Mathematik: Schönste mathematische Sätze
Released by matroid on Di. 11. Februar 2014 14:42:36 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Schönste mathematische Sätze
Hallo, liebe Matheplanetarier! Mit diesem Artikel möchte ich hiermit gerne im Internet vor der Kulisse eines so guten und großen Forums für Mathematiker, Physiker, Informatiker, Lernende, Schüler usw. veröffentlichen, was ich im Laufe von wenigen Monaten zusammengesammelt und anschließend dann mit Latex zusammengeschrieben habe. Die Datei, die es hier herunterzuladen gibt, ist gerade einmal 96 Seiten lang. Sie ist also nicht allzu groß. Jedoch soll der Inhalt nicht soetwas wie ein Skript sein, wie man es vielleicht für eine Vorlesung an der Universität mit an die Hand bekommt, wo mehrere Sätze, die wichtig für eine Theorie sind, aber meist eher uninteressant anmuten, sondern eine Liste aus für mich „schönen“ 50 mathematischen Sätzen, die ich einfach mal alle zusammen haben wollte. Die Beweise für diese Sätze habe ich möglichst optisch sauber und inhaltlich kompakt gehalten. Ich habe darauf geachtet die Beweise so einfach wie nur möglich zu lesen im Internet gefunden zu haben.

Als Höhepunkt der gesamten Liste habe ich meinen Lieblingssatz zitiert. Und zwar den Satz von Gauß-Bonnet. Dieser Satz stammt aus der Differentialgeometrie und wird auch dort als schön empfunden. Mittels der Gauß-Krümmung für 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten kann man über ein Integral ausrechnen wieviele Löcher beispielsweise ein Donut hat, nämlich 1, und ein Brezel 2. Man hat damit also ein löcherzählendes Integral. Aus Analysis-Informationen haben wir topologische Informationen gewonnen. Im Satz von deRham aus der Algebraischen Topologie beweist man die natürliche Isomorphie zwischen der de Rham-Kohomologie und der Singulären Homologie einer bestimmten Klasse von Mannigfaltigkeiten. Man hat also eine Strukturgleichheit zwischen einem analytischen und einem topologischen Gebilde, was ich auch hier faszinierend finde - die Entsprechung zwischen kontinuierlich und diskret. Nicht umsonst ist dem Satz auch ein Buch „Algebraische Topologie“ von Wolfgang Lück gewidmet. Auch das Shannon'sche Abtasttheorem spielt damit. Da ich das ganze überschaubar halten und nicht überladen wollte, habe ich nicht allzu gerne definiert, was ich benutzt habe. D.h. es werden z.B. einfach Differentialformen benutzt ohne sie konkret eingeführt zu haben. Daraus folgt dann, dass der Leser ab und zu ein bisschen fortgeschrittener sein muss. Ich würde sagen, dass man nach erfolgreicher Beendigung des Grundstudiums der Mathematik alle und zwar alle Sätze gut verstehen können dürfte. Aber auch für Schüler ist etwas dabei: die Platonischen Körper, die Irrationalität der Wurzel aus 2 und vielleicht auch noch mehr. Schaut doch einfach mal durch. Weil ich finde, dass Mathematik nicht nur pure Logik, die abstrakt, kompliziert, unanschaulich, uninteressant usw., von Zeile zu Zeile, sein kann, sondern auch interessante, verblüffende und vor allem schöne Resultate birgt, hergeleitet mittels dieser puren Logik, der Eleganz der Mathematik mit all ihren wichtigen Methoden und der harten Arbeit, die dahintersteckt, halte ich den Artikel noch für einigermaßen sinnvoll für eine Veröffentlichung hier. Falls den sehr guten Mathematikern das alles hier zu einfach ist … ich habe hier im Forum schonmal einen Artikel über die extrem schnell anwachsende e-Funktion gelesen. Außerdem geht es mir hauptsächlich auch darum meine Tipparbeit nicht umsonst gewesen sein zulassen zu wollen und diese hübschen Sätze, die viele von auch schon kennen dürften, mit euch zu teilen, alle zusammen zu haben in nur einer pdf-Datei. Sollten Fehler im Text sein, dann bitte per PM melden, dann korrigiere ich den Text und aktualisiere. Woher die Sätze stammen weiß ich nicht mehr, aber weil ich die ganze Datei nicht als meine Leistung verkaufe und meinen Namen nicht drunterschreibe, muss ich Quellen, so glaube ich, nicht unbedingt angeben. Ich hoffe aber, euch gefällt meine recht anschauliche Tipparbeit! Motto: Mathematik kann so schön sein. Deswegen jetzt der Inhalt: Schönste mathematische Sätze          01. Der Satz von Gauß-Bonnet          02. Der Satz von Stokes          03. Der Satz von de Rham          04. Der Satz von Borsuk-Ulam          05. Der Satz von Poincare-Hopf          06. Der Einbettungssatz von Whitney          07. Das Theorema Egregium          08. Der Brouwer'sche Fixpunktsatz          09. Der Igelsatz          10. Das Shannon'sche Abtasttheorem          11. Der Satz von Stone-Weierstraß          12. Der Satz von Tychonoff          13. Das Brachistochrone-Problem          14. Das isoperimetrische Problem          15. Das Verfolgungsproblem          16. Das Königsberger Brückenproblem          17. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal          18. Der Residuensatz          19. Die Cauchy'sche Integralformel          20. Das Noether-Theorem          21. Das Euler-Produkt          22. Das Gauß-Integral          23. Das Wallis-Produkt          24. Der Fundamentalsatz der Algebra          25. Der RSA-Algorithmus          26. Das Räuber-Beute-Modell          27. Der Satz von Schröder-Bernstein          28. Die Summe der reziproken Quadratzahlen          29. Der letzte Satz von Fermat für Kuben          30. Die Darstellung als Summe zweier Quadrate          31. Der Banach'sche Fixpunktsatz          32. Der Satz von Bolzano-Weierstraß          33. Die Stirling'sche Näherungsformel          34. Die Fouriertransformation          35. Das Gesetz der großen Zahlen          36. Die AGH-Ungleichung          37. Die Tschebyschew'sche Ungleichung          38. Die Anzahl der k-Partitionen          39. Die n-dimensionale Kugel          40. Die gedämpfte Schwingung          41. Der Satz von Vitali          42. Der Satz von Wilson          43. Der Satz von Cantor          44. Der Satz von Lagrange          45. Die Euler'sche Identität          46. Die Euler'sche Polyederformel          47. Die 5 platonischen Körper          48. Die Limesdarstellung der Euler'schen Zahl          49. Die Irrationalität der Wurzel aus 2          50. Die Unendlichkeit der Primzahlenanzahl Viel Spaß beim Lesen und Sammeln weiterer Werke, die ihr gebrauchen könnt, um damit eure Sammlung aus dem Internet zu erweitern. Die Datei ist auch gut auszudrucken. Ich habe am 24.06.2018 zum letzten Mal korrigiert oder aktualisiert. Euer Cyborg.
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"Mathematik: Schönste mathematische Sätze" | 14 Comments
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Re: Schönste mathematische Sätze
von: Ex_Mitglied_34975 am: Di. 11. Februar 2014 15:52:30
\(\begingroup\)Hallo Cyborg Also das ist wirklich sehr schön und auch in einem konsistenten Schreibstil verfasst, da macht es wirklich Spass die Beweise nachzulesen. Auch die Auswahl ist nicht zu trivial und hat einen gewissen Pfiff. So manches kostenpflichtige gedruckte Werk kann, was zumindestens die Darstellung anbetrifft, da nicht mithalten. Mit einem grossen Lob und einem ebensolchen Dankeschön, viele Grüsse fermat63 PS: Damit gibt es ein weiteres Highlight von einem MP-Mitglied, was auch den Planeten noch bekannter und beliebter machen wird. \(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: weird am: Di. 11. Februar 2014 20:45:18
\(\begingroup\)Ja, es sind sicher eine Reihe von schönen Sätzen dabei, wobei deine Reihung naturgemäß subjektiv ist. Gar nicht einverstanden bin ich z.B. mit dem, was du RSA-Algorithmus nennst, der bei dir immerhin auf Platz 5 rangiert. Zum einen ist das eine fürchterliche Trivialität, die es nicht verdiente, überhaupt erwähnt zu werden, wenn nicht zufälligerweise einer der beliebtesten Public-Key-Kryptosysteme darauf aufbauen würde. Zum anderen ist die Darstellung bei dir (und auch in den meisten Lehrbüchern zum Theam RSA) gelinde gesagt suboptimal: Natürlich sollte - auch wenn ich jetzt für die Eingeweihten Eulen nach Athen trage - nicht die Ordnung (p-1)(q-1) der primen Restklassengruppe mod n, sondern deren Exponent, also das kgV(p-1,q-1) in dem ganzen Schema verwendet werden. Sehr erfreut war ich dagegen über den Beweis zur Summe der reziproken Quadratzahlen, der auch zu meinen dezidierten Lieblingsbeweisen zählt. Überhaupt denke ich, dass jeder, der sich auf sein mathematisches Allgemeinwissen etwas einbildet, ein halbes Dutzend von Beweisen für diese Summe parat haben sollte. Aber das ist jetzt nur meine eigene - unmaßgebliche - Meinung. Wie man aufgrund dieser Kommentare leicht ersieht, habe ich das Ganze bisher nur mal schnell überflogen. Vorerst aber doch schon mal ein großes Lob, für die Arbeit, die du da investiert hast, wobei das Endprodukt auf den ersten Blick jedenfalls sehr vielversprechend aussieht. Vielleicht melde ich mich nochmals, wenn ich alles dann wirklich genauer durchgelesen habe.\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: ZetaX am: Di. 11. Februar 2014 21:12:45
\(\begingroup\)Welcher relevante Unterschied ergibt sich, wenn man in RSA den Exponent statt der Ordnung verwendet¿ Das Schema sollte doch das gleiche bleiben, und auch geschwindigkeitsmäßig sollte sich wenig tun.\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: weird am: Di. 11. Februar 2014 21:46:43
\(\begingroup\)Für die Praxis ist der Unterschied tatsächlich vernachlässigbar, da sich die Ordnung und der Exponenten der primen Restklassengruppe mod n hier nur um den Faktor ggT(p-1,q-1) unterscheiden, der typischerweise sehr klein, meist sogar nur 2 ist. Auch der private Schlüssel d ist daher meist nur geringfügig kleiner, manchmal sogar gleich. Andererseits geht es hier ja nicht um Fragen der Praxisrelevanz, sondern um die "Schönheit" mathematischer Sätze und da haftet dem Ganzen in der hier präsentierten Form eben der Makel der Unvollkommenheit an. \(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Martin_Infinite am: Mi. 12. Februar 2014 01:47:12
\(\begingroup\)@weird: Wenn du "unvollkommen" als "nicht maximal allgemein" definierst, dann ist wohl jeder der hier genannten Sätze unvollkommen, weil er nicht von monoidalen $\infty$-Topoi handelt. Meiner Meinung nach ist in der pdf lediglich das Layout verbesserungswürdig - dazu habe ich aber Cyborg schon eine PM geschrieben :).\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Goswin am: Mi. 12. Februar 2014 13:42:42
\(\begingroup\)Sollen die Beweise auch schön sein oder nur die Sätze? In einigen Fällen kann ich die Vorliebe des Autors für seine "Lieblingsbeweise" überhaupt nicht nachvollziehen, zum Beispiel: (1) Der Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen ist doch trivial und gerade einmal drei Zeilen lang. Warum wird der Standard-Widerspruchsbeweis über $Q(p) = \prod\{q~ \textnormal{prim} : q\le p\}+1$ vermieden und Fermatzahlen eingeführt? (2) Die sogenannte Gaussintegrale lässt sich ebenfalls viel leichter ausrechnen über: $\int\limits_{x=-\infty}^\infty e^{-x^2}dx ~=~ 2\int\limits_{x=0}^\infty e^{-x^2}dx ~=~ \Bigl[4 \int\limits_{u=0}^\infty e^{-u^2}du \int\limits_{v=0}^\infty e^{-v^2}dv \bigr]^{\frac{1}{2}} \\[6pt]~\qquad ~=~ \Bigl[4 \int\limits_{u=0}^\infty\, \int\limits_{v=0}^\infty e^{-(u^2+v^2)}du\,dv \bigr]^{\frac{1}{2}} ~=~ \Bigl[4 \int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\, \int\limits_{r=0}^\infty e^{-r^2} dr\,rd\varphi \Bigr]^{\frac{1}{2}} \\[6pt]~\qquad ~=~ \Bigl[-2 \int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\, \int\limits_{r=0}^\infty e^{-r^2} d(-r^2)\,d\varphi \Bigr]^{\frac{1}{2}} ~=~ \Bigl[2 \int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2} d\varphi \Bigr]^{\frac{1}{2}} ~=~ \sqrt\pi $ Warum sollte der angeführte, 5mal so lange Weg mit den Gammafunktionen vorzuziehen sein?\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: LittleGauss am: Mi. 12. Februar 2014 14:00:13
\(\begingroup\)Vielen Dank, Cyborg. Die Liste ist sehr interessant und vielfältig. Da ist sicher was für jeden dabei. Die Darstellung gefällt mir auch sehr gut. Vor allem ein großes Dankeschön dafür, dass du den Text als pdf-file zur Verfügung stellst. Das gibt uns die Möglichkeit es bequem auzudrucken und in Ruhe durchzulesen. Ich würde mich über weitere Artikel von dir sehr freuen. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: weird am: Mi. 12. Februar 2014 16:05:15
\(\begingroup\)@Goswin Obwohl ich mich dir in deinen Kritikpunkten ansonsten durchaus anschließen kann, verstehe ich nicht, warum du deinerseits in der Herleitung der Formel für das Gaußintegral unnötigerweise darauf insistierst, dass die unteren Grenzen der Integrale, soweit es die Variablen x,u und v betrifft, 0 statt $-\infty$ sind. Es geht doch auch mit den ursprünglichen Grenzen, wenn man dafür später den Winkel $\varphi$ von 0 bis $2\pi$ laufen lässt. Damit wird der Beweis nicht nur noch kürzer, sondern auch noch etwas schöner, weil die häßlichen Vorfaktoren 2 bzw. 4 verschwinden! \(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Goswin am: Mi. 12. Februar 2014 18:24:50
\(\begingroup\)@weird: Nichts Tiefsinniges: ich war mir nur unsicher, wie ich bei einem uneigentlichen Integral mit zwei kritischen Grenzen vorgehen sollte.\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. Februar 2014 18:38:47
\(\begingroup\) Ist die Euler'sche Identität nicht trivial? Wird nicht pi gerade so definiert, dass pi/2 die kleinste nicht-negative Nullstelle vom Sinus ist?\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Hans-Juergen am: Mo. 17. Februar 2014 09:37:24
\(\begingroup\)Hi Vorredner, mit Deiner ersten Frage tust Du Dir nicht gerade einen Gefallen. Sie ist respektlos und überheblich. Deshalb bleibst Du wohl auch anonym. Und was die zweite betrifft, so weißt Du bestimmt, wie pi ursprünglich definiert ist. Ganz abgesehen davon, daß die Ausdrucksweise "vom Sinus" schlampig ist. Also was soll's. \(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 17. Februar 2014 14:40:03
\(\begingroup\) @Hans-Juergen: Geht's noch? Wie ist pi ursprünglich definiert?\(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Cyborg am: Mo. 17. Februar 2014 22:44:41
\(\begingroup\)Hallo. Schön, dass es einigen gefällt. Natürlich ist bei mir nichts perfekt, so dass man das Wort "schön" auch verwenden dürfte. @weird: Subjektivität. Ja, mein eigener Geschmack ist natürlich auch noch eingearbeitet. RSA: Mathematisch ist da natürlich nichts schwieriges dran, aber die Verschlüsselung ist so ziemlich die beste und sicherste, mit einfachen Mitteln. Das fand ich einfach genial. Hoffentlich knacken die kommenden Quantencomputer diesen Algorithmus nicht, sonst ist es nicht mehr so toll. @Goswin: Der Beweis über die Anzahl der Primzahlen, den ich angegeben habe, ist konstruktiv und nicht indirekt. Man sieht an der Zerlegung in unendlich viele paarweise disjunkte Mengen von Primzahlen, dass es wirklich unendlich viele sind. Außerdem lernt man so nochmal einen anderen Beweis kennen und weiß jetzt was Fermatzahlen sind. Konstruktivistische Mathematiker lehnen Widerspruchsbeweise ja ab. Was die Herleitung des Gaußintegrals angeht, habe ich gelesen, dass dein Beweis zwar schön einfach und kurz über Polarkoordinaten geht, aber mathematisch nicht ganz sauber sein soll. Das kann man hier lesen. Auch lernt man außerdem die Gammafunktion kennen und benutzt die von mir ebenfalls vorgestellte Wallis'sche Produktformel. @Anonymus: Die Formel ist zwar trivial, aber in dieser Gleichung stecken fünf sehr wichtige Konstanten drin, daher nennenswert. Herleitung: Woher weißt du eigentlich wie man sich e^(i*x) vorzustellen hat? Die Herleitung also nicht unwichtig und Standard. \(\endgroup\)
 

Re: Schönste mathematische Sätze
von: Hans-Juergen am: Di. 18. Februar 2014 09:41:19
\(\begingroup\)@Anonymous Die Miesmuschel sagte zum Aal: "Ich finde das alles trivial, die Eulersche Formel und Pi" – denn wirklich begriff sie die nie. \(\endgroup\)
 

 
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