Mathematik: Konzepte der Gruppentheorie 2
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Mathematik

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Konzepte der Gruppentheorie 2

Dies ist die Fortsetzung des ersten Teils über konzeptionelle Gruppentheorie. Themen sind u.a. symmetrische Gruppen, Automorphismengruppen, Isometriegruppen, innere Automorphismen, außerdem Produkte, (kommutierende) direkte Summen, Differenzkerne, Hom-Mengen, sowie erzeugte Untergruppen, Elementordnungen, Kommutatoren und Abelisierung. Zum Verständnis gibt es ein paar anschauliche Bilder: \xymatrix@C=40pt{\bullet \ar@/_1pc/[r]^{g} & \bullet \ar@/_1pc/[l]_{g^{-1}} \ar@(ur,dr)[]^{a}} \text{~\small (Konjugation)} \hspace{1cm} \begin{array}{c}\\ \end{array} \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/_1pc/[dl] & \\ 2 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\text{\small (Zyklus)}} && 3 \ar@/_1pc/[ul]} Vorausgesetzt wird lediglich der erste Teil bzw. die Definitionen von Gruppen, Homomorphismen, Untergruppen und Quotienten. Auch in diesem Teil gibt es einige inhaltliche Unterschiede zu den mir bekannten Darstellungen der Gruppentheorie; etwa den Begriff der kommutierenden direkten Summe, den Unterschied zwischen Hom-Mengen und Hom-Gruppen, die Null anstelle von \infty als Elementordnung (MP/192535), die Hom-Charakterisierung von Erzeugendensystemen, und schließlich eine abstrakte Definition des Signums einer Permutation auf X, die ohne eine Abzählung von X auskommt. Vor allem aber stehen bei den allgemeinen Konstruktionen nicht nur die Elemente, sondern vor allem die Homomorphismen und die universellen Eigenschaften im Vordergrund.


Inhalt

1. Automorphismengruppen 2. Produkte 3. Kommutierende direkte Summen 4. Differenzkerne 5. Hom-Mengen 6. Erzeugte Untergruppen 7. Elementordnungen 8. Kommutatoren und Abelisierung 9. Das Signum 10. Bemerkungen zur Didaktik Grundlage ist Teil eins.

1. Automorphismengruppen

Eines der fundamentalsten Beispiele für Gruppen ist das folgende: Die symmetrische Gruppe. Es sei X eine Menge. Die Gruppe \mathrm{Sym}(X) besitzt als unterliegende Menge die bijektiven Abbildungen ("Permutationen") \sigma : X \to X. Die Verknüpfung ist die Komposition von bijektiven Abbildungen (die ebenfalls bijektiv ist). Das neutrale Element ist die identische Abbildung \mathrm{id}_X : X \to X. Das inverse Element \sigma^{-1} : X \to X einer bijektiven Abbildung \sigma : X \to X ist die inverse Abbildung. Es ist offensichtlich, dass die Gruppenaxiome erfüllt sind. Beispiel. \mathrm{Sym}(\emptyset) und \mathrm{Sym}(\{1\}) sind triviale Gruppen. Die Gruppe \mathrm{Sym}(\{1,2\}) hat lediglich zwei Elemente, die Identität und die Vertauschung (1 \leftrightarrow 2) (d.h. die Permutation, die 1 auf 2 und 2 auf 1 abbildet). Die Gruppe \mathrm{Sym}(\{1,2,3\}) besitzt sechs Elemente: Die Identität \mathrm{id}=1, drei Vertauschungen von zwei Elementen (bei denen jeweils das dritte festgelassen wird) \tau_1=(2 \leftrightarrow 3), \tau_2=(1 \leftrightarrow 3), \tau_3 = (1 \leftrightarrow 2), sowie die beiden Permutationen \sigma_1=(1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1) und \sigma_2 =(1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1) = \sigma_1^{-1}. Hier eine graphische Veranschaulichung dieser Permutationen: \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@(dr,dl)[] & \\ 2 \ar@(r,u)[] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\mathrm{id}} && 3 \ar@(l,u)[] } ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/_1pc/[dl] & \\ 2 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\sigma_1} && 3 \ar@/_1pc/[ul]} ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dr] & \\ 2 \ar@/^1pc/[ur] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\sigma_2} && 3 \ar@/^1pc/[ll]} \\ \bigskip \\ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@(dr,dl)[] & \\ 2 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<3ex>[rr]^{\tau_1} && 3 \ar@/_1pc/[ll] } ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dr] & \\ 2 \ar@(r,u)[] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\tau_2~~~} && 3 \ar@/^1pc/[ul]} ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dl] & \\ 2 \ar@/^1pc/[ur] \ar@{}@<2ex>[rr]^{~~~\tau_3} && 3 \ar@(l,u)[] } Die Gruppe ist nicht kommutativ, denn man erkennt \tau_1 \circ \sigma_1 = \tau_2 und \sigma_1 \circ \tau_1 = \tau_3. Ordnung der symmetrischen Gruppe. Es sei X eine endliche Menge mit n Elementen. Dann ist die Ordnung von \mathrm{Sym}(X) gleich n!. Beweis. Sei X=\{x_1,\dotsc,x_n\}. Eine Permutation von X ist dasselbe wie eine injektive Abbildung X \to X. Diese kann man abzählen: Für das Bild von x_1 gibt es n Möglichkeiten, für das Bild von x_2 gibt es dann nur noch n-1 Möglichkeiten, für das Bild von x_3 dann nur noch n-2 Möglichkeiten, etc., bis es für das Bild von x_n nur noch eine Möglichkeit gibt. Insgesamt gibt es also n \cdot (n-1) \cdot \dotsc \cdot 1 = n! mögliche injektive Abbildungen X \to X. QED Fortsetzen von Permutationen. Es sei T eine Teilmenge von X. Dann gibt es einen ausgezeichneten injektiven Homomorphismus i : \mathrm{Sym}(T) \to \mathrm{Sym}(X): Er bildet eine Permutation \sigma von T auf die Permutation \tilde{\sigma} von X ab, welche durch \tilde{\sigma}|_T =\sigma und \tilde{\sigma}|_{X \setminus T} := \mathrm{id}_{X \setminus T} definiert ist. Bezüglich i fassen wir stets \mathrm{Sym}(T) (genauer: (\mathrm{Sym}(T),i)) als Untergruppe von \mathrm{Sym}(X) auf. Homomorphismen allgemein. In der Mathematik treten natürlich nicht nur Mengen auf, sondern vor allem Mengen mit Zusatzstrukturen. Zwischen diesen Objekten kann man dann strukturerhaltende Abbildungen bzw. Homomorphismen definieren, insbesondere Isomorphismen als invertierbare Homomorphismen erklären. Wir haben das im ersten Teil für Gruppen beleuchtet. Der Leser kennt sicherlich auch Vektorräume, hier sind die linearen Abbildungen die Homomorphismen. Aber auch Mengen selbst (mit leerer Zusatzstruktur) passen in dieses Bild hinein. Bei metrischen Räumen sind wiederum die metrischen Abbildungen die Homomorphismen. Die Kategorientheorie stellt einen allgemeinen Rahmen für diese Konzepte zur Verfügung. Wir wollen aber bei den vier genannten Beispielen bleiben. Automorphismen. Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus eines Objektes in sich selbst. Zum Beispiel ist ein Automorphismus einer Menge X eine bijektive Abbildung X \to X. Ein Automorphismus einer Gruppe G ist ein Isomorphismus von Gruppen G \to G. Ein Automorphismus eines Vektorraumes V ist eine bijektive lineare Abbildung V \to V. Ein Automorphismus eines metrischen Raumes X ist eine bijektive Isometrie X \to X. Automorphismengruppen. In all diesen Beispielen beobachten wir, dass die Automorphismen des Objektes X eine Gruppe bilden, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe der unterliegenden Menge. Auf diese Weise erhalten wir: 1. Die Automorphismengruppe aka symmetrische Gruppe \mathrm{Sym}(X) einer Menge X. 2. Die Automorphismengruppe \mathrm{Aut}(G) einer Gruppe G. 3. Die Automorphismengruppe aka allgemeine lineare Gruppe \mathrm{GL}(V) eines Vektorraumes V. 4. Die Automorphismengruppe aka Isometriegruppe \mathrm{Isom}(X) eines metrischen Raumes X. In all diesen Fällen misst die Automorphismengruppe die "Symmetrien" des Objektes. Das ist besonders anschaulich im Falle von metrischen Räumen. Diedergruppen. Die Isometriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist offenbar zu \mathrm{Sym}(\{1,2,3\}) isomorph: man interpretiere \mathrm{id},\sigma_1,\sigma_2 Drehungen, und \tau_1, \tau_2, \tau_3 als Spiegelungen. Allgemeiner ist die Diedergruppe D_n (sprich: Di-Eder-Gruppe) als die Isometriegruppe des regelmäßigen n-Ecks definiert. Die Isometrien setzen sich aus Drehungen und Spiegelungen zusammen (wie man sich leicht überlegt). Die Drehungen bilden eine zu \mathds{Z}/n\mathds{Z} isomorphe Gruppe. Sie wird etwa von der Drehung \sigma "eine Ecke weiter im Uhrzeigersinn" erzeugt, d.h. alle weiteren Drehungen haben die Form \sigma^i mit i \in \mathds{Z} (wobei o.E. 0 \leq i < n). Es gibt n Spiegelachsen und damit n Spiegelungen: Für gerades n gehen \frac{n}{2} Achsen durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte und \frac{n}{2} Achsen durch zwei gegenüberliegende Mittelpunkte. Für ungerades n gehen n Achsen durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Mittelpunkt. Die Diedergruppe hat folglich Ordnung 2n. Hier Veranschaulichungen für n=4 und n=5: Wir fixieren einen Eckpunkt, die Spiegelachse durch diesen Punkt und betrachten die Spiegelung \tau entlang dieser Spiegelachse. Die Elemente \sigma und \tau erfüllen die Relationen \sigma^n=1, \tau^2=1 und \tau \circ \sigma \circ \tau = \sigma^{-1}, wie man sich geometrisch klarmacht. Die letzte Relation kann auch als \sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-1} geschrieben werden (woran man sieht, dass D_n nur dann kommutativ ist, wenn n \leq 2). Die Menge der Drehungen ist \{1,\sigma,\sigma^2,\dotsc,\sigma^{n-1}\}, die Menge der Spiegelungen ist \{\tau,\sigma \circ \tau,\sigma^2 \circ \tau,\dotsc,\sigma^{n-1} \circ \tau\}. Diese Menge stimmt mit \{\tau,\tau \circ \sigma,\dotsc,\tau \circ \sigma^{n-1}\} überein, denn \sigma^k \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-k} für k \in \mathds{Z} (ergibt sich per Induktion aus \sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-1}). Hieran sehen wir im übrigen auch, dass die Untergruppe der Drehungen tatsächlich ein Normalteiler ist. Isomorphe Automorphismengruppen. Wenn zwei Objekte isomorph sind, so sind ihre Automorphismengruppen ebenfalls isomorph. Wenn etwa f : X \to Y eine Bijektion zwischen zwei Mengen ist, so ist \mathrm{Sym}(X) \to \mathrm{Sym}(Y),~ \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1} ein Isomorphismus von Gruppen. Zum Studium der endlichen symmetrischen Gruppen kann man daher stets X=\{1,2,\dotsc,n\} für ein n \in \mathds{N} annehmen, was dann oft auch gemacht wird. Aber nicht in diesem Artikel. Innere Automorphismen. Es sei G eine Gruppe. Für jedes g \in |G| hat man die Abbildung c(g) : |G| \to |G|,~ a \mapsto g \cdot a \cdot g^{-1}. Tatsächlich ist sie ein Homomorphismus c(g) : G \to G, denn c(g)(a \cdot b) = g \cdot a \cdot b \cdot g^{-1} = g \cdot a \cdot g^{-1} \cdot g \cdot b \cdot g^{-1} = c(g)(a) \cdot c(g)(b). Außerdem ist offenbar c(g^{-1}) invers zu c(g). Daher ist c(g) ein Automorphismus der Gruppe G. Man nennt ihn die Konjugation mit g. Automorphismen dieser Form heißen auch innere Automorphismen; alle anderen äußere Automorphismen. Beispiele. Für die Diedergruppe G=D_n haben wir gesehen, dass der zu \tau gehörige innere Automorphismus c(\tau) : D_n \to D_n das Element \tau festlässt, die Drehung \sigma aber auf \sigma^{-1} abbildet. Wenn G irgendeine kommutative Gruppe ist, ist die Identität der einzige innere Automorphismus, aber x \mapsto x^{-1} ist ein Automorphismus von G, der in Regel nicht die Identität ist und daher also ein äußerer Automorphismus ist. Für symmetrische Gruppen gibt es aber ein irrwitziges Resultat: Jeder Automorphismus von \mathrm{Sym}(X) ist ein innerer, außer wenn X genau 6 Elemente hat: Dann gibt es (genau) einen äußeren Automorphismus. Anschauung. Man kann sich die Konjugation mit g geometrisch recht gut anhand von Bewegungsgruppen (etwa eines Würfels) vorstellen (wobei wir g mit g^{-1} vertauschen): Man möchte eine Bewegung a machen, aber nicht sofort: Man bringt "sich" erst mittels einer Bewegung g zu einem anderen Ort, führt dann die Bewegung a aus, und macht die Hilfsbewegung g anschließend wieder rückgängig. Dieses Prinzip kennen wir sogar aus dem Alltag. Aber auch Freunde des Zauberwürfels werden das unter dem Begriff "Setup-Moves" kennen. \xymatrix@C=30pt{\bullet \ar@/_1pc/[r]^{g} & \bullet \ar@/_1pc/[l]_{g^{-1}} \ar@(ur,dr)[]^{a}} Das Zentrum. Man rechnet ohne Probleme c(g \cdot h) = c(g) \circ c(h) nach. Das bedeutet, dass c selbst ein Homomorphismus ist, und zwar der Form c : G \to \mathrm{Aut}(G). Die inneren Automorphismen bilden daher eine Untergruppe \mathrm{Inn}(G):=\mathrm{Bild}(c) \subseteq \mathrm{Aut}(G). Der Kern \mathrm{Z}(G) von c heißt das Zentrum von G. Es ist ein Normalteiler von G mit unterliegender Menge \{g \in |G| : c(g)=\mathrm{id}\} = \{g \in |G| : \forall a \in |G| (g \cdot a \cdot g^{-1} = a)\} = \{g \in |G| : \forall a \in |G| (g \cdot a = a \cdot g)\} Die Elemente sind also genau jene, die mit allen anderen Elementen der Gruppe kommutieren. Das Zentrum misst daher die Abweichung von der Kommutativität. Je größer das Zentrum, desto "kommutativer" ist die Gruppe. Aus dem 1. Isomorphiesatz folgt übrigens G/\mathrm{Z}(G) \cong \mathrm{Inn}(G). Wir wollen das Zentrum nun einmal in einem Beispiel ausrechnen: Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe. Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Dann ist \mathrm{Z}(\mathrm{GL}(V))=K^* \cdot \mathrm{id}. Beweis. Sei A im Zentrum enthalten und v \in V \setminus \{0\}. Falls v,A(v) linear unabhängig sind, gibt es P \in \mathrm{GL}(V) mit P(v)=v+A(v) und P(A(v))=A(v). Aber dann A(v)=P(A(v))=A(P(v))=A(v+A(v))=A(v)+A^2(v) \Rightarrow A^2(v)=0 \Rightarrow v=0, Widerspruch. Also gibt es ein \lambda \in K^* mit A(v)=\lambda v. Wir müssen zeigen, dass \lambda unabhängig von v ist. Also sei A(v)=\lambda v und A(w)=\mu w. Wähle ein P \in \mathrm{GL}(V) mit P(v)=w. Dann ist \mu w = A(w) = A(P(v))=P(A(v)) = P(\lambda v) = \lambda P(v) = \lambda w und damit \lambda=\mu. QED Ausblick. Die Quotientengruppe \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V) / \mathrm{Z}(\mathrm{GL}(V)) heißt die projektive lineare Gruppe und ist - wie der Name schon sagt - in der projektiven Geometrie von Bedeutung. Es handelt sich im endlich-dimensionalen Fall um die Automorphismengruppe des projektiven Raumes \mathds{P}(V) im Sinne der algebraischen Geometrie. Aufgabe. Es sei X eine Menge mit mehr als zwei Elementen. Zeige, dass \mathrm{Z}(\mathrm{Sym}(X))=1.

2. Produkte

Im ersten Teil haben wir kurz das Produkt von zwei Gruppen besprochen. Das können wir verallgemeinern: Es sei (G_i)_{i \in I} eine Familie von Gruppen. Wir definieren die Gruppe \prod_{i \in I} G_i wie folgt: Die unterliegende Menge sei das kartesische Produkt der unterliegenden Mengen der Gruppen, also |\prod_{i \in I} G_i| = \prod_{i \in I} |G_i|. Die Elemente sind also Tupel a = (a_i)_{i \in I} von Elementen der |G_i|. Die Verknüpfung ist komponentenweise, also durch a \circ b := (a_i \circ b_i)_{i \in I} definiert. Ebenso das neutrale Element 1 := (1)_{i \in I} sowie die inversen Elemente a^{-1} := (a_i^{-1})_{i \in I}. Die drei Gruppenaxiome sind nun sehr leicht nachzuprüfen, weil sie ja in jeder der G_i gelten. Für jedes i \in I haben wir einen Homomorphismus p_i : \prod_{i \in I} G_i \to G_i, a \mapsto a_i, die Projektion auf die i-te Komponente. Wir nennen die Gruppe \prod_{i \in I} G_i zusammen mit diesen Homomorphismen das Produkt der Familie von Gruppen (G_i)_{i \in I}. Ein Spezialfall des Produktes ist die Potenz: Ist G eine Gruppe und I eine Menge, so ist G^I := \prod_{i \in I} G eine Gruppe; die unterliegende Menge ist \mathrm{Abb}(I,|G|). Universelle Eigenschaften. Eine universelle Eigenschaft eines mathematischen Objektes X ist eigentlich nichts weiter als eine Beschreibung von Homomorphismen auf X (also X \to Y) oder nach X (also Y \to X). Wir verzichten zunächst auf eine präzise Definition, sondern werden in diesem Artikel viele Beispiele kennenlernen. Wir kennen bereits eine universelle Eigenschaft der Quotientengruppe p : G \to G/N für einen Normalteiler N von G, nämlich den Homomorphiesatz: Es ist N \subseteq \mathrm{Kern}(p) und jeder Homomorphismus f : G \to H mit N \subseteq \mathrm{Kern}(f) liefert einen eindeutigen Homomorphismus \overline{f} : G/N \to H mit \overline{f} \circ p = f. Die Homomorphismen G/N \to H entsprechen also bijektiv den Homomorphismen G \to H, welche auf N verschwinden. Universelle Eigenschaft des Produktes. Es sei H eine beliebige Gruppe und (f_i : H \to G_i)_{i \in I} eine Familie von Homomorphismen. Dann gibt es genau einen Homomorphismus f : H \to \prod_{i \in I} G_i mit p_i \circ f = f_i für alle i. \xymatrix{H \ar@{..>}[rr] \ar[dr] && \prod_{i \in I} G_i \ar[dl] \\ & G_i & } Der Beweis ist ganz einfach: Wir müssen f(a):=(f_i(a))_{i \in I} definieren, damit p_i \circ f = f_i besteht. Dass f ein Homomorphismus ist, rechnet sich problemlos nach, weil die f_i Homomorphismen sind und die Verknüpfung im Produkt komponentenweise definiert ist. Als Folgerung erhalten wir: Sind (G_i)_{i \in I} und (G'_i)_{i \in I} zwei durch I indizierte Familien von Gruppen und ist (f_i : G_i \to G'_i) eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus f : \prod_{i \in I} G_i \to \prod_{i \in I} G'_i mit p_i \circ f = f_i \circ p_i für alle i. Auf Elementen ist f durch f(a)=(f_i(a_i))_i gegeben. Wir beobachten: \mathrm{Kern}(f) = \prod_{i \in I} \mathrm{Kern}(f_i) und \mathrm{Bild}(f) = \prod_{i \in I} \mathrm{Bild}(f_i). Insbesondere ist f injektiv (bzw. surjektiv), wenn es die f_i sind. Jede Familie von Untergruppen (bzw. Quotienten) der G_i liefert also eine Untergruppe (bzw. einen Quotienten) des Produktes \prod_{i \in I} G_i. Für eine Familie von Normalteilern N_i der G_i ist nach diesen Bemerkungen der von den G_i \to G_i / N_i induzierte Homomorphismus \prod_{i \in I} G_i \to \prod_{i \in I} G_i/N_i surjektiv mit Kern \prod_{i \in I} N_i, sodass also \prod_{i \in I} G_i / N_i = (\prod_{i \in I} G_i) / (\prod_{i \in I} N_i). Daraus folgt insbesondere (G \times H)/(1 \times H) = G und (G \times H)/(G \times 1) = H. Produkte können aber auch durchaus Untergruppen besitzen, die nicht von dieser einfachen Gestalt sind, zum Beispiel das Bild von G \to G \times G mit g \mapsto (g,g). Aufgabe. Sei X = A \sqcup B eine Partitionierung einer Menge X. Zeige, dass die "(A,B)-Shuffles" \{\sigma \in \mathrm{Sym}(X) : \sigma(A)=A, \sigma(B) = B\} die unterliegende Menge einer Untergruppe von \mathrm{Sym}(X) ist, die zu \mathrm{Sym}(A) \times \mathrm{Sym}(B) isomorph ist.

3. Kommutierende direkte Summen

Es sei (G_i)_{i \in I} eine Familie von Gruppen. Dann können wir im Produkt \prod_{i \in I} G_i die Untergruppe der Tupel a = (a_i)_{i \in I} betrachten, für die gilt, dass a_i = 1 für fast alle i. Also formal: \{i \in I : a_i \neq 1\} ist endlich. Das ist nach dem Untergruppenkriterium tatsächlich eine Untergruppe (Übung). Wir bezeichnen sie mit \bigoplus\limits^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i. Wir haben für jedes i \in I einen Homomorphismus \iota_i : G_i \to \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i, der g \in |G_i| auf das Tupel \iota_i(g) mit \iota_i(g)_j = g für j=i und \iota_i(g)_j=1 für j \neq i schickt. Für I=\mathds{N} sieht das so aus: \iota_0(g)=(g,1,1,\dotsc), \iota_1(g)=(1,g,1,\dotsc), etc. Diese Homomorphismen haben eine besondere Eigenschaft: Für alle i,j \in I mit i \neq j und alle g \in |G_i| und h \in |G_j| kommutiert \iota_i(g) mit \iota_j(h), d.h. \iota_i(g) \cdot \iota_j(h) = \iota_j(h) \cdot \iota_i(g). Denn beide Tupel sind g bei i und h bei j, sowie 1 an allen anderen Indizes. Wir sagen kurz, dass \iota_i mit \iota_j kommutiert. Die Gruppe \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i zusammen mit den Homomorphismen \iota_i nennen wir die kommutierende direkte Summe der Familie (G_i)_{i \in I}. Universelle Eigenschaft der kommutierenden direkten Summe. Es sei H eine beliebige Gruppe und (f_i : G_i \to H) eine Familie von Homomorphismen, die paarweise miteinander kommutieren (d.h. f_i(g) \cdot f_j(h) = f_j(h) \cdot f_i(g) für i \neq j und g \in |G_i|, h \in |G_j|). Dann gibt es genau einen Homomorphismus f : \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i \to H derart, dass f \circ \iota_i = f_i für alle i \in I. \xymatrix{\bigoplus\limits^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i \ar@{..>}[rr] && H \\ & G_i \ar[ur] \ar[ul] } Das erinnert sehr an die universelle Eigenschaft des Produktes, nur dass die Pfeile verdreht werden und wir die Kommutativitäts-Annahme haben. Beweisskizze. Für a \in |\bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i| ist a = \prod_{i \in I} \iota_i(a_i). Dieses Produkt ist wohldefiniert, weil die \iota_i paarweise kommutieren und fast alle a_i=1 sind. Es bleibt uns also keine Wahl, als f(a):=\prod_{i \in I} f_i(a_i) zu definieren. Dieses Produkt ist wohldefiniert, weil die f_i paarweise kommutieren und fast alle a_i=1 sind. Für zwei Elemente a,b gilt (weil die f_i paarweise kommutieren): f(a)\cdot f(b) = \prod_{i \in I} (f_i(a_i) \cdot f_i(b_i)) = \prod_{i \in I} f_i(a_i \cdot b_i) = \prod_{i \in I} f_i((a \cdot b)_i) = f(a \cdot b). Daher ist f ein Homomorphismus. Er erfüllt f \circ \iota_i = f_i und ist eindeutig mit dieser Eigenschaft. QED Interne direkte Summen. Der von einer Familie von paarweise kommutierenden Homomorphismen (f_i : G_i \to H) induzierte Homomorphismus f : \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_i G_i \to H ist genau dann ein Isomorphismus, wenn die f_i injektiv sind und jedes Element von |H| sich eindeutig als Produkt von Elementen in den f_i(|G_i|) schreiben lässt. Wenn die G_i tatsächlich Untergruppen von H sind (was aber, wie wir im ersten Teil festgestellt haben, eben genau injektive Homomorphismen f_i : G_i \to H sind), so sagt man in diesem Fall auch, dass H eine interne kommutierende direkte Summe der G_i ist. Zum Beispiel ist H die interne kommutierende direkte Summe von zwei Untergruppen G_1 und G_2, wenn die Elemente von G_1 mit den Elementen von G_2 kommutieren und jedes Element von |H| sich eindeutig schreiben lässt als a \cdot b mit a \in |G_1| und b \in |G_2|. Die Eindeutigkeit kann man übrigens auch umformulieren zu |G_1| \cap |G_2| = \{1\}. Direkte Summen. Falls die Gruppen G_i kommutativ sind, so ist ihre kommutierende direkte Summe ebenfalls kommutativ und wird einfach mit \bigoplus_{i \in I} G_i bezeichnet. Es besteht die folgende universelle Eigenschaft: Ist H eine beliebige kommutative Gruppe, und ist (f_i : G_i \to H) eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus f : \bigoplus_{i \in I} G_i \to H derart, dass f \circ \iota_i = f_i für alle i \in I. \xymatrix{\bigoplus_{i \in I} G_i \ar@{..>}[rr] && H \\ & G_i \ar[ur] \ar[ul] } Die (kommutierende) direkte Summe verträgt sich - genau wie bei Produkten - gut mit Untergruppen und Quotientengruppen. Beispiel. \prod_{n \in \mathds{N}}(\mathds{R},+) ist die Gruppe der reellen Zahlenfolgen, die komponentenweise addiert werden. Die Untergruppe \bigoplus_{n \in \mathds{N}} (\mathds{R},+) besteht aus den reellen Zahlenfolgen, die ab einem Index konstant 0 sind. Die Homomorphismen \id : (\mathds{R},+) \to (\mathds{R},+) induzieren einen Homomorphismus \bigoplus_{n \in \mathds{N}} (\mathds{R},+) \to (\mathds{R},+). Er bildet die Zahlenfolge (a_0,a_1,\dotsc,a_n,0,0,\dotsc) ab auf a_0+a_1+\dotsc+a_n. Dieser Homomorphismus kann nicht (ohne Weiteres) auf dem Produkt definiert werden. Die Identitäten liefern aber einen Homomorphismus (\mathds{R},+) \to \prod_{n \in \mathds{N}}(\mathds{R},+), welcher eine reelle Zahl r auf die konstante Folge (r,r,r,\dotsc) schickt, welche wiederum nicht in der direkten Summe liegt (falls r \neq 0). Vergleich zwischen Produkt und direkter Summe. Es gibt einen injektiven Homomorphismus \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i \to \prod_{i \in I} G_i. Dieser ist surjektiv genau dann, wenn fast alle G_i=1. Insbesondere: Wenn I endlich ist, so ist \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} G_i \cong \prod_{i \in I} G_i. Allerdings sollte man sich bei der kommutierenden direkten Summe die \iota_i mit der zugehörigen universellen Eigenschaft und beim Produkt die p_i mit der zugehörigen universellen Eigenschaft dazudenken. Es gibt also einen konzeptionellen Unterschied zwischen kommutierender direkter Summe und Produkt (welcher selbst für endliche Indexmengen bestehen bleibt): Wogegen man weiß, wie Homomorphismen auf der kommutierenden direkten Summe aussehen, weiß man, wie Homomorphismen in das Produkt hinein aussehen. Außerdem sind die G_i Quotienten des Produktes, wogegen sie Untergruppen (sogar Normalteiler) der kommutierenden direkten Summe sind. Auch im kommutativen Fall bleiben diese Unterschiede bestehen. Terminologie. In der Literatur wird das, was hier kommutierende direkte Summe genannt wird, einfach direkte Summe genannt und mit \bigoplus bezeichnet. Ich wollte hier mit der Terminologie u.a. deutlich machen, dass in der Konstruktion bzw. der universellen Eigenschaft die paarweise Kommutativität der einzelnen Summanden mit drinsteckt. Aufgabe. Benutze die Primfaktorzerlegung, um einen Isomorphismus von Gruppen (\mathds{Q}^+,*) \cong \bigoplus_{p \text{ prim}} (\mathds{Z},+) zu finden.

4. Differenzkerne

Es seien f,g : G \to H zwei Homomorphismen. Wir betrachten die Teilmenge \{a \in |G|: f(a)=g(a)\}. Darauf lässt sich das Untergruppenkriterium anwenden: Es ist f(1)=1=g(1), aus f(a)=g(a) folgt f(a^{-1})=f(a)^{-1}=g(a)^{-1}=g(a^{-1}), und aus f(a)=g(a) und f(b)=g(b) folgt f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) = g(a) \cdot g(b) = g(a \cdot b). Folglich handelt es sich um die unterliegende Teilmenge einer Untergruppe von G. Sie wird mit \mathrm{Kern}(f,g) bezeichnet und heißt der Differenzkern von f mit g. Der gibt also an, wo f und g übereinstimmen. Man kann auch lapidar \{f=g\} schreiben. Zum Beispiel gilt für den trivialen Homomorphismus 1 : G \to H und einen beliebigen Homomorphismus f : G \to H, dass \mathrm{Kern}(f,1) der bereits bekannte Kern \mathrm{Kern}(f) ist. Es sei i : \mathrm{Kern}(f,g) \to G die Inklusion. Dann gilt offenbar f \circ i = g \circ i. Tatsächlich gilt auch hier wieder eine universelle Eigenschaft. Universelle Eigenschaft des Differenzkerns. Es sei h : K \to G ein Homomorphismus mit f \circ h = g \circ h. Dann gibt es genau einen Homomorphismus \tilde{h} : K \to \mathrm{Kern}(f,g) mit i \circ \tilde{h} = h. \xymatrix{\mathrm{Kern}(f,g) \ar[rr]^-{i} & & G \ar@<1ex>[r]^{f} \ar@<-1ex>[r]_{g} & H \\ & K \ar@{..>}[ul] \ar[ur] & & } Der Beweis ist ganz einfach: Wegen f \circ h = g \circ h gilt h(a) \in |\mathrm{Kern}(f,g)| für alle a \in |K|, sodass wir einfach \tilde{h}(a):=h(a) definieren können (und müssen). Jede Untergruppe tritt als Differenzkern auf. Es sei U eine Untergruppe einer Gruppe G. Wir wollen eine Gruppe H mit zwei Homomorphismen f,g : G \to H konstruieren, sodass \mathrm{Kern}(f,g) = U. Falls U ein Normalteiler ist, ist das einfach: Dann nehmen wir einfach den Quotienten p : G \to G/U und den trivialen Homomorphismus 1 : G \to G/U, es gilt dann \mathrm{Kern}(p,1)=\mathrm{Kern}(p)=U. Der allgemeine Fall ist schwieriger. Betrachte die Menge X=\{a \cdot |U| : a \in G\} der Linksnebenklassen von U. Es sei \hat{X} = X \sqcup \{\infty\} die disjunkte Vereinigung von X mit einem Element \infty. Es gibt einen kanonischen Homomorphismus G \to \mathrm{Sym}(X), welcher ein Element a auf die Permutation b \cdot |U| \mapsto a \cdot b \cdot |U| von X schickt. Diesen Homomorphismus verketten wir mit der kanonischen Einbettung \mathrm{Sym}(X) \hookrightarrow \mathrm{Sym}(\hat{X}) der Permutationen, welche \infty festlassen. Wir erhalten damit f : G \to \mathrm{Sym}(\hat{X}). Sei \sigma \in \mathrm{Sym}(\hat{X}) die Permutation, welche 1 \cdot |U| mit \infty vertauscht (und alles andere festlässt). Betrachte den zugehörigen inneren Automorphismus c(\sigma) : \mathrm{Sym}(\hat{X}) \to \mathrm{Sym}(\hat{X}) und sei schließlich g = c(\sigma) \circ f. Wir behaupten, dass |U| = \{a \in |G| : f(a)=g(a)\}. Dabei bedeutet f(a)=g(a) gerade, dass f(a) \circ \sigma = \sigma \circ f(a) in \mathrm{Sym}(\hat{X}). Die linke Seite schickt 1 \cdot |U| auf \infty, wogegen dies die rechte Seite nur tut, wenn a \cdot |U| = 1 \cdot |U|, d.h. a \in |U|. Wenn umgekehrt a \in |U|, so rechnet man leicht die Gleichung von Permutationen nach; auf b \cdot |U| \neq 1 \cdot |U| kommt jeweils \infty heraus, und auf \infty kommt 1 \cdot |U| heraus. QED Zentralisatoren. Es sei G eine Gruppe und a \in |G|. Dann heißt Z(a):=\mathrm{Kern}(c(a),\mathrm{id}_G) der Zentralisator von a. Es ist b \in |Z(a)| genau dann, wenn a \cdot b \cdot a^{-1} = b, d.h. a \cdot b = b \cdot a, d.h. wenn a mit b kommutiert. Man kann sich den Zentralisator als eine "lokale Version" des Zentrums vorstellen. Aufgabe. Seien f,g: G \to H zwei Homomorphismen, wobei H=(|H|,+) kommutativ sei. Definiere f-g : G \to H durch (f-g)(a)=f(a)-g(a) für a \in |G|. Zeige, dass f-g ein Homomorphismus ist mit \mathrm{Kern}(f-g)=\mathrm{Kern}(f,g). Das erklärt den Namen Differenzkern.

5. Hom-Mengen

Definition von Hom-Mengen. Es seien G,H Gruppen. Die Menge der Homomorphismen G \to H wird mit \mathrm{Hom}(G,H) bezeichnet. Das Motto dieses Abschnitts lautet: Man kann sehr viel mit diesen Hom-Mengen beschreiben! Zunächst einmal definieren wir Abbildungen zwischen diesen Hom-Mengen, die von Homomorphismen entweder durch Vor- oder Nachschalten induziert werden: Ist f : G \to G' ein Homomorphismus, so definieren wir (für jede Gruppe H) die Abbildung f^* : \mathrm{Hom}(G',H) \to \mathrm{Hom}(G,H) durch g \mapsto g \circ f ("Vorschalten mit f"). Beachte \mathrm{id}_G^* = \mathrm{id}_{\mathrm{Hom}(G,H)} und dass (u \circ f)^* = f^* \circ u^* für u : G' \to G''. Außerdem können wir (für jede Gruppe H) die Abbildung f_* : \mathrm{Hom}(H,G) \to \mathrm{Hom}(H,G') durch g \mapsto f \circ g definieren ("Nachschalten mit f"). Beachte (\mathrm{id}_G)_* = \mathrm{id}_{\mathrm{Hom}(H,G)} und (u \circ f)_* = u_* \circ f_* für u : G' \to G''. Wir kennen bereits den Homomorphiesatz, können ihn nun aber prägnanter formulieren: Homomorphiesatz. Es sei p : G \to G/N eine Quotientengruppe. Dann ist die Abbildung p^* : \mathrm{Hom}(G/N,H) \to \{f \in \mathrm{Hom}(G,H) : N \subseteq \mathrm{Kern}(f)\} bijektiv. Beispiel. Es sei G eine Gruppe. Wir kürzen wie üblich (\mathds{Z},+) mit \mathds{Z} ab. Wir beschreiben die Menge \mathrm{Hom}(\mathds{Z},G): Ein Homomorphismus f : \mathds{Z} \to G erfüllt f(0)=1, f(2)=f(1+1)=f(1) \circ f(1), f(3)=f(1) \circ f(1) \circ f(1), und allgemeiner f(n)=f(1)^n := f(1) \circ \dotsc \circ f(1) (mit n Faktoren) für n \in \mathds{N}. Genauso folgt f(z)=f(1)^z für alle z \in \mathds{Z}, wobei wir die Potenz g^z für z<0 durch (g^{-1})^{-z} definieren. Der ganze Homomorphismus ist also bereits durch f(1) \in |G| bestimmt. Ist umgekehrt g \in |G| beliebig, so lässt sich für ganze Zahlen z,z' induktiv g^{z+z'} = g^z \circ g^{z'} zeigen, sodass also \mathds{Z} \to G, z \mapsto g^z ein Homomorphismus ist, welcher 1 auf g abbildet. Damit ist gezeigt, dass die Abbildung \mathrm{Hom}(\mathds{Z},G) \to |G|, ~ f \mapsto f(1) bijektiv ist. Ist h : G \to G' ein Homomorphismus, so wird dabei h_* : \mathrm{Hom}(\mathds{Z},G) \to \mathrm{Hom}(\mathds{Z},G') mit h : |G| \to |G'| identifiziert. Beispiel. Sei n \in \mathds{Z} und G eine Gruppe. Wir kürzen (\mathds{Z},+)/(n \cdot \mathds{Z},+) mit \mathds{Z}/n\mathds{Z} ab. Der Homomorphiesatz und die bereits bekannte Bijektion aus dem vorherigen Beispiel liefern eine Bijektion zwischen \mathrm{Hom}(\mathds{Z}/n\mathds{Z},G) und der Menge der g \in |G|, für die n \cdot \mathds{Z} im Kern des Homomorphismus z \mapsto g^z enthalten ist. Das bedeutet g^n=1. Daher ist also die Abbildung \mathrm{Hom}(\mathds{Z}/n\mathds{Z},G) \to \{g \in |G| : g^n=1\},~ f \mapsto f(1) bijektiv. Man nennt ein Element g mit g^n=1 auch ein n-Torsionselement. Die Bijektion verrät uns, dass \mathds{Z}/n\mathds{Z} die n-Torsionselemente einer beliebigen Gruppe klassifiziert: Es ist 1 \in \mathds{Z}/n\mathds{Z} ein n-Torsionselement, und für jedes n-Torsionselement g \in |G| einer Gruppe G gibt es genau einen Homomorphismus \mathds{Z}/n\mathds{Z} \to G, welcher 1 auf g abbildet. Es ist also 1 \in \mathds{Z}/n\mathds{Z} das "universelle n-Torsionselement". Hom-Gruppen. Es seien G,H zwei Gruppen. Wir schreiben die Verknüpfung von H additiv. Es ist \mathrm{Hom}(G,H) eine Teilmenge von \mathrm{Abb}(|G|,|H|) = \prod_{a \in |G|} |H|. Das ist die unterliegende Menge der Gruppe \prod_{a \in |G|} H. Wann handelt es sich um eine Untergruppe? Dafür befragen wir das Untergruppenkriterium. Sicherlich ist das neutrale Element g \mapsto 0 von \prod_{a \in |G|} |H| in \mathrm{Hom}(G,H) enthalten. Sind nun f,g : G \to H zwei Homomorphismen, so ist die Abbildung f + g definiert durch (f + g)(a)=f(a) + g(a). Ist dies ein Homomorphismus? Für a,b \in |G| muss dafür (f \circ g)(a \circ b) = (f \circ g)(a) + (f \circ g)(b), das heißt f(a \circ b) + g(a \circ b) = f(a) + g(a)+ f(b)+ g(b) gelten. Die linke Seite vereinfacht sich zu f(a) + f(b) + g(a) + g(b). Nach Kürzen reduziert sich die Gleichung daher zu f(b) + g(a) = g(a) + f(b). Wir brauchen also, dass H kommutativ ist! Ebenso für die Abgeschlossenheit unter Inversen: Für f : G \to H ist -f : |G| \to |H| definiert durch (-f)(a)=-f(a) nur ein Homomorphismus, wenn -(f(a)+f(b))=(-f(a))+(-f(b)) gilt, wobei die linke Seite aber stets (-f(b))+(-f(a)) ist. Halten wir also fest: Wenn H kommutativ ist, dann ist \mathrm{Hom}(G,H) die unterliegende Menge einer Untergruppe von \prod_{a \in |G|} H. Wir bezeichnen diese Gruppe der Homomorphismen mit \underline{\mathrm{Hom}}(G,H). Sie ist ebenfalls kommutativ. Beispiel. Es sei G eine kommutative Gruppe und n \in \mathds{N}. Dann ist \{g \in |G| : g^n = 1 \} die unterliegende Menge einer Untergruppe \mathrm{Tor}_n(G) von G, der n-Torsionsuntergruppe von G. Es gibt nach vorherigem Beispiel einen Isomorphismus von kommutativen Gruppen \underline{\mathrm{Hom}}(\mathds{Z}/n\mathds{Z},G) \cong \mathrm{Tor}_n(G). Hom-Charakterisierung von injektiven/surjektiven Homomorphismen. Es sei f :G \to G' ein Homomorphismus. 1. Es ist f ein Isomorphismus genau dann, wenn für jede Gruppe H die Abbildung f_* : \mathrm{Hom}(H,G) \to \mathrm{Hom}(H,G') bijektiv ist. 1'. Es ist f ein Isomorphismus genau dann, wenn für jede Gruppe H die Abbildung f^* : \mathrm{Hom}(G',H) \to \mathrm{Hom}(G,H) bijektiv ist. 2. Es ist f ein injektiver Homomorphismus genau dann, wenn für jede Gruppe H die Abbildung f_* : \mathrm{Hom}(H,G) \to \mathrm{Hom}(H,G') injektiv ist. 3. Es ist f ein surjektiver Homomorphismus genau dann, wenn für jede Gruppe H die Abbildung f^* : \mathrm{Hom}(G',H) \to \mathrm{Hom}(G,H) injektiv ist. Beweis. 1. \Rightarrow: Es ist (f^{-1})_* zu f_* invers. \Leftarrow: Weil f_* : \mathrm{Hom}(G',G) \to \mathrm{Hom}(G',G') surjektiv ist, gibt es ein g : G' \to G mit f \circ g = \mathrm{id}_{G'}. Es folgt f \circ (g \circ f) = f \circ \mathrm{id}_G. Weil f_* : \mathrm{Hom}(G,G) \to \mathrm{Hom}(G,G') injektiv ist, folgt daraus g \circ f = \mathrm{id}_G. Also ist g zu f invers und daher f ein Isomorphismus. Der Beweis der Aussage 1' verläuft völlig analog zu 1. 2. \Rightarrow: Seien g,h : H \to G mit f_*(g)=f_*(h) d.h. f \circ g = f \circ h, so folgt aus der Injektivität von f sofort g = h. \Leftarrow: Seien i : \mathrm{Kern}(f) \to G die Inklusion und 1 : \mathrm{Kern}(f) \to G der triviale Homomorphismus. Dann gilt f_*(i)=f_*(1), also i=1 bzw. \mathrm{Kern}(f)=1. Daher ist f injektiv. 3. \Rightarrow: Sind g,h : G' \to H mit f^*(g)=g^*(h) d.h. g \circ f = h \circ f, so folgt aus der Surjektivität von f sofort g=h. \Leftarrow: Schreibe f = i \circ p, wobei p : G \to \mathrm{Bild}(f) die surjektive Einschränkung von f und i : \mathrm{Bild}(f) \to G' die Einbettung ist. Dann ist mit f^* = p^* \circ i^* auch i^* injektiv. Wenn i bijektiv ist, ist f surjektiv. Sei also allgemein i : U \to G eine Untergruppe derart, dass i^* : \mathrm{Hom}(G,H) \to \mathrm{Hom}(U,H) für jede Gruppe H injektiv ist. Wir behaupten U=G. Wir wissen aber, dass es Homomorphismen f,g : G \to H gibt mit U=\mathrm{Kern}(f,g). Dann gilt i^* f = i^* g und damit f=g, also U=G. \square Der Vollständigkeit halber sollten wir bemerken, dass man wegen 2. injektive Homomorphismen auch Monomorphismen und wegen 3. surjektive Homomorphismen auch Epimorphismen nennen kann. Produkte und direkte Summen. Die universelle Eigenschaft des Produktes einer Familie (G_i)_{i \in I} liest sich nun so: Für jede Gruppe H ist ({p_i}_*)_i : \mathrm{Hom}(H,\prod_{i \in I} G_i) \to \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(H,G_i) bijektiv. Die universelle Eigenschaft der kommutierenden direkten Summe einer Familie von Gruppen (G_i)_{i \in I} wird: Für jede Gruppe H ist ({\iota_i}^*)_i : \mathrm{Hom}(\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i,H) \to \{(f_i) \in \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(G_i,H) : f_i \text{ kommutieren paarweise}\} bijektiv. Insbesondere: Sind alle G_i und H kommutativ, so ist ({\iota_i}^*)_i : \mathrm{Hom}(\bigoplus_{i \in I} G_i,H) \to \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(G_i,H) bijektiv. Beispiel. Für eine Gruppe H ist \mathrm{Hom}(\mathds{Z}/2\mathds{Z} \bigoplus\limits^{\text{\tiny komm}} \mathds{Z}/2\mathds{Z},H) \cong \{(a,b) \in |H| \times |H| : a^2=b^2=1, a \cdot b=b \cdot a\}. Falls H kommutativ ist, vereinfacht sich das zu \mathrm{Hom}(\mathds{Z}/2\mathds{Z} \bigoplus \mathds{Z}/2\mathds{Z},H) \cong \{(a,b) \in |H| \times |H| : a^2=b^2=1\}. Aufgabe. Es seien n,m \in \mathds{N}^+ mit d=\mathrm{ggT}(n,m). Zeige \frac{m}{d} \in \mathrm{Tor}_n(\mathds{Z}/m\mathds{Z}), und dass der induzierte Homomorphismus \mathds{Z} \to \mathrm{Tor}_n(\mathds{Z}/m\mathds{Z}),~ z \mapsto \frac{zm}{d} surjektiv mit Kern d\mathds{Z} ist. Folgere \underline{\mathrm{Hom}}(\mathds{Z}/n\mathds{Z},\mathds{Z}/m\mathds{Z}) \cong \mathds{Z}/d\mathds{Z}. Wie sieht das für n=6, m=4 konkret aus?

6. Erzeugte Untergruppen

Sei G eine Gruppe und f : X \to |G| eine Abbildung von Mengen. Die von f erzeugte Untergruppe ist die kleinste Untergruppe H \subseteq G, für die f über |H| faktorisiert. Diese existiert, man kann sie auch sehr explizit angeben: Betrachte die Menge |H| = \{f(x_1)^{z_1} \cdot \dotsc \cdot f(x_n)^{z_n} : n \in \mathds{N}, x_i \in X, z_i \in \mathds{Z}\}. Das Untergruppenkriterium ist anwendbar (Übung) und zeigt, dass dies die unterliegende Teilmenge einer Untergruppe H \subseteq G ist. Die Elemente der Form f(x) mit x \in X sind nach Konstruktion in |H| enthalten, und es handelt sich offensichtlich um die kleinste Untergruppe mit dieser Eigenschaft: Mit f(x) muss auch f(x)^z für alle z \in \mathds{Z} enthalten sein, und dann auch Produkte von Elementen dieser Form. Wichtig ist der Spezialfall einer Teilmenge X \subseteq |G|. Wir können dann obiges auf die Inklusionsabbildung anwenden und erhalten die von X erzeugte Untergruppe. Sie wird mit \langle X \rangle notiert. Falls X = \{a,b,c,\dotsc\}, schreiben wir für das Erzeugnis auch \langle a,b,c,\dotsc\rangle. Zum Beispiel ist |\langle a \rangle| = \{a^z : z \in \mathds{Z}\} mit der Verknüpfung a^z \cdot a^{z'} = a^{z+z'} und |\langle a,b \rangle| = \{a^{z_1} \cdot b^{z_2} \cdot \dotsc \cdot a^{z_n} : n \in \mathds{N}, z_i \in \mathds{Z}\}. Falls G additiv geschrieben ist, ist |\langle a \rangle| = \{z \cdot a : z \in \mathds{Z}\}. Zum Beispiel ist \langle n \rangle = \langle -n \rangle = (n \cdot \mathds{Z},+) \subseteq (\mathds{Z},+) für n \in \mathds{N}. Wir wiederholen nach diesen Elementbeschreibungen noch einmal die Definition der erzeugten Untergruppe: Es ist X \subseteq |\langle X \rangle| und für eine Untergruppe H \subseteq G mit X \subseteq |H| folgt schon \langle X \rangle \subseteq H. Daraus ergibt sich formal: Eigenschaften der erzeugten Untergruppe. Sei G eine Gruppe und X \subseteq |G|. Dann gilt: 1. \langle \emptyset \rangle = 1 und \langle |G| \rangle = G. 2. Aus X \subseteq Y folgt \langle X \rangle \subseteq \langle Y \rangle. 3. Falls X=|H| für eine Untergruppe H \subseteq G, so ist \langle X \rangle = H. 4. Insbesondere ist \langle |\langle X \rangle|\rangle = \langle X \rangle. 5. Für einen Homomorphismus f : G \to H gilt f(\langle X \rangle) \subseteq \langle f(X) \rangle. Erzeugendensysteme. Falls \langle X \rangle = G, nennen wir X ein Erzeugendensystem von G. Natürlich besitzt jede Gruppe ein Erzeugendensystem (ihre unterliegende Menge), aber die Kunst ist es, in konkreten Beispielen ein möglichst kleines (z.B. endliches) Erzeugendensystem zu finden. Zum Beispiel ist \langle 1 \rangle = \langle -1 \rangle = \langle 2,3 \rangle = \mathds{Z}, aber \langle 2 \rangle ist eine echte Untergruppe von \mathds{Z}, nämlich die der geraden Zahlen. Die Zahlen \frac{1}{n} mit n \in \mathds{N}^+ bilden ein Erzeugendensystem von (\mathds{Q},+). Diese Gruppe hat aber kein minimales Erzeugendensystem. Für die Diedergruppe aus Abschnitt 1 gilt D_n = \langle \sigma,\tau \rangle. Zyklische Gruppen. Im ersten Teil hatten wir eine Gruppe G zyklisch genannt, wenn sie ein Quotient von \mathds{Z} ist, d.h. es einen surjektiven Homomorphismus \mathds{Z} \to G gibt. Wir wissen schon, dass dieser die Form z \mapsto g^z für ein g \in |G| besitzt. Die Surjektivität bedeutet gerade, dass jedes Element von |G| eine Potenz von g ist, d.h. dass G = \langle g \rangle. Es ist demnach G genau dann zyklisch, wenn G von einem Element erzeugt wird. Wir haben im ersten Teil zyklische Gruppen vollständig klassifiziert. Doch schon Gruppen, die von zwei Elementen erzeugt werden, können sehr kompliziert sein und sind (bis heute) nicht klassifiziert. Hom-Charakterisierung von Erzeugendensystemen. Es sei X \subseteq |G|. Genau dann ist X ein Erzeugendensystem von G, wenn für jede Gruppe H die kanonische Abbildung \hom(G,H) \to \mathrm{Abb}(X,|H|),~ f \mapsto f|_X injektiv ist. Mit anderen Worten: Ein Homomorphismus ist schon dadurch bestimmt, was er auf einem Erzeugendensystem macht, und so lassen sich Erzeugendensysteme tatsächlich charakterisieren! Beweis. Sei X ein Erzeugendensystem. Seien f,g : G \to H zwei Homomorphismen mit f|_X = g|_X : X \to |H|. Für den Differenzkern gilt dann X \subseteq |\mathrm{Kern}(f,g)|, und folglich \mathrm{Kern}(f,g)=G, d.h. f=g. Sei umgekehrt f \mapsto f|_X injektiv. Dann hat die Inklusion i : \langle X \rangle \to G die folgende Eigenschaft: Sind f,g : G \to H zwei Homomorphismen mit f \circ i = g \circ i, so ist f=g. Aus der Hom-Charakterisierung von surjektiven Homomorphismen folgt, dass i surjektiv ist, also \langle X \rangle = G. \square Relationen. Die Abbildung \hom(G,H) \to \mathrm{Abb}(X,|H|) ist aber fast nie surjektiv; das Beispiel G=\mathds{Z}/n\mathds{Z} mit X=\{1\} haben wir bereits besprochen. Nicht jede Abbildung auf einem Erzeugendensystem lässt sich zu einem Homomorphismus fortsetzen. Es sind nur solche Abbildungen erlaubt, welche die Relationen zwischen den Erzeugern erhalten. Wenn zum Beispiel G=\langle a,b \rangle und a \cdot b \cdot a^{-1} = b^2, so muss erfüllt jeder Homomorphismus f auf G die Relation f(a) \cdot f(b) \cdot f(a)^{-1} = f(b)^2. Es ist im Allgemeinen nur schwer festzustellen, welches sämtliche Relationen zwischen den Erzeugern sind. Mehr dazu im dritten Teil. Erzeugte Normalteiler. Was ist, wenn man nicht nur eine Untergruppe, sondern sogar einen Normalteiler erzeugt haben möchte? Für eine Teilmenge X \subseteq |G| existiert der kleinste Normalteiler \langle \langle X \rangle \rangle \subseteq G, dessen unterliegende Teilmenge X enthält. Er ist gegeben durch \langle \bigcup_{g \in |G|} ~g \cdot X \cdot g^{-1} \rangle. Ganz konkret haben die Elemente die Form g_1 x_1^{\pm 1} g_1^{-1} g_2 x_2^{\pm 1} g_2^{-1} \dotsc g_n x_n^{\pm 1} g_n^{-1} mit n \in \mathds{N}, g_i \in |G| und x_i \in X, also viel zu kompliziert um damit wirklich zu arbeiten. Daher ist die abstrakte Definition von \langle \langle X \rangle \rangle viel wichtiger. Beispiel: 2-Zykel erzeugen Permutationen. Es sei X eine Menge. Ein 2-Zyklus auf X ist eine Permutation von X, welche genau zwei Elemente vertauscht und die anderen festlässt. Wenn wir diese x,y nennen, so notiert man den 2-Zyklus mit (x ~y). Tatsächlich wird \mathrm{Sym}(X) von diesen 2-Zykel erzeugt, wenn X endlich ist: Wir beweisen das per Induktion nach der Anzahl der Elemente \# X von X. Der Induktionsanfang \# X = 0 ist trivial. Nun sei \# X \geq 1 und \sigma \in |\mathrm{Sym}(X)|. Wähle irgendein x \in X. Falls \sigma(x)=x, dann liegt \sigma im Bild der Untergruppe \mathrm{Sym}(X \setminus \{x\}) von \mathrm{Sym}(X) und wir sind nach Induktionsannahme fertig. Falls y:=\sigma(x) \neq x, dann ist (\sigma \circ (x ~ y))(y) = y und \sigma \circ (x ~ y) liegt im Bild der Untergruppe \mathrm{Sym}(X \setminus \{y\}), wird also nach Annahme durch 2-Zykel erzeugt, und daher auch \sigma. QED Aufgabe. Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Angenommen N kann von n Elementen und G/N kann von m Elementen erzeugt werden. Zeige, dass dann G von n+m Elementen erzeugt werden kann.

7. Elementordnungen

Sei G eine Gruppe und g \in |G| ein Element. Wir wissen bereits, dass zu g ein Homomorphismus \mathds{Z} \to G,~ z \mapsto g^z gehört. Der Kern ist eine Untergruppe von \mathds{Z}, hat also die Form n\mathds{Z} für ein eindeutig bestimmtes n \in \mathds{N}. Man nennt n die Ordnung von g. Weil das Bild von \mathds{Z} \to G gerade die von g erzeugte zyklische Untergruppe \langle g \rangle \subseteq G ist, sagt uns der 1. Isomorphiesatz also \mathds{Z}/n\mathds{Z} \cong \langle g \rangle. Falls g als Ordnung n>0 hat, hat demnach \langle g \rangle genau n Elemente, nämlich 1,g,g^2,\dotsc,g^{n-1}, und danach wiederholt es sich mit g^n=1, g^{n+1}=g, etc. Die Liste der Potenzen von g ist also periodisch (mit Periodenlänge n). Auch nach "hinten", es gilt g^{-1}=g^{n-1}. Ein typisches Beispiel ist die imaginäre Einheit i in der Gruppe der invertierbaren komplexen Zahlen (\mathds{C}^*,*,1). Die Potenzen fangen an mit 1,i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1, i^5=i, etc. Die Ordnung von i ist demnach genau 4, und die Untergruppe \langle i \rangle ist zu \mathds{Z}/4 \mathds{Z} isomorph. Falls g als Ordnung n=0 hat, so ist \mathds{Z} \to \langle g \rangle,~ z \mapsto g^z ein Isomorphismus von Gruppen. Insofern sind also die Potenzen von g paarweise verschieden, und \langle g \rangle hat unendliche Ordnung. In der Gruppe (\mathds{Z},+) hat etwa jedes Element z \neq 0 Ordnung 0, denn n \cdot z \neq 0 für alle 0 \neq n \in \mathds{N}. Achtung. In den meisten Lehrbüchern ist die Ordnung von g als die Ordnung der Gruppe \langle g \rangle definiert. Ein Element der Ordnung 0 gibt es dann also nicht, sondern es hätte unendliche Ordnung. In der Ringtheorie sieht das aber wieder anders aus: Dort definiert man die Charakteristik eines Ringes als die Elementordnung der 1 in der unterliegende additiven Gruppe, gemäß der obigen Definition, sodass also Charakteristik 0 vorkommt. Diese Inkonsistenz beheben wir einfach. Fassen wir noch einmal die Definition zusammen: Definition. Sei g \in |G| ein Gruppenelement. Die Ordnung n=\mathrm{ord}(g) \in \mathds{N} ist durch die Eigenschaft \forall z \in \mathds{Z} (g^z = 1 \Leftrightarrow n|z) definiert. Äquivalent dazu: Falls es eine positive ganze Zahl n mit g^n=1 gibt, so ist \mathrm{ord}(g) die kleinste solche Zahl. Ansonsten ist \mathrm{ord}(g)=0. Kleine Ordnungen: Es gilt \mathrm{ord}(g)=1 genau dann, wenn g=1. Es gilt \mathrm{ord}(g)=2 genau dann, wenn 1 \neq g=g^{-1}. Ordnungen unter Homomorphismen. Sei f : G \to H ein Homomorphismus und a \in |G| ein Element der Ordnung n. Dann ist die Ordnung von f(a) \in |H| ein Teiler von n. Falls f injektiv ist, besteht sogar Gleichheit. Beweis. Aus a^n=1 folgt f(a)^n=f(a^n)=f(1)=1 und damit die Behauptung. Falls f injektiv ist, geht der Schluss auch umgekehrt. QED Ordnungen in Produkten. Sei (G_i)_{i \in I} eine Familie von Gruppen, G=\prod_{i \in I} G_i ihr Produkt und a \in |G|. Dann ist \mathrm{ord}(a) = \mathrm{kgV}_{i \in I} \mathrm{ord}(a_i). Beweis. Für ganze Zahlen z gilt a^z = 1 \Leftrightarrow \forall i \in I (a_i^z = 1) \Leftrightarrow \forall i \in I (\mathrm{ord}(a_i)|z) \Leftrightarrow \mathrm{kgV}_{i \in I} \mathrm{ord}(a_i) | z. QED Bemerkung: Es gibt keine Formel, die allgemein \mathrm{ord}(a \cdot b) mittels \mathrm{ord}(a) und \mathrm{ord}(b) ausrechnet. Ordnungen von Potenzen. Sei g \in |G| mit n:=\mathrm{ord}(g) und 0 \neq k \in \mathds{Z}. Dann ist \mathrm{ord}(g^k)=\frac{n}{\mathrm{ggT}(n,k)}. Insbesondere gilt, falls k|n, dass \mathrm{ord}(g^k)=\frac{n}{k}. Beweis. Für z \in \mathds{Z} gilt (g^k)^z=1 \Leftrightarrow g^{kz}=1 \Leftrightarrow n|kz \Leftrightarrow \frac{n}{\mathrm{ggT}(n,k)} | \frac{k}{\mathrm{ggT}(n,k)} z. Weil nun die beiden Brüche teilerfremd sind, folgt aus der Zahlentheorie, dass die Bedingung zu \frac{n}{\mathrm{ggT}(n,k)} | z äquivalent ist. QED Erzeuger zyklischer Gruppen. Ist G=\langle g \rangle eine zyklische Gruppe mit n:=\mathrm{ord}(g)>0, so sehen wir nun, dass ein Element g^k genau dann ein Erzeuger ist, wenn k und n teilerfremd sind. Die Anzahl \phi(n) der Erzeuger von G ist also die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen in \{0,\dotsc,n-1\}. Man nennt \phi die Eulersche Phi-Funktion. Zykel allgemein. Es sei X eine Menge und n \in \mathds{N}^+. Ein n-Zyklus auf X ist eine Permutation \sigma, die genau n Elemente zyklisch vertauscht, d.h. es gibt n Elemente x_1,\dotsc,x_n \in X mit \sigma(x_1)=x_2, \sigma(x_2)=x_3, \dotsc, \sigma(x_{n-1})=x_n und \sigma(x_n)=x_1. Für y \in X \setminus \{x_1,\dotsc,x_n\} gilt \sigma(y)=y. Man schreibt auch \sigma = (x_1 ~ x_2 ~ \dotsc ~ x_n). Die Ordnung von \sigma ist dann n, denn offensichtlich gilt \sigma^n=\mathrm{id} und für 0 ist \sigma^k(x_1)=x_{k+1} \neq x_1, also \sigma^k \neq \mathrm{id}. Aufgabe. Es seien n,m \in \mathds{Z}^+. Zeige, dass \mathds{Z}/n\mathds{Z} \times \mathds{Z}/m\mathds{Z} genau dann zyklisch ist, wenn n,m teilerfremd sind. In diesem Fall ist \mathds{Z}/n\mathds{Z} \times \mathds{Z}/m\mathds{Z} \cong \mathds{Z}/nm\mathds{Z}.

8. Kommutatoren und Abelisierung

Bei der Abelisierung geht es darum, eine Gruppe "kommutativ zu machen", genauer gesagt eine "kleinste kommutative Quotientengruppe" zu finden. Anstelle von kommutativ sagt man auch oftmals Abelsch (was ich bisher vermieden habe), daher der Name. Die Eigenschaft "kleinste" bezieht sich nicht auf die unterliegende Menge oder gar die Ordnung der Gruppe, sondern auf die Gruppe selbst. Die präzise Bedeutung werden wir in der universellen Eigenschaft erkennen. Stellen wir zunächst allgemein fest, wann ein Quotient kommutativ ist: Es sei G eine Gruppe und p : G \to G/N eine Quotientengruppe. Dann sind folgende Aussagen offenbar äquivalent: - G/N ist kommutativ. - Für alle a,b \in |G| ist p(a) \cdot p(b) = p(b) \cdot p(a). - Für alle a,b \in |G| ist p(a) \cdot p(b) \cdot p(a)^{-1} \cdot p(b)^{-1} = 1. - Für alle a,b \in |N| ist a \cdot b \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} \in |N|. Einen Ausdruck der Form [a,b] := a \cdot b \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} heißt Kommutator. Er misst nämlich die Abweichung dafür, dass a und b kommutieren: Es gilt a \cdot b = b \cdot a genau dann, wenn [a,b]=1. Die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G heißt die Kommutatoruntergruppe und wird mit G' bezeichnet. Für jeden Automorphismus \alpha von G gilt offenbar \alpha(G')=G'. Wendet man dies auf innere Automorphismen an, so sehen wir, dass G' ein Normalteiler von G ist. Wir können also den Quotienten G^{\mathrm{ab}} := G/G' bilden (zusammen mit p : G \to G^{\mathrm{ab}}) und haben oben gesehen, dass G^{\mathrm{ab}} kommutativ ist und ein allgemeiner Quotient G/N genau dann kommutativ ist, wenn G' \subseteq N. Das bedeutet aber, dass sich G \to G/N eindeutig fortsetzt zu G/G' \to G/N. Es ist also G/G' tatsächlich der kleinste kommutative Quotient von G. Genauer gesagt besteht die folgende universelle Eigenschaft: Universelle Eigenschaft der Abelisierung. Die Abelisierung p : G \to G^{\mathrm{ab}} erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist f : G \to H ein Homomorphismus von Gruppen, wobei H kommutativ ist, so gibt es genau einen Homomorphismus \tilde{f} : G^{\mathrm{ab}} \to H mit \tilde{f} \circ p = f. Es ist also p^* : \mathrm{Hom}(G^{\mathrm{ab}},H) \to \mathrm{Hom}(G,H) bijektiv. Beweis. Wegen f(G') \subseteq H' = 1 ist G' \subseteq \mathrm{Kern}(f). Daher können wir den Homomorphiesatz anwenden und sind fertig. QED Mit dieser universellen Eigenschaft kann man dann auch arbeiten. Zum Beispiel: Abelisierung und direkte Summen. Es sei (G_i)_{i \in I} eine Familie von Gruppen. Dann gibt es einen Isomorphismus von kommutativen Gruppen (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} \cong \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}}. Beweis. Die kanonischen Homomorphismen G_i \to G_i^{\mathrm{ab}} \to \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}} kommutieren paarweise, weil die rechte Seite kommutativ ist, geben also Anlass zu einem Homomorphismus auf der kommutierenden direkten Summe. Weil die Zielgruppe aber kommutativ ist, faktorisiert dieser Homomorphismus bereits über der Abelisierung, etwa f : (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} \to \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}}. Ganz ähnlich können wir einen inversen Homomorphismus konstruieren: Die G_i \to \bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i induzieren (nach der universellen Eigenschaft der Abelisierung) G_i^{\mathrm{ab}} \to (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} und damit (nach der universellen Eigenschaft der direkten Summe) g : \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}} \to (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}}. Dass f und g invers sieht, folgt nun einfach aus der Eindeutigkeit in den universellen Eigenschaften. QED Elemente. Was die Elemente der Abelisierung angeht, muss man die Elemente der Kommutatoruntergruppe G' verstehen. Nach Konstruktion haben diese die Form a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1} \dotsc a_n b_n a_n^{-1} b_n^{-1} mit n \in \mathds{N}, a_i \in |G| und b_i \in |G|. Es ist also relativ schwierig zu zeigen, dass ein Element nicht in der Kommutatoruntergruppe liegt. Es sei denn, man benutzt die universelle Eigenschaft: Ein Element a \in |G| liegt genau dann nicht in |G'|, wenn es einen Homomorphismus f : G \to H in eine kommutative Gruppe H gibt mit f(a) \neq 1. Zum Beispiel haben wir für einen endlich-dimensionalen K-Vektorraum V den Homomorphismus \mathrm{det} : \mathrm{GL}(V) \to (K^*,*,1). Die Zielgruppe ist kommutativ, sodass also \mathrm{GL}(V)' \subseteq \mathrm{Kern}(\mathrm{det}) =: \mathrm{SL}(V). Tatsächlich gilt hier sogar Gleichheit (außer für K=\mathds{F}_2 und \dim(V)=2), was wir hier aber nicht beweisen werden. Aber aus dieser Inklusion folgt sofort, dass eine Matrix mit Determinante \neq 1 nicht in der Kommutatoruntergruppe liegen kann. Alternative Darstellung. Es gilt |G'| = \{a_1^{-1} \cdot \dotsc \cdot a_n^{-1} : a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n = 1, n \in \mathds{N}, a_i \in |G|\} Beweis: Die rechte Seite ist die unterliegende Menge einer Untergruppe \tilde{G} von G (Untergruppenkriterium!). Wenn G kommutativ ist, gilt \tilde{G}=1, denn dort gilt a_1^{-1} \cdot \dotsc \cdot a_n^{-1} = (a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n)^{-1}. Für jeden Homomorphismus f : G \to H ist f(\tilde{G}) \subseteq \tilde{H}. Insbesondere ist \tilde{G} ein Normalteiler. In der Gruppe G/\tilde{G} gilt die Implikation abc = 1 \Rightarrow a^{-1} b^{-1} c^{-1} = 1, d.h. a^{-1} b^{-1} = (ab)^{-1} für alle Elemente, d.h. G/\tilde{G} ist kommutativ. Daher ist G' \subseteq \tilde{G}. Umgekehrt: Weil der Homomorphismus G \to G/G' die Gruppe \tilde{G} abbildet nach \widetilde{G/G'}=1, liegt \tilde{G} im Kern G'. QED Bemerkung. Man hätte das auch mit Elementen direkt (insb. ohne Quotienten) nachrechnen können. Diese Rechnung ist dann aber wesentlich länger (Übung?). Genauso bei der folgenden Beobachtung: Kommutatoren von Erzeugern. Es sei X ein Erzeugendensystem einer Gruppe G. Dann wird G' als Normalteiler von den Kommutatoren [x,y] mit x,y \in X erzeugt, d.h. G' = \langle \langle [x,y] : x,y \in X \rangle \rangle. Insbesondere ist G kommutativ (d.h. G'=1) genau dann, wenn x \cdot y = y \cdot x für alle x,y \in X. Beweis. Wir zeigen zunächst die Folgerung, also dass G genau dann kommutativ ist, wenn x \cdot y = y \cdot x für alle x,y \in X. Die Richtung \Rightarrow ist trivial. Zur Richtung \Leftarrow: Für x \in X gilt für den Zentralisator Z(x) nach Annahme X \subseteq |Z(x)|, also Z(x)=G. Die Elemente von |G| kommutieren also mit den Elementen von X. Für festes a \in |G| gilt für den Zentralisator Z(a) demnach X \subseteq |Z(a)|, und folglich Z(a)=G, d.h. a kommutiert mit allen Elementen von G. Das bedeutet, dass G kommutativ ist. Nun sei N = \langle \langle [x,y] : x,y \in X \rangle \rangle und betrachte den Quotienten p : G \to G/N. Es ist p(X) ein Erzeugendensystem von G/N und nach Konstruktion kommutieren die Erzeuger miteinander. Also ist nach Obigem G/N kommutativ, d.h. G' \subseteq N. Aber N \subseteq G' ist ohnehin klar. Daher ist G'=N. QED Bemerkung. Es wird G' nicht unbedingt von den [x,y] als Untergruppe erzeugt (es gibt ja auch gar keinen Grund dafür, warum die erzeugte Untergruppe ein Normalteiler sein sollte!). Ansonsten hätte jede Gruppe, die von zwei Elementen erzeugt wird, eine zyklische Kommutatoruntergruppe, wofür aber symmetrische Gruppen Gegenbeispiele liefern, vgl. Abschnitt 9. Aufgabe. Es sei G eine Gruppe, die von zwei Elementen a,b erzeugt wird mit bab^{-1}=a^2. Zeige, dass G^{\mathrm{ab}} zyklisch ist.

9. Das Signum

Es sei X eine endliche Menge. Wir wollen die Abelisierung von \mathrm{Sym}(X) bestimmen. Wir definieren dazu das Signum einer Permutation \sigma : X \to X durch den Ausdruck \displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma) := \prod_{\{x,y\} \subseteq X} \frac{\sigma(x)-\sigma(y)}{x-y}. Dies ist zunächst einmal ein formaler Ausdruck, eine rationale Funktion in den Variablen X (d.h. ein Element von \mathds{Q}(X)^*). Das Produkt erstreckt sich über alle 2-elementigen Teilmengen von X. Wegen \displaystyle \frac{\sigma(x)-\sigma(y)}{x-y} = \frac{\sigma(y)-\sigma(x)}{y-x} hängt der Faktor tatsächlich nur von \{x,y\} ab. Wenn wir eine Anordnung auf X wählen (das ist immer möglich, aber nicht auf kanonische Weise), dann gilt also \displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma) = \prod_{x Nun beobachten wir, dass \displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma)^2 = \prod_{x \neq y} \frac{\sigma(x)-\sigma(y)}{x-y} = \frac{\prod_{x \neq y} (\sigma(x)-\sigma(y))}{\prod_{x \neq y} (x-y)} = 1. Also ist tatsächlich \mathrm{sgn}(\sigma) = \pm 1, d.h. das Signum ist eine Abbildung nach \{+1,-1\}. Tatsächlich ist sie ein Homomorphismus \mathrm{sgn} : \mathrm{Sym}(X) \to (\{+1,-1\},*) \cong \mathds{Z}/2\mathds{Z}. Dazu berechnen wir für \sigma,\tau \in \mathrm{Sym}(X): \displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau )= \prod_{\{x,y\}} \frac{\sigma(\tau(x))-\sigma(\tau(y))}{\tau(x)-\tau(y)} \cdot \prod_{\{x,y\}} \frac{\tau(x)-\tau(y)}{x-y} = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \mathrm{sgn}(\tau). Signum nach Fortsetzung. Um das Signum wirklich auszurechnen, ist folgende Beobachtung hilfreich: Für jede Teilmenge T \subseteq X kommutiert das Diagramm \xymatrix{\mathrm{Sym}(T) \ar[rr]^{i} \ar[dr]_{\mathrm{sgn}} && \mathrm{Sym}(X) \ar[dl]^{\mathrm{sgn}} \\ & (\{+1,-1\},*). & } D.h. für \sigma \in |\mathrm{Sym}(T)| gilt für die fortgesetzte Permutation \tilde{\sigma} \in |\mathrm{Sym}(X)| tatsächlich \mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\tilde{\sigma}). Beweis. \displaystyle \mathrm{sgn}(\tilde{\sigma}) = \prod\limits_{\{x,y\} \subseteq T} \frac{\sigma(x)-\sigma(y)}{x-y} ~\cdot \prod\limits_{\{x,y\} \subseteq X \setminus T} \frac{x-y}{x-y} ~\cdot \prod\limits_{\small \begin{array}{c}\{x,y\} \subseteq X \\ x \in T, y \notin T \end{array}} \frac{\tilde{\sigma}(x)-\tilde{\sigma}(y)}{x-y} Das erste Produkt ist =\mathrm{sgn}(\sigma), das zweite ist =1. Das dritte Produkt ist ebenfalls =1 wegen \displaystyle \prod\limits_{\small \begin{array}{c}\{x,y\} \subseteq X \\ x \in T, y \notin T \end{array}} \sigma(x)-y = \prod\limits_{\small \begin{array}{c}\{x,y\} \subseteq X \\ x \in T, y \notin T \end{array}} x-y.~~ \text{\footnotesize QED} Berechnung des Signums. Wenn \sigma = (x ~ y) ein 2-Zyklus ist, so dürfen wir zur Berechnung des Signums folglich X=\{x,y\} annehmen und erkennen sofort \mathrm{sgn}(\sigma) = \frac{y-x}{x-y} = -1. Eine beliebige Permutation \sigma ist ein Produkt von 2-Zykeln \sigma = \sigma_1 \circ \dotsc \circ \sigma_n. Es folgt \mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^n. Ein n-Zyklus (x_1 ~ \dotsc ~ x_n) kann als ein Produkt von n-1 2-Zykeln geschrieben werden, nämlich (x_1 ~ x_2) \circ (x_2 ~ x_3) \circ \dotsc \circ (x_{n-1} ~ x_n), und hat daher Signum (-1)^{n-1}, also +1 wenn n ungerade und -1 wenn n gerade. Alternierende Gruppe. Es sei \mathrm{Alt}(X) := \ker(\mathrm{sgn}), die alternierende Gruppe. Als Kern ist sie ein Normalteiler von \mathrm{Sym}(X). Nach der obigen Berechnung des Signums liegt eine Permutation in der alternierenden Gruppe, wenn sie ein Produkt einer geraden Anzahl von 2-Zykeln ist (diese nennt man entsprechend gerade Permutationen). Wenn \# X \geq 2, dann ist \mathrm{sgn} surjektiv und folglich \mathrm{Sym}(X) / \mathrm{Alt}(X) \cong \mathds{Z}/2\mathds{Z}. Insbesondere \mathrm{ord}(\mathrm{Alt}(X))=n!/2 falls n = \# X. Beispiel. Die symmetrische Gruppe \mathrm{Sym}(\{1,2,3,4\}) besitzt 4!=24 Elemente. Die geraden Permutationen sind: ( ~ ),(1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) Die ungeraden Permutationen sind: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2) 3-Zykel erzeugen gerade Permutationen. Jeder 3-Zyklus ist in \mathrm{Alt}(X) enthalten. Tatsächlich erzeugen die 3-Zykel bereits \mathrm{Alt}(X) (für jede endliche Menge X): Es reicht zu zeigen, dass jedes Produkt von zwei 2-Zykeln durch 3-Zykel erzeugt werden kann. Die beiden 2-Zykel überschneiden sich, oder eben nicht. Es gilt nun aber (x ~ y) \circ (y ~ z) = (x ~ y ~ z) und (x ~ y) \circ (u ~ v) = (x ~ y ~ u) \circ (y ~ u ~ v). Kommutatoruntergruppe der symmetrischen Gruppe. Weil \mathrm{sgn} ein Homomorphismus in eine kommutative Gruppe ist, gilt für den Kern \mathrm{Sym}(X)' \subseteq \mathrm{Alt}(X). Es gilt auch die Umkehrung: Weil die alternierende Gruppe von 3-Zykeln erzeugt wird, müssen wir dazu lediglich jeden 3-Zyklus als Kommutator schreiben: (x ~ y ~ z) = (x ~ y) \circ (x ~ y ~ z) \circ (x ~ y)^{-1} \circ (x ~ y ~ z)^{-1}. Also gilt \mathrm{Sym}(X)' = \mathrm{Alt}(X) für jede endliche Menge X. Falls \#X \geq 2, folgt hieraus \mathrm{Sym}(X)^{\mathrm{ab}} \cong \mathds{Z}/2\mathds{Z}. Für \#X < 2 ist \mathrm{Sym}(X) und somit auch die Abelisierung trivial. Aufgabe. Finde einen zu \mathds{Z}/2 \mathds{Z} \oplus \mathds{Z}/2\mathds{Z} isomorphen Normalteiler von \mathrm{Alt}(\{1,2,3,4\}). Berechne die Quotientengruppe.

10. Bemerkungen zur Didaktik

Abschnitt 1. Ich habe darauf Wert gelegt, dass die symmetrische Gruppe einer Menge zugeordnet wird, nicht einer natürlichen Zahl. Endliche Mengen haben zwar stets die Form \{1,\dotsc,n\} (mit n \in \mathds{N}), aber nicht auf kanonische Weise. Einige Konstruktionen sind viel natürlicher, wenn man keine Abzählung gewählt hat. Siehe auch Anmerkungen zu Abschnitt 9. Ich habe das allgemeine Konzept des Homomorphismus und insb. Automorphismus angedeutet, um verschiedene Inkarnationen von Automorphismengruppen zu benennen (die man zu Objekten in jeder Kategorie hat). Auf diese Weise erhält man wichtige sowie anschauliche Beispiele von Gruppen, die in Teil 1 gefehlt haben. Bei der Konjugation habe ich etwas zur Anschauung gesagt, was ich bisher in keinem Lehrbuch der Gruppentheorie gefunden habe, höchstens in Büchern zur algebraischen Topologie (Unabhängigkeit des Basispunktes der Fundamentalgruppe) oder in gruppentheoretischen Anleitungen für den Zauberwürfel (Setup-Moves). Das Zentrum definiere ich als den Kern von c : G \to \mathrm{Aut}(G). Das hat den Vorteil, dass man nicht mehr nachrechnen muss, dass es sich dabei um eine Untergruppe handelt. Wie die Elemente aussehen, kann man sofort einsehen. Damit das Ganze nicht zu allgemein bleibt, habe ich noch als Beispiel das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe ausgerechnet. Und zwar basisfrei, denn Matrizen würden einem das Leben hier nur unnötig schwer machen. Abschnitt 2. Das Produkt habe ich zwar wie üblich definiert (wenn man von der konsequenten Unterscheidung zwischen Gruppe und unterliegender Menge absieht), aber die universelle Eigenschaft in den Vordergrund gestellt und gezeigt, wie man damit arbeiten kann. Dass die Abbildungen in die unterliegende Menge einer Gruppe eine Gruppenstruktur tragen, ist einfach der Spezialfall einer Potenz. Das muss man also nicht noch einmal nachrechnen. Abschnitt 3. Warum ich die kommutierende direkte Summe nicht einfach wie üblich direkte Summe nenne, habe ich bereits im Text erläutert. Es darf keine Verwechslung mit Koprodukten in anderen Kategorien aufkommen, die häufig auch als direkte Summen bezeichnet und mit \oplus notiert werden. Koprodukte von Gruppen werden übrigens dann in Teil 3 besprochen. Ich habe außerdem erklärt, warum die übliche Identifikation zwischen endlichen direkten Produkten und endlichen direkten Summen unpräzise ist. Abschnitt 4. Differenzkerne sind (genauso wie Produkte) Spezialfälle von Limites. Man kann sie ganz einfach konstruieren und sie sind für die nächsten Abschnitte nützlich. Außerdem fällt der Zentralisator als Beispiel ab (wird in Abschnitt 8 benötigt), sodass man auch hier nicht mehr erneut das Untergruppenkriterium nachrechnen muss. Dass jede Untergruppe ein Differenzkern ist (d.h. jeder Monomorphismus regulär ist), ist eine Spezialität von Gruppen, die für viele andere algebraische Strukturen (z.B. Ringe) nicht mehr gilt. Es wird in Abschnitt 5 für den Beweis gebraucht, dass Epimorphismen von Gruppen bereits surjektiv sind. Abschnitt 5. In Vorbereitung auf die "kompakte" Sichtweise auf universelle Eigenschaften als darstellbare Funktoren habe ich hier alle bisher vorgestellten universellen Eigenschaften mittels Hom-Mengen formuliert. Das generelle Motto ist also, dass Homomorphismen gegenüber Elementen den Vorzug bekommen. Außerdem erhält \mathds{Z} eine universelle Eigenschaft (freie Gruppe auf einem Erzeuger), und damit auch alle zyklische Gruppen. Damit wird insbesondere die beliebte Algebra-Frage, wie Homomorphismen zwischen \mathds{Z}/n\mathds{Z} und \mathds{Z}/m\mathds{Z} aussehen, systematisch gelöst, und unnötige Rechnungen entfallen. Ich halte absolut nichts davon, Studenten die Homomorphismen zwischen \mathds{Z}/4\mathds{Z} und \mathds{Z}/6\mathds{Z} berechnen zu lassen, ohne die entsprechenden Vorbereitungen zur Verfügung gestellt zu haben. Wenn sie es denn überhaupt schaffen, wäre es eine Rechenleistung ohne langfristigen Lerneffekt. Falls G eine Gruppe und H eine kommutative Gruppe ist, so ist die Menge \mathrm{Hom}(G,H) der Homomorphismen keine Gruppe, sondern die unterliegende Menge einer Gruppe \underline{\mathrm{Hom}}(G,H), die man also auch anders bezeichnen sollte. Diese strikte Unterscheidung zwischen Hom-Mengen und internen Hom-Objekten macht zwar anscheinend niemand, aber zahlt sich spätestens bei der Garbentheorie und natürlich der Kategorientheorie aus. In der Hom-Charakterisierung von injektiven/surjektiven/bijektiven Homomorphismen geht es darum, die Beziehung zu Mono/Epi/Isomorphismen herzustellen (ohne es explizit zu erwähnen, weil eine Erweiterung der Fachbegriffe nicht wirklich zum Verständnis beitragen muss). Es geht hier wieder darum, dass die Hom-Mengen auch diese Eigenschaften "erkennen" können, und es daher also auch Sinn macht, diese Eigenschaften in anderen Kategorien (sobald der Leser sie kennenlernt) zu studieren. Abschnitt 6. Dass man nicht nur zu Teilmengen, sondern zu beliebigen Abbildungen nach |G| eine erzeugte Untergruppe von G definieren kann, ist recht natürlich. Es wird auch im dritten Teil gebraucht. Die Definition ist abstrakt, aber nützlich, und lässt sich auch als Adjunktion \langle X \rangle \subseteq H \Leftrightarrow X \subseteq |H| sehen. Die Hom-Charakterisierung von Erzeugendensystemen fasst den Lehrsatz, dass ein Homomorphismus bereits auf einem Erzeugendensystem bestimmt ist, prägnant zusammen und liefert zugleich eine Überleitung zu den Gruppen definiert durch Erzeuger und Relationen in Teil 3. Dass die Umkehrung auch gilt, liegt gerade daran, dass die Epimorphismen surjektiv sind. Für Ringe gilt die Charakterisierung also nicht mehr. Es ist daher ein wenig kritisch, das hier mit reinzunehmen, weil dem Leser bisher eigentlich größtenteils die Gruppentheorie als Beispiel der universellen Algebra gezeigt wurde, diese Charakterisierung aber gar nicht allgemein gilt. Dass erzeugte Normalteiler eine komplizierte Elementstruktur besitzen, soll nicht darüber hinwegtäuschen, wie einfach die Definition ist. Wir werden sie in Teil 3 brauchen. Abschnitt 7. Die Definition und Charakterisierung der Ordnung eines Elementes wird ganz natürlich aus der universellen Eigenschaft von \mathds{Z} gefolgert, keine neuen Rechnungen sind notwendig. Aus dieser Definition ergibt sich dann aber auch ein wesentlicher Unterschied zur gewöhnlichen Definition, der bereits im Text ("Achtung") erläutert wurde: Die Elementordnung 0 kommt vor, anstelle von \infty. Tatsächlich scheint dies natürlicher zu sein: 1. Es bleiben einige Fallunterscheidungen aus. 2. Die Konsistenz zur Charakterisik eines Ringes wird hergestellt. 3. Dasselbe geht auch für Moduln über Hauptidealringen. Trotzdem ist diese Definition sehr unüblich. Ein Fehler in der Geschichte der Mathematik, den man nicht mehr wegbekommt? Der einzige Nachteil ist, dass nun \mathrm{ord}(g) = \mathrm{ord}(\langle g \rangle) nicht mehr stimmt (wenn \mathrm{ord}(g)=0), wobei sich die Frage stellt, ob man das überhaupt braucht? Dass nun die Ordnung auch nicht mit Hilfe der \leq Relation (also kleinste Potenz, die 1 wird), sondern mit Hilfe der Teilerrelation erklärt wird, hat zur Folge, dass einige Aussagen sich von selbst beweisen. Wenn man die \leq Definition wählt, funktioniert das überhaupt nicht (etwa Ordnungen unter Homomorphismen), ohne dass man die Teilerdefinition noch vorab herleitet (was dann üblicherweise mittels Division mit Rest gemacht wird, sprich man klassifiziert redundanterweise nochmals die Untergruppen von \mathds{Z}). Wenn wir konzeptionelle Mathematik betreiben wollen, sollten wir aber die Definition nehmen, mit der wir am besten arbeiten können, bzw. am wenigsten lästige Rechnungen durchführen müssen. Abschnitt 8. Ich habe in den Artikeln bisher kommutativ anstelle von Abelsch geschrieben, weil dies der einheitlichere Begriff ist (kommutative Monoide, kommutative Ringe, kommutative Gruppenschemata, kommutative Algebren - wieso dann abelsche Gruppen und abelsche Lie-Algebren?!). Dann müsste man aber konsequenterweise auch die Abelisierung umbenennen. Wie wäre es mit "Kommutativierung"? Ich wollte hier aber nicht zu sehr mit den üblichen Bezeichnungen brechen. Die Idee der Abelisierung steht ganz am Anfang, erst danach werden Kommutatoren und die Kommutatoruntergruppe sowie die explizite Konstruktion der Abelisierung ("Kommutativierung"?) hergeleitet. Der Vorteil dieser Heransgehensweise ist, dass man sofort weiß, worum es eigentlich geht, und man auch sieht, wie das zu erreichen ist. Die universelle Eigenschaft der Abelisierung ist eine Konsequenz des Homomorphiesatzes. Auch sie kann mittels Hom-Mengen formuliert werden, und kann dazu benutzt werden, um allgemeine Isomorphismen ohne Elemente nachzurechnen (etwa das Vertauschen mit direkten Summen). Noch schneller ginge es nur mit dem Yoneda-Lemma, was hier aber noch nicht zur Verfügung steht. Dass die Elemente der Kommutatoruntergruppe kompliziert sind, sollte einem nicht davon ablenken, wozu sie eigentlich definiert wurde und dass man damit also auch testen kann, wann ein Element nicht enthalten ist: Man muss einen Homomorphismus in eine kommutative Gruppe finden, welcher das Element nicht frisst. Für invertierbare Matrizen kann man etwa die Determinante nehmen. Die alternative Darstellung der Elemente habe ich von Buri in MP/47520 gelernt. Dabei sieht man sehr schön, wie komplizierte Elementrechnungen, auf die man nicht so ohne Weiteres kommt, und in denen man ständig eine Eins durch 1=x x^{-1} einfügen muss, durch Quotientengruppen und naheliegende strukturelle Überlegungen ersetzt werden können. Dasselbe gilt für die sich anschließende Aussage über Erzeuger der Kommutatoruntergruppe. Ich habe für die Erkenntnis, dass Rechnungen mit Elementen durch Überlegungen mit Morphismen optimiert werden können, viele Jahre gebraucht. Vielleicht kann ich mit dem vorliegenden Artikel die Zeit für andere Leser etwas verkürzen. Abschnitt 9. Aus dem Ziel, die Abelisierung der symmetrischen Gruppe \mathrm{Sym}(X) zu bestimmen, entstehen ganz natürlich das Signum, die alternierende Gruppe und dann schließlich die Identifikation mit der Kommutatoruntergruppe. Der wesentliche Unterschied zu üblichen Darstellungen ist, dass die fixierte endliche Menge X nicht angeordnet werden muss. Das erscheint mir natürlicher. Man ist dann auch flexibler, wenn man verschiedene symmetrische Gruppen miteinander vergleichen will. Meine Idee, dass das Signum a priori Werte im Funktionenkörper \mathds{Q}(X) annimmt, ist vielleicht zu abstrakt, aber direkt danach sieht man ja, dass es ohnehin \pm 1 ist. Außerdem eröffnet sich damit die Möglichkeit, vielleicht andere "Signums" für andere Automorphismengruppen zu definieren; man kennt ja bereits die Determinante im Falle von Vektorräumen. Ich frage mich in diesem Zusammenhang, ob die Gruppe \mathrm{Alt}(X) überhaupt schon einmal wie im Artikel hingeschrieben worden ist, ohne eine Abzählung bzw. Anordnung von X zu verwenden. Vermutlich schon, aber es ist sehr unüblich.

Schluss

Nun ist aber auch gut! Irgendwie konnte ich mit dem Schreiben kaum noch aufhören. Ich hoffe, dass der Artikel einen weiteren konzeptionellen Einblick in die Gruppentheorie liefern konnte. Wie immer sind Kommentare und Anregungen explizit erwünscht. Ich bedanke mich bei den Korrekturlesern Dune und KidinK!

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Konzepte der Gruppentheorie 2 [von Martin_Infinite]  
Dies ist die Fortsetzung des ersten Teils über konzeptionelle Gruppentheorie. Themen sind u.a. symmetrische Gruppen, Automorphismengruppen, Isometriegruppen, innere Automorphismen, außerdem Produkte, (kommutierende) direkte Summen, Differenzkerne, Hom-Mengen, sowie erzeu
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"Mathematik: Konzepte der Gruppentheorie 2" | 17 Comments
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Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 27. März 2014 14:31:47
\(\begingroup\)"Bei den Konstruktionen stehen nicht die Elemente, sondern vor allem die Homomorphismen und die universellen Eigenschaften im Vordergrund. Zum Verständnis ist lediglich der erste Teil nötig." Genau, ein großer Teil des Artikels, abgesehen vom Anfang, liefert nahezu null Verständnis. Wozu dient er also? Wer sollte bitteschön Lebenszeit "universellen Eigenschaften" widmen?\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Dune am: Do. 27. März 2014 16:50:37
\(\begingroup\)\quoteon(Anonymous) Wer sollte bitteschön Lebenszeit "universellen Eigenschaften" widmen? \quoteoff Das sollte jeder tun, der sich mit Algebra oder allgemein mit abstrakteren Teilgebieten der Mathematik beschäftigt. Ohne universelle Eigenschaften können nämlich selbst die einfachsten Konzepte ungeheuer kompliziert werden (Stichwort: freie Objekte, Tensorprodukte, etc.). Mir hat der Artikel jedenfalls sehr gefallen!\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Gockel am: Do. 27. März 2014 17:51:39
\(\begingroup\)Oder anders formuliert: Wer hat denn bitteschön so viel Lebenszeit um nicht mit universellen Eigenschaften zu arbeiten? 😛 mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Martin_Infinite am: Fr. 28. März 2014 13:58:49
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, \quoteon(Anonymous am Do. 27. März 2014 14:31:47) Wer sollte bitteschön Lebenszeit "universellen Eigenschaften" widmen? \quoteoff Wie universelle Eigenschaften beim Nachweis von konkreten Isomorphismen hilfreich sein können (tatsächlich ganze Rechnungen überflüssig machen), habe ich etwa hier erklärt. Konkret auf den Artikel bezogen: Abschnitt 2. Mit Hilfe der universellen Eigenschaft des Produktes und des Quotienten (=Homomorphiesatz) habe ich gezeigt, wie man sofort $\prod_i (G_i/N_i) = \prod_i G_i / \prod_i N_i$ bekommt. Ohne irgendeine Rechnung. Und natürlich ohne Nebenklassen. Abschnitt 3. Im Beispiel habe ich diverse Homomorphismen zwischen direkten Summen und Produkten konstruiert. Dass es Homomorphismen sind, muss man nicht mehr nachrechnen, weil sie mit Hilfe der universellen Eigenschaft entstehen. Abschnitt 5. Der Homomorphiesatz ist absolut zentral in der Gruppentheorie - er ist nichts weiter als die universelle Eigenschaft der Quotientengruppe. Wie Homomorphismen auf $\mathds{Z}$ (und dann auch $\mathds{Z}/n\mathds{Z}$) aussehen, ist ebenfalls grundlegend. Ich bin ja darauf eingegangen, dass hier Studenten ebenfalls mit Rechnungen gequält werden, die eigentlich überflüssig sind. Abschnitt 6. Die abstrakte Definition der erzeugten Untergruppe $X \subseteq |H| \Leftrightarrow \langle X \rangle \subseteq H$ kann selbst als universelle Eigenschaft gesehen werden (nämlich $X \mapsto \langle X \rangle$ ist linksadjungiert zu $H \mapsto |H|$), was dann ebenfalls einige Rechnungen mit Elementen und Gruppenwörtern überflüssig macht (etwa bei der Hom-Charakterisierung von Erzeugendensystemen - schreibe das einmal mit Elementen und ohne Differenzkerne auf). Abschnitt 7. Der Homomorphiesatz angewandt auf $\mathds{Z} \to G$ liefert sofort die Struktur von zyklischen Gruppen. Abschnitt 8. Die universelle Eigenschaft der Abelisierung und die universelle Eigenschaft der (kommutierenden) direkten Summe zeigen sofort, dass sie miteinander vertauschen. Wenn man das mit Elementen nachrechnet, wird es viel komplizierter. Außerdem habe ich gezeigt, dass die universelle Eigenschaft der Abelisierung nützlich ist, um zu zeigen, dass ein Element nicht in der Kommutatoruntergruppe liegt. Der Beweis der alternativen Darstellung der Elemente der Kommutatoruntergruppe zeigt erneut die Kraft der Homomorphismen, vor allem im Vergleich zum Elementbeweis hier. Im Abschnitt 9 kommen tatsächlich keine universelle Eigenschaften vor. Man könnte das Signum aber auch mittels Determinanten von Permutationsmatrizen definieren, und Determinanten wiederum mittels äußerer Potenzen, die wiederum durch eine universelle Eigenschaft definiert sind (sie klassifizieren alternierende Abbildungen). Das ist natürlich viel zu abstrakt, erklärt aber letzlich auch die Herkunft der Formel $\mathrm{sgn}(\sigma) = \prod_{i\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 28. März 2014 14:09:05
\(\begingroup\)Don't feed the troll. \(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: derZahl am: Mo. 31. März 2014 14:08:06
\(\begingroup\)Hallo =), schon nach kurzem Ueberfliegen sieht man, dass der Artikel mindestens genauso hervorragend geschrieben ist, wie die anderen Artikel von Marin Infinite. In meinem Algebra Lehrbuch wird gleich im ersten Kapitel ein knapper Einblick in die Kategorientheorie gegeben. Die Wichtigkeit von "Universellen Eigenschaften" wird ausdruecklich betont. Umso schoener finde ich es deshalb, dass der Artikel diese fuer mich neuartigen Begriffe am Thema "Gruppentheorie" nocheinmal erklaert. Super gemacht! vielen Dank! lg Daniel\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: KidinK am: Di. 01. April 2014 15:43:53
\(\begingroup\)@Daniel: Was liest du? Aluffi?\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: derZahl am: Do. 03. April 2014 03:10:58
\(\begingroup\)@KidinK: Algebra, Hungerford Im Groben und Ganzen gefaellt mir das Buch sehr gut. Ich schau mir mal Aluffi an. lg Daniel =)\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 03. April 2014 11:52:27
\(\begingroup\)Herr Martin Unendlich: "Wie universelle Eigenschaften beim Nachweis von konkreten Isomorphismen hilfreich sein können (tatsächlich ganze Rechnungen überflüssig machen), habe ich etwa hier erklärt." Quatsch. Kopieren Sie doch keine Konzepte, die nur zur Verblödung beitragen. Versuchen Sie, die Infantilisierungsgefahr durch einen kritischen Blick auf Ihre Überschrift "Ja Mono Epi Iso!" einzuschätzen. "Mit Hilfe der universellen Eigenschaft des Produktes und des Quotienten (=Homomorphiesatz) habe ich gezeigt, wie man sofort \prod_i (G_i/N_i) = \prod_i G_i / \prod_i N_i bekommt." Der Nachweis ist mit Hilfe der üblichen, vernünftigen Definition völlig trivial (nur Schreib-/Sprechaufwand). Wenn ich dagegen den Beweis über die universelle Eigenschaft nachvollziehen will, komme ich mir nun einmal, ehrlich gesagt, vor wie ein Psychiater in einer Therapiesitzung, der die Äußerungen des Insassen einer geschlossenen Anstalt zu entziffern hat, und mir scheint beinahe, man muss sich schon selber in die Rolle eines weiteren Insassen treiben lassen, damit es einem anders geht. Diese Feststellung soll niemanden beleidigen, insbesondere nicht Sie, der Sie ja nur Gedanken einer verbreiteten Strömung wiedergeben, sondern nur zu einem aufschlussreichen Blick "von außen" aufrufen. Der Quotient G/N entsteht aus G, wenn die Elemente von N für "irrelevant" erklärt werden in dem Sinne, dass n_1gn_2 für äquivalent zu g erklärt wird. "Funktioniert" in diesem Quotienten weiterhin die Gruppenmultiplikation, erhält man also äquivalente Ergebnisse, egal welche der äquivalenten Darstellungen der Faktoren man wählt, dann nennt man ihn Quotientengruppe. Von dieser Art sollte die Primärdefinition sein. Man stellt schnell (z.B. anhand einer Drehgruppe) fest, dass dies nicht immer der Fall ist: Für das Funktionieren der Multiplikation müssten z.B. 1=gg^{-1} und gng^{-1} äquivalent sein, also gng^{-1}\in N sein, was aber in vielen Beispielen nicht so ist. So kommt man zum Begriff des Normalteilers als (zunächst notwendiges) KRITERIUM für die Existenz der Quotientengruppe. Sieht man G als Transformationsgruppe, dann ist g\mapsto gng^{-1} ein "Perspektivenwechsel" und das Kriterium sagt, dass N aus allen Perspektiven gleich aussehen muss, "koordinatenunabhängig" charakterisierbar sein muss. Soweit also klar verständlich. Man kann das Kriterium natürlich auch so umformulieren: Zu jedem g aus G und n aus N muss ein m aus N existeren, so dass gn=mg ist. Das ist sozusagen eine Kommutativitätseigenschaft (modulo der getroffenen Identifikationen) - sie besagt, mehrmals angewendet, dass man in einem Produkt gh links oder rechts an g und h heranmultiplizierte Faktoren aus N alle ganz nach rechts schaufeln kann, ohne die Äquivalenzklasse zu ändern - mit anderen Worten, bei einer äquivalenten Darstellung bleibt die Äquivalenzklasse des Produktes dieselbe, es kommt nur der irrelevante Faktor ganz rechts dazu, das Kriterium "N muss Normalteiler sein" ist also hinreichend für die Existenz der Faktorgruppe. Durch eine Definition über eine universelle Eigenschaft oder eine Betonung derselben tun Sie alles, um diese jedermann zugänglichen Einsichten zu verdunkeln. "Abschnitt 5. Der Homomorphiesatz ist absolut zentral in der Gruppentheorie - er ist nichts weiter als die universelle Eigenschaft der Quotientengruppe." Den Homomorphiesatz muss man, zentral wie er ist, und kann man auch recht leicht verstehen. Die universelle Eigenschaft jedoch wird durch diese Bemerkung zu genau der nutzlosen Banalität abgestempelt, die sie ja ist. "Im Abschnitt 9 kommen tatsächlich keine universelle Eigenschaften vor. Man könnte das Signum aber auch mittels Determinanten von Permutationsmatrizen definieren, und Determinanten wiederum mittels äußerer Potenzen, die wiederum durch eine universelle Eigenschaft definiert sind (sie klassifizieren alternierende Abbildungen)." Was wieder darauf hinausläuft, jegliche Ordnung auf den Kopf zu stellen, jegliche Einsicht zu verdunkeln. Die Determinante ist primär als signiertes Volumen des von den Spalten aufgespannten Spates definiert, was ein Verständnis des Signums bereits voraussetzt. "Das ist natürlich viel zu abstrakt, erklärt aber letzlich auch die Herkunft der Formel \mathrm{sgn}(\sigma) = \prod_{i\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Dune am: Do. 03. April 2014 18:10:38
\(\begingroup\)@Anonymous: Produkte bieten eigentlich ein sehr schönes Beispiel, warum man sich mit universellen Eigenschaften beschäftigen sollte. Nehmen wir z.B. drei Gruppen $A,B,C$, dann gelten bekanntlich gewisse "Rechenregeln" wie $(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)$ oder $A \times B \cong B \times A$. Braucht man zum Nachweis dieser Gesetze universelle Eigenschaften? Nicht unbedingt. Produkte von Gruppen sind zum Glück sehr einfache Dinge und man kann obige Isomorphien auch leicht direkt anhand von Elementen nachrechnen. Solange man sich in seinem Leben ausschließlich mit elementarer Gruppentheorie beschäftigt, könnte man es eigentlich sogar dabei belassen. Es gibt in der Mathematik aber viel mehr Objekte, als nur Gruppen. Es gibt auch Monoide, Ringe, Moduln, topologische/metrische/uniforme Räume und sehr vieles mehr. Von all diesen Objekten kann man ebenfalls Produkte bilden und es gelten die selben Regeln wie oben. Muss man diese jetzt aber wirklich jedes Mal aufs Neue beweisen? Nein! All diese Produkte erfüllen die gleiche universelle Eigenschaft (überhaupt rechtfertigt das erst den Namen "Produkt") und der Beweis der Kommutativität und Assoziativität kann auf viel höherem Level völlig unabhängig von Algebra oder Topologie geführt werden. Aufgrund von universellen Eigenschaften braucht man solche Beweise also nur ein einziges Mal zu führen, anstatt unendlich oft. Wie Gockel schon so treffend sagte: "Wer hat denn bitteschön so viel Lebenszeit um nicht mit universellen Eigenschaften zu arbeiten?". Hinzu kommt, dass nicht in allen Bereichen der Mathematik Produkte eine einfache Form haben. In der algebraischen Geometrie beschäftigt man sich z.B. mit Schemata und natürlich insbesondere auch mit Produkten von Schemata. Solche Produkte kann man aber nicht mehr so schön hinschreiben, wie im Falle von Gruppen (d.h. durch Angabe ihrer Elemente in eindeutiger Form). Der Beweis der Assoziativität des Produktes von Schemata wäre ohne universelle Eigenschaften nahezu undenkbar! Noch ein anderes Problem: Angenommen, wir verzichten vollkommen auf universelle Eigenschaften. Was ist dann das Produkt von den drei Gruppen $A,B$ und $C$? Ist es $(A \times B) \times C$, $A \times (B \times C)$ oder etwa $A \times B \times C$? Beachte, dass das aus mengentheoretischer Sicht völlig verschiedene Dinge sind! Ein analoges Problem: was ist der Produktraum der $\mathbb{R}$-Vektorräume $\mathbb{R}^n$ und $\mathbb{R}^m$? Ist es $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{R}^{n+m}$? Definiert man Produkte anhand ihrer universellen Eigenschaften, so lautet die Antwort in beiden Fällen "Das sind alles (völlig gleichberechtigte) Produkte von $A,B$ und $C$ bzw. von $\mathbb{R}^n$ und $\mathbb{R}^m$!". Wie lautet die Antwort in deiner mathematischen Welt?\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Martin_Infinite am: Do. 03. April 2014 19:41:33
\(\begingroup\)@Anonymous: Offenbar bist du (ich hoffe das "du" ist OK) mehr als nur ein Troll (wie es ein anderer Anonymous behauptet hat) und weißt eigentlich, wovon du sprichst. Dann ist es aber schade, dass du dich teilweise derart unsachlich ausdrückst. Bei Aussagen des Formats \quoteon(Anonymous) Kopieren Sie doch keine Konzepte, die nur zur Verblödung beitragen. \quoteoff kann ich nur mit dem Kopf schütteln. Ich möchte nur noch etwas zu zwei Dingen sagen: \quoteonDer Quotient G/N entsteht aus G, wenn die Elemente von N für "irrelevant" erklärt werden in dem Sinne, dass n_1 g n_2 für äquivalent zu g erklärt wird. \quoteoff So sehe ich das auch. Und das ist auch exakt die Definition der Quotientengruppe, wie ich sie im ersten Teil gegeben habe (nur dass ich $p(g)$ oder $g \bmod N$ anstelle von $g$ schreibe). Bezogen auf den Isomorphismus $\prod_i (G_i/N_i) \cong \prod_i G_i / \prod_i N_i$ schreibst du \quoteonDer Nachweis ist mit Hilfe der üblichen, vernünftigen Definition völlig trivial (nur Schreib-/Sprechaufwand). \quoteoff Ja, machen wir das doch mal! Sei $f : \prod_i (G_i/N_i) \to \prod_i G_i / \prod_i N_i$ definiert durch $f((a_i N_i)_i)=(a_i) \prod_i N_i$. Das ist wohldefiniert: Sei $(a_i N_i)_i = (b_i N_i)_i$, d.h. $n_i := b_i^{-1} a_i \in N_i$ für alle $i$. Für $n := (n_i)_i$ gilt dann $(b_i)_i^{-1} (a_i)_i = n \in \prod_i N_i$, also $(a_i) \prod_i N_i = (b_i)_i \prod_i N_i$. Das kann man auch umkehren und zeigt dann, dass $f$ eine injektive Abbildung ist. Die Surjektivität ist klar. Die Homomorphie-Eigenschaft schließlich: $f((a_i N_i)_i (b_i N_i)_i) = f((a_i b_i N_i)_i) = (a_i b_i)_i \prod_i N_i = (a_i)_i \prod_i N_i \cdot (b_i)_i \prod_i N_i = f((a_i N_i)_i) f((b_i N_i)_i).$ Und nun noch einmal zum Vergleich der Beweis mittels universeller Eigenschaften (bzw. eigentlich nur Homomorphismen): Der von den surjektiven Homomorphismen $G_i \to G_i/N_i$ mit Kern $N_i$ induzierte Homomorphismus $\prod_i G_i \to \prod_i (G_i/N_i)$ ist surjektiv mit Kern $\prod_i N_i$. Also ist nach dem 1. Isomorphiesatz $\prod_i G_i / \prod_i N_i \cong \prod_i (G_i/N_i)$. Fertig. Das geht 1. viel schneller, 2. ohne irgendeine Rechnung (die nur für uns straight forward ist), 3. auch in allgemeineren Situationen - was ich nun erklären werde. Zugegeben, dass Quotientenbildung mit Produkten vertauscht, ist schon eine Besonderheit (Quotienten sind Kolimites, Produkte sind Limites), aber Quotientenbildung vertauscht in jeder Kategorie mit Koprodukten (die für Gruppen erst in Teil 3 kommen). Koprodukte von abelschen Gruppen sind direkte Summen. Für eine Familie von Untergruppen $U_i \subseteq G_i$ abelscher Gruppen gilt also $\oplus_i (G_i/U_i) \cong \oplus_i G_i / \oplus_i U_i$. Natürlich kann man auch das per Hand nachrechnen. Aber wie sieht das nun etwa aus, wenn man mit Garben abelscher Gruppen auf einem Raum $X$ arbeitet? Dort sind Quotienten über assoziierte Garben der Prägarbenquotienten "definiert" und entsprechendes gilt für unendliche direkte Summen. Muss man nun etwa die explizite Konstruktion der assoziierten Garbe durchgehen und den Isomorphismus $\oplus_i (G_i/U_i) \cong \oplus_i G_i / \oplus_i U_i$ mühselig nachweisen? Das würde eine etwa zwei-seitige Elementschlacht in Anspruch nehmen. Und am Ende ist man auch nicht schlauer und hat nicht den eigentlichen Grund erfahren, warum es funktioniert hat. Wenn man die universellen Eigenschaften benutzt, steht es sofort da. Man sollte die Quotientengarbe tatsächlich nicht über die Elemente bzw. Schnitte definieren, sondern über ihre universelle Eigenschaft, um damit gut arbeiten zu können. Und wenn man noch etwas weiter in der Kategorientheorie ist, dann kann man den Isomorphismus einfach als Korollar aus dem Fakt "Kolimites vertauschen mit Kolimites" sehen und muss gar keinen Gedanken mehr an einen Beweis verschwenden. Ein Freund von mir hat es mal so ausgedrückt: Kategorientheorie zeigt auf, welche Aussagen wirklich und aus welchem Grund trivial sind. @Dune: Sehr schöne Antwort - vor allem die Bemerkung zum Produkt von Schemata gefällt mir. Als Übungsleiter habe ich die Erfahrung gesammelt, dass hier die Studenten sehr große Probleme haben, sich darauf einzustellen. Sie wollen dann mit Elementen rechnen und kommen damit natürlich nicht weit. Das liegt u.A. daran, dass sie in der Algebra nicht richtig vorbereitet worden sind. Übrigens kann man die unterliegende Menge $|X \times_S Y|$ eines Faserproduktes tatsächlich angeben, sie ist $\coprod_{(x,y,s) \in |X| \times_{|S|} |Y|} \mathrm{Spec}(k(x) \otimes_{k(s)} k(y))$. Aber diese Beschreibung ist meistens unbrauchbar - man benutzt eben die universelle Eigenschaft sowie die lokale Berechnung im affinen Fall, um mit dem Faserprodukt zu arbeiten.\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Gockel am: Do. 03. April 2014 20:11:09
\(\begingroup\)und ich möchte auch noch etwas richtig stellen, nämlich zu dieser Stelle hier: \quoteon "Abschnitt 5. Der Homomorphiesatz ist absolut zentral in der Gruppentheorie - er ist nichts weiter als die universelle Eigenschaft der Quotientengruppe." Den Homomorphiesatz muss man, zentral wie er ist, und kann man auch recht leicht verstehen. Die universelle Eigenschaft jedoch wird durch diese Bemerkung zu genau der nutzlosen Banalität abgestempelt, die sie ja ist. \quoteoff Der Homomorphiesatz ist die universelle Eigenschaft des Quotienten. Das ist doch gerade der springende Punkt an dieser Stelle des Artikels, genau deshalb wird es doch erwähnt. Man kann nicht sagen, dass die universelle Eigenschaft banal, aber der Homomorphiesatz super wichtig ist, denn es ist ein- und dasselbe. Die Beschreibung durch eine universelle Eigenschaft hat nur den zusätzlichen Vorteil, als Spezialfall eines allgemeinen und wiederverwendbaren Konzepts (siehe Dunes Ausführungen zu Produkten) aufzutreten. Und genau diesen Vorteil will Martin (u.A.) unterstreichen mit seinen Artikeln. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Fabi am: Do. 03. April 2014 21:16:35
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 10. April 2014 16:14:40
\(\begingroup\)Herr Unendlich: "Ich möchte nur noch etwas zu zwei Dingen sagen:" Und vor dem Rest folglich, kopfschüttelnd und "Ja Mono Epi Iso!" rufend, die Augen verschließen? Dann ist jedes weitere Wort sinnlos und ich kann Ihnen nur noch raten, Gott um Hilfe anzurufen, um auf den Weg der Wahrheit zu gelangen. Herr Duhn: "Solange man sich in seinem Leben ausschließlich mit elementarer Gruppentheorie beschäftigt, ..." Wer das tut, wirft sein Leben weg, würde ich doch sagen. "Es gibt auch Monoide, Ringe, Moduln, topologische/metrische/uniforme Räume und sehr vieles mehr. Von all diesen Objekten kann man ebenfalls Produkte bilden und es gelten die selben Regeln wie oben. Muss man diese jetzt aber wirklich jedes Mal aufs Neue beweisen?" Was soll ich dazu sagen? Es gibt Aprikosen-, Himbeer-, Waldfrucht-, Vanillekrapfen und noch viele mehr. Alle kann man gleichermaßen in Puderzucker wälzen oder mit Zuckerguss glasieren. Kann man glauben oder ausprobieren. Man kann es auch sein lassen. Und man kann es auch einfach wissen. "All diese Produkte erfüllen die gleiche universelle Eigenschaft (überhaupt rechtfertigt das erst den Namen "Produkt") und der Beweis der Kommutativität und Assoziativität kann auf viel höherem Level völlig unabhängig von Algebra oder Topologie geführt werden." Dass dies eine höhere Ebene sei, ist falsch und zudem arrogant. "Hinzu kommt, dass nicht in allen Bereichen der Mathematik Produkte eine einfache Form haben. In der algebraischen Geometrie beschäftigt man sich z.B. mit Schemata und natürlich insbesondere auch mit Produkten von Schemata." Wohl bekomm's! "Angenommen, wir verzichten vollkommen auf universelle Eigenschaften. Was ist dann das Produkt von den drei Gruppen A,B und C?" Die Wahrheit, für die meisten leicht verständlich, ist: Die Klammern sind irrelevant. Um es Ihnen vielleicht halbwegs verständlich zu machen, was das Produkt dieser drei Gruppen ist, müsste ich wohl sagen: Nehmen Sie alle möglichen Klammerungen, setzen Sie jeweils noch um das ganze Produkt eine Klammer herum, multiplizieren Sie an jede Variante von rechts eine einelementige Menge, die jede ein anderes Smilie enthält, also z.B. \left( A\times (B \times C) \right) \times\{ 😛 \} usw., bilden Sie die disjunkte Vereinigung und dann die Faktormenge modulo der Äquivalenzrelation, die Ausdrücke identifiziert, die sich nur um Klammerung und Smilie unterscheiden, um auf dieser Menge dann in naheliegender Weise die Multiplikation zu definieren. Sie brauchen dann möglicherweise mehrere Seiten, um diese Konstruktion aufzuschreiben, Wohldefiniertheit der Multiplikation und Gruppeneigenschaften zu "beweisen". Nun, mein Problem ist das nicht, das der allermeisten Studenten auch nicht. Es wäre anständig, niemandem die Existenz solcher tatsächlich nicht vorhandener Probleme einzureden. \(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Dune am: Fr. 11. April 2014 17:52:00
\(\begingroup\)Alles klar. Danke für's Gespräch. 😁\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: helmetzer am: Di. 13. Mai 2014 14:43:51
\(\begingroup\)Zu Abschnitt 9: Der Verzicht auf die Anordnung und die Idee mit den 2-elementigen Teilmengen von X macht die Sache schon klarer als in vielen anderen Darstellungen; wenn man noch erwähnt, dass sigma diese Teilmengen bijektiv aufeinander abbildet. In Signum nach Fortsetzung finde ich noch ein Haar in der Suppe: Sind nicht mit den ersten drei Produkten schon alle Teilmengen von X genau einmal durchlaufen? Im 3. Produkt steht dann: (sigma(x)-y)/(x-y) und weil sigma Bijektion von T ist kommen oben und untern schließlich die gleichen Faktoren vor, also 1. Es genügt auch, den Fall X = T \union \menge(y) zu betrachten.\(\endgroup\)
 

Re: Konzepte der Gruppentheorie 2
von: Martin_Infinite am: Mi. 14. Mai 2014 00:09:17
\(\begingroup\)@helmetzer: Vielen Dank. Ich habe das korrigiert.\(\endgroup\)
 

 
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