Mathematik: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
Released by matroid on Mo. 04. August 2014 10:57:24 [Statistics]
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Mathematik

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\color{olive} \textbf{\LARGE{Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik}} Die Mathematik ist voll mit ungelösten Problemen. Viele davon sind sehr schwierig und ein Beweis wäre jeweils ein großer mathematischer Durchbruch. Berühmte Beispiele dafür sind die Hodge-Vermutung, die Riemannsche Vermutung, die Baum-Connes Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Aber bei manchen auf dem ersten Blick völlig harmlos scheinenden Problemen denkt man sich einfach nur: Wie bitte, das ist unbekannt?! Um genau solche Probleme soll es hier gehen. Wir werden dabei einen Streifzug durch verschiedene Gebiete machen: Kombinatorik, Zahlentheorie, Spieltheorie, Algebra, Geometrie. Natürlich begnügen wir uns mit einer kleinen aber feinen Auswahl. Es soll dabei explizit auch um weniger bekannte Probleme gehen. Beispiel: Gibt es einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen, sodass die Diagonalen der Flächen sowie die Hauptdiagonale ganzzahlige Längen besitzen? - Unbekannt. Siehe hier.


1. Kombinatorik

1. Wieviele Leute braucht man auf einer Party, damit sich mindestens fünf Leute jeweils untereinander kennen oder mindestens fünf Leute jeweils untereinander nicht kennen? Die Anzahl liegt zwischen 43 und 49. Der genaue Wert ist unbekannt. Mit solchen Fragen befasst sich die Ramsey-Theorie. Das genannte Problem betrifft die Ramsey-Zahl R(5,5). Die meisten Ramsey-Zahlen sind unbekannt. Lediglich kleine Zahlen sind bekannt; zum Beispiel überlegt man sich R(3,3) \leq 6 (unter sechs Leuten kennen sich immer drei untereinander oder drei untereinander nicht) und das folgende Bild zeigt R(3,3) > 5, sodass also R(3,3)=6. Zu den Ramsey-Zahlen R(5,5) und R(6,6) gibt es ein berühmtes Zitat von Paul Erdős:
"Suppose aliens invade the earth and threaten to obliterate it in a year's time unless human beings can find the Ramsey number for red five and blue five. We could marshal the world's best minds and fastest computers, and within a year we could probably calculate the value. If the aliens demanded the Ramsey number for red six and blue six, however, we would have no choice but to launch a preemptive attack."
2. Es sei ein System von n endlichen Mengen gegeben, das unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen sei, und nicht nur aus der leeren Menge besteht. Gibt es dann ein Element, was in mindestens \frac{n}{2} Mengen des Systems enthalten ist? Diese unfassbar einfache Frage von Péter Frankl ist seit über 30 Jahren offen. 2010 hat man es für n \leq 46 bewiesen. 3. Es gibt viele Vermutungen auf der Schnittstelle zwischen Kombinatorik, Zahlentheorie und Gruppentheorie, zum Beispiel Olsons Vermutung: Sei G eine Gruppe der Ordnung n und a_1,a_2,\dotsc,a_{2n-1} eine Folge von Elementen in G. Gibt es dann 1 \leq j_1 < j_2 < \dotsc < j_n \leq 2n-1 mit a_{j_1} \cdot \dotsc \cdot a_{j_n}=1?

2. Zahlentheorie

1. Für eine natürliche Zahl a>1 sei N(a) die Anzahl der Vorkommen von a im Pascalschen Dreieck. Zum Beispiel ist N(2)=1, N(3)=2, N(6)=3, N(3003)=8. Die Singmaster-Vermutung fragt nun: Ist N beschränkt? Es ist nicht einmal bekannt, ob N noch einen größeren Wert als 8 annehmen kann. Ebenso ist unbekannt, ob N die Werte 5 oder 7 annehmen kann. 2. Besitzt die Gleichung x^3+y^3+z^3=33 eine ganzzahlige Lösung? Das heißt, gibt es ganzzahlige Punkte auf der algebraischen Fläche \{(x,y,z) : x^3+y^3+z^3=n\} für n=33? Das ist ein offenes Problem. Für n=42 und n=74 übrigens auch. Siehe dazu hier. Für n=30 hat N. Elkies im Jahr 1999 mit geometrischen Methoden die Lösung (x,y,z) = (2220422932,-2218888517,-283059965) gefunden. 3. Gibt es unendlich viele Primzahlen p für die 2 eine Primitivwurzel modulo p ist? Das bzw. eine Verallgemeinerung davon ist eine Vermutung von Artin. Man weiß in diesem Zusammenhang, dass modulo unendlich vielen Primzahlen jeweils eine der Zahlen 3,5,7 Primitivwurzeln sind. Aber einzeln ist das offen. 4. Welche positiven ganzen Zahlen n lassen sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen darstellen? Das ist das Problem der Kongruenzzahlen. Die Frage ist äquivalent dazu, ob die elliptische Kurve y^2 = x^3 - n^2 x einen rationalen Punkt mit y \neq 0 besitzt. Entsprechend gibt es bereits Lösungsansätze mit Hilfe von algebraischer Geometrie.

3. Kombinatorische Spieltheorie

1. Auf einem n \times m-Schachbrett legen zwei Spieler abwechselnd Dominosteine. Wer nicht mehr ziehen kann, hat verloren. Für welche n,m besitzt der zweite Spieler eine Gewinnstrategie? Bereits für m=1 ist das ein nichttriviales Problem, die Lösung ist interessanterweise periodisch in n (mit einer Vorperiode). Für m=2 ist es ebenfalls bekannt (nur verstehe ich es nicht), und für m=3 ist es lediglich für n \leq 18 mittels aufwändiger Computeranalysen gelöst worden. Das Spiel ist als Cram bekannt. 2. Auf einem 1 \times n-Brett lässt sich eindimensionales Tic-Tac-Toe spielen: Abwechselnd schreiben zwei Spieler ein X auf ein Feld. Wer es schafft, drei X in Folge zu bekommen, hat gewonnen. Für welche n besitzt der zweite Spieler eine Gewinnstrategie? Das Problem ist, wie so viele oktale Spiele, völlig ungelöst. 3. Für das Spiel Sprouts (Sprossen) werden zunächst n Punkte in die Ebene gezeichnet. Zwei Spieler wechseln sich nun ab; jeder verbindet zwei Punkte miteinander (die gleich sein dürfen) und zeichnet auf dieser Linie einen neuen Punkt. Wenn aus einem Punkt bereits drei Linien herausgehen, ist er gestorben und darf nicht mehr benutzt werden. Natürlich dürfen die Linien sich nicht überschneiden. Nach endlich vielen Schritten sind alle Punkte gestorben; der Spieler, der dann nicht mehr ziehen kann, hat verloren. Probiert das einmal aus! Es wird vermutet, dass der zweite Spieler genau dann eine Gewinnstrategie besitzt, wenn n \equiv 0,1,2 mod 6. Die besten Resultate dazu haben bisher Julien Lemoine und Simon Viennot erzielt. Das Problem ist aber nach wie vor offen. Hier ein Beispiel mit n=2, der zweite Spieler gewinnt.

4. Algebra

1. Gibt es eine Bijektion \mathds{Q} \times \mathds{Q} \to \mathds{Q} der Form (a,b) \mapsto p(a,b) für ein Polynom p \in \mathds{Q}[x,y]? Bei MO/21003 hat man sich bereits die Zähne daran ausgebissen. Es ist schon schwierig, ein Polynom p zu finden, welches eine injektive Abbildung \mathds{Q} \times \mathds{Q} \to \mathds{Q} induziert. Don Zagier hat x^7 + 3 y^7 vorgeschlagen - das wird zwar von der abc-Vermutung nahe gelegt, konnte aber noch nicht bestätigt werden. Bjorn Poonen hat unter der Annahme einer Vermutung von Bombieri-Lang zumindest die Existenz eines Polynoms p zeigen können, welches eine injektive Abbildung induziert. 2. Ist G eine Gruppe und R ein Ring, so kann man den Gruppenring R[G] konstruieren. Obwohl diese Konstruktion so einfach ist, gibt es dazu etliche ungelöste Fragen. Zum Beispiel: Wie sehen die Einheiten von R[G] aus? Haben Sie allesamt die Form r g für eine Einheit r von R und einem Element g \in G? Dies ist trivial mit Nein zu beantworten, wenn man nicht gewisse Zusatzannahmen stellt, zum Beispiel dass R nullteilerfrei ist und G torsionsfrei ist. Ist dann jede Einheit im obigen Sinne trivial? Besitzt R[G] nur die beiden trivialen idempotenten Elemente 0,1? Dies ist zumindest für R=\mathbb{Z} bekannt und benutzt analytische Methoden im komplexen Gruppenring \mathbb{C}[G]. Man vermutet sogar, dass R[G] nullteilerfrei ist. Mehr dazu erfährt man in The algebraic structure of group rings von D. S. Passman und eine Übersicht gibt es bei MO/79559. 3. Die folgende Frage geht auf Zariski zurück: Sei A eine Algebra über einem Körper k, und es sei A[t] \cong k[x_1,\dotsc,x_n,t]. Folgt dann A \cong k[x_1,\dotsc,x_n]? Für n \leq 2 ist die Antwort Ja, für n>2 ist das Problem immer noch offen. Und dies ist nur eines von etlichen offenen Problemen der sog. affinen algebraischen Geometrie, für eine Zusammenfassung siehe Some problems and methods of Affine Algebraic Geometry von Daniel Daigle (online). Dazu gehört auch die Jakobi-Vermutung, welche nach den Automorphismen von k[x_1,\dotsc,x_n] fragt. 4. Sei A eine abelsche Gruppe mit der Eigenschaft, dass jede kurze exakte Sequenz 0 \to \mathbb{Z} \to B \to A \to 0 spaltet. Ist dann bereits A eine freie abelsche Gruppe? Dieses Problem ist nach Whitehead benannt. Nachdem sich viele Mathematiker daran die Zähne ausgebissen haben, hat Shelah 1974 gezeigt, dass diese Aussage unabhängig von ZFC ist! Das bedeutet also, dass die Antwort gewissermaßen "Jein" ist. Es gibt Modelle der Mathematik, wo die Antwort Ja ist, aber ebenso gibt es Modelle der Mathematik, wo die Antwort Nein ist. Das passt also nicht wirklich in die Liste hier. Ich wollte es aber mit aufnehmen, um zu zeigen, dass nicht jedes Problem - so einfach es auch aussieht - eine eindeutige Lösung besitzt. Es wäre zwar eine Sensation, wenn sich auch nur eines der hier im Artikel genannten Probleme als unabhängig von ZFC herausstellen würde; aber ausschließen kann man es leider nicht! Dazu auch noch ein Zitat von Bombieri:
"There are very many old problems in arithmetic whose interest is practically nil, i.e. the existence of odd perfect numbers, the iteration of numerical functions, the existence of infinitely many Fermat primes 2^{2^n}+1, etc. Some of these questions may well be undecidable in arithmetic; the construction of arithmetical models in which questions of this type have different answers would be of great importance."

5. Geometrie

1. Das Sofa-Problem kennt wohl jeder, der schon einmal einen Umzug mitgemacht hat: Wie groß kann ein Sofa höchstens sein, um es um eine Ecke herum zu bewegen? Man begnügt sich zunächst mit einer 2-dimensionalen Modellierung: Die Sofa-Konstante ist die maximale Fläche eines 2-dimensionalen Objektes, das man um eine Ecke mit Breite 1 herum bewegen kann. Sie liegt irgendwo zwischen \frac{\pi}{2} + \frac{2}{\pi} und 2 \sqrt{2}. Der genaue Wert ist unbekannt. 2. Kann man das Einheitsquadrat in Rechtecke R_1,R_2,R_3,\dotsc aufteilen, sodass R_k die Seitenlängen \frac{1}{k} und \frac{1}{k+1} besitzt? Das würde wegen \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1 (wie man mit einer Partialbruchzerlegung sieht) schon Sinn machen. Das Problem ist aber offen; siehe MO/34145. 3. Bei der 1611 aufgestellten Kepler-Vermutung geht es darum, eine 3-dimensionale Kugelpackung mit einer nachweisbar maximalen mittleren Dichte zu finden. Bei der kubischen und der hexagonalen Packung ergibt sich als mittlere Dichte \frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \approx 74 \%. Nachdem hierzu lange keine Fortschritte gemacht worden sind, hat Thomas Hales 1998 (basierend auf den Vorarbeiten von Fejes Tóth aus dem Jahre 1953) einen sehr langen computergestützten Beweis vollendet. Seit 2003 wird dieser Beweis formal überprüft. Laut Hales könnte dies aber 20 Jahre in Anspruch in nehmen. Die Chancen stehen sehr gut, dass aus dieser Vermutung bald ein Satz wird. 4. Eine Jordan-Kurve ist eine stetige Abbildung \gamma : [0,1] \to \mathds{R}^2 mit \gamma(0)=\gamma(1), die auf [0,1[ injektiv ist. Gibt es stets 4 Punkte auf der Kurve, welche die Eckpunkte eines Quadrats bilden? Das ist die Toeplitz-Vermutung. Für stückweise C^1-Kurven ist sie bewiesen worden. Der allgemeine Fall ist offen. 5. Gibt es eine Teilmenge von \mathds{R}^3, deren Fundamentalgruppe ein Element endlicher Ordnung besitzt? Das wäre anschaulich gesagt ein räumliches Objekt, in das man eine Schleife legen kann, welche zwar nicht zusammengezogen werden kann, nach einer gewissen mehrfachen Umrumdung der Schleife aber schon. Für \mathds{R}^2 lautet die Antwort Nein, für \mathds{R}^4 lautet sie Ja (z.B. Linsenräume). Für \mathds{R}^3 ist es ungelöst, siehe hier und MO/4478.

Falls ihr noch weitere ungelöste aber weniger berühmte Probleme kennt, könnt ihr sie gerne in den Kommentaren ergänzen.

Links zum Weiterlesen

\bullet Open Problem Garden \bullet Wikipedia: List of unsolved problems in mathematics \bullet MO/48299: More open problems \bullet MO/100265: Not especially famous, long-open problems which anyone can understand \bullet The Open Problems Project
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Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik [von Martin_Infinite]  
Die Mathematik ist voll mit ungelösten Problemen. Viele davon sind sehr schwierig und ein Beweis wäre jeweils ein großer mathematischer Durchbruch. Berühmte Beispiele dafür sind die Hodge-Vermutung, die Riemannsche Vermutung, die Baum-Connes Vermutung und
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"Mathematik: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik" | 10 Comments
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Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: Slash am: Mo. 04. August 2014 13:20:51
\(\begingroup\)Ein schöner, allgemeinverständlicher Artikel der Lust auf Nachdenken macht. Problem 2.2 hat mich sofort fasziniert. Als Ergänzung hätte ich noch das folgende Problem anzubieten: Existiert ein 3x3 magisches Quadrat aus Quadratzahlen? Nähere Infos zum aktuellen Forschungsstand gibt es hier. Für eine Lösung oder den Beweis der Nicht-Existenz einer solchen gibt es übrigens 1000 Euro Preisgeld. Gruß, Slash \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: rofler am: Mo. 04. August 2014 18:29:43
\(\begingroup\)Das Kongruente-Zahlen-Problem ist übrigens gelöst, wenn man die (schwache) Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung*) (ein Millenniumsproblem) für die elliptische Kurve oben annimmt, in dem Sinne, dass es dann ein einfach zu prüfendes Kriterium (endliche Rechnung) gibt, das entscheidet ob eine Zahl kongruent ist oder nicht. Das ist ein Satz von Tunnell, siehe http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/congnumber.pdf auf Seite 12 oder das Buch von Koblitz "Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms". *) Diese besagt, dass der Rang der Mordell-Weil-Gruppe $E(\mathbb{Q})$ gleich der Verschwindungsordnung der $L$-Funktion $L(E,s)$ bei $s = 1$ ist. Dass diese überhaupt dort definiert und holomorph ist, folgt erst aus der von Wiles et al. bewiesenen Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung (!).\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: syngola am: Mo. 04. August 2014 18:32:34
\(\begingroup\)Ein schoener Artikel. Es ist schon faszinierend, dass es dann doch noch so viele ungeloeste Probleme gibt. Das haette ich nicht gedacht. Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: epsilonkugel am: Mo. 04. August 2014 19:05:50
\(\begingroup\)Ich finde die Auswahl der ungelösten Probleme echt gut (5, 4 sind nach meinem Geschmack und 2), die Probleme sehen ja teilweise auf den ersten Blick wirklich harmlos aus. Hier eine ganz lange Liste ungelöster Probleme: en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics . Dort findet man zb: ist $\pi +e$ irrational?\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: menag am: Mo. 04. August 2014 19:27:47
\(\begingroup\)Sehr interessant. Problem 1.2 sieht auf den ersten Blick ja total leicht aus! Unglaublich, dass so eine leicht zu formulierende Frage bis heute nicht beantwortet werden kann. @epsilonkugel Gerade solche Frage über die irrationalität oder sogar transzendenz von reellen Zahlen erweisen sich ja als ziemlich schwer. Schon komisch, dass sich dieses Problem bis heute nicht ordentlich in den Griff bekommen lässt (gab es dazu nicht auch ein Hilbertproblem), obwohl ja ein "Großteil" der Zahlen in diese Kategorie passen.\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: ZetaX am: Mo. 04. August 2014 19:38:50
\(\begingroup\)Das allgemeine Problem zu diesen Transzendenzfragen ist die Hauptvermutung für Perioden, welche effektiv besagt: Integrale rationaler Funktionen mit rationalen (oder algebrischen) Koeffizienten über Teilmengen des IR^n, die durch Gleichungen und Ungleichungen ebensolcher Funktionen ausgeschnitten werden, nur dann den selben Wert liefern, wenn dies "offensichtlich" der Fall ist. Letzteres heißt etwas formaler: sie lassen sich durch endlich oft wiederholte Anwendung der üblichen Integralrechenregeln (Additivität, Linearität), Differentialformenpullbacks (also sozusagen die Kettenregel) sowie des Satzes von Stokes ineinander umformen.\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: epsilonkugel am: Mo. 04. August 2014 20:43:11
\(\begingroup\)@menag sieht wohl so aus. @ZetaX achso, das ist mir neu. www2.mathematik.hu-berlin.de/~kreimer/wp-content/uploads/LesHouchesStefan.pdf \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: Slash am: Fr. 08. August 2014 00:51:45
\(\begingroup\)Hat jemand eine Ahnung, warum in der Liste unter dem Link 2.2 für den Wert 16 diese spezielle Lösung angegeben wird? Die kleinste Lösung ist wohl hier $-10^3-12^3+14^3=16$ Ich werde die anderen auch mal prüfen. Gruß, Slash\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: weird am: Fr. 08. August 2014 06:21:58
\(\begingroup\)@Slash Deine Lösung ist nicht primitiv, d.h., es ist $ggT(x,y,z)\ne 1$. Nichtprimitive Lösungen könntest du wahrlich einfacher haben, z.B. $0^3+2^3+2^3=16$ Aber lass dich davon nicht abhalten, die Einträge in der Tabelle im Link unter 2.2 weiter zu überprüfen. Ist auf jeden Fall eine nette Fingerübung für gewievte Programmierer! \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
von: Slash am: Fr. 08. August 2014 13:02:49
\(\begingroup\)@weird Die Tabelle ist ja voll von nichtprimitiven Lösungen. Deshalb wundert es mich. Ich habe mal eine Mail an den Ersteller gesandt. Bin gespannt was er antwortet. Für n=24 tut es auch die primitive Lösung $2^3+2^3+2^3=24$\(\endgroup\)
 

 
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