Stern Physik: Rollwiderstand von Fahrradreifen
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Physik

\(\begingroup\) Hallo lieber Mathe-Planet, ich möchte gerne einen Artikel über ein Thema beisteuern, das alltäglich, um nicht zu sagen banal erscheint, nämlich den Rollwiderstand, hier speziell an Fahrradreifen. Was gibt es schon groß über den Rollwiderstand zu sagen? Ist das nicht simpel? Reibkraft ist gleich Normalkraft mal irgendein Koeffizient, den ich in irgendeiner Tabelle oder bei Wikipedia nachschlage? Tatsächlich wird in den Vorlesungen zur technischen Mechanik wenig ausführlich über dieses Thema referiert. Möglicherweise auch zurecht, denn selbst mir als Maschinenbau-Ingenieur passiert es selten bis nie, dass ich mich mit dem Thema Rollwiderstand auseinandersetzen muss. Aber als Rennradfahrer hat mich schon immer interessiert, wie es sich mit dem Rollwiderstand eigentlich genau verhält.
  • Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich statt mit 8bar Reifendruck nur mit 6 oder 4bar fahre?
  • Welcher Reifen rollt besser, der schmale oder der breite?
  • Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich 20kg Gepäck mitnehme (ganz zu schweigen von meinem mentalen Widerstand)?
  • Was führt überhaupt zu den Verlusten, wo doch die Aufstandsfläche eigentlich symmetrisch ist und die Kräfte vektoriell addiert demnach null ergeben müssten? Und Haftreibung führt ja schon mangels Bewegung per Definition nicht zu Reibverlusten? Dieser Artikel richtet sich also an diejenigen, die über den Vorlesungsstoff aus "Technische Mechanik I" hinaus verstehen wollen, wie der Rollwiderstand an einem Luftreifen funktioniert. Und natürlich auch an die mathematikinteressierten Radfahrer, die einfach auch mal anhand von Formeln sehen wollen, was sie eigentlich schon immer wussten... Ziel dieses Artikels ist es, eine Formel für den Rollwiderstandskoeffizienten zu entwickeln und grundlegende Zusammenhänge darzustellen ("was ist proportional wozu?") und einer einfachen Berechnung, im Idealfall mit dem Taschenrechner, zugänglich zu machen.

  • 1. Grundlegende Annahmen

    Um die Berechnungen überhaupt durchführen zu können, sind einige Vereinfachungen und Abstraktionen notwendig, denn ein Luftreifen, ob nun vom Fahrrad, Motorrad, Schubkarre etc., ist ein relativ komplexes Gebilde, auch wenn es auf den ersten Blick nicht danach aussieht. Folgende Annahmen werden dafür für die nachfolgenden Berechnungen getroffen:
  • Die Reifenwand habe die Dicke null.
  • Die Reifenwand ist zwar frei biegsam, aber nicht stauch- oder streckbar.
  • Die Verformung des Reifens erfolgt ausschließlich in radialer Richtung oder quer dazu, nicht jedoch in tangentialer, also "Fahrt"-Richtung. Mit anderen Worten: die Reifenquerschnitte bleiben eben. Die gleiche Annahme wird übrigens auch bei der Berechnung der Balkenbiegung getroffen.
  • Entweder haben wir einen Schlauchreifen vorliegen oder der Schlauch an sich wird ebenfalls mit der Dicke null versehen. Jedenfalls ist er nicht präsent. (Einige Hersteller behaupten, dass das Schlauchmaterial einen Einfluss auf den Rollwiderstand haben soll. Ich halte das für zweifelhaft, bis mir jemand entsprechende Messprotokolle zeigt).
  • Walkarbeit innerhalb der Reifenwand wird vernachlässigt. Er hat ja schließlich die Dicke null, was soll da also groß walken. Folgende Eingangsgrößen sind für die nachfolgenden Berechnungen notwendig:
  • Der Felgendurchmesser bzw. der Radius R_F bis zu dem Punkt, wo der Reifen an der Felge fixiert ist.
  • Die Felgenbreite 2b von Felgenhorn links zu Felgenhorn rechts.
  • Die Reifenbreite 2r_R, die für ein Rennrad zwischen 22 und 25mm beträgt, wobei 23mm am weitesten verbreitet sind. Die Definition der Felgenbreite als 2b erfolgt hier unter praktischen Gesichtspunkten, um in den vielen Gleichungen nicht immer den Faktor 1/2 mitschleppen zu müssen. Die Abplattung e, also das Maß dafür, wie stark der Reifen am Aufstandspunkt radial eingedrückt wird, ist hier gewissermaßen die Variable. Die gesuchten Größen, also die Aufstandsfläche und vorrangig der Rollwiderstandskoeffizient, sind letztlich von dieser Größe abhängig.

    2. Allgemeines zur Berechnung der Aufstandsfläche und des Rollwiderstandes

    Die Aufstandsfläche des Luftreifens ist diejenige Fläche, mit der der Reifen die Ebene, auf der er steht oder rollt, berührt. Es entspricht der Alltagserfahrung, dass diese Fläche um so größer wird, je größer auch die auf den Reifen wirkende Last ist. Der Zusammenhang ist relativ simpel: Die Aufstandsfläche multipliziert mit dem Überdruck des Reifens ergibt die auf den Reifen wirkende Normalkraft: F_N=p \cdot A (2.1) \displaystyle A=\frac{F_N}{p} Für die Coulombsche Reibung wird im allgemeinen angesetzt: (2.2) \displaystyle F_r=\mu \cdot F_N Dabei wird üblicherweise zwischen Haftreibung und Gleitreibung unterschieden. Beide werden durch zwei unterschiedliche Werte für \mu dargestellt, wobei der Haftreibungskoeffizient immer größer ist als der Gleitreibungskoeffizient. Diese Tatsache dürfte den meisten Lesern bekannt sein. Beim Rollwiderstand am Luftreifen wird es jedoch schon etwas schwieriger. Man betrachte dazu nachfolgendes Bild eines rollenden Rades:
    Der Radius R_{eff} ist der effektive Rollradius des Reifens, also jener, über den der Reifen wirklich abrollt (strichpunktiert dargestellt), während der unbelastete Reifen eigentlich einen größeren Radius aufweist. Es ist die Abplattung, die den Rollradius gegenüber dem unbelasteten Reifen verringert. Betrachten wir nun irgendeinen Punkt x vor dem Lot des momentanen Drehpunktes, so ist der Reifen hier radial zum Punkt "C" hin zusammengedrückt worden. Das gleiche gilt ein Stückchen weiter vorne am Punkt x+\text{d}x, der zum Punkt "D" hingedrückt wurde. Zwischen diesen beiden Punkten liegt der Drehwinkel \text{d}\phi. Wenn also der Reifen um diesen Drehwinkel weiterrollt, wandert relativ betrachtet der Punkt "D" zum Punkt "C". Der Reifen rollt aber effektiv nur um die Länge des Bogens "AB" weiter. Da die Länge der Strecke CD nicht gleich der Länge des Bogens AB ist, muss der Reifen an diesem Punkt die Differenz der beiden Längen rutschen, was zu einer Reibungsverlustleistung führt. Die zu rutschende Strecke ist dann: \displaystyle \text{d}s=\text{d}x-R_{eff}\text{d}\phi Außerdem ist (2.3) \displaystyle x=R_{eff}\tan\phi \displaystyle \text{d}x=R_{eff}\left(\tan^2\phi+1\right)\text{d}\phi woraus sich folgern lässt: \displaystyle \text{d}s=R_{eff}\tan^2\phi\ \text{d}\phi und mit Gleichung 2.3: (2.4) \displaystyle \text{d}s=\frac{x^2}{R_{eff}}\text{d}\phi Damit ist zumindest schon einmal klar, dass von Haftreibung keine Rede sein kann. Jedes kleine Flächenelement, das die Straße berührt, rutscht eigentlich permanent, außer für einen (unendlich) kurzen Moment, wo es sich exakt senkrecht unter der Drehachse des Reifens befindet, wenn nämlich x=0 ist! Teilen wir nun durch \text{d}t, so erhalten wir die lokale Reibgeschwindigkeit v_r, die die Geschwindigkeit darstellt, mit dem der entsprechende Punkt der Aufstandsfläche rutscht: \displaystyle v_r=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{x^2}{R_{eff}}\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t} Der Ausdruck \frac{\text{d}\phi}{\text{d}t} ist gleich der Kreisfrequenz des rollenden Reifens, so dass man auch setzen kann: \displaystyle \frac{\text{d}\phi}{\text{d}t}=\frac{v}{R_{eff}} Dabei ist v die lineare Rollgeschwindigkeit des Reifens. Daraus folgt: (2.5) \displaystyle v_r=\frac{x^2}{R_{eff}^2}v Die Verlustleistung beim Rollen ist für jedes infinitesimal kleine Flächenelement aufzuaddieren über die gesamte Aufstandsfläche. Für jedes Flächenelement gilt mit den Gleichungen 2.1 und 2.2: \displaystyle \text{d}F_r=\mu p\ \text{d}A Die Reibungsverlustleistung an jedem Flächenelement ist daher: \displaystyle \text{d}P_r=v_r\ \text{d}F_r=\frac{x^2}{R_{eff}^2}v\mu p\ \text{d}A Diese Gleichung müssen wir nun über die gesamte Aufstandsfläche A integrieren. R_{eff}, v, p und \mu sind unveränderliche Konstanten, so dass als Gesamtreibleistung folgt: \displaystyle P_r=\frac{v\mu p}{R_{eff}^2}\int_{A} x^2\ \text{d}A Teile ich diese Gleichung durch v, so erhalte ich letztlich die für den Radfahrer spürbare Rollwiderstandskraft F_r: (2.6) \displaystyle F_r=\frac{\mu p}{R_{eff}^2}\int_{A} x^2\ \text{d}A In Anlehnung an Gleichung 2.2 definieren wir den Rollwiderstandskoeffizienten \mu_r: \displaystyle \mu_r=\frac{F_r}{F_N} und mit Gleichung 2.1 können wir letztlich p eliminieren: \displaystyle \mu_r=\frac{ \mu}{AR_{eff}^2}\int_{A} x^2\ \text{d}A (2.7) \displaystyle \frac{\mu_r}{\mu}=\frac{1}{AR_{eff}^2}\int_{A} x^2\ \text{d}A Das Integral in dieser Formel stellt das axiale Flächenträgheitsmoment der Aufstandsfläche bezüglich der zur Drehachse parallelen Symmetrieachse der Fläche dar. Es zeigt sich außerdem, dass der Quotient aus dem Rollwiderstandskoeffizienten und dem Gleitreibungskoeffizienten nur auf geometrische Größen des Reifens zurückzuführen ist. Gleichung 2.7 bedeutet daher auch, dass der Rollwiderstand des Reifens um so größer ist, je größer der Gleitreibungskoeffizient ist. Kein Vorteil ohne Nachteil: während ein hoher Gleitreibungskoeffizient gut ist für den Seitenhalt in engen Kurven, wirkt er sich beim Rollwiderstand nachteilig aus. Einen Tod kann man nur sterben. Wenn im weiteren Verlauf dieses Artikels vom Rollwiderstandskoeffizienten geredet wird, dann ist eigentlich der Quotient aus Rollwiderstandskoeffizient und Gleitreibungskoeffizient gemeint. Das ist mir aber a) zu zungenbrecherisch und b) kann man für Gummi auf trockener Straße ohnehin etwa \mu=1 ansetzen. Um nun über A zu integrieren, muss die "Grenzkurve", die die Aufstandsfläche umrandet, hergeleitet werden. Siehe dazu folgende Skizze:
    Sobald diese Kurve bekannt ist, berechnet man die Aufstandsfläche und den Rollwiderstandskoeffizienten wie folgt: (2.8) \displaystyle A= 4\int_{0}^{x_{max}}y\ \text{d}x oder \displaystyle A= 4\int_{0}^{y_{max}}x\ \text{d}y (Beide Versionen sind in diesem speziellen Fall gleichwertig.) Für den Rollwiderstandskoeffizienten gilt dementsprechend nach Gleichung 2.7: \displaystyle \frac{\mu_r}{\mu}=\frac{4}{AR_{eff}^2}\int_{0}^{y_{max}} \int_{0}^{x} \xi^2\ \text{d}\xi\text{d}y \displaystyle \frac{\mu_r}{\mu}=\frac{4}{AR_{eff}^2}\int_{0}^{y_{max}} \frac{1}{3} x^3\ \text{d}y (2.9) \displaystyle \frac{\mu_r}{\mu}=\frac{4}{3AR_{eff}^2}\int_{0}^{y_{max}} x^3\ \text{d}y

    3. Berechnung der Aufstandsflächen-Grenzkurve

    Um die Aufstandsfläche und den Rollwiderstandskoeffizienten mit Gleichung 2.7 zu berechnen, müssen zunächst noch einige grundlegenden Variablen definiert werden. Dazu betrachte man das folgende Bild. Der effektive Rollradius R_{eff} ist um den Betrag e, der die Abplattung des Reifens darstellt, kleiner als der Außenradius des Reifens, der sich wiederum als Summe aus dem Felgenradius R_F und der unbelasteten Reifenhöhe h_0 ergibt. An einem beliebigen Punkt x innerhalb der Abplattung hat der Reifen lokal die Höhe h:
    Es gelten folgende Beziehungen: \displaystyle R_{eff}^2+x^2=(R_F+h)^2 \displaystyle R_{eff}=R_F+h_0-e (3.1) \displaystyle x=\sqrt{(R_F+h)^2-(R_F+h_0-e)^2} Betrachten wir nun zunächst den unbelasteten Reifenquerschnitt. Da der Reifen ja unter Innendruck steht, wird er im Querschnitt zu einem Kreis aufgeblasen, beziehungsweise als Ganzes betrachtet natürlich zu einem Torus:
    Dargestellt ist nur die Hälfte eines Reifens. Dementsprechend ist b die halbe Felgenbreite, und r_R die halbe Reifenbreite. l_0 (blau dargestellt) stellt den eigentlichen Reifen im Querschnitt dar. h_0 ist wie schon im vorigen Bild die unbelastete Reifenhöhe. Diese ergibt sich unter der Annahme, dass der Reifen unter dem Innendruck zu einem Kreis aufgeblasen wird. Der Berührpunkt zwischen Reifen und Felgenhorn stellt dabei einen Fixpunkt dar. Es gelten folgende Beziehungen: \displaystyle \frac{b}{r_R}=\sin(\pi-\alpha_0) \displaystyle \alpha_0=\pi-\arcsin\left(\frac{b}{r_R}\right) \displaystyle l_0=r_R \alpha_0 \displaystyle l_0=r_R \left(\pi-\arcsin\left(\frac{b}{r_R}\right)\right) \displaystyle h_0=r_R+\sqrt{r_R^2-b^2} Betrachten wir als nächstes einen Querschnitt irgendwo in der Belastungszone. Der Reifen rollt gewissermaßen von innen nach außen in die Breite ab. Dabei entsteht die Aufstandsfläche mit der halben Breite y, an die sich die freie Reifenwand kreisförmig anschließt, da der Innendruck nach wie vor versucht, das größtmögliche Volumen, bzw. hier natürlich die größtmögliche Querschnittsfläche einzunehmen.
    Wir nehmen nun an, dass die Gesamtlänge y+l konstant bleibt und der Bogenlänge l_0 entspricht: \displaystyle y+r\alpha=l_0 Außerdem gilt: (3.2) \displaystyle b-y=r\sin(\pi-\alpha)=r\sin\alpha \displaystyle y+\frac{b-y}{\sin\alpha}\alpha=l_0 \displaystyle y-b+\frac{b-y}{\sin\alpha}\alpha=l_0-b \displaystyle (b-y)\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}-1 \right)=l_0-b (3.3) \displaystyle y=b-(l_0-b)\frac{\sin\alpha}{\alpha-\sin\alpha} Aus dieser Gleichung und Gleichung 3.2 folgt unmittelbar: (3.4) \displaystyle r=\frac{b-y}{\sin\alpha}=\frac{l_0-b}{\alpha-\sin\alpha} Eine Gleichung für h kann ebenfalls direkt aus dem Bild abgeleitet werden: \displaystyle h-r=r\cos(\pi-\alpha)=-r\cos\alpha \displaystyle h=r(1-\cos\alpha) Und mit Gleichung 3.4: (3.5) \displaystyle h=(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha} Setzen wir Gleichung 3.5 nun in 3.1 ein, so erhält man: (3.6) \displaystyle x=\sqrt{\left(R_F+(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha}\right)^2-(R_F+h_0-e)^2} Wir haben nun mit Gleichung 3.3 und 3.6 eine Parameterdarstellung für die Ortskurve P(x,y), die die Aufstandsfläche umrandet. Es wird allerdings auch unmittelbar deutlich, dass keine der beiden Gleichungen nach \alpha aufgelöst werden kann. Eine einfache Darstellung y(x) oder x(y) ist also nicht möglich. Trotzdem kann man zum Beispiel mit Excel die Aufstandsfläche grafisch darstellen. Die folgende Grafik zeigt maßstäblich die Aufstandsfläche, sozusagen ein Viertel eines Fußabdrucks, für einen 28"-Rennradreifen mit einer Breite von 23mm:
    Wie man sieht, ist die Aufstandsfläche nicht etwa elliptisch, wie das zum Beispiel der Fall wäre, wenn der Reifen ein solider Körper wäre, sondern eher linsenförmig, wobei zumindest für relativ kleine Abplattungen die Kurve annähernd parabelförmig aussieht. Außerdem stellt man fest, dass die Aufstandsfläche für sehr große Abplattungen e=20 in der Mitte wieder schmaler wird, was zunächst unlogisch erscheint. Betrachtet man jedoch noch einmal den Querschnitt, so folgt der "Grenzpunkt" y einer spiralförmigen Ortskurve, die in folgender Animation blau dargestellt wird. Der Grenzpunkt bewegt sich für große Abplattungen wieder nach innen zum Felgenhorn hin:
    Man erkennt auch, dass für sehr große Abplattungen der "freie" Teil des Reifens quasi in das Felgeninnere eindringt, was in der Realität natürlich nicht möglich ist, da dort die Bremsflanke eine undurchdringliche Barriere bildet. Überschreitet also die Tangente an der Felge die Vertikale, das heißt wird der Winkel \alpha>\frac{3}{2}\pi, machen die Gleichungen keinen (praktischen) Sinn mehr. Allerdings sollte das besser auch keinen realen Betriebszustand darstellen...

    4. Berechnung der Aufstandsfläche und des Rollwiderstandskoeffizienten

    Mit den Gleichungen 3.3 und 3.6 ist die Grenzkurve der Aufstandsfläche in Parameterdarstellung definiert, und zwar über den Winkel \alpha. Für die Aufstandsfläche gilt laut Gleichung 2.8: \displaystyle A=4\int_{0}^{y_{max}} {x\text{ d}y} beziehungsweise unter Anwendung der Substitutionsregel (4.1) \displaystyle A=4\int_{\alpha_0}^{\alpha_{max}} {x\frac{\text{d}y}{\text{d}\alpha}\text{ d}\alpha} Wir müssen daher zunächst mit Gleichung 3.3 die Ableitung von y nach \alpha berechnen: \displaystyle y=b-(l_0-b)\frac{\sin\alpha}{\alpha-\sin\alpha} \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}\alpha}=-(l_0-b)\frac{\cos\alpha(\alpha-\sin\alpha)-\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{(\alpha-\sin\alpha)^2} (4.2) \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}\alpha}=(l_0-b)\frac{\sin\alpha-\alpha\cos\alpha}{(\alpha-\sin\alpha)^2} Setzt man nun diese Gleichung und 3.6 in 4.1 ein, so erhält man: (4.3) \displaystyle A=4(l_0-b)\int_{\alpha_0}^{\alpha_{max}} {\frac{\sin\alpha-\alpha\cos\alpha}{(\alpha-\sin\alpha)^2}\sqrt{\left(R_F+(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha}\right)^2-(R_F+h_0-e)^2}\text{ d}\alpha} Für den Rollwiderstandskoeffizienten ergibt sich mit Gleichung 2.9 in analoger Weise: (4.4) \displaystyle \frac{\mu_e}{\mu}=\frac{4(l_0-b)}{3AR_{eff}^2}\int_{\alpha_0}^{\alpha_{max}} {\frac{\sin\alpha-\alpha\cos\alpha}{(\alpha-\sin\alpha)^2}\sqrt{\left(R_F+(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha}\right)^2-(R_F+h_0-e)^2}^3\text{ d}\alpha} Bei beiden Integralen ist \alpha_{max} der Winkel bei x=0, den man berechnen kann mit Hilfe von Gleichung 3.5, wenn man h=h_0-e setzt, da dort ja die Reifenhöhe eben um die Abplattung e komprimiert wurde: (4.5) \displaystyle \frac{h_0-e}{l_0-b}=\frac{1-\cos\alpha_{max}}{\alpha_{max}-\sin\alpha_{max}} Sowohl die Integrale in Gleichung 4.3 und 4.4 als auch \alpha_{max} können nicht explizit berechnet werden. Man muss also zunächst Gleichung 4.5 durch ein Näherungsverfahren a la Newton lösen, um den Wert dann in ein Integral einzusetzen, das man mit Näherungsverfahren wie zum Beispiel der Simpsonregel oder komplizierteren Verfahren approximiert. Vorerst also wenig Hoffnung auf eine taschenrechnertaugliche Lösung. Zumindest in dieser Form muss eine Programmiersprache oder ein Computeralgebrasystem wie Mathematica etc. zu Hilfe genommen werden. Mit solcher Hilfe ausgestattet können wir hier schon einmal die genauen Ergebnisse begutachten. Angenommene Maße waren: R_F=315\text{mm} b=9,5\text{mm} r_R=12,5\text{mm} 1. Aufstandsfläche A aufgetragen über Abplattung e
    2. Rollwiderstandskoeffizient \frac{\mu_r}{\mu} aufgetragen über Abplattung e
    3. Rollwiderstandskoeffizient \frac{\mu_r}{\mu} aufgetragen über Aufstandsfläche A
    Anmerkung: Obwohl es sich um einen "23er"-Reifen handelt, habe ich 12,5mm für die halbe Breite angenommen beziehungsweise annehmen müssen, weil es de facto der am echten Reifen gemessenen Breite entspricht. Sehr erfreulich ist die Tatsache, dass sich für eine typische Abplattung von 4mm ein Rollwiderstandskoeffizient von 0,005 ergibt, denn das deckt sich mit den Größenordnungen, die man im Internet zu dem Thema finden kann, was ich mal als "praktische" Bestätigung für diese Herleitung interpretiere.

    5. Entwicklung einer Näherungslösung

    Das dritte Diagramm ist der Kern dieses ganzen Artikels, denn mit diesem und der Gleichung 2.1 kann man direkt den Rollwiderstandskoeffizienten berechnen/ablesen, wenn die geometrischen Reifengrößen sowie der Reifendruck und die vertikale Last auf den Reifen als bekannt angenommen werden können. Dieses Diagramm oben gilt aber leider nur für die Reifengröße, wie ich sie angegeben habe, also 28-Zoll Reifen, 25mm breit (gemessen, 23mm offizielle Reifengröße), Felgenbreite 19mm. Das Ziel dieses Kapitels ist es also, eine möglichst gute und allgemeingültige Näherung für die dort aufgetragene Kurve zu finden. Die weiteren Schritte sind daher wie folgt: a) Entwickeln einer Näherung für A als Funktion von e. b) Entwickeln einer Näherung für \mu_r/\mu als Funktion von e. c) Finden der Umkehrfunktion dieser Näherung, so dass e als Funktion von A darstellbar ist. Dann erst können wir die Funktion e(A) in die Funktion \mu_r(e)/\mu einsetzen, um damit \mu_r(A)/\mu zu erhalten. Will man eine Näherungslösung der Funktion A(e) entwickeln, muss man x und y direkt als Funktionen der "lokalen" Abplattung \epsilon darstellen, um damit den Winkel \alpha als Integrationsvariable in Gleichungen 2.8 und 2.9 zu substituieren. Gleichung 4.5 lässt sich insofern verallgemeinern, dass ich h=h_0-\epsilon setze, wobei \epsilon die besagte lokale Abplattung in jedem beliebigen Querschnitt darstellt: \displaystyle \frac{h_0-\epsilon}{l_0-b}=\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha} (5.1) \displaystyle \epsilon=h_0-(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha} Bei x=0 ist also \epsilon=e und im unbelasteten Querschnitt ist \epsilon=0. Führt man als Abkürzung den Außenradius R_a=R_F+h_0 ein, wird Gleichung 3.6 zu: \displaystyle x=\sqrt{(R_a-\epsilon)^2-(R_a-e)^2} Diese Gleichung kann man ausmultiplizieren und wie folgt darstellen: \displaystyle x=\sqrt{(e-\epsilon)(2R_a-e-\epsilon)} \displaystyle x=\sqrt{2R_a}\sqrt{(e-\epsilon)}\sqrt{1-\frac{e+\epsilon}{2R_a}} Wir machen uns für die dritte der Wurzeln folgende Näherung zunutze, da e und \epsilon beide und daher auch in Summe sehr klein sind im Verhältnis zum Außenradius des Reifens: \displaystyle \sqrt{1-\frac{e+\epsilon}{2R_a}}\approx 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{e+\epsilon}{2R_a} und somit: (5.2) \displaystyle x\approx \sqrt{2R_a}\sqrt{(e-\epsilon)}\left(1-\frac{e+\epsilon}{4R_a}\right) Bei der Variablen y wird das ganze schon schwieriger. Wir müssten die Gleichung 5.1 nach \alpha auflösen, was nicht geht, und das dann in Gleichung 3.3 einsetzen, um y(\epsilon) zu erhalten. Da wir aber sowieso nur eine Näherungslösung berechnen wollen, vereinfachen wir das ganze durch den Ansatz (5.3) \displaystyle y\approx y_0^{(\epsilon)}\epsilon+\frac{1}{2}y_0^{(\epsilon\epsilon)}\epsilon^2 Dabei bedeuten (\epsilon) und (\epsilon\epsilon) die erste und zweite Ableitung nach \epsilon. Der Ansatz steht also für eine Reihenentwicklung nach Maclaurin, wobei der "nullte" Summand y_0=0 zu setzen ist. Der genaue Kurvenverlauf von \epsilon über y wurde ja schon in der Animation in Kapitel 3 gezeigt. Man kann ahnen, dass für große \epsilon die Abweichung erheblich sein wird, aber wir wollen ja nur eine Näherung entwickeln für gesunde und realistische Betriebszustände des Reifens. Die Ableitungen von y nach \epsilon kann man wie folgt berechnen: (5.4) \displaystyle y^{(\epsilon)}=\frac{\text{d}y}{\text{d}\epsilon}=\frac{\text{d}y}{\text{d}\alpha}/\frac{\text{d}\epsilon}{\text{d}\alpha}=\frac{y^{(\alpha)}}{\epsilon^{(\alpha)}} y^{(\alpha)} wurde bereits in Gleichung 4.2 angegeben. Für \epsilon^{(\alpha)} muss Gleichung 5.1 nach \alpha abgeleitet werden: \displaystyle \epsilon=h_0-(l_0-b)\frac{1-\cos\alpha}{\alpha-\sin\alpha} \displaystyle \epsilon^{(\alpha)}=-(l_0-b)\frac{\sin\alpha(\alpha-\sin\alpha)-(1-\cos\alpha)^2}{(\alpha-\sin\alpha)^2} (5.5) \displaystyle \epsilon^{(\alpha)}=(l_0-b)\frac{2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha}{(\alpha-\sin\alpha)^2} woraus mit 5.4 folgt: (5.6) \displaystyle y^{(\epsilon)}=\frac{\sin\alpha-\alpha\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha} Nun den gleichen Trick nochmal, um die zweite Ableitung zu berechnen: \displaystyle y^{(\epsilon)(\alpha)}=\frac{\alpha\sin\alpha\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)-(\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)(\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)}{\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)^2} Das kann man glücklicherweise noch stark vereinfachen: \displaystyle y^{(\epsilon)(\alpha)}=\frac{2\alpha\sin\alpha-2\alpha\sin\alpha\cos\alpha-\alpha^2\sin^2\alpha-\sin^2\alpha+2\alpha\sin\alpha\cos\alpha-\alpha^2\cos^2\alpha}{\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)^2} \displaystyle y^{(\epsilon)(\alpha)}=\frac{2\alpha\sin\alpha-\alpha^2-\sin^2\alpha}{\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)^2} \displaystyle y^{(\epsilon)(\alpha)}=-\frac{(\alpha-\sin\alpha)^2}{\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)^2} und letztlich, wenn man noch durch \epsilon^{(\alpha)} teilt: (5.7) \displaystyle y^{(\epsilon\epsilon)}=-\frac{(\alpha-\sin\alpha)^4}{(l_0-b)\left(2(1-\cos\alpha)-\alpha\sin\alpha\right)^3} Wollen wir nun die Reihenentwicklung fortsetzen, müssen wir \epsilon=0 setzen. Das ist dort, wo die Aufstandsfläche gerade beginnt, wo demnach \alpha=\alpha_0 ist. Damit erhalten wir für die gesuchten Ableitungen: (5.8) \displaystyle y_0^{(\epsilon)}=\frac{\sin\alpha_0-\alpha_0\cos\alpha_0}{2(1-\cos\alpha_0)-\alpha_0\sin\alpha_0} \displaystyle y_0^{(\epsilon\epsilon)}=-\frac{(\alpha_0-\sin\alpha_0)^4}{(l_0-b)\left(2(1-\cos\alpha_0)-\alpha_0\sin\alpha_0\right)^3} Machen wir uns nun noch Gleichung 3.4 zu nutze, wo wir y=0 setzen, so können wir die Gleichnung noch einmal ein wenig vereinfachen: (5.9) \displaystyle y_0^{(\epsilon\epsilon)}=-\frac{\sin\alpha_0}{b}\cdot\left(\frac{\alpha_0-\sin\alpha_0}{2(1-\cos\alpha_0)-\alpha_0\sin\alpha_0}\right)^3 Wir tun es uns nun aber nicht an, die beiden Gleichungen 5.8 und 5.9 in 5.3 einzusetzen, um damit dann die Integrale zu berechnen. Wir geben uns damit zufrieden, dass die erste und zweite Ableitung berechenbar sind und bleiben stattdessen bei der Kurzvariante 5.3. Damit wenden wir uns nun wieder der Gleichung 2.8 zu, wo wir Gleichung 5.2 und 5.3 einsetzen, nachdem wir das Differential für y gebildet haben: (5.10) \displaystyle \text{d}y=\left(y_0^{(\epsilon)}+y_0^{(\epsilon\epsilon)}\epsilon\right) \text{d}\epsilon (5.11) \displaystyle A(e)\approx 4 \int_{0}^{e} \sqrt{2R_a}\sqrt{(e-\epsilon)}\left(1-\frac{e+\epsilon}{4R_a}\right)\left(y_0^{(\epsilon)}+y_0^{(\epsilon\epsilon)}\epsilon\right) \text{d}\epsilon Nun die Konstanten vor das Integral ziehen, Klammern ausmultiplizieren und nach \epsilon sortieren: \displaystyle A(e)\approx 4\sqrt{2R_a} \int_{0}^{e} \sqrt{(e-\epsilon)}\left[\left(1-\frac{e}{4R_a}\right)y_0^{(\epsilon)}+\left(\left(1-\frac{e}{4R_a}\right)y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{y_0^{(\epsilon)}}{4R_a}\right)\epsilon-\frac{y_0^{(\epsilon\epsilon)}}{4R_a}\epsilon^2\right] \text{d}\epsilon Das sieht komplizierter aus als es ist, denn in der Klammer steht ja nur ein Polynom zweiten Grades und davor nur eine "einfache" Wurzel. Die Integration ist mittels partieller Integration leicht zu berechnen. Daher hier nur das Endergebnis der etwas mühseligen, aber nicht besonders schwierigen Prozedur: (5.12) \displaystyle A(e)\approx\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}\left[y_0^{(\epsilon)}+\left(\frac{2}{5}y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{7}{20R_a}y_0^{(\epsilon)}\right)e\right]e^{\frac{3}{2}} Hier wurden in der eckigen Klammer die quadratischen Terme gleich weggelassen, da sie vernachlässigbar klein sind. Das ganze müssen wir jetzt noch für Gleichung 2.9 wiederholen, um den Rollwiderstandskoeffizienten zu berechnen. Da wir es nun mit x^3 im Integral zu tun haben, machen wir von folgender Näherung Gebrauch: \displaystyle \sqrt{1-\frac{e+\epsilon}{2R_a}}^3\approx 1-\frac{3}{2}\cdot\frac{e+\epsilon}{2R_a} (5.13) \displaystyle x^3\approx \sqrt{2R_a}^3\sqrt{(e-\epsilon)}^3\left(1-\frac{3(e+\epsilon)}{4R_a}\right) Analog zur Gleichung 5.11 folgt: \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{4}{3A(e)R_{eff}^2} \int_{0}^{e} \sqrt{2R_a}^3\sqrt{(e-\epsilon)}^3\left(1-\frac{3(e+\epsilon)}{4R_a}\right)\left(y_0^{(\epsilon)}+y_0^{(\epsilon\epsilon)}\epsilon\right) \text{d}\epsilon \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{8\sqrt{2R_a}^3}{15A(e)R_{eff}^2}\left[y_0^{(\epsilon)}+\left(\frac{2}{7}y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{27}{28R_a}y_0^{(\epsilon)}\right)e\right]e^{\frac{5}{2}} Da außerdem R_{eff}=R_a-e ist, können wir letztlich schreiben: \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{8\sqrt{2R_a}^3}{15A(e)(R_a-e)^2}\left[y_0^{(\epsilon)}+\left(\frac{2}{7}y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{27}{28R_a}y_0^{(\epsilon)}\right)e\right]e^{\frac{5}{2}} oder um das Ganze etwas zu entzerren: (5.14) \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{\left(m_1+m_2e\right)e^{\frac{5}{2}}}{A(e)(R_a-e)^2} mit den Koeffizienten (5.15) \displaystyle m_1=\frac{8}{15}\sqrt{2R_a}^3y_0^{(\epsilon)} (5.16) \displaystyle m_2=\frac{8}{15}\sqrt{2R_a}^3\left(\frac{2}{7}y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{27}{28R_a}y_0^{(\epsilon)}\right) Die Chancen auf eine Taschenrechnerlösung schwinden. Zumindest tippt man sich die Finger wund und das Ganze ist recht fehleranfällig. Wir müssen uns daher wohl mit einer Excel-Lösung abfinden... Die Schritte a) und b) haben wir erledigt, jetzt müssen wir uns letztlich noch um die Umkehrfunktion e(A) zu Gleichung 5.12 kümmern. Die Gleichung kann vereinfacht dargestellt werden als: \displaystyle A\approx k_1e^{\frac{3}{2}}+k_2e^{\frac{5}{2}} Eine Auflösung nach e ist nicht möglich, da es sich recht einfach auf ein Polynom fünften Grades zurückführen lässt. Man kann aber auch hier wieder eine recht gute Näherung herleiten, indem man folgenden Ansatz wählt: (5.17) \displaystyle e^{\frac{1}{2}}\approx\left(\frac{A}{k_1}\right)^{\frac{1}{3}}+cA Setzen wir diesen Ansatz in die vorige Gleichung ein, erhalten wir: \displaystyle A\approx k_1\left[\left(\frac{A}{k_1}\right)^{\frac{1}{3}}+cA\right]^3+k_2\left[\left(\frac{A}{k_1}\right)^{\frac{1}{3}}+cA\right]^5 Jetzt kommt auch mal der Binomische Lehrsatz zur Anwendung: \displaystyle A\approx k_1\left(k_1^{-1}A+3ck_1^{-\frac{2}{3}}A^{\frac{5}{3}}+3c^2k_1^{-\frac{1}{3}}A^{\frac{7}{3}}+c^3A^3 \right)+k_2\left(k_1^{-\frac{5}{3}}A^{\frac{5}{3}}+5ck_1^{-\frac{4}{3}}A^{\frac{7}{3}}+10c^2k_1^{-1}A^{\frac{9}{3}}+... \right) \displaystyle A\approx A+k_1\left(3ck_1^{-\frac{2}{3}}A^{\frac{5}{3}}+3c^2k_1^{-\frac{1}{3}}A^{\frac{7}{3}}+c^3A^3 \right)+k_2\left(k_1^{-\frac{5}{3}}A^{\frac{5}{3}}+5ck_1^{-\frac{4}{3}}A^{\frac{7}{3}}+10c^2k_1^{-1}A^{\frac{9}{3}}+... \right) \displaystyle 0\approx \left(3ck_1^{\frac{1}{3}}+k_2k_1^{-\frac{5}{3}}\right)A^{\frac{5}{3}}+\left(3c^2k_1^{\frac{2}{3}}+5ck_2 k_1^{-\frac{4}{3}}\right)A^{\frac{7}{3}}+... Je höher die Exponenten werden, um so kleiner werden die Terme. Wir können die Approximation also bestmöglich erfüllen, wenn wir die erste Klammer zu null setzen und daraus den gesuchten Koeffizienten c berechnen: \displaystyle 3ck_1^{\frac{1}{3}}+k_2k_1^{-\frac{5}{3}}=0 \displaystyle c=-\frac{k_2}{3k_1^2} Wenn wir den Ansatz 5.17 noch ein wenig verfeinern, indem wir ihn um einen Term mit A^\frac{5}{3} erweitern, gelangen wir unter Anwendung des gleichen Prinzips wie hier gezeigt und einigen mühseligen Umformungen zu einer noch besseren Näherung, dessen Herleitung ich hier auslasse. Damit haben wir nun auch Schritt c) erfüllt, denn mit dem Ansatz 5.17 haben wir nun eine Näherungsformel für e(A): (5.18) \displaystyle e\approx\left(k_1^{-\frac{1}{3}}A^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}k_1^{-2}k_2A+\frac{4}{9}k_1^{-\frac{11}{3}}k_2^2A^\frac{5}{3}\right)^2 mit folgenden Koeffizienten: (5.19) \displaystyle k_1=\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}y_0^{(\epsilon)} (5.20) \displaystyle k_2=\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}\left(\frac{2}{5}y_0^{(\epsilon\epsilon)}-\frac{7y_0^{(\epsilon)}}{20R_a}y_0^{(\epsilon)}\right) Geschafft! Nun sehen wir uns das Ganze zunächst mal in den entsprechenden Diagrammen an, um zu sehen, wie gut die Näherungslösungen funktionieren: 1. Aufstandsfläche A aufgetragen über Abplattung e
    Die Gleichung 5.12 stellt offensichtlich schon eine sehr gute Näherung dar, wenn man bedenkt, dass ein korrekt aufgepumpter Rennradreifen sich bei Abplattungen von ca. 4-5mm bewegt (je nach Belastungszustand, also im wesentlichen der körperlichen Verfassung des Fahrers). Auch die Umkehrfunktion e(A) (grün), die ja sozusagen eine Näherung hoch zwei darstellt, ergibt ein zufriedenstellendes Bild und ist im relevanten Bereich zumindest in obigem Diagramm nicht von der exakten Lösung zu unterscheiden. 2. Rollwiderstandskoeffizient \frac{\mu_r}{\mu} aufgetragen über Abplattung e
    Ebenfalls ein sehr zufriedenstellendes Bild. 3. Rollwiderstandskoeffizient \frac{\mu_r}{\mu} aufgetragen über Aufstandsfläche A
    Bis zu einer Aufstandsfläche von 2000mm² funktioniert die Näherung recht gut. Für praktische Belange mehr als ausreichend, wenn man bedenkt, dass bei einem normalgewichtigen Rennradfahrer und einem 23mm-Reifen die Aufstandsfläche nur etwa 650mm² beträgt. 4. Relativer Fehler der Näherungslösung aus Diagramm 3
    Im praxisrelevanten Bereich unter 1000mm² ein Fehler unter 0,6%, was will man mehr.

    6. Ergebniszusammenfassung

    Da das Ganze doch recht unübersichtlich geworden ist, stelle ich die Formeln hier noch einmal zusammen, und zwar in der Reihenfolge, wie sie benötigt werden, um die Erstellung einer Excel-Tabelle zu ermöglichen. Gegebene Größen: R_F Felgenradius r_R halbe Reifenbreite b halbe Felgenbreite F_N auf den Reifen wirkende Normalkraft p Innen(über)druck des Reifens Abgeleitete geometrische Größen: \displaystyle \alpha_0=\pi-\arcsin\left(\frac{b}{r_R}\right) \displaystyle l_0=r_R \alpha_0 \displaystyle h_0=r_R+\sqrt{r_R^2-b^2} \displaystyle R_a=R_F+h_0 Abgeleitete Hilfsgrößen: (Um nicht die umständliche Notation y_0^{(\epsilon)} und y_0^{(\epsilon\epsilon)} mitschleppen zu müssen, ersetzen wir ab hier die beiden Werte durch f_1 und f_2.) \displaystyle f_1=\frac{\sin\alpha_0-\alpha_0\cos\alpha_0}{2(1-\cos\alpha_0)-\alpha_0\sin\alpha_0} \displaystyle f_2=-\frac{\sin\alpha_0}{b}\cdot\left(\frac{\alpha_0-\sin\alpha_0}{2(1-\cos\alpha_0)-\alpha_0\sin\alpha_0}\right)^3 \displaystyle k_1=\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}f_1 \displaystyle k_2=\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}\left(\frac{2}{5}f_2-\frac{7f_1}{20R_a}\right) \displaystyle m_1=\frac{8}{15}\sqrt{2R_a}^3 f_1 \displaystyle m_2=\frac{8}{15}\sqrt{2R_a}^3\left(\frac{2}{7}f_2-\frac{27}{28R_a}f_1\right) Näherungsfunktionen: (6.1) \displaystyle A(e)\approx k_1e^{\frac{3}{2}}+k_2e^{\frac{5}{2}} (6.2) \displaystyle e(A)\approx\left(k_1^{-\frac{1}{3}}A^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}k_1^{-2}k_2A+\frac{4}{9}k_1^{-\frac{11}{3}}k_2^2A^\frac{5}{3}\right)^2 (6.3) \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{\left(m_1+m_2e\right)e^{\frac{5}{2}}}{A(R_a-e)^2}

    7. Einige praktische Beispiele

    Die Fragen, die ich in der Einleitung aufgeworfen habe, möchte ich abschließend anhand der entwickelten Formeln beantworten, ohne allerdings hier explizit alle Hilfsgrößen und Formeln vorzurechnen. 1. Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich statt des "normalen" Drucks von 8bar mit 6bar oder mit 4bar fahre? Wir bleiben bei dem Rennradreifenbeispiel und nehmen eine Last von 500N (also etwa 50kg Gewicht) auf dem Rad an. Dann erhalten wir folgende Werte für den Rollwiderstandskoeffizienten: 8bar 0,0044579 6bar 0,0055098 +23,6% 4bar 0,0074883 +68,0% Wenn man als erster über die Ziellinie fahren will, sollte man auf korrekten Druck im Reifen achten! (Auch wenn die Luft und nicht der Reifen den weitaus größten Widerstand darstellt). 2. Welcher Reifen rollt besser, der schmale oder der breite? Das hängt natürlich nicht nur vom Reifendruck ab, sondern man muss sich auch im Klaren darüber sein, dass im Gegensatz zu einem Rennrad-Reifen ein Standard-Fahrradreifen ein Profil aufweist, der die Annahme einer zusammenhängenden Aufstandsfläche ad absurdum führt. Von einem Mountainbike-Reifen mal ganz zu schweigen, der auf Teer immer nur auf drei Noppen abrollt. Aber sei's drum, wir nehmen einfach mal eine Reifenbreite von 50mm und eine Felgenbreite von 30mm an, sowie einen Luftdruck von 3,5bar. Der Rollwiderstandskoeffizient ist dann 0,0077836, also 74,6% höher als beim Rennradreifen. Ich wusste es doch! 3. Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich 20kg Gepäck mitnehme? Naja, die 20kg Gepäck können wir nicht komplett einem der beiden Räder zuordnen, sondern es wird sich ja irgendwie verteilen. Sagen wir mal, die Last auf das Hinterrad erhöhe sich von 500N auf 650N, der Reifendruck sei wiederum 8bar: 500N 0,0044579 650N (+30%) 0,0054071 +21,3% Eine 30% Erhöhung führt also zu einer Zunahme des Rollwiderstandskoeffizienten um 21,3%. Aber Achtung! Die Normalkraft hat sich ja nun um 30% erhöht, was bedeutet, das der gesamte Rollwiderstand F_r=\mu F_N um 57,7% ansteigt, also deutlich überproportional zur Lasterhöhung. Auch das habe ich irgendwie schon immer geahnt.

    8. Die Taschenrechner-Lösung

    Wer die Hoffnung auf eine Taschenrechner-Lösung noch nicht aufgegeben hat, der soll nicht enttäuscht werden. Es sei hier der Vollständigkeit halber auch noch gezeigt, dass man durch eine drastische Vereinfachung, nämlich durch Ignorieren der Hilfsgrößen k_2 und m_2, die Formeln 6.1 bis 6.3 in eine sehr simple Form überführen kann: \displaystyle A(e)\approx k_1e^{\frac{3}{2}} \displaystyle e(A)\approx k_1^{-\frac{2}{3}}A^{\frac{2}{3}} \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{m_1 e^{\frac{5}{2}}}{A(R_a-e)^2} Setzen wir e(A) in die letzte Gleichung ein, so folgt: \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{m_1 {\left(k_1^{-\frac{2}{3}}A^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{5}{2}}}{AR_a^2} \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{m_1 k_1^{-\frac{5}{3}}A^{\frac{5}{3}}}{AR_a^2} \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{m_1 k_1^{-\frac{5}{3}}}{R_a^2}A^{\frac{2}{3}} Setzt man nun noch k_1 und m_1 ein, dann führt das zu \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{\frac{8}{15}\sqrt{2R_a}^3 f_1 \left(\frac{8}{3}\sqrt{2R_a}f_1\right)^{-\frac{5}{3}}}{R_a^2}A^{\frac{2}{3}} \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{3^{\frac{2}{3}}}{5(2R_a)^{\frac{4}{3}} f_1^{\frac{2}{3}}}A^{\frac{2}{3}} \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{1}{10R_a}\sqrt[3]{\frac{9A^2}{2R_af_1^2}} (8.1) \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\approx \frac{1}{10R_a}\sqrt[3]{\frac{9}{2R_af_1^2}\cdot \left(\frac{F_N}{p}\right)^2} Hier muss also "nur" f_1 eingesetzt werden, weitere Hilfsgrößen sind nicht notwendig. Das ist machbar, aber die Präzision ist erwartungsgemäß nicht all zu gut. Bei dem im Kapitel 7 verwendeten Beispiel beträgt die Abweichung beim Rollwiderstandskoeffizienten bereits -8,5%, siehe folgendes Diagramm für eine Übersicht:
    Aber immerhin ermöglicht diese Version die Erkenntnis, dass der Rollwiderstandskoeffizient annähernd proportional ist zu (Normalkraft / Druck) hoch Zweidrittel: \displaystyle \frac{\mu_r(e)}{\mu}\sim\left(\frac{F_N}{p}\right)^\frac{2}{3} Für überschlägige Berechnungen und Abschätzungen ist das durchaus hilfreich. Eine Halbierung des Drucks bedeutet daher geschätzt eine Erhöhung des Rollwiderstands um 58,7%. Das ist zwar von der Wirkung her noch untertrieben, aber dafür ging die Berechnung gefühlte 100x schneller.

    9. Schlusswort

    Wer bis zum Ende durchgehalten hat und dieses Schlusswort liest, hat auf jeden Fall Stehvermögen bewiesen. Ich hoffe, dass auch ein bisschen Spaß dabei war und der Leser hier und da ein "Aha"-Erlebnis hatte. Sollte irgendetwas unklar (oder gar falsch) sein, bitte ich um entsprechende Mitteilung per Kommentar oder auch PM. Ich werde dann entweder im Kommentarbereich antworten oder den Artikel anpassen. Mit Lob und Kritik braucht Ihr auch nicht zu geizen... Thomas (MontyPythagoras)
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    "Stern Physik: Rollwiderstand von Fahrradreifen" | 26 Comments
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    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 01. Juni 2014 12:55:12
    \(\begingroup\)Hallo, schöner Artikel, wenn ich auch zugeben muß, daß ich irgendwann vorgespult habe. Ich bin mir aber nicht sicher, ob du nicht durch die Annahme von ebenem und glatten Boden eine zu starke Vereinfachung vornimmst. Teer ist ja nicht perfekt glatt, sondern porös und "hügelig". Verhakt sich der Reifen nicht in den hochstehenden Punkten? Findet das Rutschen wirklich so statt? \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 01. Juni 2014 23:05:47
    \(\begingroup\)Daumen hoch für einen Physik-Artikel! Sollte es viel öfter geben ;)\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Mo. 02. Juni 2014 09:59:21
    \(\begingroup\)Hallo Anonymous Nr.1, klar, das ist natürlich eine gute Frage. Es ist bekannt, dass unterschiedliche Beläge unterschiedlichen Rollwiderstand bieten. Das kann man aber kaum mathematisch fassen. An einer Vereinfachung führt also kein Weg vorbei. Es ging mir auch eher darum, grundsätzliche Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten herauszufinden, wie zum Beispiel, dass der Rollwiderstandskoeffizient in etwa proportional ist zu (F/p)^(2/3). Das dürfte auch in der Realität sehr gut hinkommen. Letztlich muss man jede Theorie einer praktischen Prüfung unterziehen. Stimmen Theorie und Praxis nicht überein, stimmen wohl meistens die Startannahmen nicht und man hat zu drastisch vereinfacht. Ich bin aber relativ optimistisch, dass zumindest für die sehr dünnwandigen Rennradreifen, die ja auch meistens Slicks sind, die Theorie recht gut passt. Thomas\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: chrisss am: Di. 03. Juni 2014 16:54:49
    \(\begingroup\)Toller Artikel, danke.\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ueli am: Do. 05. Juni 2014 20:07:40
    \(\begingroup\)Die Fragen nach dem Rollwiderstand meines Fahrrads habe ich mir auch schon gestellt, besonders nachdem ich überholt wurde. Ich hatte immer gehört, dass die Walkarbeit entscheidend sei, doch genau diese Meinung hast du entkräftet. Gruss Ueli \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 20. Juni 2014 08:34:57
    \(\begingroup\)Wunderschön motivierend geschrieben! Hab' ihn mir gleich als leuchtendes Beispiel ausgedruckt. Wenn ich meine Statistik-Vorlesungen auch so motivierend hinkriegen würde, wäre ich glücklich... \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Nighel123 am: So. 22. Juni 2014 12:49:09
    \(\begingroup\)Was ich auch noch als Vermutung habe was den Wiederstand beim Fahrradfahren steigert, ist die Verschmutzung der Kette und Ritzel. Aber das müsste man wohl experimentell überprüfen. Grüßle Nickel\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: GrandPa am: Mo. 30. Juni 2014 16:47:28
    \(\begingroup\)Wow, ich sehe mein Rad bzw. meine Fahrradreifen ab sofort anders 😉 Toll gemacht!\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: PeterKepp am: Do. 24. Juli 2014 20:36:08
    \(\begingroup\)Hallo,MontyPythagoras! Viel Arbeit. Ein Lob für den Fleiß und das Durchhaltevermögen. Eine Frage vor Beginn des langen Artikels hätte aber enorm viel Aufwand erspart. Und zwar die Frage, ob der Reifen im normalen Fahrbetrieb tatsächlich um die Differenz zwischen AB und CD gleitet. Die Antwort wäre gewesen: nein! Hierzu einige (praktische) Überlegungen. 1. Schlupfstrecke Nun, ich wiege (incl. meines Rennrades) zwar etwas mehr als 50 kg aber im normalen Gebrauch sinkt mein Hinterrad um ca. 0,5 cm ab. Bei einem 28 Zoll Rad sind das etwa 3 cm Differenz im Abrollumfang pro Umdrehung. Folgerung: Bei derart hohem Schlupf hält der Mantel, speziell der eines Rennrades, nicht lange durch. 2. Überprüfung In einem einfachen, mechanischen Aufbau könnte man Rad und gleichfalls abrollende Rollebenen-Äquivalenz bei realitätsentsprechender Anpressbelastung mit fester Schlupfstrecke koppeln. Bist Du der Ansicht, das es in den Entwicklungsabteilungen von Reifenherstellern nicht ebensolche Versuchsaufbauten gibt? 3. Eigentest Lasse Dein Fahrrad von jemandem festhalten und versuche über die Kurbel 3 cm Schlupf zu erzeugen. Glaubst Du tatsächlich, dass Du diese Arbeit im normalen Abrollbetrieb leistest? Fazit: vertraue der allgemein bekannten Einstellung hierzu, nach der zwar, wenn auch sehr gering, Schlupf (hauptsächlich als Deformation der Reifenoberfläche) vorkommt, der wesentliche Anteil im sogenannten Walken liegt! Nachtrag: Ist Dir bewußt, dass ein Teil der sog. Federung eines Speichenrades daher rührt, dass die Lastkräfte von den in der Felge hängenden Speichen übertragen wird? Die Nippelschrauben liegen mit Zugspannung an der Felgenoberfläche (Innenseite). Die nach unten stehenden Speichen drücken bei Last etwas in Raum des Pneus. Neben der Walkarbeit ist hierin für den Rollbetrieb eine Überwindung der Reibung (Nippelschraube/Felge) zu beachten. Wer schon einmal ein Speichenrad neu eingespeicht und sowohl statisch wie auch dynamisch gewuchtet hat, weiß wovon ich rede. Gruß PeterKepp \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: PeterKepp am: Do. 24. Juli 2014 22:29:50
    \(\begingroup\)Hallo,MontyPythagoras! Nachtrag: 1. Die Arbeit des Walkens macht sich in erhöhter Flankentemperatur bemerkbar. Beim Auto nach längerer Fahrstrecke im Gegensatz zur Laufflächentemperatur schon `mit der Hand´ fühlbar. 2. Nicht der Schlupf verursacht die aufzuwendende Arbeit beim Fahrradfahren (neben dem Luftwiderstand selbstverständlich), sondern das ständige Anheben (des gesamten Gefährts) auf ein etwas höheres Niveau; in der Wirkung ein `Berganfahren´. Der rollende Reifen drückt Partien ein, die bis dahin prall `aufgebläht´ waren. Die vom Untergrund abhebenden Partien üben über elastisches Verhalten Gegendruck aus. Alles zeitabhängig, infinitesimal. Das Anheben ist deshalb notwendig, weil die elastische Druck-Gegenreaktion des Pneus während der Fahrt, aus der Richtung kommend, die man hinter sich läßt, zeitverzögert eintritt. Und dies je mehr, desto schneller man fährt. Was fällt uns noch dazu ein? Gruß PeterKepp\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Mo. 28. Juli 2014 01:46:49
    \(\begingroup\)Hallo PeterKepp, vielen Dank für Deine Kommentare, die von großem Ehrgeiz zeugen, meinen Artikel zu demontieren. Aber offensichtlich hast Du ihn entweder nicht ganz gelesen oder nicht ganz verstanden. Einige Deiner Punkte könnte man als Ergänzung auffassen, einige sind technisch falsch und einer ist sogar hanebüchener Unsinn, aber dazu unten mehr. Zitat: „Hierzu einige (praktische) Überlegungen.“ (…) „Bist Du der Ansicht, das es in den Entwicklungsabteilungen von Reifenherstellern nicht ebensolche Versuchsaufbauten gibt?“ Offenbar bist Du der Meinung, dass ich ein Schreibtischtäter bin ohne praktische Erfahrung. Weit gefehlt. Nicht jeder hier ist ein Student im ersten oder zweiten Semester, im Gegenteil. Ich könnte einige Seiten darüber schreiben, was es für Versuchsaufbauten bei Reifenherstellern gibt. Ich könnte zwei Romane darüber schreiben, was es für Prüfstände bei den Automobilfirmen und den Tier-1-Suppliern gibt, denn das ist mein Beruf. Nicht, darüber zu schreiben, sondern sie zu konzeptionieren, und zwar federführend. Aber a) könnte ich hier alles Mögliche schreiben, denn Papier und das Internet sind geduldig, und b) dürfte ich es nicht, selbst wenn ich wollte, da ich durch Geheimhaltungsvereinbarungen mit den Kunden bei meistens sechsstelliger Vertragsstrafe verpflichtet bin, keine Details meiner täglichen projektbezogenen Arbeit zu veröffentlichen. Glaub es mir einfach oder lass es. Nachdem wir das geklärt haben, kommen wir zu den technischen Punkten. Das ganze Kapitel 1 meines Artikels hast Du komplett ignoriert. Darin habe ich klar formuliert, welche Annahmen ich treffe, um mein mathematisches Modell der Reifenvorformung aufzustellen. Folgende idealisierte Bedingungen habe ich unter anderem vorausgeschickt (Kurzform): 1. Die Reifenwand habe die Dicke null. 2. Die Reifenwand ist frei biegsam, aber nicht stauch- oder streckbar. (Das müsste ich insofern korrigieren, dass in meinem Modell der Reifen sehr wohl gestaucht wird, wenn auch minimal). 3. Die Reifenquerschnitte bleiben eben. 4. Die Walkarbeit in der Reifenwand wird vernachlässigt. Kein realer Reifen erfüllt diese Bedingungen komplett, darüber muss man nicht debattieren. Aber wie groß ist die Abweichung eines realen Reifens von diesem Modell? Ein Rennradslick erfüllt diese Forderungen mit Sicherheit einigermaßen gut, wenn auch nicht perfekt, ein Allzweckreifen sicher schon weniger, ein Mountainbikereifen mit grobstolligem Profil gar nicht. Man könnte nun darüber philosophieren, wie gut denn nun „einigermaßen gut“ ist. Natürlich weiß ich, dass in einem realen Reifen Walken auftritt. Aber wieviel? Ich bin der Meinung, dass das Walken tatsächlich nicht für den größten Teil der Reibungsverluste zuständig ist, und auch nicht die anderen Effekte, die Du erwähnst. Daher obiger Punkt 4, der unmittelbar mit Punkt 1 zusammenhängt. Zitat: „1. Schlupfstrecke Nun, ich wiege (incl. meines Rennrades) zwar etwas mehr als 50 kg aber im normalen Gebrauch sinkt mein Hinterrad um ca. 0,5 cm ab. Bei einem 28 Zoll Rad sind das etwa 3 cm Differenz im Abrollumfang pro Umdrehung. Folgerung: Bei derart hohem Schlupf hält der Mantel, speziell der eines Rennrades, nicht lange durch.“ Ich behaupte nicht, dass der Reifen so viel Schlupf macht. Das ist nicht meine Schlussfolgerung, sondern Deine, die auf der Milchmädchenrechnung mit der 3cm-Differenz beruht. Du tust nämlich so, als würde jeder Punkt auf der Reifenoberfläche permanent, also über eine komplette Umdrehung diesem Schlupf unterliegen, was natürlich nicht stimmt. In meinem Modell bewegt er sich (relativ betrachtet) vom Auftreffpunkt auf der "Straße" linear nach hinten bis zum Austrittspunkt, während er unbelastet eigentlich dem Bogen untenrum folgen müsste. Die gesamte „Rutschstrecke“ ist also nur die Differenz zwischen Kreisbogen und Sekante. Bei 5mm Abplattung und 340mm Außenradius macht das in der Reifenmitte gerade einmal eine Rutschstrecke von 0,57mm, noch dazu zu den Seiten hin schnell fallend, im Mittel vielleicht etwa 0,3mm. Das ist also nur ein Hundertstel (!) dessen, was Du unterstellst, und daher ist dieses Gegenargument unsinnig. (Randnotiz: 50kg auf das Vorderrad sind eine realistische Zahl für normalgebaute männliche Rennradfahrer. Es war nicht vom Gesamtgewicht die Rede, sondern ich betrachte natürlich nur ein Rad. Die Lastverteilung beim Rennradfahrer ist etwa 60:40 auf das Vorderrad.) Der von Dir vorgeschlagene Eigentest unter Deinem Punkt 3 ist damit natürlich auch hinfällig. Du solltest Dir bewusst machen, dass ein Torus wie zum Beispiel auch eine Kugel nicht verzerrungsfrei in eine Ebene abgewickelt werden kann. Etliche Kartographen haben das mit dem Globus vor geraumer Zeit versucht und haben unterschiedliche Projektionsmethoden entwickelt, aber jede Projektionsmethode weist „zu den Rändern hin“ Verzerrungen auf. Du kannst eine beliebige Kartenprojektion wählen, die Berlin fast verzerrungsfrei zeigt, aber die Gegend um Moskau wird definitiv stark verzerrt dargestellt, egal welche Projektion Du wählst. Wendest Du die gleiche Projektion auf Moskau an, wird umgekehrt Berlin verzerrt dargestellt. Übertragen auf den Reifen bedeutet das, dass wenn Du den Punkt mittig unter der Nabe als „Berlin“ bezeichnest, du den Reifen von hier aus in beide Richtungen „abwälzen“ kannst, aber nur mit zu den Rändern hin wachsenden Verzerrungen. An einem Punkt, der 3cm weiter in Fahrtrichtung liegt, nennen wir ihn „Moskau“, entsteht eine schon recht starke Verzerrung. Wenn man nun das Rad weiterrollt, so dass Moskau mittig unter der Nabe liegt, hat sich das Bild verändert. Nun ist Moskau kaum verzerrt, aber Berlin umso stärker. Die Differenz zwischen diesen Verzerrungen kann nur rutschend zurückgelegt werden, ob es Dir passt oder nicht. Vielleicht kann man ein anderes Verformungsmodell als das meine aufstellen, welches der Realität noch näher kommt, aber ganz gleich, wie es aussieht, es wird ein lokales Rutschen erfordern. Das ist eine simple mathematische Notwendigkeit. Zitat: „1. Die Arbeit des Walkens macht sich in erhöhter Flankentemperatur bemerkbar. Beim Auto nach längerer Fahrstrecke im Gegensatz zur Laufflächentemperatur schon `mit der Hand´ fühlbar.“ Alles richtig. Ich verweise auf mein Kapitel 1 und das von mir diesbezüglich gesagte. Zitat: „2. Nicht der Schlupf verursacht die aufzuwendende Arbeit beim Fahrradfahren (…), sondern das ständige Anheben (des gesamten Gefährts) auf ein etwas höheres Niveau; in der Wirkung ein `Berganfahren´.“ Oh mein Gott, dieser Blödsinn ist nicht totzukriegen. Rollwiderstand wird in einigen Lehrbüchern immer noch so erklärt, offenbar mangels Erklärungsalternative. Es findet kein Anheben statt, nicht makroskopisch, nicht mikroskopisch! Wenn das Rad rollt (wir reden immer noch vom Idealzustand perfekt ebener und horizontaler Strecke), dann bewegen sich das Rad und die Last nur horizontal, der Rollwiderstand resultiert ausschließlich aus internen Reibungsprozessen. Nur wenn sie sich tatsächlich vertikal bewegen (müssen), dann muss faktisch in potentielle Energie investiert und kinetische Energie vernichtet werden. Also bitte streich diesen Blödsinn mit dem „permanenten Berganfahren“ aus Deinem Gedächtnis. Die simple Anwendung des Energieerhaltungssatzes bereitet diesem Erklärungsversuch schnell den Garaus. Zitat: „Der rollende Reifen drückt Partien ein, die bis dahin prall `aufgebläht´ waren. Die vom Untergrund abhebenden Partien üben über elastisches Verhalten Gegendruck aus. Alles zeitabhängig, infinitesimal. Das Anheben ist deshalb notwendig, weil die elastische Druck-Gegenreaktion des Pneus während der Fahrt, aus der Richtung kommend, die man hinter sich lässt, zeitverzögert eintritt. Und dies je mehr, desto schneller man fährt.“ Zum Thema „Anheben“: siehe oben. Im letzten Absatz beschreibst Du dynamische Effekte, die es zwar gibt, aber eine zeitliche Komponente habe ich in meinem Modell nicht berücksichtigt. Fraglos kann man diesen Punkt als Ergänzung betrachten, aber die Frage ist, wie groß dieser Effekt ist. Ich schätze niedrigen einstelligen Prozentbereich. Zitat: „Nachtrag: Ist Dir bewusst, dass ein Teil der sog. Federung eines Speichenrades daher rührt, dass die Lastkräfte von den in der Felge hängenden Speichen übertragen wird? Die Nippelschrauben liegen mit Zugspannung an der Felgenoberfläche (Innenseite). Die nach unten stehenden Speichen drücken bei Last etwas in Raum des Pneus. Neben der Walkarbeit ist hierin für den Rollbetrieb eine Überwindung der Reibung (Nippelschraube/Felge) zu beachten. Wer schon einmal ein Speichenrad neu eingespeicht und sowohl statisch wie auch dynamisch gewuchtet hat, weiß wovon ich rede.“ Ich muss zugeben, hier habe ich lauthals gelacht. Solchen haarsträubenden Unfug habe ich lange nicht gelesen. Es hat zwar mit dem Artikel absolut nichts zu tun, aber ich werde Dich trotzdem korrigieren, wenn Du erlaubst. Bevor Du weiterliest, google doch bitte den Begriff „Speichenspannung“. Du wirst feststellen, dass die Vorspannung einer Speiche etwa zwischen 900 und 1300N beträgt, und diese Vorspannung wird erzeugt durch das kleine Ding, das übrigens Speichennippel heißt. Bitte erfinde dafür keine neuen Begriffe. Nehmen wir etwa 1000N oder das Äquivalent von 100kg als Beispiel (ja, ich weiß, „kg“ ist keine Kraft- sondern eine Masseeinheit). Eine einzige Speiche hat also im unbelasteten Normalzustand schon eine Zugvorspannung von etwa 100kg. In einem klassischen Rad hast Du 36 Speichen, manche haben nur 32, Rennräder häufig noch weniger, meine Räder haben nur 16. Aber das ist eigentlich egal. Tun wir zunächst so, als hätten wir ein Rad mit nur zwei Speichen, eine vertikal nach oben und eine vertikal nach unten. Beide ziehen an der (als masselos angenommenen) Nabe mit jeweils 100kg, aber weil sie in entgegengesetzte Richtungen ziehen, bleibt die Nabe an Ort und Stelle. Was passiert, wenn ich das Rad nun mit 50kg auf die Nabe belaste? Technische Mechanik I, Kräftegleichgewicht aufstellen. Ergebnis: die obere Speiche weist eine Gesamtzugkraft von 125kg auf, die untere von 75kg. Beide sind aber immer noch auf Zug vorgespannt, und die untere Speiche ist noch weitere 150kg Last (75kg anteilig) davon entfernt, gänzlich entlastet zu werden. Im realen Rad hast Du aber sogar 36 oder sonstwieviele Speichen, die sich die Last teilen. In den oberen Speichen erhöht sich die Zugspannung, in den unteren verringert sie sich, in den momentan etwa horizontal angeordneten passiert so gut wie nichts. Eine umlaufende Speiche erfährt also in einem Zeitschrieb eine Zugspannung, die mit einer Amplitude von vielleicht 4 bis 5kg sinusförmig um die Vorspannung von 100kg schwankt, also etwa um +-5%, je nach Speichenanzahl und Lastzustand. Eine Speiche wird also bei weitem nicht entlastet, ganz zu schweigen davon, dass sie in die Felge eintaucht. Du kämst keine 2km weit und hättest einen Ermüdungsbruch im Speichenkopf, wenn das passieren würde. Bei aller gebotenen Höflichkeit, dieser Absatz ist grober Unfug, und beweist, dass Dein letzter Satz offensichtlich keinesfalls auf Dich selbst zutrifft. Außerdem werden gewöhnliche Rennradräder nur manchmal statisch und nie dynamisch „gewuchtet“. Dynamisch Wuchten ist bei einem Renn-Laufrad auch technisch gar nicht möglich. Wo wolltest Du in unterschiedlichen Ebenen Wuchtgewichte anbringen? Offenbar verwechselst Du das mit dem „Zentrieren“. Zitat: „Fazit: vertraue der allgemein bekannten Einstellung hierzu, nach der zwar, wenn auch sehr gering, Schlupf (hauptsächlich als Deformation der Reifenoberfläche) vorkommt, der wesentliche Anteil im sogenannten Walken liegt!“ Deinen Ratschlag kann man euphemistisch vielleicht als "innovationsfeindlich" bezeichnen. Ich denke lieber selbst. Eine seit Jahrzehnten widerspruchslos hingenommene Erklärung muss nicht zwangsläufig richtig sein. Bestes Beispiel: der Muskelkater. Jahrzehntelang war die Lehrmeinung, er sei die Folge einer Übersäuerung mit Laktat. Heute weiß man, dass das Blödsinn war. Mein Fazit: Deine Argumente entkräften meine Aussage und Berechnung nicht, da sie entweder auf falschen Berechnungen deinerseits beruhen oder Effekte beschreiben, die ich per Definition ausgeklammert habe. Ich bin gerne bereit, darüber zu diskutieren, wie groß die jeweiligen Anteile sein mögen, aber bitte fundiert und mit Sachkenntnis. Ich gebe Dir folgendes zu bedenken: meine „Theorie“ (und nichts anderes ist es), erklärt in offensichtlich guter Näherung das äußere Erscheinungsbild der Reifenverformung, sie erklärt sehr gut die Form der Aufstandsfläche, der damit berechnete Rollwiderstandswert von etwa 0,005 für einen Rennradreifen stimmt sehr gut mit realen und dokumentierten Werten überein und die Charakteristik der Lastabhängigkeit ist ebenfalls plausibel. Nach meiner Erfahrung muss an einer Theorie schon etwas dran sein, wenn sie so viele Eigenschaften aufweist, und in keinem Punkt nennenswert von der Realität abweicht. Sie ist sicherlich nicht geeignet (und das habe ich auch nicht bahauptet), umfassend sämtliche denkbaren Rollwiderstandsverluste an einem Reifen zu erklären, aber möglicherweise an einem Rennradslick den weitaus größten Teil. Ciao, Thomas \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: PeterKepp am: Mo. 28. Juli 2014 12:52:38
    \(\begingroup\)Danke für die hilfreiche Belehrung über die tatsächlichen Kräftevehältnisse bzgl. der Vorspannungen an den Speichen. Hier habe ich mich tatsächlich von einem alten Lehrsatz verführen lassen. Bezüglich des aus dem Einpressen resultierenden Schlupfes sollte sich jeder seine eigene Meinung bilden dürfen. Ich sehe insofern noch keinen Zusammenhang zwischen der Skizze mit den unterschiedlichen Strecken und dem nicht daraus resultierenden Schlupf. Aber es soll kein Glaubenskrieg sein. Ich wollte meine Ansicht mitteilen und niemanden überzeugen. Danke für Dein Verständnis, Peter P.S.: Ich habe eine Idee, die für Rennreifen sowohl geringen Rollwiderstand wie auch hohen Luftvolumen-Fedrungskomfort vereint. Bisher habe ich mich bei keinem Reifenhersteller erklärt, da ich Umgehung der Patentbeteiligung fürchte. Hättest Du eine Möglichkeit, bei Beteiligung, zur Anwendungs-Vermittlung? Austausch hierzu bitte nur intern.\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Mo. 28. Juli 2014 15:05:16
    \(\begingroup\)Hallo PeterKepp, ich habe zwar Kontakte zum Beispiel zu ContiTech in Hannover-Stöcken, und einer davon beschäftigt sich mit der Entwicklung von Gummiwerkstoffen für Gasfedersysteme, aber das ist ja dann quasi die Höhle des Löwen. Früher oder später musst Du allerdings auf einen Hersteller zugehen und den Schritt wagen, da Du wohl kaum als Privatmann über Produktionsstätten für Rennradreifen verfügst, von der Marketing-Maschinerie ganz zu schweigen. Daher führt bei einer Erfindung kein Weg daran vorbei, vor der Kontaktaufnahme zu einem großen Hersteller patentrechtlich abgesichert zu sein. Ein Patent anzumelden ist, wie Du sicher weißt, sehr teuer. Umso teurer, in je mehr Ländern Du Patentschutz anmelden willst. Es erfordert außerdem eine Patentprüfung, also die Untersuchung durch einen Patentanwalt, ob Deine Erfindung nicht eventuell schon anderweitig patentiert wurde. Ich würde Dir daher empfehlen, einen Gebrauchsmusterschutz zu beantragen. Die ist viel kostengünstiger, bietet fast den gleichen rechtlichen Schutz wie ein Patent und die vorherige kostspielige Patentprüfung entfällt - zumindest vorerst, bis Du irgendwann Dein Gebrauchsmuster zum Patent "upgraden" willst. Vielleicht ist es das Beste, Du konsultierst einen Patentanwalt, der Kraft seines Amtes zur Verschwiegenheit verpflichtet ist und Dich im Detail über die Kosten aufklären und Dir die Unterschiede zwischen Gebrauchsmusterschutz und Patent noch besser und ausführlicher erklären kann. Das ist meiner Meinung nach zwingend und sozusagen der nullte Schritt. Sobald Du das Gebrauchsmuster in der Tasche hast, würde ich einerseits zum Beispiel auf Conti oder Schwalbe zugehen und die Erfindung anbieten, andererseits kannst Du eventuell auf einer Bike-Messe die Chancen für Deine Erfindung ausloten. A propos "Chancen für Deine Erfindung". Die natürliche Reaktion eines potentiellen Käufers wie Conti oder Schwalbe ist Abwinken, gepaart mit mindestens einem der Attribute "viel zu teuer, zu kompliziert, nicht wartbar, nicht haltbar, keine Akzeptanz" und so weiter. Und dann gehst Du erst mal wieder raus und sobald die Tür hinter Dir zu ist, stecken sie die Köpfe zusammen und überlegen. Entweder kommen sie zu dem Schluss, dass es tatsächlich zu teuer, zu kompliziert oder was auch immer ist und gehen wieder ihrem Tagewerk nach, oder sie finden die Idee gut. Dann überlegen sie erst einmal, ob sie nicht unter Umgehung Deines Patentes/Gebrauchsmusters ein ähnliches System auf den Markt bringen können. Und erst, wenn das nicht klappt, melden sie sich wieder bei Dir. Vermutlich wirst Du nach dem Gebrauchsmuster und einigem erfolglosen Türklinkenputzen nicht umhin kommen, auf eigene Kosten eine Kleinserie oder mindestens einen Prototyp anzufertigen, ihn auf einer Bike-Messe vorzuführen und Interesse zu wecken. Anmerkung zur Technik: ohne von Dir im Detail wissen zu wollen, wie Deine Erfindung funktioniert (dann würde ein Patent ja auch keinen Sinn mehr machen, wenn Du es hier beschreibst), gebe ich Dir folgenden technischen Aspekt zu bedenken, den Du für Dich evaluieren musst: Ein (passives) System, welches den Komfort steigert, erzeugt interne Reibung, ganz gleich ob durch Öl, Gas, Luft oder sonst wie angetrieben. Interne Reibung ist ein irreversibler Verlust, der zusätzliche Antriebsleistung erfordert. Eine Federgabel, ein gefederter Hinterbau, auch die bei Senioren beliebte gefederte Sattelstange, alles passive Systeme, die zusätzlichen Leistungsaufwand erfordern und damit effektiv Geschwindigkeit kosten. Daher wirst Du diese Elemente niemals an einem Rennrad sehen. Einem ambitionierten Rennradfahrer kommt es in erster Linie auf Geschwindigkeit an, nicht auf Komfort. Einem Profi sowieso. Insofern ist die Frage nach der Akzeptanz nicht von der Hand zu weisen. Als Beispiel: mein Rennrad ist bretthart, Federungskomfort gleich null. Es ist ein Sportgerät, kein Transportmittel. Es handelt sich genauer gesagt um ein Triathlonrad, mit tiefstmöglicher Lenkermontage (alle Spacer raus, Gabelschaft maximal gekürzt), selbst der Sattel von Tune ist aus lackiertem Carbon, also ohne Stoffbespannung, geschweige denn Polsterung. Nach einer Stunde schmerzt der A.... höllisch, der Nacken tut schon beim Zugucken weh, die Reifen sind auf 8bar aufgepumpt, selbst wenn der Hersteller 7bar empfiehlt. Aber das ist alles egal, das Ding ist einfach höllenschnell und macht riesig Spaß. So wie Kartfahren: eine Riesengaudi, aber nach einer halben Stunde kannst Du Dir selbst nicht mehr den Helm abnehmen, weil Du die Arme nicht mehr hochbekommst. Vielleicht bin ich da auch ein wenig extrem und andere sehen das etwas entspannter, aber ich persönlich würde nie auch nur einen Euro in Komfort investieren, eher 10 Euro in irgendetwas, was mich schneller macht und nochmal fünf Euro für eine Salbe, die die Schmerzen am Hintern lindert... Aber das hier ist der Matheplanet und nicht ein Rennradforum, also sollten wir dieses Thema nicht weiter öffentlich auswälzen, sondern entweder per PM oder in einem Bike-Forum fortführen. Ciao, Thomas \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: PeterKepp am: Di. 29. Juli 2014 12:29:39
    \(\begingroup\)An Thomas, vielen Dank für Deine sehr ausführlichen Tips, die Du aus Deiner professionellen Stellung innerhalb des Systems mir hier hilfreich an die Hand gegeben hast. Ich denke mal über einen Kontaktversuch zur Industrie nach. Danke nochmals, Peter\(\endgroup\)
     

    Rollwiderstand von 25mm RR-Reifen geringer als 23 bzw. 21
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 29. August 2014 13:43:03
    \(\begingroup\)Hallo MontyPythagoras, ein sehr beeindruckender Artikel! Ich habe eine Nachfrage und einen Erklärungsansatz, der sich möglicherweise mit Deiner Theorie deckt. Die Frage: Untersuchungen zufolge haben 25mm breite RR-Reifen einen geringeren Rollwiderstand als 23mm breite (und diese widerum als 21mm breite) Reifen. Du schreibst jedoch in Deinem Praxisbeispiel, der breitere Reifen hat einen größeren Widerstand. Wie paßt das zusammen? Erklärungsansatz: Der geringere Widerstand des 25mm breiten RR-Reifens wird allgemein damit erklärt, dass die Aufstandsfläche hier eher einem Kreis ähnelt als bei einem schmaleren RR-Reifen, wo sie stärker in Richtung Ellipse tendiert. Hieraus könne man schlussfolgern, der Reifen muss weniger aus seiner Ursprungsform heraus verformt werden, was zu geringerer Walkarbeit und damit geringerem Rollwiderstand führt. Deine Theorie würde diesem Argument noch eine weitere Erklärung hinzufügen: Ist die Aufastandsfläche eher ein Kreis als eine Ellipse, so ist die Strecke vom Ausetzen des Reifens auf den Boden (Vorderkante Abplattung) bis zum Abheben vom Boden (Hinterkante Abplattung) kürzer (ein Bild wäre besser, ich hoffe, man versteht es trotzdem). Das von Dir als hauptverantwortlich für den Widerstand identifizierte Rutschen des Reifens auf dem Boden findet dann auf einer geringeren Länge statt. Passt das? Ist es vielleicht möglich, dass Dein Praxisbeispiel (das mit Sicherheit stimmt) zu extrem gewählt war und dass der Widerstand zunächst mit zunehmender Breite ab- und später wider zunimmt? Im wesentlichen geht es mir darum, herauszufinden, ob die breiteren RR-Reifen tatsächlich einen geringeren Rollwiderstand haben, sonst spar ich mir nämlich das Geld für die Dinger 😉 Viele Grüße, Peter Anonymous \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Sa. 30. August 2014 14:27:58
    \(\begingroup\)Hallo Peter, der von mir berechnete Rollwiderstand schließt den Effekt der Walkarbeit ja ausdrücklich nicht mit ein. Das ist ein Effekt, der meiner Meinung nach deutlich überschätzt wird, aber nichtsdestotrotz existiert er. Insofern kann man nur spekulieren, wie er sich auf den Gesamtrollwiderstand auswirkt. Man muss außerdem beachten, dass die Diagramme, die ich berechnet habe, den Eindruck erwecken, als sei der Rollwiderstand nur eine Funktion der Aufstandsfläche. Dem ist nicht so, die Reifenbreite geht in die Faktoren f1 und f2 ein (siehe Kapitel 6). In meinem Praxisbeispiel habe ich Werte eingesetzt, wie sie für Allround-Reifen an Alltagsfahrrädern üblich sind. 50mm ist sicher keine Breite für einen Rennradreifen. Ich habe außerdem mit einem deutlich reduzierten Reifendruck gerechnet, denn diese Sorte Reifen wird meist mit Drücken zwischen 3 und 4bar gefahren, und wie man in dem anderen Rechenbeispiel sehen konnte, hat der Reifendruck enorme Auswirkungen auf den Rollwiderstand. Wenn man mit obigen Formeln den 23mm-Reifen mit dem 25mm-Reifen vergleicht, aber für beide den gleichen Druck (8bar) annimmt, erhält man folgende Werte: 23mm, 8bar: 0,0044579 25mm, 8bar: 0,0045552 Demnach hätte bei gleichem Druck der breitere Reifen immer noch einen ca. 2,2% höheren Rollwiderstand. Das ist so marginal, dass er wahrscheinlich von anderen Effekten wie dem Walken überdeckt wird und in der Praxis nicht "erfahrbar" ist. (Üblichweise wird aber der 25er mit einem etwa 1bar geringeren Druck gefahren, was den Rollwiderstand weiter erhöht). Tatsächlich sind die Unterschiede zwischen einem 25er und einem 23er so gering, dass ich eher den Messwerten des Herstellers vertrauen würde, die natürlich alle realen Effekte berücksichtigen und eigentlich auch kein Interesse an einer Mythen-Erzeugung haben dürften. Andererseits weiß ich, dass die Rollwiderstände bei den Herstellern auf Rollenprüfständen gemessen werden. Da eine Rolle aber nun einmal einen Radius hat, drückt sie den Reifen stärker und anders ein als es eine ebene Fläche tut. Die Hersteller sind sich dieser systembedingten Schwäche ihrer Prüfstände bewusst, verfahren aber meist nach dem Motto "Wenn alle so messen, wird keiner benachteiligt". Was Deine Entscheidung für diese oder jene Reifenbreite angeht, gebe ich Dir einfach mal zwei Fakten zu bedenken: * Praktisch alle Profis fahren 23er. * Auf Bahnrädern (die ja auf perfekt glatten und ebenen Holzbahnen fahren) sind Reifenbreiten um die 20mm üblich. Würden die Bahnrad-Profis, wo es auf Hundertstel Sekunden ankommt, nicht breite Reifen aufziehen, wenn die einen geringeren Rollwiderstand hätten? Ich jedenfalls fahre einen 23er auf meinem Triathlonrad und einen 25er auf meinem "Normal"-Rennrad. Der Geschwindigkeitsunterschied zwischen beiden Rädern ist zwar enorm, aber sicher nicht auf die Reifen zurückzuführen. Ciao, Thomas \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 07. November 2014 00:06:42
    \(\begingroup\)Ich möchte lieber auf Deutsch reagieren, aber die Grammatik ist zu kompliziert für ein Holländer. Warscheinlich verstehen Sie meine Bemerkungen auch in English. Wenn nicht, versuche ich es später auf Deutsch. Very nice article. I landed on this website because I was trying to understand the factors in tire rolling resistance. I especially had difficulty to understand the concept of ‘Schlupf’. Maybe my physics education was too long ago for disciplined thinking. I thought of a tire rolling with a certain horizontal speed over a road. The contact point has essentially zero horizontal speed when it touches the surface, because it is making a cycloïd figure. So why do you have Schlupf? On the other hand, all the articles on tire rolling resistance start with the famous chart of the friction coefficient versus Schlupf, where at Schlupf = 0 the friction coefficient is zero. I found this mind-boggling. In some texts I read that Schlupf is essentially associated with a driving force or a braking force applied to the wheel. That is, if a wheel is just following passively, e.g. the front wheel, Schlupf would be zero. That gave me the idea to do an experiment to clarify this for myself. Mount two tachometers, one on the front wheel and one on the rear wheel, and measure the revolutions on a straight path with lots of acceleration and coasting down. See if there is a real difference between the driving rear wheel and the towing front wheel. An experimental test I wanted to do the next week or so. Yesterday I found your article. It is beautifully clear, almost pure geometry. I never read any distinction between whether the wheel is driven or just towing, so the derivation seems generally valid, as long as the assumptions in Chapter 1 are valid. I assume that the Figure following eq. 2.2. is explaining Schlupf. Do I understand this correctly? So my experiment makes no sense? Your model enables to make some checks. First regarding the magnitude of the friction coefficient for hard-pumped 23 mm racing tires. Numbers in the range of 0.005 agree very well with experimental data. Do you know the article Influence of tyre pressure and vertical load on coefficient of rolling resistance and simulated cycling performance, in Ergonomics, 1999, Vol.10, 1361-1371 ? See www.fredericgrappe.com/wp-content/uploads/1999/09/Influence%20of%20tyre%20pressure%20and%20vertical%20load%20on%20rolling%20coefficient%20and%20simulated%20cycling%20performance.pdf . They measured a bike with 22 mm racing tires. Your estimation of the effect of tire pressure agrees fairly well with the measurements. The experimental effect of additional load seems much less strong as predicted by your equation. But I guess a proper measurement without affecting aerodynamics is difficult. So I think you may be proud of your work. I haven’t seen a similar model in literature. One additional remark concerning your answer to Peter Kepp on spoke tension. I obviously agree that his comment was nonsense. However, your answer also misses an important point about a wheel. The imaginary case of a wheel with two pre-tensioned spokes in vertical direction holding a nave in the center assumes an infinitely stiff rim. Real rims will flatten to an oval and that is where spokes going in horizontal direction come into play. They will resist the flattening by sharing some of the load. Therefore your comment "In den oberen Speichen erhöht sich die Zugspannung, in den unteren verringert sie sich, in den momentan etwa horizontal angeordneten passiert so gut wie nichts. Eine umlaufende Speiche erfährt also in einem Zeitschrieb eine Zugspannung, die mit einer Amplitude von vielleicht 4 bis 5kg sinusförmig um die Vorspannung von 100kg schwankt " is not accurate. It turns out that all the spokes over an angle of about 300 degrees increase slightly in tension, almost uniformly, and the few spokes in the 60 degree segment that is in contact with the road decrease in tension in a very peaked distribution: the spoke at the bottom takes about half of the load and the two neighbouring spokes share the other half, i.e. take 25%. Observing the tension of a single spoke over one wheel rotation clearly does not follow a sine function, but a short heavy duty cycle when the spoke gets near to the road surface. See e.g. www.ewp.rpi.edu/hartford/~ernesto/SPR/Ng-FinalReport.pdf . I guess that with your ability in mathematics, you could easily work out the distribution in spoke tension for a symmetric wheel (i.e. a front wheel) in a geometric model, instead of a finite element model. As with the tire circumference, the diameter of the rim is constant. What you need additionally is some function that models the stiffness of the rim to in-plane compression. Herzliche Grüsse, Mathieu van Rijswick \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Do. 20. November 2014 17:13:44
    \(\begingroup\)Hello Mathieu, thank you for your interest and input. Sorry to be this late with an answer, but I don’t check if comments have been added to my articles on a regular „schedule“, so please feel free to contact me via personal message to make me aware if need be. 😄 The term „Schlupf“ (which I would translate as „slip“) is commonly used for another physical effect regarding any sort of wheel, mostly whenever there is a significant difference between the true linear speed of the vehicle and the tangential speed of the wheel, regardless of the cause. One might call that „macroscopic“ slip. I would assume, by the experiment that you are suggesting with two tachometers measuring the difference between the rear wheel (which is driven) and the front wheel (which is non-driven), you would find „macroscopic“ slip, originating from the driving force on the rear wheel. In this article, I am trying to avoid the term „Schlupf“, although the German word „rutschen“ would need to be translated with „slipping“ as well, making the distinction between „Rutschen“ and „Schlupf“ pointless. The need for the tire to slip on this „microscopic“ level results from the fact, that a toroidal body like a bicycle wheel that touches a flat surface cannot be flattened without distortion, no matter how you approach it. That is why I used the analogy with the Earth globe, that cartographers unsuccessfully tried to virtually flatten centuries ago. This distortion causes the tire to slip by just tenths of millimeters. This effect doesn’t have anything to do with driven or non-driven, it is pure geometric necessity, but I think you understood that. I see your point with regard to the spoke tension. My explanation was of course a little bit simplified, and you are correct in saying that one would have to assume an infinitely stiff rim for the spoke tension to be sinusoidal over one full revolution. However, I believe that the magnitude of the effect that you describe does depend on the type and the quality of the rim. While I would agree that the effect might be enormous on classical, low-profile steel rims, I would still doubt it on high-profile carbon rims like the Zipp 808, which are next-to-infinitely stiff, radially. Anyway, never ever will a spoke dive into the rim when it points downward, every 2,2 meters, 450 times on a kilometer. The rider would inevitably need to carry walking shoes in his backpack. 😉 I never thought about calculating the spoke tension on a rolling wheel. It does sound interesting from an academic point of view, but my calculation of the friction coefficient of a bicycle wheel had a more practical impact on my everyday triathlon training. The correct tire pressure makes you faster, the correct spoke tension does not (it does keep you from walking next to your bike instead of riding on it, though)... Ciao, Thomas \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 02. Dezember 2014 00:18:57
    \(\begingroup\)Hoi Thomas, Thanks for your reply to my comments. Yes, I understood your model as causing a small amount of micro-slip. It made the mechanism underlying the rolling resistance a lot clearer to me. Regarding the spoke tension in a rolling wheel under load, since writing my comment I found an analytical treatment that may please your mathematical mind. The following link gives you free access to the preprint article, but figures are lacking: opus.bath.ac.uk/1418/1/Vogwell_P . Maybe your professional institution gives you acccess to the printed journal. I asked Prof. Minguez for a copy and he was so kind to send it to me. The nice thing about the analytical treatment is that you better see how rims ands spokes interact. The three rims are modern aluminum rims. The Rolf Vector Pro is a high rim and has the highest stiffness. Compared to the spoke structure, however, the rims are still the most compliant part by far. It would be interesting to see how the carbon rim compares in this respect. Kind regards, Mathieu \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Di. 02. Dezember 2014 21:25:26
    \(\begingroup\)Hi Mathieu, I have read the document by Jinny Ng and found it quite interesting, but in my opinion she makes a dubious simplification: She applies the total force only on one single node of the FE net (see figure 5 in that document). This basically simulates putting a bicycle wheel on a razor edge - without tire. Doesn't seem too realistic to me. I have performed further calculations regarding the force distribution on the rim, based on the formulas from my article above. They show that the force is distributed lengthwise in almost a parabolic shape across the tire "foot print". This will steamroll much of the peak, in my opinion. She uses a pretty shallow rim shape, too. Much to my surprise, Prof. Minguez applies the same simplification. He does consider the width of the hub, thus arranging the spokes at a sideways angle, making everything more complicated. Moreover, he uses a discrete number of spokes, which certainly is close to reality, but on the other hand it keeps him from setting up a differential equation that could be solved (or simulated) more easily. Therefore, I am not truly happy with the presented solutions and have started my own calculation. My approach is to virtually distribute the spokes evenly, like a billion spider threads. This yields the possibility to use differential equations and eliminates the necessity to divide the rim into discrete segments. I would like to invite you to become a member of the matheplanet, so we can continue this discussion in a regular thread and have others contribute to it, if they want to. It will take me a couple of days and maybe the weekend to have something presentable. As soon as that is the case, I will post a link to the respective thread here. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 02. Dezember 2014 22:49:53
    \(\begingroup\)Hi Thomas, I am really pleased that you bend your mathematical/mechanical mind on the spoke tension distribution. I believe some new insights may come from it! I see at the one hand the finite-elements approach that leads to a very peaked spoke tension distribution (strong reduction in pre-tension for a few spokes near the surface). Jinny Ng is one of them ; another one is Jobst Brandt book The Bicycle Wheel (page 131-135) poehali.net/attach/Bicycle_Wheel_-_Jobst_Brandt.pdf and another one is here www.astounding.org.uk/ian/wheel/index.html . The analytical approach leads to a much less peaked tensional distribution. I asked Prof. Minguez for an explanation, but he didn't comment. Both approaches share that they analyse a naked bicycle wheel, without tire pumped to a few bars. I also asked Prof. Minguez what a difference that would make to his approach and he replied that it would obviously distribute the reactive force from the floor to the rim, transforming it in a more distributed load that has less severe effects. Regarding you plan to continue the discussion in a regular thread, I think that it is useful if it would be continued in English. The audience would be much broader. I have found several scientific papers on bicycle wheels in German that have escaped the attention from the Anglosaxon world and even from dutch and belgian people interested in Bicycling Science. Regarding my own position, I am someone who is very interested in learning about the physical background, but my command of physics and mathematics is not up to par for making an original contribution. Kind regards, Mathieu \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: So. 07. Dezember 2014 18:35:54
    \(\begingroup\)Hi Mathieu, I have a few results now, but the differential equation is extremely complicated and in my opinion not solvable at all. So I have started by calculating the effect of a sharp, singular force at the bottom of the wheel via numerical simulation (in Excel), just like in the FEA calculations in the other papers. From there, I will calculate the true spoke tension on a real wheel by convolving the tension distribution with a parabolic load, but I haven't done that yet. So far, I can tell the following: Depending on whether the rim is stiff compared to the spokes or vice versa, the results vary dramatically. I have defined the stiffness quotient between spokes and rim as a parameter psi to the differential equation. $\psi=\infty$ would mean a soft rim, $\psi=1$ would mean spokes and rim are almost equally stiff, and $\psi=0$ means soft spokes (like rubber bands). The "physical" differential equation can be transformed into a dimensionless differential equation with just this one parameter, where $\displaystyle \psi=\frac{knR^3}{2\pi EI}$ with k = spring rate of one spoke n = number of spokes R = radius of neutral fiber E = Young's module of the rim I = moment of inertia of the rim cross section It turns out that in reality, $\psi$ is about 500 and up. Therefore, it is fair to say that the rim is always soft by comparison in real life. Anyhow, this is what it looks like so far: $\psi=0,01$, Rim deflection with very soft spokes (exaggerated)
    The red line represents the original shape without any load. As was to be expected, the rim stays in circular shape and moves as a whole. $\psi=0,01$, Spoke tension
    Again as expected, the spoke tension is sinusoidal. $\psi=2000$, Realistic rim deflection (exaggerated)
    This is very similar to the results of the FE analysis of the various papers. $\psi=2000$, Spoke tension of real rim
    What is interesting about this is that the spoke tension changes from compression at the point where the force is exerted, to (increased) tension between 30 and 60°. It can hardly be seen here, but when scaling it up, I found that beyond 60° it goes back to compression(!) and so forth. It resembles an exponential function with superimposed cosine, which happens to be the solution of a 4th order linear ordinary differential equation, and not surprisingly, the true differential equation transforms into such when brutally linearizing it. There's more to come, but it takes a little more time. Ciao, Thomas \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. Dezember 2014 13:43:24
    \(\begingroup\)Hi Thomas, Nice results, confirming the FEA calculations. Yet the real case is that you have a stack of a very compliant tire, a fairly compliant rim and a stiff arrangement of pre-tensioned spokes. The results of the FEA analysis of a naked wheel suggest that the bottom spokes may be so highly compressed that they lose their pre-tension. As you already pointed out, this might be the artificial result of putting the wheel on a knife-edge. If the effect of the tire would be that such a concentrated force at the bottom is impossible, it would change the scientific mindset. E.g. in the book Bicycle Science from D.G. Wilson (2004)on p.389 "The external load acting on the wheel is transmitted to the hub by just a couple of spokes, because the rim is not stiff enough to transfer the load to more of them." So try to keep a wholistic balance in your math virtuosity. Best, Mathieu \(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Do. 11. Dezember 2014 17:25:41
    \(\begingroup\)Hi Mathieu, as you can see in the above pictures, the knife-edge type of load leads to an almost parabolic tension distribution across a section of around 60°, namely plus 30° and minus 30°. In order to find the tension distribution with a realistic load, one would have to convolve the above results with this load. To determine the reaction of the system to a "spike" is just the first step in this process. Precondition is, though, that the system behaves in a linear manner, which is not necessarily the case in the equations that I found. Anyway, when you use the diagrams from the article above, you will find that the flattening of the tire ist just around 3 to 4mm, which yields a lengthwise contact angle of approximately plus and minus 9°. So the tension distribution due to the "knife-edge" load is already three times wider than the load distribution itself. I know from experience that convolving these functions will not change the outcome by much. The realistic result will consequently be a sort-of-parabolic distribution across a 70 to 80° span. Given that the typical load on a racing bike front wheel is around 50kg, and the pretension of just one spoke is 90 to 130kg, there is nothing to worry about, there will always be positive pre-tension. In case that the cyclist rides up a sidewalk, the tire will cushion the impact away. I currently have little time to work on this subject. I was going to publish the equations in a new article or thread as soon as I find the time. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: MontyPythagoras am: Mi. 04. Februar 2015 09:41:23
    \(\begingroup\)Hi Mathieu, it's been a while now and I don't know if your are still checking back every now and then for any news. Just wanted to let you know that I got all the maths done and I am putting together an article about it - in English, as per your request. Please feel free to register on this site so we can exchange messages more conveniently. So long, Thomas\(\endgroup\)
     

    Re: Rollwiderstand von Fahrradreifen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 14. Februar 2015 12:47:56
    \(\begingroup\)Thomas, I didn't check in for several weeks. Congratulations with your debut prize! I'll try to register, but I remember that there was a snag when I tried last year. Otherwise I will find your new article by just following your name. Best, Mathieu OK, I am registered now under the nickname Nomath. The snag was again that the registration didn't accept my usual mail address, but I succeeded with a gmail address that I don't check often. I couldn't figure out yet how I can send you a personal mail. \(\endgroup\)
     

     
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