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1. Derivationen

Derivationen algebraisieren das Konzept einer Ableitung. Im folgenden sei stets $k$ ein fixierter kommutativer Grundring. Ferner sei $A$ eine kommutative $k$-Algebra. Derivationen. Es sei $M$ ein $A$-Modul. Eine $k$-Derivation von $A$ nach $M$ ist eine $k$-lineare Abbildung $d\; :\; A\; \backslash to\; M$, die der Leibnizregel $d(ab)=a\; \backslash ,\; d(b)\; +\; b\; \backslash ,\; d(a)$ für alle $a,b\; \backslash in\; A$ genügt. Aus der Leibnizregel folgt leicht $d(1)=0$ und damit $d|\_k\; =\; 0$. Ein typisches Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung von Polynomen $d\; :\; k[x]\; \backslash to\; k[x]$, $f\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; X\}$. Die Menge der $k$-Derivationen von $A$ nach $M$ wird mit $\backslash mathrm\{Der\}\_k(A,M)$ bezeichnet. Tatsächlich ist dies sogar ein $A$-Modul. Alternative Beschreibung. Dazu machen wir den $A$-Modul $A\; \backslash oplus\; M$ zu einer $A$-Algebra, in der $1\; \backslash in\; A$ die Eins wird und $M\; *\; M\; =\; 0$ wird. Das heißt $(a\; +\; m)\; *\; (b\; +\; n)\; =\; ab\; +\; (an+bm)$. Dann ist die Projektion $p\; :\; A\; \backslash oplus\; M\; \backslash to\; A$ ein Homomorphismus von Algebren. Für eine Derivation $d\; :\; A\; \backslash to\; M$ ist nun die Leibnizregel äquivalent zu $(ab\; +\; d(ab))=(a\; +\; d(a))(b\; +\; d(b))$ in $A\; \backslash oplus\; M$. Das bedeutet aber, dass $f\; :\; A\; \backslash to\; A\; \backslash oplus\; M$, $f(a)=a\; +\; d(a)$ ein Homomorphismus von $k$-Algebren ist. Tatsächlich sehen wir: Die $k$-Derivationen $d\; :\; A\; \backslash to\; M$ entsprechen 1:1 den Homomorphismen von $k$-Algebren $f\; :\; A\; \backslash to\; A\; \backslash oplus\; M$ mit $p\; f\; =\; \backslash mathrm\{id\}$, d.h. den Schnitten von $p$. Polynome. Ein wichtiges Beispiel ist der Fall, dass $A=k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]$ eine Polynomalgebra ist. Eine Derivation $d\; :\; A\; \backslash to\; M$ entspricht einem Homomorphismus von $k$-Algebren $f\; :\; A\; \backslash to\; A\; \backslash oplus\; M$ mit $p\; f\; =\; \backslash mathrm\{id\}$. Die universelle Eigenschaft der Polynomalgebra sagt uns, dass $f$ vollständig durch die Bilder $f(X\_i)=a\_i\; +\; m\_i$ bestimmt ist. Weil aber $a\_i=X\_i$ vorgegeben ist, kommt es nur auf die $m\_i$ an. Mit anderen Worten: Für jede Wahl von $m\_i\; \backslash in\; M$ gibt es genau eine $k$-Derivation $d\; :\; k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]\; \backslash to\; M$ mit $d(X\_i)=m\_i$. Die Abbildung $\backslash mathrm\{Der\}\_k(k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n],M)\; \backslash to\; M^n,\; d\; \backslash mapsto\; (d(X\_i))\_i$ ist also bijektiv. Für jedes $m\; \backslash in\; M$ und $i\; \backslash in\; \backslash \{1,\backslash dotsc,n\backslash \}$ ist zum Beispiel $f\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; X\_i\}\; m$ eine $k$-Derivation, welche $X\_i$ auf $m$ und alle anderen $X\_j$ auf $0$ abbildet. Es folgt daher für eine beliebige $k$-Derivation $d$ auf der Polynomalgebra, dass $d(f)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; X\_i\}\; d(X\_i)$. Quotienten. Es sei $I$ ein Ideal von $A$, $M$ ein $A/I$-Modul und $d\; :\; A\; \backslash to\; M$ eine $k$-Derivation. Nach dem Homomorphiesatz lässt sich $d$ zu einer $k$-linearen Abbildung $\backslash overline\{d\}\; :\; A/I\; \backslash to\; M$ fortsetzen genau dann, wenn $d|\_I\; =\; 0$. In diesem Fall ist offenbar $\backslash overline\{d\}$ selbst eine $k$-Derivation. Wir folgern daraus, dass $0\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Der\}\_k(A/I,M)\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Der\}\_k(A,M)\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Hom\}\_k(I,M)$ eine exakte Sequenz von $A/I$-Moduln ist. Arithmetik. Weil in der Leibniz-Regel nicht wirklich die Subtraktion in den Ringen oder Moduln benutzt wird, und auch nicht die Addition der Ringe, kann man die Theorie genauso gut für kommutative Monoide und Moduln darüber aufziehen - was dann Anwendungen in der Zahlentheorie und der "Geometrie über $\backslash mathds\{F\}\_1$" findet. Ein bedeutendes Beispiel ist die arithmetische Ableitung $d\; :\; \backslash mathds\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathds\{N\}$, die durch die Eigenschaft $d(p)=1$ für Primzahlen $p$ und die Leibniz-Regel $d(ab)=a\; \backslash ,\; d(b)\; +\; b\; \backslash ,\; d(a)$ bestimmt ist.

2. Modul der Differentiale

Modul der Differentiale. Der $A$-Modul $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ der Differentiale (1. Ordnung) ist ein $A$-Modul zusammen mit einer $k$-Derivation $d\; :\; A\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{A/k\}$, die im folgenden Sinne universell ist: Für jede $k$-Derivation $D\; :\; A\; \backslash to\; M$ in einen $A$-Modul $M$ gibt es genau einen Homomorphismus von $A$-Moduln $f\; :\; \backslash Omega^1\_\{A/k\}\; \backslash to\; M$ mit $fd\; =\; D$. Mit anderen Worten, die Abbildung $\backslash mathrm\{Hom\}\_A(\backslash Omega^1\_\{A/k\},M)\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Der\}\_k(A,M),\; f\; \backslash mapsto\; fd$ sei bijektiv. Aus dem Yoneda-Lemma folgt, dass dies gleichbedeutend damit ist, dass es einen natürlichen Isomorphismus von Funktoren $\backslash mathrm\{Hom\}\_A(\backslash Omega^1\_\{A/k\},-)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Der\}\_k(A,-)$ von $A$-Moduln nach Mengen (bzw. sogar $A$-Moduln) gibt. Das bedeutet also, dass $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ zusammen mit $d$ eine Darstellung des Funktors $\backslash mathrm\{Der\}\_k(A,-)$ ist. Existenz. Es gibt mindestens fünf Konstruktionen von $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$. Die wohl einfachste konstruiert diesen $A$-Modul einfach durch Erzeuger $d(a)$ (was zunächst nur formale Symbole sind) für $a\; \backslash in\; A$ und den Relationen $d(u)=0$ für $u\; \backslash in\; k$ sowie $d(ab)\; =\; a\; \backslash ,\; d(b)\; +\; b\; \backslash ,\; d(a)$. Dann ist die Abbildung $d\; :\; A\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{A/k\}$ eben nach Konstruktion eine $k$-Derivation - ebenso folgt die universelle Eigenschaft per Konstruktion. Die folgende alternative Konstruktion habe ich gefunden und noch nirgendwo sonst gelesen: Die $k$-lineare Abbildung $A\; \backslash otimes\_k\; A\; \backslash to\; A\; \backslash otimes\_k\; A$, $a\; \backslash otimes\; b\; \backslash mapsto\; ab\; \backslash otimes\; 1\; -\; b\; \backslash otimes\; a\; -\; a\; \backslash otimes\; b$ setzt sich zu einer $A$-linearen Abbildung $(A\; \backslash otimes\_k\; A)\; \backslash otimes\_k\; A\; \backslash to\; A\; \backslash otimes\_k\; A$ fort, wobei $A$ von rechts wirkt. Es sei $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ der Kokern, und $d(a)$ das Bild von $a\; \backslash otimes\; 1$. Dann folgt die universelle Eigenschaft automatisch. Viel wichtiger als die Konstruktion ist aber die Definition, sprich die universelle Eigenschaft von $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$. Beispiel. Es sei $A=k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]$ eine Polynomalgebra. Dann wissen wir $\backslash mathrm\{Der\}\_k(A,M)\; \backslash cong\; M^n\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_A(A^n,M)$. Daraus folgt, dass $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ frei vom Rang $n$ ist mit Basis $d(X\_1),\backslash dotsc,d(X\_n)$. Übrigens liefert das einen schnellen Beweis für $k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]\; \backslash cong\; k[Y\_1,\backslash dotsc,Y\_m]\; \backslash Rightarrow\; n=m$ (falls $k\; \backslash neq\; 0$). Quotienten. Wir lassen das $k$ in der Notation hier einmal weg. Es sei $M$ ein $A/I$-Modul. Wir haben bereits eine exakte Sequenz $0\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Der\}(A/I,M)\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Der\}(A,M)\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Hom\}(I,M)$ konstruiert. Dabei ist $\backslash mathrm\{Der\}(A/I,M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_\{A/I\}(\backslash Omega^1\_\{A/I\},M)$, $\backslash mathrm\{Der\}(A,M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_A(\backslash Omega^1\_A,M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_\{A/I\}(\backslash Omega^1\_A\; \backslash otimes\_A\; A/I,M)$ sowie $\backslash mathrm\{Hom\}(I,M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_\{A/I\}(I\; \backslash otimes\; A/I,M)$. Aus dem Yoneda-Lemma ergibt sich nun eine exakte Sequenz von $A/I$-Moduln $I\; \backslash otimes\; A/I\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_A\; \backslash otimes\_A\; A/I\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{A/I\}\; \backslash to\; 0.$ Dabei geht $i\; \backslash otimes\; 1$ auf $d(i)\; \backslash otimes\; 1$ und $d(a)\; \backslash otimes\; 1$ auf $d(a\; \backslash bmod\; I)$. Das lässt sich nun auch als Isomorphismus $\backslash Omega^1\_\{A/I\}\; =\; \backslash Omega^1\_A\; /\; (I\; \backslash Omega^1\_A,d(I))$ schreiben. Das ermöglicht es, diesen Modul der Differentiale wirklich auszurechnen. Berechnung. Es sei $A$ eine beliebige kommutative $k$-Algebra. Wir nehmen an, dass $A$ endlich-erzeugt ist (lediglich um die Notation zu vereinfachen, der allgemeine Fall geht exakt genauso). Dann ist also $A\; =\; k[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/I$ für ein $n\; \backslash in\; \backslash mathds\{N\}$ und ein Ideal $I$. Aus den vorherigen Ergebnissen folgt, dass $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ der freie $A$-Modul erzeugt von $d(X\_1),\backslash dotsc,d(X\_n)$ modulo den Relationen $d(f)=0$ für $f\; \backslash in\; I$ ist, wobei wir $d(f)$ für ein Polynom $f$ wie oben durch die $d(X\_i)$ ausdrücken. Die Polynome $f\; \backslash in\; I$ mit $d(f)=0$ bilden ohnehin ein Ideal: Weil wir in einem $A/I$-Modul sind, vereinfacht sich die Leibniz-Regel nämlich zu $d(fg)=f\; d(g)$ falls $g\; \backslash in\; I$. Wenn also $I$ als Ideal von gewissen Polynomen $f$ erzeugt wird, so reicht es die Relation $d(f)=0$ zu betrachten. Beispiel. Es sei $A=k[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$. Dann ist $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ frei erzeugt von $d(X),d(Y)$ mit der Relation $2\; X\; d(X)\; +\; 2\; Y\; d(Y)\; =\; 0$. Falls $2=0$ in $k$, ist dies also frei vom Rang $2$. Falls $2\; \backslash in\; k^*$, vereinfacht sich die Relation aber zu $X\; d(X)\; +\; Y\; d(Y)\; =\; 0$. Außerdem folgt $d(X)\; =\; (X^2+Y^2)\; d(X)\; =\; X\; (X\; d(X))\; +\; Y^2\; d(X)\; =\; X\; (-Y\; d(Y))\; +\; Y^2\; d(X)\; =\; Y\; (Y\; d(X)\; -\; X\; d(Y)).$ Analog folgt auch $d(Y)\; =\; X\; (Y\; d(X)\; -\; X\; d(Y)).$ Das bedeutet aber, dass $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ ein freier $A$-Modul vom Rang $1$ ist, und zwar erzeugt von $Y\; d(X)\; -\; X\; d(Y)$. Übrigens, ob entsprechend $\backslash Omega^1\_\{k[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)\}$ frei vom Rang $2$ ist, hängt noch viel mehr von $k$ ab: Für $k=\backslash mathds\{R\}$ ist dies nicht der Fall, das hängt damit zusammen, dass die reelle Sphäre $S^2$ nicht parallelisierbar ist, d.h. das Tangentialbündel nicht trivial ist. Die Komplexifizierung ist es aber. Tatsächächlich ist der Modul für $k=\backslash mathds\{C\}$ frei vom Rang $2$. Das zu sehen ist schon etwas aufwändiger. Mehr dazu gibt es in R. Swans Originalarbeit Vector bundles and projective modules. Glattheit. Das Tangentialbündel einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist lokal trivial und besitzt Rang $n$. Das Analogon in der kommutativen Algebra lautet: Ist $A$ eine kommutative $k$-Algebra, so ist $A$ glatt über $k$ von relativer Dimension $n$ genau dann, wenn $\backslash Omega^1\_\{A/k\}$ lokalfrei vom Rang $n$ ist. Dafür verweise ich etwa auf das Buch Algebraic Geometry and Commutative Algebra von S. Bosch. Zum Beispiel ist $\backslash mathds\{R\}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ glatt von relativer Dimension $1$ über $\backslash mathds\{R\}$ (es entspricht grob dem Kreis $S^1$) und wir haben schon gesehen, dass $\backslash Omega^1$ hier frei vom Rang $1$ ist. Für drei Variablen $\backslash mathds\{R\}[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)$ ist $\backslash Omega^1$ erzeugt von $d(X),d(Y),d(Z)$ mit der Relation $X\; d(X)\; +\; Y\; d(Y)\; +\; Z\; d(Z)\; =\; 0$. Auf der basis-offenen Menge $D(X)$ wird $\backslash Omega^1$ also frei von $d(Y),d(Z)$ erzeugt, analoges passiert auf $D(Y)$ und $D(Z)$. Diese drei Mengen überdecken aber das Spektrum. Also ist $\backslash Omega^1$ lokalfrei vom Rang $2$, aber wie schon erwähnt nicht (global) frei. Der lokale Ring $A=\backslash mathds\{R\}[X]/(X^2)$ ist nicht glatt über $\backslash mathds\{R\}$, und tatsächlich ist $\backslash Omega^1\_\{A/\backslash mathds\{R\}\}$ frei erzeugt von $d(X)$ mit der Relation $X\; d(X)=0$, also isomorph zum $A$-Modul $A/(X)$, welcher nicht frei ist. Ein Spezialfall des Satzes ist übrigens, dass für eine algebraische Körpererweiterung $L/K$ der $L$-Modul $\backslash Omega^1\_\{L/K\}$ genau dann $0$ ist, wenn $L/K$ separabel ist. Differentiale höherer Ordnung. Für $n\; \backslash in\; \backslash mathds\{N\}$ kann man den Modul der Differentiale der Ordnung $n$ einer $k$-Algebra $A$ durch $\backslash Omega^n\_\{A/k\}\; :=\; \backslash Lambda^n\; \backslash Omega^1\_\{A/k\}$ definieren. Hierbei bezeichnet $\backslash Lambda^n$ die $n$-te äußere Potenz. Es gibt eine algebraische Variante des de Rham Komplexes von $k$-linearen Abbildungen $A=\backslash Omega^0\_\{A/k\}\; \backslash xrightarrow\{d^1\}\; \backslash Omega^1\_\{A/k\}\; \backslash xrightarrow\{d^2\}\; \backslash Omega^2\_\{A/k\}\; \backslash xrightarrow\{d^3\}\; \backslash Omega^3\_\{A/k\}\; \backslash to\; \backslash dotsc$ welcher mit der universellen Derivation $d^1=d$ beginnt und zudem einer graduierten Leibniz-Regel genügen muss. Zum Beispiel ist $d^2$ durch $a\; \backslash ,\; d(b)\; \backslash mapsto\; d(a)\; \backslash wedge\; d(b)$ gegeben. Damit lässt sich nun auch algebraische de Rham Kohomologie $H^n\_\{dR\}(A/k)\; :=\; H^n(\backslash Omega^*\_\{A/k\})$ definieren. Für $A=\backslash mathds\{R\}[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)$ etwa kennen wir schon $\backslash Omega^1$, es gilt $\backslash Omega^3=0$ und $\backslash Omega^2$ wird erzeugt von $u\; =\; d(X)\; \backslash wedge\; d(Y)$, $v\; =\; d(Y)\; \backslash wedge\; d(Z)$, $w\; =\; d(Z)\; \backslash wedge\; d(X)$ mit den Relationen $X\; u\; =\; Z\; v$, $X\; w\; =\; Y\; v$, $Y\; u\; =\; Z\; w$ (wie man leicht durch Wedgen der Relation $X\; \backslash ,\; d(X)\; +\; Y\; \backslash ,\; d(Y)\; +\; Z\; \backslash ,\; d(Z)=0$ mit $d(X),d(Y),d(Z)$ sieht). Es folgt $u\; =\; (X^2+Y^2+Z^2)u\; =\; XZv\; +\; YZw\; +\; Z^2\; u\; =\; Z\; \backslash omega$ mit $\backslash omega\; =\; Xv\; +\; Yw\; +\; Zu$. Daher ist $\backslash Omega^2$ frei erzeugt von $\backslash omega$. Wie sieht die de Rham Kohomologie hier aus?

3. Modulgarbe der Differentiale

Nun übertragen wir Derivationen und Differentiale in die algebraische Geometrie - die ich an dieser Stelle voraussetze. Globale Derivationen. Es sei $f\; :\; X\; \backslash to\; S$ ein Morphismus von geringten Räumen. Für einen $\backslash mathcal\{O\}\_X$-Modul $M$ nennen wir einen Homomorphismus $d\; :\; \backslash mathcal\{O\}\_X\; \backslash to\; M$ von abelschen Garben eine $\backslash mathcal\{O\}\_S$-Derivation, wenn für alle offenen Mengen $W\; \backslash subseteq\; S$ und alle offenen Mengen $U\; \backslash subseteq\; f^\{-1\}(W)$ der Homomorphismus $d(U)\; :\; \backslash mathcal\{O\}\_X(U)\; \backslash to\; M(U)$ eine Derivation bezüglich $f^\backslash \#\; :\; \backslash mathcal\{O\}\_S(W)\; \backslash to\; \backslash mathcal\{O\}\_X(U)$ ist. Die Menge der $\backslash mathcal\{O\}\_S$-Derivationen bezeichnen wir mit $\backslash mathrm\{Der\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_S\}(\backslash mathcal\{O\}\_X,M)$. Wir erhalten einen Funktor $\backslash mathrm\{Der\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_S\}(\backslash mathcal\{O\}\_X,-)$. Eine Darstellung dieses Funktors bezeichnen wir mit $\backslash Omega^1\_\{X/S\}.$ Beachte dass diese Definitionen mit den vorherigen für Ringen übereinstimmen, wenn wir uns auf geringte Räume auf einelementigen Räumen einschränken. Existenz. Tatsächlich existiert $\backslash Omega^1\_\{X/S\}$. Man betrachte den Kolimes $\backslash Omega\text{'}^1\_\{X/S\}(U)\; :=\; \backslash mathrm\{colim\}\_\{\backslash ,\backslash substack\{\; W\; \backslash subseteq\; S\; \backslash text\{~offen~\}\; \backslash \backslash \; U\; \backslash subseteq\; f^\{-1\}(W)\; \}\}\; \backslash Omega^1\_\{\backslash mathcal\{O\}\_X(U)\; /\; \backslash mathcal\{O\}\_S(W)\}.$ Dies definiert eine $\backslash mathcal\{O\}\_X$-Modul-Prägarbe $\backslash Omega\text{'}^1\_\{X/S\}$. Nun sei $\backslash Omega^1\_\{X/S\}$ die assoziierte $\backslash mathcal\{O\}\_X$-Modulgarbe. Dann ist die universelle Eigenschaft offenbar erfüllt. Quasikohärenz. Falls $f\; :\; X\; \backslash to\; S$ sogar ein Morphismus von Schemata ist, so ist $\backslash Omega^1\_\{X/S\}$ sogar quasikohärent: Wir können uns auf den affinen Fall $X=\backslash mathrm\{Spec\}(A)$, $S=\backslash mathrm\{Spec\}(k)$ einschränken und müssen zeigen, dass $\backslash widetilde\{\backslash Omega^1\_\{A/k\}\}\; =\; \backslash Omega^1\_\{\backslash mathrm\{Spec\}(A)/\backslash mathrm\{Spec\}(k)\}$ für kommutative $k$-Algebren $A$. Für einen $\backslash mathcal\{O\}\_\{X\}$-Modul $M$ gilt nun aber $\backslash mathrm\{Hom\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_\{X\}\}(\backslash widetilde\{\backslash Omega^1\_\{A/k\}\},M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_A(\backslash Omega^1\_\{A/k\},M(X))\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Der\}\_k(A,M(X))$ sowie $\backslash mathrm\{Hom\}(\backslash Omega^1\_\{\backslash mathrm\{Spec\}(A)/\backslash mathrm\{Spec\}(k)\},M)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Der\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_S\}(\backslash mathcal\{O\}\_X,M).$ Wir müssen also zeigen, dass sich jede $k$-Derivation $d\; :\; A\; \backslash to\; M(X)$ eindeutig zu einer $\backslash mathcal\{O\}\_S$-Derivation $\backslash delta\; :\; \backslash mathcal\{O\}\_X\; \backslash to\; M$ ausdehnt (d.h. $d=\backslash delta(X)$). Für $f\; \backslash in\; A$ haben wir eine $k$-Derivation $d|\_\{D(f)\}\; :\; A\; \backslash to\; M(D(f))$. Dabei ist $M(D(f))$ eigentlich ein $A\_f$-Modul. Nach der "Quotientenregel" setzt sich diese Derivation eindeutig fort zu einer $k$-Derivation $A\_f\; \backslash to\; M(D(f))$. Dies dient nun als Definition von $\backslash delta(D(f))$. Im allgemeinen Fall verkleben wir und nutzen auf den Durchschnitten $D(f)\; \backslash cap\; D(g)$ die Eindeutigkeit, um die Kompatibilität zu gewährleisten. Tangentialbündel. Das Tangentialbündel eines Morphismus von Schemata $f\; :\; X\; \backslash to\; S$ ist durch $T(X/S)\; :=\; \backslash mathrm\{Spec\}\_X(\backslash mathrm\{Sym\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_X\}(\backslash Omega^1\_\{X/S\}))$ definiert. Dies ist also ein $X$-Schema. Wenn $X/S$ glatt von relativer Dimension $n$ ist, dann ist $T(X/S)$ tatsächlich lokal isomorph zu $\backslash mathds\{A\}^n\_S$. Universelle Eigenschaft. Für alle $p\; :\; Y\; \backslash to\; X$ gilt $\backslash mathrm\{Hom\}\_X(Y,T(X/S))\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_\{\backslash mathrm\{Alg\}(\backslash mathcal\{O\}\_X)\}(\backslash mathrm\{Sym\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_X\}(\backslash Omega^1\_\{X/S\}),p\_*\; \backslash mathcal\{O\}\_Y)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Der\}\_\{\backslash mathcal\{O\}\_S\}(\backslash mathcal\{O\}\_X,p\_*\; \backslash mathcal\{O\}\_Y).$ Das kann nun aber mit der Menge der $\backslash mathcal\{O\}\_S$-Algebren-Homomorphismen $\backslash mathcal\{O\}\_X\; \backslash to\; p\_*\; \backslash mathcal\{O\}\_Y[\backslash varepsilon]/(\backslash varepsilon^2)$ identifiziert werden, die modulo $\backslash varepsilon$ gleich $p^\backslash \#$ sind. Man erhält daraus leicht für alle $q\; :\; Y\; \backslash to\; S$: $\backslash mathrm\{Hom\}\_S(Y,T(X/S))\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Hom\}\_S(Y[\backslash varepsilon],X).$ Dabei ist $Y[\backslash varepsilon]\; :=\; Y\; \backslash otimes\_\{\backslash mathds\{Z\}\}\; \backslash mathds\{Z\}[\backslash varepsilon]/\backslash varepsilon^2$ die Aufdickung von $Y$. Wir erhalten also eine sehr prägnante kategorielle Charakterisierung des Tangentialbündels: Das Tangentialbündel ist rechtsadjungiert zur Aufdickung. Wenn man hier $\backslash mathds\{Z\}[\backslash varepsilon]/\backslash varepsilon^2$ durch andere Algebren ersetzen möchte, kommt man direkt zur Theorie der Weil-Restriktion. Vergleich zu Mannigfaltigkeiten. Interessanterweise funktioniert die obige Definition des Tangentialbündels aber sogar für beliebige lokalgeringte Räume. Wenden wir das nun an auf $S=\backslash mathds\{R\}$ (als Punkt) und eine reelle Mannigfaltigkeit $X$ (zusammen mit ihrer Garbe $\backslash mathcal\{O\}\_X$ glatter Funktionen), so sollte sich für $T(X/\backslash mathds\{R\})$ nach Übergang zu $\backslash mathds\{R\}$-wertigen Punkten (also insb. von $\backslash mathds\{A\}^n\_\{\backslash mathds\{R\}\}$ nach $\backslash mathds\{R\}^n$) das bereits bekannte Tangentialbündel von $X$ ergeben. Dazu muss man i.W. nur einsehen, dass für $X=\backslash mathds\{R\}^n$ der "algebraische" $\backslash mathcal\{O\}\_X$-Modul $\backslash Omega^1\_\{X/\backslash mathds\{R\}\}$ tatsächlich auch frei vom Rang $n$ ist, bzw. dass für jede $\backslash mathcal\{O\}\_X$-Derivation $d\; :\; \backslash mathcal\{O\}\_X\; \backslash to\; M$ bereits $d(f)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash cdot\; d(x\_i)$ gilt. Dazu kann man den gewöhnlichen Beweis von $\backslash dim\; T\_p(\; \backslash mathds\{R\}^n\; )=n$ übernehmen (siehe etwa Theorem 1.17 in Warner, Foundations of Differential Manifolds and Lie groups).