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Mathematik: Die Quartische Gleichung - Versuch eines praktikablen Lösungsverfahrens Released by matroid on Fr. 07. März 2014 20:59:13 [Statistics] [Comments] Written by cis - 18410 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Die Quartische Gleichung - Versuch eines praktikablen Lösungsverfahrens $\backslash begin\{tikzpicture\}[scale=0.8]\; \backslash draw[line\; width=1.5pt,\; rounded\; corners=5mm,fill=red!55]\; (0,\; 0)\; rectangle\; (8,\; 4)\; node[centered]\; at\; (4,2)\; \{\%\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash textbf\{Die\; Quartische\; Gleichung\}\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; A\; x^4\; +\; B\; x^3\; +\; C\; x^2\; +\; D\; x\; +\; E\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; \backslash end\{matrix\}\; \};\; \backslash end\{tikzpicture\}$ Vorwort Bemüht man die MP-Artikelsuche findet man einiges zur Kubischen Gleichung, weitaus weniger Beiträge findet man zur Quartischen Gleichung. Auf die Idee kam ich jedoch anders, daher gleich zu einer Danksagung Mein Dank gilt Bozzo, mit ihm konnte ich mich zum Thema austauschen; zudem hat er hier m.E. ein sehr praktikables und auch merkbares Verfahren zur Kubischen Gleichung angegeben; was mich zur Idee führte, etwas Ähnliches für die Quartische Gleichung zu versuchen. Das führt uns direkt zu einer Warnung Wir werden sehen, die Lösung der Quartischen Gleichung ist ungleich rechenaufwendiger als jene der kubischen Gleichung; und: Um nachfolgenden Artikel vollständig zu verstehen, sollte ein Lösungsverfahren der Kubischen Gleichung bekannt sein - hierführ nochmal der Verweis auf o.g. Link, der ggf. erst gelesen werden sollte. Noch eine geschichtliche Bemerkung Die Lösung der Kubischen Gleichung wird Gerolamo Cardano (1501-1576) zugeschrieben und ist unter der Bezeichnung "Formel von Cardano" bekannt geworden. Sein Schüler Lodovico Ferrari (1522-1565) soll, darauf aufbauend, die Polynomgleichung des nächsthöheren Grades, die Quartische Gleichung gelöst haben, weshalb man gelegentlich auch von der "Formel von Ferrari" liest. Ob allerdings eine entfernte Verwandtschaft zum gleichnamigen berühmten Autohersteller besteht, ist mir nicht bekannt. Nun aber endlich zur Quartischen Gleichung! [Edit] [To the bottom] Unter einer Quartischen Gleichung (mit reellen Koeffizienten), oder Polynomgleichung 4. Grades, versteht man eine Gleichung des Typs $A\; x^4\; +\; B\; x^3\; +\; C\; x^2\; +\; D\; x\; +\; E\; =\; 0$ mit reellen $A,\; B,\; C,\; D,\; E$ und als von Null verschieden vorausgesetztem $A$. Wir beginnen mit einer normierten Form $x^4\; +\; 4a\; x^3\; +\; b\; x^2\; +\; c\; x\; +\; d\; =\; 0$, mit einer kleinen Modifizierung "$4a$" statt "$a$", dies soll in der folgenden Rechnung unschöne Brüche vermeiden. Hierin wird nun $x\; =\; z\; -\; a$ substituiert, also $0\; =\; (z\; -\; a)^4\; +\; 4a\; (z\; -\; a)^3\; +\; b\; (z\; -\; a)^2\; +\; c\; (z\; +\; a)\; +\; d$ Mühevolles Ausrechnen der Binome, Zusammenfassen und Ordnen nach Potenzen von $z$ führt zu der Form $0\; =\; z^4\; +\; (b-6a^2)\; z^2\; +\; (8a^3-2ab+c)\; z\; +\; (-3a^4+a^2b-ac+d)$, bei der das kubische Glied weggefallen ist. Der besseren Übersichtlichkeit willens, werden die Koeffizienten, also die Terme in den Klammern, auch substituiert: $p\; =\; b\; -\; 6a^2$ $q\; =\; c\; -\; 2ab\; +\; 8\; a^3$ $r\; =\; d\; -\; ac\; +\; a^2b\; -\; 3a^4$ $\backslash Rightarrow\; 0\; =\; z^4\; +\; p\; z^2\; +\; q\; z\; +\; r$, bzw. $z^4\; =\; -p\; z^2\; -q\; z\; -r$. Der Trick, besser gesagt das Ziel ist es nun, die linke Seite (LS), wie auch die rechte Seite (RS) als vollständiges Quadrat umzuschreiben, und zwar unter Zuhilfenahme einer neuen, noch festzulegenden Variablen $u$. Die linke Seite wird leicht durch Addition von $2\; z^2\; u\; +\; u^2$ zum Quadrat vervollständigt LS: $z^4\; +\; 2\; z^2\; u\; +\; u^2\; =\; (z^2\; +\; u)^2$, für beliebige $u$ (!). Für die rechte Seite wird durch diesen Umformungsschritt unweigerlich RS: $-p\; z^2\; -q\; z\; -r\; +\; 2\; z^2\; u\; +\; u^2\; =\; (2u-p)z^2\; -\; qz\; +\; (u^2\; -\; r)$. $\backslash Rightarrow\; (z^2\; +\; u)^2\; =\; (2u-p)z^2\; -\; qz\; +\; (u^2\; -\; r)$ Bei dieser entstandenen Gleichung ist die rechte Seite ein quadratisches Polynom in $z$. Schreibt man dieses um als quadratisches Polynom in $(\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z)$, also $(z^2\; +\; u)^2\; =\; (\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z)^2\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{\backslash sqrt\{2u-p\}\}\; (\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z)\; +\; (u^2\; -\; r)$ erkennt man eine Möglichkeit zur geschickten quadratischen Ergänzung $(z^2\; +\; u)^2\; =\; (\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z)^2\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{\backslash sqrt\{2u-p\}\}\; (\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z)\; +\; \backslash left(\backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2u\; -\; p\}\}\backslash right)^2\; +\; (u^2\; -\; r)\; -\backslash left(\backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2u\; -\; p\}\}\backslash right)^2$ $\backslash Rightarrow\; (z^2\; +\; u)^2\; =\; \backslash left(\backslash sqrt\{2u-p\}\; \backslash cdot\; z\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2u\; -\; p\}\}\backslash right)^2\; +\; (u^2\; -\; r)\; -\; \backslash left(\backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2u\; -\; p\}\}\backslash right)^2\; ...................\; \backslash mathbf\{\backslash circledast\}$ Die rechte Seite wird also ein vollständiges Quadrat, wenn $(u^2\; -\; r)\; -\; \backslash left(\backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2u\; -\; p\}\}\backslash right)^2\; =\; 0$, d.h., wenn $q^2\; =\; 4\; (u^2\; -\; r)\; (2\; u\; -\; p)$. Zur Festlegung von $u$ erhält man also die kubische Gleichung $8\; u^3\; -\; 4p\; u^2\; -\; 8r\; u\; +\; 4pr\; -\; q^2\; =\; 0$; und diese hat auf jeden Fall eine reelle Lösung $u\_1$. Hat man diese Lösung $u\_1$ ermittelt, liefert sie, eingesetzt in obige Gleichung $\backslash mathbf\{\backslash circledast\}$ $(z^2\; +\; u\_1)^2\; =\; \backslash left(\backslash sqrt\{2u\_1\; -\; p\}\; \backslash cdot\; z\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2\; u\_1\; -\; p\}\}\backslash right)^2$, was für $z$ die beiden quadratischen Gleichungen $z^2\; +\; u\_1\; =\; +\backslash left(\backslash sqrt\{2u\_1\; -\; p\}\; \backslash cdot\; z\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2\; u\_1\; -\; p\}\}\backslash right)$ und $z^2\; +\; u\_1\; =\; -\backslash left(\backslash sqrt\{2u\_1\; -\; p\}\; \backslash cdot\; z\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{2\backslash sqrt\{2\; u\_1\; -\; p\}\}\backslash right)$ liefert. Mit deren Lösungen $z\_1,\; z\_2$ und $z\_3,\; z\_4$ erhält man schließlich durch Rücksubstitution ($x\; =\; z\; -\; a$) die Lösungen $x\_\{1,2\}\; =\; z\_\{1,2\}\; -\; a$ und $x\_\{3,4\}\; =\; z\_\{3,4\}\; -\; a$ der quartischen Gleichung. -------------------------------- Man kann also nach folgender schrittiger Anleitung vorgehen: (0) Gegeben: $x^4\; +\; 4a\; x^3\; +\; b\; x^2\; +\; c\; x\; +\; d\; =\; 0$; gesucht: $x\_\{1,2,3,4\}$ (1) Setze $p\; =\; b\; -\; 6a^2$, $q\; =\; c\; -\; 2ab\; +\; 8\; a^3$, $r\; =\; d\; -\; ac\; +\; a^2b\; -\; 3a^4$ (2) Löse die kubische Gleichung $8\; u^3\; -\; 4p\; u^2\; -\; 8r\; u\; +\; 4pr\; -\; q^2\; =\; 0$ nach einer reellen Lösung $u\_1$; und setze $U\; =\; \backslash sqrt\{2\; u\_1\; -\; p\}$ (3a) Bestimme $z\_\{1,2\}$ aus $z^2\; -\; U\; \backslash cdot\; z\; +\; \backslash dfrac\{q\}\{2\; U\}\; +\; u\_1\; =\; 0$ (3b) Bestimme $z\_\{3,4\}$ aus $z^2\; +\; U\; \backslash cdot\; z\; -\; \backslash dfrac\{q\}\{2\; U\}\; +\; u\_1\; =\; 0$ (4a) Berechne $x\_\{1,2\}\; =\; z\_\{1,2\}\; -\; a$ (4b) Berechne $x\_\{3,4\}\; =\; z\_\{3,4\}\; -\; a$ Zum Abschluß noch ein Beispiel: Wenden wir das o.g. Verfahren auf $x^4\; +\; x^3\; -\; 7x^2\; -\; x\; +\; 6\; =\; 0$ an. \ (0) x^4 + 4a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6, a = 1/4, b = -7, c = -1, d = 6 (1) p = b-6a^2 = -7-6 * 1/4^2 = -59/8 = p q = c - 2ab + 8a^3 = -1 - 2 * 1/4 * (-7) + 8 * 1/4^3 = 21/8 = q r = d- ac + a^2 b - 3a^4 = 6 - 1/4*(-1) + 1/4^2 * (-7) - 3 * 1/4^4 = 1485/256 = r (2) 8u^3 - 4*(-59/8) - 8*1485/256 u + 4*(-59/8)*1485/256 - (21/8)^2 = 0 8 u^3 + 59/2 u^2 - 1485/32 u -91143/512 = 0 Etwa nach dem verlinkten Verfahren finden wir hierfür die Lösungen u_1 = 39/16 oder u_2 = -57/16 oder u_3 = -41/16 wir wählen u_1 = 39/16 und setzen U = sqrt(2u_1 - p) = sqrt(2 * 39/16 + 59/8) = 7/2 = U (3a) z^2 - U z + q/(2U) + u_1 = 0 = z^2 - 7/2 z + 21/8 * 1/7 + 39/16 z^2 - 7/2 z + 45/16 = 0 => z_1 = 5/4, z_2 = 9/4 (3b) z^2 + U z - q/(2U) + u_1 = 0 = z^2 + 7/2 z - 21/8 * 1/7 + 39/16 z^2 + 7/2 z + 33/16 = 0 => z_3 = -11/4, z_4 = -1/4 (4a) x_1 = z_1 - a = 5/4 - 1/4 = 1 = x_1 x_2 = z_2 - a = 9/4 - 1/4 = 2 = x_2 (4b) x_3 = z_3 - a = -11/4 - 1/4 = -3 = x_3 x_4 = z_4 - a = -3/4 - 1/4 = -1 = x_4 ----------------- Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein... (Sherlock Holmes) · [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet : Die Quartische Gleichung - Versuch eines praktikablen Lösungsverfahrens [von cis]   begin{tikzpicture}[scale=0.8] draw[line width=1.5pt, rounded corners=5mm,fill=red!55] (0, 0) rectangle (8, 4) node[centered] at (4,2) {% begin{matrix} textbf{Die Quartische Gleichung} A x^4 + B x^3 + C x^2 + D [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Die Quartische Gleichung - Versuch eines praktikablen Lösungsverfahrens von: Martin_Infinite am: Fr. 07. März 2014 21:46:10

\(\begingroup\)Dasselbe Vorgehen hat Gockel vor 10 Jahren in seinem ersten Artikel vorgestellt: Lösungsformel für Polynome 4. Grades. In deinem Beispiel wäre man mit dem Horner-Schema deutlich schneller zum Ziel gekommen. Meiner Meinung nach müsste ein überzeugendes Beispiel die "geballte Ladung" an Wurzeln enthalten. Zum Beispiel hat $x^4-x^2 - \frac{x}{5} + \frac{1}{10} = 0$ genau vier reelle Lösungen, und die kann man als Wurzelausdrücke ausrechnen. \geo ebene(300,150) x(-1.5,1.5) y(-0.3,0.4) nolabel() form(o) plot(x^4 - x^2 - x/5 + 1/10) color(red) p(-0.739,0) p(-0.546,0) p(0.236,0) p(1.049,0) \geooff geoprint() In dem Algebra-Buch von Bosch wird übrigens die Lösungsformel für Polynome 2., 3. und 4. Grades aus der Galoistheorie konstruktiv hergeleitet.\(\endgroup\)

Re: Die Quartische Gleichung - Versuch eines praktikablen Lösungsverfahrens von: Spock am: So. 09. März 2014 00:12:59

\(\begingroup\)Hallo! @cis: Für einen Praktiker ein akzeptabler Artikel, aber warum hast Du den Ferrari gelöscht? @Zaos: "Lackierungen" sind nicht wirklich relevant, \(\endgroup\)