeleitet hat
  • weil das Jahr 2012 für den Entdecker oder die Entdeckung ein Jubiläum ist
  • weil er ...
Bei Deinem Vorschlag solltest Du natürlich auch bedenken, dass ein Satz des Jahres das Niveau unserer Internetgemeinschaft nicht sprengen sollte. Es hat also keinen Sinn einen Satz vorzuschlagen, dessen Inhalt weltweit nur einer kleinen Gruppe von Leuten verständlich ist.
Frage dich, ob es für den Matheplaneten sinnvoll ist, wenn wir nur den Namen des Satzes und - vielleicht sehr grob - seine Bedeutung angeben könnten. Auch solche Vorschläge werden natürlich von der Jury berücksichtigt.
Aufgrund dessen ist es ebenfalls gern gesehen, wenn eine Nominierung von einem Matheplanetarier mit der Zusage verbunden ist, nötigenfalls fachkundiges zur Laudatio beizusteuern, sollte diese Nominierung die Wahl gewinnen.

Ein Vorschlag könnte also z.B. so aussehen:
Ich nominiere die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, die in vereinfachter Form Folgendes besagen:
1. Jedes hinreichend ausdrucksstarke, effektiv angebbare mathematische Axiomensystem enthält Sätze, die alleine auf der Basis dieses Axiomensystems weder bewiesen noch widerlegt werden können.
2. Jedes solche Axiomensystem kann, wenn es widerspruchsfrei ist, seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen.

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze haben das Selbstverständnis der Mathematiker und die Wahrnehmung der Mathematik als Ganzes revolutioniert, indem den bisherigen Zielen und Wünschen der Mathematiker "Diese Aussage ist beweisbar wahr" und "Diese Aussage ist beweisbar falsch" noch ein vorher unbekanntes, rätselhaftes "Diese Aussage ist unentscheidbar" an die Seite gestellt wurde. Seit den 1930ern ist dieses Phänomen gründlich erforscht worden und Ausgangspunkt vieler neuer Entwicklungen im Gebiet der Logik geworden.
Historisch sind die Unvollständigkeitssätze mit dem ersten und dem zweiten Hilbertschen Problem verknüpft: Das zweite Problem fragte genau nach den Fähigkeiten und Grenzen der Axiomatik, welche mit den Unvollständigkeitssätzen erkannt wurden. Das erste Problem, die Kontinuumshypothese war historisch das erste konkrete Beispiel für eine unentscheidbare Aussage der Mengenlehre. Inhaltlich gibt es enge Zusammenhänge auch zum Halteproblem aus der Berechenbarkeitstheorie und dem zehnten Hilbertschen Problem, das nach einer allgemeinen Lösungsmethode diophantischer Gleichungen fragt. Sowohl David Hilbert als auch Alan Turing haben in diesem Jahr Jubiläen ihrer Geburtstage; vor 150 Jahren wurde Hilbert, vor 100 Jahren wurde Turing geboren.
Aus diesen Gründen nominiere ich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze für den Satz des Jahres 2012.


Was wurde bereits vorgeschlagen?



Bereits vorgeschlagen sind (Liste in willkürlich gewählter Reihenfolge):
  • Der Satz von Hahn-Banach
    Da er ein Ausgangspunkt der Funktionalanalysis ist und andere wichtige Aussagen aus ihm gefolgert werden können (z.B. geometrische Interpretationen wie im Satz von Eidelheit).
  • Der Darstellungssatz von Riesz
  • Der Satz von Cook-Levin aka SAT ist NP-vollständig
    Weil er den Weg frei gemacht hat für die Erforschung von NP-vollständigen Problemen. Dadurch ist er auch mit dem berühmten P-vs.-NP-Problem verbunden und als Satz aus der theoretischen Informatik verdankt er seine Existenz letztlich auch dem Werk Alan Turings. Link zur Lobrede.
  • Der Atiyah-Singer-Indexsatz
    Da er eine tiefgreifende Verbindung zwischen lokalen Eigenschaften von Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten einerseits sowie deren globalen, topologischen Eigenschaften andererseits darstellt, und da er eine Brücke zwischen der reinen Mathematik (Differentialgeometrie, Topologie) und der theoretischen Physik (Quantenfeldtheorie, Stringtheorie, Anomalien) schlägt. Zur vollständigen Lobrede.
  • Die Unentscheidbarkeit des Halteproblems
    Weil 2012 aufgrund des hundertjährigen Jubiläums des Geburtstages von Alan Turing zum Turing-Jahr erklärt wurde.
  • Der Kompaktheitssatz von Tychonoff
  • Die Singularitätssätze von Penrose-Hawking
    Da sie für eine große Klasse von (physikalisch sinnvollen) Voraussetzungen allgemeingültige Beweise für die unausweichliche Existenz von Singularitäten in der Raumzeit darstellen (und damit letztlich die Unvollständigkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie beweisen). Link zur Lobrede.
  • Das Noether-Theorem
    Aufgrund der expliziten Konstruktion eines Zusammenhangs zwischen kontinuierlichen Symmetrien (insbs. physikalischer Systeme wie in der klassischen Mechanik, in Feldtheorien sowie lokalen Eichtheorien) und den zugehörigen Erhaltungsgrößen, sowie aufgrund des 130 Jubiläums von Emmy Noethers Geburtstag am 23.03.2012. Link zur Lobrede.
  • Das Yoneda-Lemma
    Aufgrund seiner Trivialität einerseits and seiner universellen Nützlichkeit andererseits. Siehe dazu auch hier und in den dortigen Links. Link zur Lobrede.
  • Der Gödel'sche Unvollständigkeitssatz
    Weil sie die Selbstwahrnehmung der Mathematik revolutioniert haben sowie aufgrund des doppelten Jubiläums im Jahre 2012, in welchem sich die Geburtstage von David Hilbert und Alan Turing zum 150. bzw. zum 100.Male jähren. Die Leistungen beider Mathematiker sind historisch und inhaltlich eng mit Gödels Werk verbunden.
  • Der Poincaré'sche Wiederkehrsatz
    Aufgrund seines einfachen Beweises.
  • Der Primzahlsatz
  • Der Satz von Mordell-Weil
    Aufgrund seiner Bedeutung für die Theorie elliptischer Kurven im Speziellen und der Theorie diophantischer Gleichungen im allgemeinen. Im Jahr 2012 jährt sich sowohl die Entdeckung des Satzes zum 90. Mal sowie der Todestag von Louis Mordell zum 50. Mal. Link zur Lobrede.
  • Das Lemma von Itō
    Weil es die stochastische Analysis revolutioniert hat.
  • Hilberts Nullstellensatz
    Weil es vielfältige Beweise dafür gibt, weil es grundlegend für die algebraische Geometrie ist und aufgrund des 150. Jubiläums von Hilberts Geburtstag im Jahre 2012.
  • Der Satz von Taylor
    Aufgrund seiner Einfachheit und vielseitiger Anwendungen in der Physik.
  • Max Noethers AF+BG-Satz
    Wegen seiner großen Bedeutung für die projektive Geometrie und seinen Anwendungen in der algebraischen Geometrie. Link zur Lobrede.
  • Der Satz von Liouville
    Aufgrund seines einfaches Beweises und vielseitiger Anwendbarkeit.

Natürlich darf jeder bereits vorgeschlagene Satz durch einen weiteren Vorschlag "bekräftigt" werden. Das ist nicht nötig, kann aber sinnvoll sein, z.B. wenn Du das Gefühl hast, dass die bisherige Begründung der Nominierung einen wesentlichen Aspekt ausspart, der aber unbedingt genannt werden sollte. Viele der bisherigen Nominierungen haben sogar noch überhaupt keine ausführliche Begründung erhalten.


Wie geht es dann weiter?




Ab dem 14. Februar bist Du zur Wahl des 'Satz des Jahres 2012' aus den zehn Nominierungen der engeren Wahl der Jury aufgerufen. Nachdem die Wahl stattgefunden hat, soll der Satz des Jahres auf dem Matheplaneten vorgestellt und in einem Artikel erläutert werden.

Um den Satz für den Rest des Jahres etwas in das Zentrum unserer Betrachtung zu rücken, ist jeder Matheplanetarier herzlich dazu aufgerufen, selber einen Artikel mit Bezug zum dann frisch gewählten 'Satz des Jahres 2012' zu schreiben.
Als Dankeschön für Dein Interesse und Deine Mitarbeit gibt es für jeden (Mit-)Autor mindestens eines solchen Artikels das 'Satz des Jahres Stäbchen 2012':
Satz des Jahres Stäbchen 2012

Und jetzt los! Das Projekt wird erst richtig gut durch Deine Mitarbeit!



Auf rege Beteiligung hoffen und freuen sich
Die Jury - Buri, Gockel, Kitaktus, PhysikRabe, TomS, Wally und Wauzi
sowie
Der Chef - matroid

P.S.: Dank geht auch an mire2, der freundlicherweise seine Gedanken zu diesem Projekt in Form des obigen Vorwortes beigesteuert hat.


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"Mathematik: Der Satz des Jahres 2012" | 17 Comments
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Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 30. Januar 2012 18:44:28
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Ich schlage den Satz über die Ito-Formel vor.
Dieser Satz hat die Stochastische Analysis revolutioniert.

Da aber der MP stochastisch sehr schwach aufgestellt ist, dürfte dieser Vorschlag keine Chance haben.  :-)

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Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Gockel am: Mo. 30. Januar 2012 19:09:37
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@Anonymous: Es dürfen ja auch Externe abstimmen. Du musst nur genug Werbung bei den Stochastikern machen ... :-)

Auf jeden Fall ist deine Nominierung registriert und wird demnächst auch oben in der Liste erscheinen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 30. Januar 2012 19:51:07
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Ich schlage Hilberts Nullstellensatz vor.
Er hat eine Vielzahl von Beweisen, ist von grundlegender Bedeutung in der algebraischen Geometrie und dennoch nichttrivial. Außerdem passt er gut zum 150. Geburtstag von David Hilbert.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Carmageddon am: Mo. 30. Januar 2012 22:17:08
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Nachdem ich letztes Jahr die Frist verpennt habe, versuch ichs dieses jahr nochmal:

Ich schlage den Satz von Taylor vor, in all seinen Variationen.
Er ist leicht verständlich, wunderbar anwendbar und was wäre die Physik ohne ihn?

lg\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: mathema am: Mo. 30. Januar 2012 22:54:20
\(\begingroup\)
Im vergangenen Jahr gab es ja schon einige kritische Aussagen zu Sinn und Unsinn des Projekts, die auch mich - wenn auch nur kurzzeitig - ins Grübeln gebracht haben. Um so mehr freue ich mich über die Neuauflage dieses Projekts in diesem Jahr und über Michaels Vorwort. "... der MP und seine Mitglieder suchen einen Satz, der zu IHNEN passt ... " trifft die Intention des Projekts nach meiner Auffassung ziemlich genau. Und ich hoffe, dass auch MPs Spass daran haben, die im ersten Durchlauf dem Projekt wenig abgewinnen konnten. Unbestritten dürfte auch sein, dass der Artikel über den Residuuensatz ein Gewinn für den MP war. (Insb. Gockel sei Dank!) - Ich freue mich auf viele weitere Vorschläge, bin gespannt auf die Vorauswahl der Jury, die Wahl auf dem MP ... und dann natürlich auf den Artikel über den gewählten Satz!\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: TomS am: Mo. 30. Januar 2012 22:56:05
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Ich möchte hier (wie letztes Jahr) meine Nominierung des Atiyah-Singer Indextheorems begründen. Naturgemäß ist diese Begründung schwerpunktmäßig physikalisch ausgerichtet; ich hoffe jedoch, dass Spezialisten hier die mathematische Seite noch besser untermauern werden.

Der Satz stellt eine Beziehung zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik wie Differentialgeometrie und algebraischer Topologie her. Insbs. wird gezeigt, dass der analytische Index eines elliptischen Differentialoperators und der topologische Index der zugrundeliegenden kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit gleich sind.

Dieser Satz ist einer der tiefsten und weitest reichenden Erkenntnisse der Mathematik des 20. Jh.; er umfasst zahlreiche „Spezialfälle“ wie z.B. den Satz von Gauß-Bonnet-Chern und Hirzebruch-Riemann-Roch.

M.W.n spielt das Theorem außerdem eine zentrale Rolle beim Beweis des Zusammenhangs zwischen den Donaldson-Invarianten von 4-Mannigfaltigkeiten sowie deren Konstruktion mittels der (einfacher zu berechnenden) Seiberg-Witten Invarianten (Stichwort: Rohlin's Theorem).

Der Satz hat weitreichende Anwendungen in der mathematischen und theoretischen Physik, insbs. für Mannigfaltigkeiten mit Spin-Struktur sowie der Geometrie von Yang-Mills Faserbündeln und der Pontryagin- bzw. Instanton-Zahl.

So enthält man z.B. aus einer „lokale Version des Atiyah–Singer Indextheorems“ die axiale Anomalie in lokalen Eichtheorien (Adler-Bell-Jackiw Anomalie, Heat-Kernel und Fujikawa Methode für Dirac-Operatoren) und damit eine Erklärung für den Pion-Zerfall π°→ 2γ sowie die vergleichsweise hohe Masse des (flavour-singulett) η' Mesons (das im Gegensatz zu den anderen pseudoskalaren Mesonen kein Goldstone-Boson ist, da die axiale U(1) Symmetrie nicht spontan über den Goldstone-Mechanismus sondern über die Anomalie gebrochen ist).
\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: TomS am: Mo. 30. Januar 2012 22:59:42
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Letztes Jahr hat Rebecca das Noether-Theorem nominiert; ich hatte damals eine kurze Begründung geschrieben und stelle sie auch dieses Jahr wieder hier rein; und wie letztes Jahr hat Rebecca wieder das letzte Wort...

Gemäß Emmy Noether gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine entsprechende Erhaltungsgröße.

Das Noether-Theorem verknüpft damit physikalische Begriffe (Erhaltungsgrößen) wie Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung (s.u.) mit geometrischen Eigenschaften des Wirkungsintegrals (Invariant bzgl. einer Symmetrietransformation). Mittels des Wirkungsintegrals sowie der Symmetrietransformation ist eine explizite Konstruktion der Erhaltungsgrößen möglich.

In Feldtheorien erlaubt das Noether-Theorem eine „lokale“ Formulierung, eine sogenannte Kontinuitätsgleichung, die globale Erhaltung einer (verallgemeinerten) Ladung durch die lokale Erhaltung von (verallgemeinerten) Strom- und Ladungsdichten ersetzt

Dabei zeigt sich, dass das Noether-Theorem sowohl auf kontinuierliche Symmetrien im Raum bzw. der Raumzeit (Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz) mit den entsprechenden Erhaltungsgrößen (Energie, Impuls, Drehimpuls) als auch auf sogenannte innere Symmetrien (z.B. verallgemeinerte Rotationen im Isospin- bzw. Flavor-Raum) angewandt werden kann. Demzufolge umfasst der Begriff „verallgemeinerten Ladung“ sowohl die aus Symmetrien der Raumzeit folgenden Erhaltungsgrößen, die bekannte elektrische Ladung, sowie weitere Ladungen wie z.B. den Isospin.

Eine enorme Bedeutung erlangt das Noether-Theorem, durch die Anwendung auf lokale Symmetrien, sogenannte lokale Eichsymmetrien, mathematisch realisiert durch eine Faserbündelstruktur. Diese lokalen Eichsymmetrien spielen eine prominente Rolle in der modernen Formulierung von Feldtheorien einschließlich der Gravitation.

Die Anwendung der lokalen Form des Noether-Theorems im Rahmen von Quantenfeldtheorien erfordert eine die Prüfung der Invarianz der sogenannten effektiven Wirkung auf Anomalienfreiheit. Die entsprechende quantenfeldtheoretische Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung sind die sogenannten Ward-Takahashi Identitäten.

Außerdem sei noch auf einen besonderen Aspekt hingewiesen, der Rebecca wichtig war - das Noether-Theorem stammt von einer Frau ;-)

Historische Anmerkung: Zu Beginn des 20. Jahrhunderts herrschte an den deutschen Universitäten eine massive Frauenfeindlichkeit. Trotz ihrer großen mathematischen Leistungen musste Emmy Noether in ihrer wissenschaftlichen Laufbahn ständig gegen diese Vorurteile ankämpfen.
Beispiel: Der Mathematiker Edmund Landau schrieb am 1.8.1915 in seinem Gutachten gegen die Habilitation von Emmy Noether: Ich habe bisher, was produktive Leistungen betrifft die schlechtesten Erfahrungen in Bezug auf die studierenden Damen gemacht und halte das weibliche Gehirn für ungeeignet zur mathematischen Produktion; Frl. N. halte ich aber für eine der seltenen Ausnahmen.  

\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: TomS am: Mo. 30. Januar 2012 23:51:10
\(\begingroup\)
Neben dem Wikipedia-Artikel möchte ich kurz eine Würdigung der Singularitätentheoreme von Hawking & Penrose vorstellen.

Kurz nach Veröffentlichung Allgemeiner Relativitätstheorie wurden spezielle, symmetrische Lösungen konstruiert, die Singularitäten enthielten. Dabei muss unterschieden werden zwischen
a) Koordinatensingularitäten, wie z.B. am Schwarzschildhorizontes eines schwarzen Lochs, die jedoch keine (!) Singularität der Mannigfaltigkeit selbst bedeuten, sondern auf die ungeschickte Wahl eines Koordinatensystems zurückzuführen sind sowie
b) physikalischen Singularitäten, die tatsächlich eine Singularität der pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit  selbst bedeuten (z.B. divergiert hier eine skalare Invariante wie der Ricci-Skalar oder der Kretschmann- Skalar).
Erstere sind lediglich Artefakte eines (ungeeigneten) Koordinatensystems und im Folgenden irrelevant.

Hawking und Penrose beziehen sich nicht direkt auf die Divergenz der Krümmung, sondern klassifizieren eine Singularität mittels (Scharen von) Geodäten, da durch "Ausschneiden" einer Singularität immer eine (berandete) Mannigfaltigkeit konstruieren werden kann, auf der die Krümmung überall endlich ist. Hawking und Penrose klassifizieren eine Singularität daher dergestalt, dass sie von nicht-vollständigen und nicht-fortsetzbaren Geodäten ausgehen, die also bei einem endlichen Wert des affinen Parameters enden. Diese entsprechen Weltlinien physikalischer Beobachter, wobei letztere in endlicher Eigenzeit die Singularität (die Krümmungssingularität bzw. den Rand) erreichen.

Lange Zeit war vermutet worden, dass Singularitäten der ART (Schwarzschild-Metrik, Kerr-Newmann-Metrik, Big Bang) lediglich ein Artefakt der hochsymmetrischen Randbedingungen wären und physikalisch irrelevant seien, da in der Praxis unsymmetrische Randbedingungen nicht zu Singularitäten führen würden und da symmetrische Randbedingungen "einer Menge vom Maß Null" bezogen auf alle möglichen Randbedingungen entsprechen würden.

Hawking und Penrose konnten zeigen, dass die Dynamik der ART im wesentliche immer, d.h. unter sehr allgemeinen Bedingungen, zur Ausbildung von Singularitäten führt, d.h. dass die ART intrinsisch unvollständig ist. Die Annahme bestimmter Symmetrien spielt dabei keine Rolle.

Die Voraussetzungen der Singularitätentheoreme sind
1) eine Energiebedingung, wie sie von bekannten Energieformen erfüllt wird (Ausnahmen könnten exotische Energieformen sein, wie man sie z.B. bei der dunklen Energie vermutet - für die aber in dieser Form kein physikalischer Nachweis existiert)
2) eine globale kausale Struktur der Raumzeit, d.h. die Nicht-Existenz geschlossener zeitartiger Kurven
3) genügend starke Gravitation, d.h. die Existenz einer sogenannten gefangenen (lichtartigen) Fläche; dabei handelt es sich um eine geschlossene, zweidimensionale Untermannigfaltigkeit, wobei beliebige, auslaufende Lichtstrahlen immer konvergieren.

Hawking und Penrose variierten dabei die Stärke der Voraussetzungen, so dass letztlich mehrere Singularitätentheoreme abgeleitet werden können, die dabei eine große Klasse "physikalisch sinnvoller" Modelle umfassen.

Lexikon der Astrophysik: Singularitäten

arxiv.org/abs/math/0603190
Relativity and Singularities - A Short Introduction for Mathematicians
Authors: Jose Natario
Abstract: We summarize the main ideas of General Relativity and Lorentzian geometry, leading to a proof of the simplest of the celebrated Hawking-Penrose singularity theorems. The reader is assumed to be familiar with Riemannian geometry and point set topology.

\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Rebecca am: Di. 31. Januar 2012 00:15:45
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Mein Dank an TomS für seine Würdigung des Noether-Theorems und die historische Anmerkung.

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Peregrin_Tooc am: Do. 02. Februar 2012 18:41:37
\(\begingroup\)
Ich möchte den  Fundamentalsatz von Max Noether vorschlagen. Das Theorem besagt: gegeben drei Kurven F,G und H in der projektiven Ebene, so dass die Schnittmenge von F und G diskret ist und die Schnittmenge und F und H umfasst, dann gibt es (unter gewissen Voraussetzungen) eine Kurve C, deren Schnitt mit F genau die fehlenden Punkte erwischt.
Dabei werden die Schnittpunkte mit Vielfachheit gezählt.

Der Satz ist einerseits unglaublich anschaulich und kann benutzt werden, um eine Reihe von geometrischen Problemen zu lösen bzw. eine Reihe von geometrischen Phänomenen zu erklären, als Beispiel sei Pascals Theorem genannt, zu dem man <a href=http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Pascal's_Theoremhier eine Website findet. Es besagt (Quelle: Wikipedia) In projective geometry, Pascal's theorem states that if an arbitrary hexagon is inscribed in any conic section, and opposite pairs of sides are extended until they meet, the three intersection points will lie on a straight line, the Pascal line of that configuration. In the Euclidean plane, the theorem has exceptions; its natural home is the projective plane.

Der Fundamentalsatz von Max Noether ist aber auch enorm wichtig beim Beweis des Satzes von Riemann-Roch, der eine effektive Möglichkeit darstellt, die Dimension des Schnittraums von Geradenbündeln über Kurven bekannten Geschlechts zu berechnen.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Gockel am: Fr. 03. Februar 2012 17:15:55
\(\begingroup\)
Hi.

Ich reiche die folgende Lobrede auf den Satz von Cook-Levin von Kitaktus nach:
Kitaktus schreibt:
Während P die Klasse von (Entscheidungs-)Problemen ist, bei denen man eine Lösung in Polynomialzeit <em style="text-decoration:underline;font-style:normal">finden kann, ist NP (etwas vereinfachend gesagt) die Klasse von Probleme, bei denen man eine Lösung in Polynomialzeit <em style="text-decoration:underline;font-style:normal">überprüfen kann. Die Frage "Gibt es einen Weg vom Berliner Alexanderplatz zum Münchner Stachus, der kürzer als 590km ist?" lässt sich leicht beantworten, wenn man einen solchen Weg kennt, man muss nur die Länge ausrechnen.
Die große Frage der Komplexitätstheorie, ja der ganzen theoretischen Informatik und so nebenbei das Milleniumsproblem mit den größten praktischen Konsequenzen ist die Frage, ob P und NP identisch sind. Einen wichtigen Beitrag auf dem Weg zur Beantwortung dieser Frage leistet die Theorie der NP-Vollständigkeit.
Ein Problem aus NP heißt NP-vollständig, wenn es (in einem gewissen Sinne) mindestens so schwer ist, wie alle anderen Probleme aus NP. Das heißt, wenn man nachweisen könnte, dass dieses Problem in P liegt, dann liegen auch alle anderen Probleme aus NP in P und die Frage nach "P=NP" wäre beantwortet.
Mittlerweile ist wohl von tausenden Problemen (darunter sehr viele mit praktischer Relevanz) bekannt, dass sie NP-vollständig sind. Zum Nachweis von NP-Vollständigkeit nimmt man ein bekanntes NP-vollständiges Problem und zeigt, dass das neue Problem mindestens genauso schwer ist. Dieser Beweis-Turm -- jeder Beweis stützt sich auf vorhergehende Beweise -- braucht ein Fundament, einen Grundstein, ein allererstes als NP-vollständig nachgewiesenes Problem. Genau diesen Grundstein legte vor 40 Jahren der Satz von Cook-Levin: "Das Erfüllbarkeitsproblem ist NP-vollständig."

EDIT:
Ich möchte hiermit gleichzeitig dazu aufrufen, weitere Nominierungen abzugeben. Um jedes Missverständnis vorzubeugen, möchte ich auch daran erinnern, dass Nominierungen vom letzten Jahr <em style="font-style:italic">nicht automatisch auch in diesem Jahr gelten.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Martin_Infinite am: Sa. 04. Februar 2012 20:50:46
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Das Yoneda-Lemma
 
Obwohl es nur ein Lemma mit einem sehr kurzen Beweis ist, den man am besten selbst erledigt, hat das Yoneda-Lemma eine herausragende Bedeutung in der Kategorientheorie, algebraischen Geometrie, algebraischen Topologie und der Darstellungstheorie. Es gibt zahlreiche Interpretationsmöglichkeiten, konkrete Beispiele und Anwendungen des Yoneda-Lemmas.
 
Eine mögliche Interpretation ist etwa, dass das Yoneda-Lemma das Extensionalitätsprinzip aus der Mengenlehre kategorifiziert: Zwei Objekte sind gleich, wenn ihre Elemente übereinstimmen. Eine weitere Interpretation lautet: Ein Objekt X versteht man durch das Studium der Objekte über X. Dieses Motiv findet sich überall in der Mathematik wieder: Einen Ring versteht man durch seine Moduln, eine Gruppe durch ihre Darstellungen, eine Mannigfaltigkeit durch ihre Vektorbündel.
 
Ein konkretes Beispiel des Yoneda-Lemmas ist der Satz(!) von Cayley, welcher besagt, dass eine Gruppe stets in eine symmetrische Gruppe eingebettet werden kann. Eine konkrete Anwendung ist etwa der konzise Umgang mit universellen Eigenschaften oder das Theorem über azyklische Modelle, welches unter anderem die Homotopieinvarianz der singulären Homologie impliziert.
 
Eine wichtige Folgerung aus dem Yoneda-Lemma ist die Yoneda-Einbettung, welche man sich als Vervollständigung vorstellen kann und in der Tat mit geeigneten Modifikationen als Spezialfall die Vervollständigung eines metrischen Raumes liefert. Aber auch in ganz anderen Situationen lässt sich damit eine Kategorie in eine Kategorie mit einem größeren Spielraum einbetten - diese Sichtweise hat die algebraische Geometrie revolutioniert.
 
Freilich ist das Yoneda-Lemma für sich gesehen kein spektakulärer Satz, aber es findet sich überall in der reinen Mathematik wieder, auch außerhalb der Kategorientheorie. Ein tiefes Verständnis dafür zahlt sich also aus. In diversen Artikeln kann man die oben skizzierten Interpretationen, Beispiele und Anwendungen mit Leben füllen. Daher nominiere ich hiermit das Yoneda-Lemma für den Satz des Jahres 2012.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Ex_Mitglied_5557 am: Mo. 06. Februar 2012 12:34:00
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Dann möchte ich mal kurz erläutern, weshalb ich den Satz von Mordell (bzw. als wesentlichen Spezialfall d. Satzes von Mordell-Weil) für vorschlagenswert halte:

Die Suche nach Lösungen diophantischer Gleichungen ist, wie der Name Diophant es schon andeutet, eine, die die Mathematiker schon sehr lang beschäftigt. Auch wenn dieses Problem in seiner allgemeinen Formulierung (Gibt es für eine gegebene diophantische Gleichung überhaupt Lösungen?) unentscheidbar ist (Hilberts 10. Problem, bewiesen v. Matjassewitsch 1970), so kann man sich doch für spezielle Fälle nach der Struktur der Lösungen - sofern sie existieren - fragen.

Schauen wir uns dazu polynomielle Gleichungen in zwei Variablen <math>x</math> und <math>y</math>, wobei alle auftretenden Koeffizienten rational sein sollen, an und fragen uns, wie nun die Menge der diophantischen, d.h. rationalen Lösungen <math>(x,y)</math> dieser Gleichung aussehen. Besitzen sie eine innere Struktur?


Zuvorderst stellt man fest, dass diese Gleichungen Kurven in der Ebene beschreiben, die Gleichung <math>x^2 + y^2 = 1</math> z.B. den Einheitskreis. Solchen Kurven kann man - wenn man ihre Topologie als Kurven über den komplexen Zahlen, sogenannten Riemannschen Flächen, betrachtet - eine Größe Namens "Geschlecht" zuordnen, welches im Wesentlichen mit dem Grad der Gleichung wächst.

So sind die einfachsten Kurven diejenigen mit Geschlecht <math>0</math>; im Allgemeinen diejenigen, deren Grad <math>0</math>, <math>1</math> oder <math>2</math> ist. Während es für die ersten zwei Fälle noch leicht einzusehen ist, ist der Fakt für die Quadriken (Kurven vom Grad <math>2</math>) schon erstaunlicher: Wenn es überhaupt eine Lösung der jeweiligen Gleichung gibt, dann unendlich viele, und man kann diese alle durch eine Startlösung und einen rationalen Parameter durchlaufen!

Kennt man also eine Lösung auf einer solchen Quadrik, dann ganz leicht auch alle anderen. Bildlich gesprochen erhält man dabei aus einer Lösung alle anderen, indem man im Graphen durch die Startlösung jeweils Geraden mit rationalem Anstieg (dem Parameter) legt und den zweiten Schnittpunkt mit dem Graphen als weitere rationale Lösung erhält.


Für Kurven vom Geschlecht <math>\geq 2</math> - das sind i.W. die Kurven mit Grad <math>\geq 5</math> - erhalten wir dagegen nicht unendlich, sondern nur sehr wenige Lösungen: Faltings konnte 1983 beweisen, dass es für solche Gleichungen nur höchstens endlich viele Lösungen geben könne!


Bleibt nur der "interessante Fall" zwischen den einfach zu parametrisierenden unendlich vielen Lösungen für Gleichungen kleinen und den nur endlich vielen bei Gleichungen großen Grades: Der Mittelfall (Geschlecht <math>1</math>, d.h. Grad meist <math>3</math> oder <math>4</math>, wobei sich diese durch Substitution auf Grad <math>3</math>; und sogar die Form <math>y^2 = x^3 + ax + b</math> bringen lassen) der elliptischen Kurven.

Hier gibt es mal endlich, und mal unendlich viele Lösungen. Doch wie sehen diese aus, wie verhalten sie sich?

Schnell konnte man zeigen, dass die rationalen Lösungen solcher Gleichungen einem Gruppengesetz folgen, d.h. man je zwei Lösungen so verknüpfen kann, dass man daraus auf sinnvolle Art und Weise eine dritte Lösung erhält.

Also stellt sich auf natürliche Weise die Frage, wie diese Gruppe aufgebaut ist, welche Struktur sie trägt.


Diese Frage beantwortet der Satz von Mordell. Während sein Finder dieses Jahr seinen 50. Todestag "feiert", ist es bei dem Satz selbst der 90. seit seines Auffindens.

Er besagt, dass eben diese Gruppe der rationalen Lösungen (Punkte) auf einer solchen elliptischen Kurve endlich erzeugt ist, d.h. es gibt eine endliche [!] Anzahl an Startpunkten, aus denen man dann mittels des Gruppengesetzes alle anderen, potentiell unendlich vielen Lösungen erzeugen kann.

Und auch ist der Beweis in seiner Idee erstaunlich einfach: Mittels des Fermat'schen Prinzips des Unendlichen Abstiegs wird die Gegenannahme dadurch zu Widerspruch geführt, dass man eine Folge von immer "kleineren" Lösungen konstruiert, was in analoger Weise zu den natürlichen Zahlen (in denen man auch nicht immer weiter absteigen kann) nicht möglich ist.


Weil selbst beweist nun 1928 eine Verallgemeinerung dieses Satzes, welche den Sachverhalt auch auf andere Zahlkörper als den rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> überträgt. (Dort lässt man dann z.B. auch Lösungen der Form <math>a+b \cdot \sqrt{2}</math> mit rationalen <math>a</math> und <math>b</math> zu.) Die Idee dahinter jedoch ist eigentlich schon in Mordells Vorgehen vollständig enthalten; und auch ist sein "Spezialfall" der Wichtigste - inner- wie außer-mathematisch.

Denn die Arithmetik auf elliptischen Kurven führte zur Entwicklung neuer und besserer Primzahltests, Faktorisierungsverfahren (welche jeweils für die moderne Kryptographie eine Rolle spielen) und deshalb nicht zu letzt einem eigenen Krypto-System, was intensiv auf ihnen arbeitet und das Gruppengesetz, und damit mittelbar auch die Erkenntnisse des Satzes von Mordell (bzw. Mordell-Weil) ausnutzt.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: TomS am: Mo. 06. Februar 2012 13:25:39
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich das jemals alles verstehen werde, aber ich danke dir auf jeden Fall für die gelungene Zusammenfassung.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 06. Februar 2012 17:45:06
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"zu letzt einem eigenen Krypto-System, was intensiv auf ihnen arbeitet und das Gruppengesetz, und damit mittelbar auch die Erkenntnisse des Satzes von Mordell (bzw. Mordell-Weil) ausnutzt."

Krypto ist über endlichen Körpern.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Lene am: Mo. 06. Februar 2012 20:25:01
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Ich möchte gerne den Satz von Liouville nominieren, weil er
1. Sehr kurz und bündig ist
2. Leicht zu beweisen ist
3. Man mit ihm den Haupsatz der Algebra SEHR elegant und schnell beweisen kann
4. Er außerdem in einigen weiteren Beweisen (der Funktionentheorie) verwendet wird/werden kann.

Bis wann hat man denn Zeit abzustimmen? Ich werde nämlich am 14. nicht da sein :(\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz des Jahres 2012
von: Martin_Infinite am: Di. 07. Februar 2012 09:22:27
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Guter Vorschlag. Der Satz von Liouville wird auch gebraucht, um überhaupt zu zeigen, dass das Spektrum eines Operators auf einem Hilbertraum nichtleer ist. Der Satz hat also auch Relevanz in der Funktionalanalysis.

Zur Abstimmung steht oben:
Allgemeine Abstimmung vom 15.2.-14.3.2012.
Das ist genug Zeit ;).\(\endgroup\)
 

 
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