Stern Mathematik: Was ist das Tensorprodukt?
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Mathematik

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Was ist das Tensorpr\otimesdukt?

Dieser Artikel ist nicht so sehr eine detaillierte Einführung in das Tensorprodukt; dazu kann man ja die Lehrbücher oder Gockels Artikel heranziehen oder auch den sehr empfehlenswerten Artikel von Keith Conrad. Vielmehr möchte ich hier das Tensorprodukt von Moduln unter verschiedenen Aspekten motivieren und auch darauf eingehen, wie man damit arbeiten kann und was ich mir darunter vorstelle. Meiner Erfahrung nach fehlt vielen Studenten eine Vorstellung darüber, auch wenn sie die Definition bereits kennen, welche ich hier aber ebenfalls motivieren werde.

Vorbemerkung Zum Verständnis dieses Artikels sollte man nur wissen, was ein R-Linksmodul und ein R-Rechtsmodul für einen Ring R ist (siehe z.B. Curufins Artikel). Ein Modul ist dasselbe wie ein Vektorraum, bloß dass man anstelle eines Grundkörpers einen Ring R zulässt. Bei einem Linksmodul stehen die Skalare links, bei einem Rechtsmodul stehen sie eben rechts. Wenn R kommutativ ist, muss man nicht zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden. Ich setze als bekannt voraus, was die direkte Summe von zwei Moduln ist. Zwischendurch finden sich einige Bemerkungen zur Kategorientheorie, die können aber übersprungen werden, wenn man damit noch nicht vertraut ist. Ich möchte in diesem Artikel nicht mit der Tür ins Haus fallen und gleich die Definition des Tensorproduktes über bilineare Abbildungen geben. Vielmehr möchte ich umgekehrt vorgehen und zunächst einmal die wichtigsten Ideen vorstellen, die dahinterstecken. Das könnte selbst für diejenigen, die schon einmal vom Tensorprodukt gehört haben, interessant sein. Am Ende führe ich aber alles zu einer Definition zusammen. Wer möglichst schnell dahin kommen will, kann gleich zur 5. Motivation springen.

1. Motivation: Wir wollen multiplizieren! Nach dem Plus kommt halt das Mal. Sei R ein kommutativer Ring. Wir wissen bereits, wie man zwei R-Moduln M,N miteinander "addiert". Nämlich können wir die direkte Summe M \oplus N bilden. Diese Addition ist auch assoziativ und kommutativ in dem Sinne, dass es (natürliche) Isomorphismen (M \oplus N) \oplus K \cong M \oplus (N \oplus K) und M \oplus N \cong N \oplus M gibt. Der triviale Modul 0 ist ein neutrales Element in dem Sinne, dass M \oplus 0 \cong M gilt. Wenn wir die "Menge" der Isomorphieklassen von R-Moduln betrachten, so wird daraus tatsächlich ein Monoid. Wenn man sich auf endlich-erzeugte Moduln einschränkt, ist dies sogar ein sehr interessantes Monoid und ein wichtiges Objekt der sogenannten K-Theorie des Ringes R. Doch können wir nicht vielleicht sogar multiplizieren und damit einen kommutativen Halbring erhalten (dies ist ein kommutativer Ring, bei dem keine additiven Inversen gefordert werden)? Eine solche reichere Struktur wäre natürlich hilfreich zum Studium von R. Außerdem könnten wir viel flexibler mit R-Moduln "rechnen". Demnach fragen wir uns, gibt es ein assoziatives Produkt (M,N) \mapsto M \otimes N (oder präziser M \otimes_R N, falls der Grundring nicht klar ist) mit einer Eins, welches mit der bereits besprochenen Addition kompatibel ist, d.h. das Distributivgesetz erfüllt? Der erste nichttriviale R-Modul, der uns einfällt und als Eins in Frage käme, ist der R-Modul R. Es soll also gelten: M \otimes R \cong M \medskip \\ M \otimes N \cong N \otimes M \medskip \\ M \otimes (N \otimes K) \cong (M \otimes N) \otimes K \medskip \\ M \otimes (N \oplus K) \cong (M \otimes N) \oplus (M \otimes K) Wir könnten auch zunächst einmal ganz bescheiden sein und das für freie Moduln hinbekommen (z.B. ist jeder Vektorraum frei). Für diese gilt bekanntlich \mathrm{rang}(M \oplus N) = \mathrm{rang}(M) + \mathrm{rang}(N): Die Vereinigung einer Basis von M mit einer von N ist eine Basis von M \oplus N. Eine sinnvolle Erwartung wäre also \mathrm{rang}(M \otimes N) = \mathrm{rang}(M) \cdot \mathrm{rang}(N). Mit anderen Worten, es soll R^n \otimes R^m = R^{n \cdot m} für alle m,n \in \mathds{N} gelten. Das folgt aber bereits aus den obigen Gleichungen! Wenn zum Beispiel R ein Körper ist (und wir uns auf endlich-erzeugte Moduln einschränken), dann soll der oben genannte Halbring isomorph sein zu (\mathds{N},+,\cdot). Wir wissen also, wie das Tensorprodukt von freien Moduln aussehen soll. Wenn M eine Basis \{e_i\}_{1 \leq i \leq n} hat und N eine Basis \{f_j\}_{1 \leq j \leq m} hat, so wird M \otimes N eine Basis haben, die wir mit \{e_i \otimes f_j\}_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m} bezeichnen dürfen. Für viele Physiker hört hier die Geschichte bereits auf ;). Nun ist zwar nicht jeder R-Modul M frei, aber er besitzt eine Präsentation R^n \to R^m \to M \to 0 mit n,m \in \mathds{N} (genauer: Kardinalzahlen). Wir könnten dann M \otimes N über die induzierte Präsentation N^n \to N^m \to M \otimes N \to 0 definieren. Weil das von Wahlen abhängt, sehen wir einmal davon ab und warten auf eine bessere Definition. Trotzdem begegnet uns schon hier die sog. Rechtsexaktheit des Tensorproduktes. 2. Motivation: Der Ring ist zu klein! Hier beliebigen Witz über Heiratsanträge einfügen. Ein zentrales Thema der linearen Algebra ist die Normalformentheorie. Gegenstand der Untersuchung ist eine K-lineare Abbildung f : V \to V, wobei V ein Vektorraum über einem Körper K ist. Man sucht eine Basis von V, bezüglich der f eine sehr einfache Gestalt besitzt, eine Normalform. Wogegen die allgemeine Normalform stets verfügbar ist, muss für die Jordansche Normalform das charakteristische Polynom von f über K zerfallen. Abhilfe schafft ein bzw. der Zerfällungskörper E von f (oder für Größenwahnsinnige gleich der gesamte algebraische Abschluss von K), über dem also f zerfällt. Problemlos kann man eine zu f gehörige Matrix über K dann auch über E betrachten. Bloß wie können wir diese Erweiterung direkt anhand von f ausdrücken? Das scheint nicht so einfach zu sein, weil bereits V gar kein Vektorraum über E ist. Man müsste irgendwie daraus einen E-Vektorraum V_E konstruieren. Außerdem muss f eine E-lineare Abbildung f_E : V_E \to V_E induzieren. Jede K-Basis von V sollte auch eine E-Basis von V_E liefern, und die entsprechenden Matrizen von f bzw. f_E sollten unter der Inklusion K \hookrightarrow E auseinander hervorgehen. Tatsächlich wird das Tensorprodukt V_E := V \otimes_K E all das leisten. In diesem Fall erweitern wir die Skalare also von K auf E; daher auch der Name Skalarerweiterung. Eine ähnliche Situation gibt es in der algebraischen Geometrie, welche sich in der klassischen Sichtweise mit Nullstellenmengen von Polynomen in mehreren Variablen beschäftigt (nicht nur von linearen Polynomen wie in der linearen Algebra). Auch hier erweitert man die Koeffizienten der Polynome, um gewisse Probleme anzugehen. So steht der Hilbertsche Nullstellensatz zum Beispiel nur über algebraisch abgeschlossenen Körpern zur Verfügung. In der modernen Sichtweise hat man es (lokal) mit einer kommutativen K-Algebra A zu tun, welche zu einem geometrischen Objekt \mathrm{Spec}(A) korrespondiert (siehe Was ist ein Schema?). Falls nun K nicht algebraisch abgeschlossen ist, so kann man zur Skalarerweiterung A_{\overline{K}} übergehen. Tatsächlich werden auf diese Weise viele moderne Sätze auf die klassische Sprache zurückgeführt. Um ein einfaches Beispiel zu nennen: Sei A = K[x]/(f) mit einem normierten Polynom f \in K[x]. Die Skalarerweiterung wird A_{\overline{K}} = \overline{K}[x]/(f) sein, wobei hier f als Polynom über \overline{K} aufgefasst wird. Als solches zerfällt es in Linearfaktoren, etwa f = \prod_{i=1}^{n} (x-\alpha_i)^{n_i} mit \alpha_i \in \overline{K}. Der chinesische Restsatz impliziert nun \displaystyle A_{\overline{K}} \cong \prod\limits_{i=1}^{n} \overline{K}[x]/(x-\alpha_i)^{n_i}. Diese Algebra ist nun viel einfacher als A selbst. Trotzdem finden wir die Vielfachheiten der Nullstellen algebraisch wieder. Zum Beispiel ist f genau dann separabel, wenn A_{\overline{K}} keine nichttrivialen nilpotenten Elemente besitzt. Wenn f zusätzlich irreduzibel ist, so ist zwar A eine Körpererweiterung von K, aber A_{\overline{K}} ist ein Produkt aus n Kopien von \overline{K}. Zum Beispiel ist \mathds{C} \otimes_{\mathds{R}} \mathds{C} = \mathds{C} \times \mathds{C}. Bisher haben wir nur Körper erweitert. Dasselbe sollte aber für beliebige Ringerweiterungen R \subseteq S oder sogar Ringhomomorphismen R \to S funktionieren: Aus einem R-Rechtsmodul M wollen wir einen S-Rechtsmodul M_S = M \otimes_R S bauen, welcher hoffentlich einfacher zu überschauen ist, und noch genügend Information über M reflektiert. Ein typisches Beispiel ist die Ringerweiterung \mathds{Z} \hookrightarrow \mathds{Q}. Hier wollen wir also aus einer abelschen Gruppe einen \mathds{Q}-Vektorraum bauen. Das ist natürlich sehr nützlich, weil wir dann Methoden aus der linearen Algebra auf die Gruppentheorie anwenden können. Zum Beispiel ist der Rang \mathrm{rang}(A) einer abelschen Gruppe A als die \mathds{Q}-Dimension von A_{\mathds{Q}} definiert. Dieser kommt zum Beispiel im Struktursatz für endlich-erzeugte abelsche Gruppen vor. Aus dieser Definition folgt relativ einfach die Additivität des Ranges: Ist 0 \to A' \to A \to A'' \to 0 eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen, so gilt \mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A') + \mathrm{rang}(A''). Man führt das nämlich auf die entsprechende Aussage aus der linearen Algebra zurück, wo der Rang dann die Dimension ist. Mit der elementaren ad hoc Definition des Ranges als maximale Kardinalität einer linear unabhängigen Teilmenge wäre das nicht so einfach zu sehen. Eine weitere Anwendung ist die Implikation \mathds{Z}^n \cong \mathds{Z}^m \Rightarrow n=m, weil nämlich \mathds{Z}^n_{\mathds{Q}} = \mathds{Q}^n und aus der linearen Algebra die Wohldefiniertheit der Dimension bekannt ist. Oftmals ist eine abelsche Gruppe A nicht einfach zu verstehen, der zugehörige \mathds{Q}-Vektorraum A_{\mathds{Q}} allerdings schon; der Grund dafür ist unter anderem, dass dabei die sogenannte Torsion von A ignoriert wird. Ein prominentes Beispiel sind die Homotopiegruppen von Sphären. Die rationale Homotopietheorie bietet im Vergleich zur Homotopietheorie viele Vereinfachungen. Oftmals versucht man den "Rest" von A mittels der \mathds{F}_p-Vektorräume A_{\mathds{F}_p} zu verstehen, wobei p alle Primzahlen durchläuft. Die Skalarerweiterung - \otimes_R S bezüglich eines Homomorphismus R \to S soll außerdem mit Homomorphismen von Moduln verträglich sein und nur so viel dazutun, wie unbedingt nötig ist. Präziser: Es sollte ein Funktor \mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Mod}(S) sein, der linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. 3. Motivation: Wir wollen mitteln! Oder auch: Weg mit den Indizes Die Summe einer Folge bzw. allgemeiner das Integral einer messbaren Funktion ist eine Methode zur Mittelung. Wenn wir außerdem zwei Folgen a,b haben, dann kann man sich \sum_n a_n \cdot b_n als eine gemischte Mittelung beider Folgen vorstellen. Wir werden die Indizes halt los, indem wir einfach alles aufsummieren. Entsprechend können wir für zwei integrierbare Funktionen f,g : \Omega \to \mathds{R} das Integral \int\limits_{\Omega} f \cdot g bilden. Das klingt jetzt vielleicht seltsam, aber R-Moduln können auch als Funktionen aufgefasst werden. Grob: Der Definitionsbereich besteht nur aus einem Index bzw. Objekt, entsprechend gibt es nur einen Funktionswert, nämlich die unterliegende abelsche Gruppe M. Der Ring R wirkt per Endomorphismen auf dem Objekt, und dies setzt sich fort zu einer Wirkung von M. Präzise: Ein Ring R ist dasselbe wie eine lineare Kategorie mit nur einem Objekt, und ein R-Modul ist dasselbe wie ein linearer Funktor R \to \mathsf{Ab}, wobei \mathsf{Ab} die Kategorie der abelschen Gruppen bezeichnet. Für eine Einführung in die kategorielle Sprache siehe etwa Zaos' Artikel sowie die Fortsetzungen. Die Kategorie der R-Linksmoduln ist also isomorph zur (linearen) Funktorkategorie {}^R \mathsf{Ab}. Entsprechend ist die Kategorie der R-Rechtsmoduln isomorph zu \mathsf{Ab}^R := {}^{R^{\mathsf{op}}} \mathsf{Ab}. Wir wollen nun genau wie vorher den Index loswerden, d.h. einen Funktor \mathsf{Ab}^R \times {}^R \mathsf{Ab} \to \mathsf{Ab} finden, welcher also aus einem R-Rechtsmodul M und einem R-Linksmodul N eine abelsche Gruppe M \otimes_R N bastelt. Dazu orientieren wir uns an dem eingangs genannten Beispiel: Wir müssen erst einmal die unterliegenden abelschen Gruppen miteinander multiplizieren können und anschließend die beiden Wirkungen von R irgendwie neutralisieren. Man kann sich diese als M \otimes_{\mathds{Z}} R \to M bzw. R \otimes_{\mathds{Z}} N \to N vorstellen. Diese liefern also zwei Homomorphismen abelscher Gruppen M \otimes_{\mathds{Z}} R \otimes_{\mathds{Z}} N \rightrightarrows M \otimes_{\mathds{Z}} N. Mit Hilfe des Differenzkokernes kann man diese nun miteinander identifizieren. Allgemeiner: Wir nehmen uns beliebige Kategorien C,D,E her, sowie einen Funktor \otimes : C \times D \to E. Wir wollen dann für beliebige (kleine) Indexkategorien I einen Funktor \otimes_I : C^I \times {}^I D \to E konstruieren, wobei C^I := [I,C] und {}^I D := [I^{\mathsf{op}},D]. Sofern E kovollständig ist, können wir das wie folgt erreichen: Seien M \in C^I, N \in {}^I D. Für jeden Index i \in I haben wir das Objekt M_i \otimes N_i \in E. Diese summieren wir auf, d.h. wir bilden das Koprodukt \coprod_{i \in I} M_i \otimes N_i. Für jeden Morphismus i \to j in I identifizieren wir M_i \otimes N_j \to M_i \otimes N_i mit M_i \otimes N_j \to M_j \otimes N_j, d.h. wir bilden den Differenzkokern von zwei geeignet definierten Morphismen \displaystyle \coprod_{i \to j} (M_i \otimes N_j) \rightrightarrows \coprod_{i} (M_i \otimes N_i) und nennen ihn M \otimes_I N. Für lineare Kategorien funktioniert das genauso, und wenn dann I aus nur einem Objekt besteht, stimmt das exakt mit dem vorher besprochenen Tensorprodukt von Moduln über einem Ring überein. Doch wir bekommen nun mit diesem "Tensorprodukt von Funktoren" eine Fülle von weiteren Konstruktionen! Um nur ein Beispiel zu nennen: Eine nicht notwendig lineare Kategorie mit einem Objekt ist dasselbe wie ein Monoid G (z.B. eine Gruppe). Dann ist \mathsf{Set}^G bzw. {}^G \mathsf{Set} die Kategorie der Mengen mit einer Wirkung von G von rechts bzw. links. Legen wir das kartesische Produkt \times : \mathsf{Set} \times \mathsf{Set} \to \mathsf{Set} zu Grunde, so ist das Tensorprodukt von M \in \mathsf{Set}^G und N \in {}^G \mathsf{Set} einfach der Quotient M \otimes_G N = (M \times N) / \langle (mg,n) \simeq (m,gn) \rangle_{m \in M,\, n \in N,\, g \in G}. Die allgemeine Idee hinter dem Tensorprodukt ist einfach, das "unterliegende" Produkt zu nehmen und dann die beiden Wirkungen miteinander zu identifizieren. Übrigens ist M \otimes_I N nichts anderes als das Koende \displaystyle \int^{i \in I} M_i \otimes N_i. 4. Motivation: Ich bin algebraischer Geometer! ... oder weiß zumindest ein wenig darüber In vielen Bereichen begegnen einem (kategorielle) Produkte, welche recht einfach zu definieren und zu überblicken sind: Das kartesische Produkt von zwei Mengen, das Produkt von zwei Gruppen, das Produkt von zwei topologischen Räumen, etc. Doch wie sieht das Produkt von zwei Varietäten oder allgemeiner Schemata aus? Lokal lautet das Problem also: Wie sieht das Produkt von zwei affinen Schemata aus? Wenn R einen Grundring bezeichnet, so lautet die entsprechende Frage aus der Algebra: Wie sieht das Koprodukt von zwei kommutativen R-Algebren A_1,A_2 aus? Tatsächlich wird es das Tensorprodukt A_1 \otimes_R A_2 der unterliegenden R-Moduln, versehen mit einer geeigneten Multiplikation sein. Ein typisches Beispiel hierfür ist R[x_1,\dotsc,x_n] \otimes_R A \cong A[x_1,\dotsc,x_n], oder geometrisch \mathds{A}^n_R \times_R A \cong \mathds{A}^{n}_A. Die bereits erwähnte Skalarerweiterung wird hier Basiswechsel genannt und funktioniert sogar für beliebige Morphismen von Schemata. Tensorprodukte von Moduln und Algebren sind in der algebraischen Geometrie allgegenwärtig. 5. Motivation: Ich bin Informatiker! Wir kommen der Definition näher. In der Informatik spielt das Currying eine Rolle. Hierbei identifiziert man eine Funktion f : X \times Y \to Z mit einer Funktion g : X \to \mathsf{Abb}(Y,Z) mittels g(x)(y)=f(x,y). Das ist praktisch, weil g im Gegensatz zu f nur eine "Variable" besitzt. Geht das auch für Moduln? Sei R ein kommutativer Ring und M,N,K drei R-Moduln. Es ist \hom(N,K) mit den punktweisen Verknüpfungen ein R-Modul (hier geht die Kommutativität von R ein). Wie lassen sich nun Homomorphismen \alpha : M \to \hom(N,K) umschreiben zu Homomorphismen ? \to K, wobei ? ein R-Modul sein sollte, welcher irgendwie die zwei Variablen M,N miteinander vereint? Zunächst einmal können wir wie vorher die Funktion \alpha : M \to \hom(N,K) \hookrightarrow \mathsf{Abb}(N,K) zu einer Funktion \beta : M \times N \to K umschreiben. Jetzt müssen wir nur noch die Bedingungen, dass \alpha (1) linear ist und (2) Homomorphismen als Werte annimmt, mittels \beta ausdrücken. Nun (1) liefert (über alle Variablen quantifiziert): \beta(m+m',n)=\beta(m,n)+\beta(m',n) \medskip \\\beta(r \cdot m,n)=r \cdot \beta(m,n) Das heißt also, dass \beta in der ersten Variablen linear ist. Und (2) liefert die Linearität in der zweiten Variablen: \beta(m,n+n')=\beta(m,n) + \beta(m,n') \medskip \\ \beta(m,r \cdot n) = r \cdot \beta(m,n) Es ist naheliegend, dass man dann \beta bilinear nennt. Solche Abbildungen lernt man bereits in der linearen Algebra im Zusammenhang mit Skalarprodukten kennen. Als weiteres typisches Beispiel ist für jeden Ring R die Multiplikation R \times R \to R, (a,b) \mapsto a \cdot b bilinear. Die Gesamtheit der bilinearen Abbildungen M \times N \to K bezeichnen wir einmal mit \mathrm{Bilin}(M,N;K). Wir suchen also einen R-Modul M \otimes_R N mit der Eigenschaft, dass es eine natürliche Bijektion \displaystyle \hom(M \otimes_R N,K) \cong \mathrm{Bilin}(M,N;K) gibt (in der Sprache der Kategorientheorie wollen wir also eine Darstellung des Funktors \mathrm{Bilin}(M,N;-) finden). Was hier gesagt wurde, beschränkt sich übrigens nicht auf die Kategorie der Mengen oder der R-Moduln, Stichwort Hom-Tensor-Adjunktion.

Die Konstruktion und die universelle Eigenschaft Jetzt kommen Details. Um einen R-Modul M \otimes_R N wie in der 5. Motivation zu finden, stellen wir zunächst fest, dass die Abbildungen (nicht notwendig bilinear) M \times N \to K zu Homomorphismen F \to K korrespondieren, wobei F := \oplus_{M \times N} R der freie R-Modul mit Basis M \times N ist. Um die Bilinearität zu erzwingen, teilen wir einfach die entsprechenden Relationen heraus: Es sei U der von den folgenden Elementen erzeugte R-Untermodul von F: (m+m',n)-((m,n)+(m',n)), (rm,n) - r(m,n) (m,n+n')-((m,n)+(m,n')), (m,rn) - r(m,n) Nach dem Homomorphiesatz entspricht \hom(F/U,K) der Menge der Homomorphismen F \to K, welche auf U verschwinden. Das sind aber gerade diejenigen Abbildungen \beta : M \times N \to K, die den bilinearen Relationen genügen, d.h. bilinear sind. Daher setzen wir also M \otimes_R N := F/U. Sobald man diese Konstruktion verstanden hat, kann man sie aber auch gleich wieder vergessen, weil alle Eigenschaften des Tensorproduktes aus der "funktoriellen Definition" \hom(M \otimes_R N,K) \cong \mathrm{Bilin}(M,N;K) folgen. Setzt man K = M \otimes_R N ein und nimmt das Bild der Identität, so bekommt man eine bilineare Abbildung M \times N \to M \otimes_R N, welche ebenfalls mit (m,n) \mapsto m \otimes n bezeichnet wird. Dann ist die obige Bijektion durch f \mapsto ((m,n) \mapsto f(m \otimes n)) gegeben und die Bijektivität äußert sich in der folgenden universellen Eigenschaft des Tensorproduktes: Die bilineare Abbildung \otimes : M \times N \to M \otimes_R N ist universell im folgenden Sinne: Ist \beta : M \times N \to K eine beliebige bilineare Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus f : M \otimes_R N \to K mit f(m \otimes n) = \beta(m,n) für alle m \in M, n \in N. Aus dieser universellen Eigenschaft ergibt sich alles weitere; unbedingt merken! Man muss sich vorstellen, dass das Tensorprodukt wirklich gerade so konstruiert ist, damit die universelle Eigenschaft besteht. Etwas konkreter wird M \otimes_R N von Elementen der Form m \otimes n erzeugt (den reinen Tensoren), mit den Rechenregeln (und nur diesen) (rm) \otimes n = r(m \otimes n), (m+m') \otimes n = m \otimes n + m' \otimes n m \otimes (rn) = r (m \otimes n), m \otimes (n+n') = m \otimes n + m \otimes n' Daraus folgt bereits 0 \otimes n = 0 = m \otimes 0 (Übungsaufgabe). Jedes Element im Tensorprodukt ist eine Summe von reinen Tensoren, aber nicht unbedingt ein reiner Tensor. Die Faktoren in einem reinen Tensor sind nicht eindeutig bestimmt und das Tensorprodukt ist auch nicht "nullteilerfrei". Zum Beispiel berechnen wir in \mathbb{Z}/2 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}, dass \overline{1} \otimes q = \overline{1} \otimes 2 \frac{q}{2} = \overline{2} \otimes \frac{q}{2} = 0 \otimes \frac{q}{2} = 0. Das Tensorprodukt wird von diesen reinen Tensoren erzeugt, also ist es trivial. Wie bereits im zweiten Motivationsteil erwähnt, verschwindet beim Tensorieren mit \mathbb{Q} die Torsion; wir können sie sozusagen "ausblenden". Den Beweis der allgemeinen Eigenschaften des Tensorproduktes findet ihr in der Literatur oder in Gockels Artikel. Wie man es mit ein wenig Kategorientheorie viel einfacher und transparenter machen kann, findet ihr hier (Thema A). Tatsächlich erfüllt das Tensorprodukt alle Wünsche, die wir in den Motivationsteilen geäußert haben. Übrigens, wenn R nicht kommutativ ist, so kann man für einen R-Rechtsmodul M, einem R-Linksmodul N und einer abelschen Gruppe K von balancierten Abbildungen \beta : M \times N \to K sprechen (man fordert \beta(m,rn)=\beta(mr,n)) und diese ebenfalls durch Homomorphismen auf einem Tensorprodukt M \otimes_R N (welches lediglich eine abelsche Gruppe ist und wir in der dritten Motivation angedeutet haben) klassifizieren. Ein Beispiel Sei I \subseteq R ein Ideal eines Ringes und M ein R-Linksmodul. Wir behaupten, dass R/I \otimes_R M \cong M/IM, wobei IM der von den Elementen der Form i \cdot m mit i \in I, m \in M erzeugte Untermodul von M ist. Eine Folgerung daraus wäre R/I \otimes_R R/J \cong R/(I+J), woraus sich im Spezialfall R=\mathbb{Z} dann \mathbb{Z}/n \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m \cong \mathbb{Z}/ggT(n,m) ergibt. Aber auch das Beispiel \mathbb{Z}/2 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = 0 fällt als Spezialfall ab. Eine mögliche Beweismethode ist, die Abbildung R/I \times M \to M/IM, (\overline{r},m) \mapsto \overline{rm} zu betrachten und deren Wohldefiniertheit und Universalität zu zeigen (gute Übungsaufgabe). Alternativ kann man funktoriell argumentieren (wenn R kommutativ): Es gilt \hom(R,M) \cong M, f \mapsto f(1), und \hom(R/I,M) identifiziert sich nach dem Homomorphiesatz mit dem Untermodul \{m \in M : Im = 0\}. Also ist \hom(R/I \otimes_R M,N) \cong \hom(R/I,\hom(M,N)) \cong \{f \in \hom(M,N) : If = 0\} = \{f \in \hom(M,N) : f(IM)=0\} \cong \hom(M/IM,N). Das Yoneda-Lemma impliziert dann R/I \otimes_R M \cong M/IM. Die Skalarerweiterung mit R \to R/I ist also einfach zu verstehen: Wir "machen" die Wirkung von I trivial. Zum Nachgrübeln Für einen topologischen Raum X sei C(X) der Vektorraum der stetigen Funktionen X \to \mathbb{R}. Für zwei topologische Räume X,Y haben wir dann eine ganz natürliche bilineare Abbildung C(X) \times C(Y) \to C(X \times Y), (f,g) \mapsto ((x,y) \mapsto f(x) \cdot g(y)), die sich also zu einer linearen Abbildung \alpha : C(X) \otimes C(Y) \to C(X \times Y) fortsetzt. Ist \alpha injektiv? Ist \alpha surjektiv?
Das war's auch schon. Scheut nicht davor zurück, Kritik, Lob oder Anmerkungen in den Kommentaren loszuwerden ;). Mein Dank geht an Irrlicht fürs Korrekturlesen.

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"Stern Mathematik: Was ist das Tensorprodukt?" | 9 Comments
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Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Kofi am: Fr. 28. September 2012 19:42:53
\(\begingroup\)Weder noch 😉 <= Diese antwort ist falsch :D\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Akura am: Fr. 28. September 2012 20:37:36
\(\begingroup\)Klasse Artikel! In meiner Vorlesung über kommutative Algebra letztes Semester wurden Tensorprodukte einfach eingeführt und verwendet. Eigentlich auch kein Problem, sooo abstrakt sind sie ja nicht. Aber: Deine Motivationen helfen der Vorstellung sehr und sind auch tolle (Mini-)Anwendungen. \(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Dune am: Sa. 29. September 2012 21:59:20
\(\begingroup\)Danke für diesen tollen Artikel - hat sehr zu meinem Verständnis beigetragen! 😄\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. September 2012 12:35:34
\(\begingroup\) nicht injektiv ist ja trivial, aber nicht surjektiv ist schwer\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. September 2012 12:45:36
\(\begingroup\) Und die Abbildung hat auch vermutlich dichtes Bild. Das macht die Sache schwer.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. September 2012 12:48:46
\(\begingroup\) OK, das folgt, weil z.B. Hütchen im Bild liegen, oder einfacher aus Stone-Weierstraß.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. September 2012 12:50:05
\(\begingroup\)Für die nicht-Surjektivität muss man sowas wie unendliche Summen von $f_i(x)g_j(y)$ nehmen. \(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. September 2012 18:09:20
\(\begingroup\) Vermutung: exp(xy) ist nicht im Bild.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist das Tensorprodukt?
von: Martin_Infinite am: So. 13. Oktober 2013 15:56:38
\(\begingroup\)Ich wollte hier noch eine sehr elementare Konstruktion des Tensorproduktes ergänzen (anscheinend recht unbekannt, siehe auch hier). Man bildet zunächst die direkte Summe $P = (\bigoplus_{m \in M} N) \oplus (\bigoplus_{n \in N} M)$ zusammen mit den Inklusionen $i_m : N \to P, j_n : M \to P$ und erzwingt dann die Relation $i_m(n)=j_n(m)$, d.h. teilt den von den $i_m(n) - j_n(m)$ mit $m,n \in M$ erzeugten Untermodul heraus - fertig.\(\endgroup\)
 

 
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